<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">   \textbf{2.} Spočtěte parciální derivace 1. a 2. řádu pro funkci $z=z(x,y)$, je-li:
      $$
            x^2 + y^2 + z^2 = a^2.
      $$

      \textbf{Řešení} Definujeme funkci $F(x,y,z) \equiv x^2+y^2+z^2-a^2.$ Tato funkce je
      třídy~$\cal C^{\infty}.$ Parciální derivace $\frac{\partial F}{\partial z} = 2z \neq 0,$ pro
      $z\neq0.$ V bodech, kde $z\neq0$ můžeme použit větu o implicitní funkci:
      \begin{align*}
            x^2 + y^2 + z^2 - a^2&amp;= 0\\
      \intertext{Derivujeme podle $x$:}
            2x + 2z\cdot\frac{\partial z}{\partial x}&amp; = 0\\
            \frac{\partial z}{\partial x} &amp;= -\frac xz\\
      \intertext{Ze symetrie $x$ a $y$ dostáváme}
            \frac{\partial z}{\partial y} &amp;= -\frac yz\\
      \intertext{Derivace druhého řádu:}
            \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} &amp; =
            \frac{\partial}{\partial y}\cdot\left(-\frac xz\right) =
            -\left(\frac{0-\frac{\partial z}{\partial y}\cdot x}{z^2}\right) =
            \frac{\partial z}{\partial y}\cdot\frac x{z^2} = -\frac{xy}{z^3}\\
            \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} &amp;=
            \frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac xz\right) =
            -\frac{1\cdot z - \frac{\partial z}{\partial x}\cdot x}{z^2} =
            -\frac{z + x^2/z}{z^2} = -\frac{x^2+z^2}{z^3}
      \intertext{Ze symetrie $x$ a $y$}
            \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -\frac{y^2+z^2}{z^3}.
      \end{align*}
</pre></body></html>