   \textbf{3.} Ur�ete vzd�lenost te�n�ch rovin k $E\subset\mathbb R^3$, kde
      $$
            E = \left\{(x,y,z) \in \mathbb R^3; \, x^2 + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{9}
            \leq 1 \right\},
      $$
      a roviny jsou rovnob�n� s rovinou o rovnici $6x + y + 2z = 0$.

      \textbf{�e�en�} Nejprve spo��t�me mo�n� body dotyku t�chto rovin a mno�iny $E$.
      V�me, �e tyto body mus� le�et na hranici mno�iny $E$, tedy mus� platit, �e
      $$
            F := x^2 + \frac{y^2}4 + \frac{z^2}9 = 1,
      $$ a z�rove� parci�ln� derivace funkce $F$ v t�chto bodech mus� m�t pom�r $6 : 1 : 2$, aby
      te�n� rovina byla rovnob�n� s rovinou $6x + y + 2z = 0$:
      \begin{align*}
            \frac{\partial F}{\partial x}(x, y, z) &= 2x\\
            \frac{\partial F}{\partial y}(x, y, z) &= \frac y2\\
            \frac{\partial F}{\partial z}(x, y, z) &= \frac {2z}9\\
            2x & = 6k\\
            \frac y2 &= k\\
            \frac{2z}9 &= 2k
      \end{align*}
      Tedy $x = 3k$, $y = 2k$ a $z = 9k$. Dosazen�m t�chto hodnot do rovnice funkce $F$ dost�v�me
      \begin{align*}
            9k^2 + k^2 + 9k^2 &= 1\\
            k^2 &= \frac1{19}\\
            k &= \pm \frac1{\sqrt{19}}.
      \end{align*}
      Hledan� body dotyku jsou
      $t_1 =      \left[      \frac3{\sqrt{19}},
                  \frac2{\sqrt{19}},
                  \frac9{\sqrt{19}}
            \right]$ a
      $t_2 =      \left[      -\frac3{\sqrt{19}},
                  -\frac2{\sqrt{19}},
                  -\frac9{\sqrt{19}}
            \right]$.
      Abychom ur�ili vzd�lenost dvou te�n�ch rovin, m��eme spo��tat rovnici jedn� z nich a vzd�lenost
      druh�ho bodu od t�to roviny. Rovina prochazej�c� bodem $t_1$ bude m�t tvar
      $$
            6x + y + 2z + d = 0,
      $$
      kde $d$ spo��t�me dosazen�m do rovnice sou�adnic bodu $t_1$:
      \begin{gather*}
            \frac{18}{\sqrt{19}} + \frac{2}{\sqrt{19}} + \frac{18}{\sqrt 19} + d = 0\\
            \frac{38}{\sqrt{19}} + d = 0\\
            d = -2\sqrt{19}
      \end{gather*}
      Vzd�lenost bodu $t_2$ od t�to roviny spo��t�me podle vzorce
      $$
             l = \frac{|ap_1 + bp_2 + cp_3 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},
      $$
      kde $a$, $b$, $c$, $d$ jsou koeficienty v rovnici roviny, a $p_1$, $p_2$, $p_3$ jsou
      sou�adnice bodu.
      $$
            l = \frac{\left|-6\cdot\frac3{\sqrt{19}} - \frac2{\sqrt{19}} -
                  2\cdot \frac9{\sqrt{19}} - 2\sqrt{19}\right|}
                  {\sqrt{36 + 1 + 4}} = \frac{4\sqrt{19}}{\sqrt{41}} = 4\sqrt{\frac{19}{41}}.
      $$
