}
 \textbf{12.} Nalezn�te v�echna maxim�ln� �e�en� rovnice
    $$
        y'' - 2y' + y = \frac{e^x}{x^2}.
    $$

    \textbf{�e�en�} Fundament�ln� syst�m t�to rovnice je tvo�en funkcemi $e^x$ a $xe^x$. Pomoc� variace konstant najdeme
    partikul�rn� �e�en�:
    \begin{align*}
        y   &= C_1(x)e^x + C_2(x)xe^x\\
        y'  &= C_1(x)e^x + C_2(x)e^x(x-1) + \bigl(C'_1(x)e^x + C'_2(x)xe^x = 0\bigr)\\
        y'' &= C_1(x)e^x + C_2(x)e^x(x-2) + \left(C'_1(x)e^x + C'_2(x)e^x(x-1) = \frac{e^x}{x^2}\right)
    \end{align*}
    Dost�v�me dv� rovnice:
    $$
        C'_1(x)e^x + C'_2(x)xe^x = 0
    $$ a
    $$
        C'_1(x)e^x + C'_2(x)e^x(x-1) = \frac{e^x}{x^2}.
    $$
    Odtud spo��t�me $C_1 = \log \lvert x \rvert$ a $C_2 = \frac 1x$.
    �e�en�m tedy je
    $$
        y = e^x\log\lvert x \rvert + Ke^x + Lxe^x, \quad\text{kde }K, L \in \mathbb R.
    $$

    \textsl{Pozn�mka: Nev�m pro�, ale p�i dosazen� do rovnice funkce $y=e^x \log \lvert x \rvert$ dost�v�m na
    prav� stran� $-\frac{e^x}{x^2}$.}
