Jest spo��tati integr�l
$$
\int_{ \frac{x^{2}}{a^{2}}+  \frac{y^{2}}{b^{2}}\leq  1}^{}\dx\dy.
$$
Prozkoumejme doporu�enou substituci
\par\centerline{$ x=ar\cos \varphi , y=br\sin \varphi . $}
Tuto substituci dostaneme slo�en�m dvou substituc�:
$$
  \align
  x'&=r\cos \varphi \tag{$\alpha$}\\
  y'&=r\sin \varphi \\
  \intertext{(pol�rn� sou�adnice)}
  x&=ax'\tag{$\beta$}\\
  y&=by'\\
  \intertext{(line�rn� --- dokonce afinn� --- zobrazen�).}
  \endalign
$$
Pol�rn� sou�adnice, jak v�me, zobrazuj� regul�rn� a prost� mno�inu
\par\centerline{$M_{0}:=\{(r,\varphi );r>0, \varphi \in (0,2\pi )\}$} (obecn�ji mno�inu
\par\centerline
{$M_{\varphi _0}:=\{(r,\varphi );r>0, \varphi \in (\varphi
_{0},2\pi+\varphi _{0} )\})$} na mno�inu {$ \er_{2} $} bez nez�porn�
re�ln� poloosy (obecn�ji bez uzav�en�ho paprsku, kter� vych�z� z~po��tku
a sv�r� s~kladnou poloosou {$ \boldkey x $}) orientovan� �hel {$ \varphi
_0 $}, tedy bez mno�iny m�ry
nula, s~Jakobi�nem
$$
  \frac{\Cal D(x',y')}{\Cal D (r,\varphi )}=r.
$$
Zobrazen� \thetag{$ \beta  $} je line�rn� prost� (a tedy regul�rn�)
zobrazen� {$ \er_{2} $} na {$ \er_{2} $}, s~Jakobi�nem rovn�m {$
\frac{\Cal D(x,y)}{\Cal D (x',y' )}= ab. $} Toto zobrazen� zobrazuje
paprsek {$ \{x'\geq 0,y'=0\} $} na paprsek {$ \{x\geq 0,y=0\} $}
a slo�en� zobrazen� je tedy regul�rn� a prost� zobrazen� mno�iny {$
M_{0} $} na mno�inu {$ \er^{2} $} bez nez�porn� re�ln� poloosy. (Mno�inu {$
M_{\varphi _{0}}$} zobraz� rovn� na rovinu bez jednoho paprsku, ov�em
�hel, kter� tento paprsek sv�r� s~kladnou poloosou {$\boldkey x$},
nebude obecn� roven {$ \varphi _{0}. $})
\par Jakobi�n slo�en�ho zobrazen� je --- v~d�sledku v�ty o~tot�ln�m
 diferenci�lu slo�en� funkce --- sou�inem Jakobi�n� obou zobrazen�, je
 tedy roven {$ rab. $} (P�esv�d�te se p��m�m v�po�tem!) Podm�nka
 {$  \frac{x^{2}}{a^{2}}+  \frac{y^{2}}{b^{2}}\leq  1 $} p�ejde dosazen�m
 eliptick�ch sou�adnic v~podm�nku
 {$ r\leq 1; $} je tedy
 $$
   \int_{ \frac{x^{2}}{a^{2}}+  \frac{y^{2}}{b^{2}}\leq  1}^{}\dx\dy  =
   \int_{0<r\leq 1,0<\varphi <2\pi }^{}rab\dr\dpf=
   ab\int_{0}^{2\pi }\dpf\left( \int_{0}^{1}r\dr\right)=\pi ab.
$$
