     \textbf{15!} Nalezn�te obecn� �e�en� rovnice
    $$
        y'' - 2y' + 2y = \cos x.
    $$

    \textbf{�e�en�} Charakteristick� polynom homogenn� rovnice je
    $M(\lambda) = \lambda^2 - 2\lambda + 2$, jeho ko�eny jsou $\mu = 1 \pm i$.\\
    Odpov�dajic� fundament�ln�
    syst�m je~$\lbrace e^x\cos x, e^x\sin x\rbrace$.

    Podle v�ty o speci�ln� prav� stran� najdeme partikul�rn� �e�en� p�vodn� rovnice: �e�en� m�me hledat ve
    tvaru $y = A\sin x + B\cos x$:
    \begin{align*}
        y   &= A\sin x + B\cos x\\
        y'  &= A\cos x - B\sin x\\
        y'' &= -A\sin x - B\cos x\\
        y'' - 2y' + 2y  &= -A\sin x - B\cos x - 2A\cos x + 2B\sin x + 2A\sin x + 2B\cos x\\
                &= (2B + A)\sin x + (B - 2A\cos x) = \cos x.
    \end{align*}
    Tedy je $A = -\frac 25$, $B = \frac 15$. �e�en� je
    $$
        y = -\frac25 \sin x + \frac15\cos x + Ce^x\cos x + De^x\sin x,\quad\text{kde }C, D\in \mathbb R.
    $$
