  \textbf{5.} Najdìte øešení $z = z(x, y)$ rovnice
      $$
            \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2
      $$ splòující podmínky $z(x, 0) = 1$ a $\partial_2 z(x, 0) = x$.

      \textbf{Øešení} Postupujeme ``antiderivací'' funkce $z$:
      $$
            2 = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =
            \frac{\partial}{\partial y} \left(
            \frac{\partial z}{\partial y} \right) =
            \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2y + P(x)\bigr),
      $$ kde $P(x)$ --- polynom v $x$.
      Chceme, aby výraz $\partial_2 z = 2y + P(x)$ mìl v bodì $(x, 0)$ hodnotu $x$. Nutnì je
      tedy $P(x) = x$. Pokraèujeme v antiderivování:
      $$
            \frac{\partial z}{\partial y} = x + 2y \Rightarrow
            z = xy + y^2 + P_1(x),
      $$ kde $P_1(x)$ --- polynom v $x$. Dále chceme, aby funkce $z$ splòovala podmínku
      $z(x, 0) = 1$:
      \begin{gather*}
            z(x, 0) = 0\cdot x + 0^2 + P_1(x) = P_1(x) \\
            \Downarrow \\
            P_1(x) = 1 \\
            \Downarrow \\
            z(x, y) = xy + y^2 + 1.
      \end{gather*}
