   \textbf{14.} Nalezn�te v�echna maxim�ln� �e�en� rovnice
    $$
        y''' - 3y'' + 3y' - y = e^x.
    $$

    \textbf{�e�en�} Nejprve najdeme fundament�ln� syst�m rovnice.
    $$
        y''' - 3y'' + 3y' - 1 = 0:
    $$
    Charakteristick� polynom $M(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2 + 3\lambda - 1 = (\lambda - 1)^3$.\\
    Ko�eny: $\lambda = 1$ --- trojn�sobn�.\\
    Fundament�ln� syst�m: $\lbrace e^x, xe^x, x^2e^x \rbrace$.

    Partikul�rn� �e�en� hled�me podle v�ty o speci�ln� prav� stran�: prav� str�na rovnice je $e^{1\cdot x}$,
    $1$ je trojn�sobn�m ko�enem charakteristick�ho polynomu, proto �e�en� mus�me hledat ve tvaru $y = Kx^3e^{x}$:
    \begin{align*}
        (-1*) y &= Kx^3e^x\\
        (3*) y' &= Ke^x(x^3 + 3x^2)\\
        (-3*)y''&= Ke^x(x^3 + 3x^2 + 3x^2 + 6x)\\
            &= Ke^x(x^3 + 6x^2 + 6x)\\
        y'''    &= Ke^x(x^3 + 6x^2 + 6x + 3x^2 + 12x + 6)\\
            &= Ke^x(x^3 + 9x^2 + 18x + 6).
    \end{align*}
    Se�ten�m rovnic s p��slu�n�mi koeficienty (v z�vork�ch) dostaneme
    $$
        Ke^x(
           x^3 +  9x^2 + 18x + 6
        - 3x^3 - 18x^2 - 18x +
          3x^3 +  9x^2
        - x^3) =
        6K e^x,
    $$ tedy $K=\frac 16$ a m�me �e�en� rovnice:
    $$
        y = \frac 16 x^3e^x + Ae^x + Bxe^x + Cx^2e^x,\quad\text{kde }A, B, C\in\mathbb R.
    $$
