\input amstex
\documentstyle{amsppt}
\parindent = 0 pt
\nopagenumbers
\overfullrule=0pt

\document
Ur�ete, pro kter� exponenty $p>0$ �ada $\sum\limits_{n=0}^\infty ({1 \over n^p})$ konverguje a pro kter� diverguje.



\subheading{�e�en�} Definujeme funkci $f(x)={1 \over x^p}$; plat�

$$ f(n)={1 \over n^p} \qquad (n=1, 2, 3, \dots)$$

a $f'(x)={-p \over x^{p+1}}$. Pro $x \in [1, + \infty)$ je $f'(x)>0$, a tedy funkce $f$ je klesaj�c� na intervalu $[1, + \infty)$. Pro $x>1$ d�le plat�:

$$\int\limits^x_1 f(t) dt = \int\limits^x_1 {1 \over t^p} = 
\cases 
{1 \over p-1} - {1 \over p-1} x^{1-p} & \text{$(p \ne 1)$,} \\
\ln x & \text{$(p=1)$.}
\endcases$$

Pro $p>1$ je 

$$\int\limits^\infty_1 f(t) dt=\lim\limits_{x \to\infty} \int\limits^x_1 f(t) dt = \lim\limits_{x \to\infty} \left( {1 \over p-1} - {1 \over p-1} x^{1-p} \right)= {1 \over p-1} - {1 \over p-1} \lim\limits_{x \to\infty} \left({1 \over x}\right)^{p-1}$$

co� se rovn� ${1 \over p-1}$ a tedy �ada $\sum\limits_{n=0}^\infty ({1 \over n^p})$ konverguje.

Pro $p=1$ dost�v�me


$$\int\limits^x_1 f(t) dt=\lim\limits_{x \to\infty} \int\limits^x_1 f(t) dt = \lim\limits_{x \to\infty} \ln x = + \infty$$

a tedy �ada $\sum\limits_{n=0}^\infty ({1 \over n^p})$ je divergentn�.


Pro $0<p<1$ je

$$\int\limits^\infty_1 f(t) dt=\lim\limits_{x \to\infty} \int\limits^x_1 f(t) dt = \lim\limits_{x \to\infty} \left( {1 \over p-1} - {1 \over p-1} x^{1-p} \right)= {1 \over p-1} - {1 \over p-1} \lim\limits_{x \to\infty} \left({1 \over x}\right)^{1-p}$$

co� se rovn� $+ \infty$ a dan� �ada pro $p \in (0,1)$ diverguje.












\enddocument