<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">Najděte $a,$ $b\in\R,$ aby $\lnul\frac{x - (a + b\cos x)\sin x}{x^4} = 0$.
\reseni Spočteme limitu pomocí Taylorova vzorce:
\begin{multline*}
    \lnul\frac{x - (a + b\cos x)\sin x}{x^4} =\\
   =\lnul\frac{x - \left(a + b - \frac{bx}2 + \frac{bx^2}{24} + b\cdot o(x^4)\right)\left(x-\frac{x^3}6 + o(x^4)\right)}{x^4}=\\
   =\lnul\frac{x - \left(x(a+b) + x^3\left(-\frac a6 -\frac{2b}3\right) + o(x^4)\right)}{x^4}=\\
   =\lnul\frac{x(1 - a - b) + x^3\left(\frac a6 + \frac{2b}3\right) + o(x^4)}{x^4}.
\end{multline*}
Tato limita se rovná nule právě tehdy, když koeficienty u $x$ a $x^3$ jsou rovny nule. Máme tedy řešit
následující soustavu rovnic:
%V TeXu není dobrý způsob pro zobrazení soustavy rovnic, proto musím použit ten nepřehledný:
\begin{align*}
    &amp;\left\lbrace\begin{aligned}
        1-a-b&amp;=0\\
        a + 4b&amp;=0
    \end{aligned}\right.\\
    &amp;\left\lbrace\begin{aligned}
        a &amp;= -4b\\
        1+3b&amp;=0
    \end{aligned}\right.\\
    &amp;\left\lbrace\begin{aligned}
        b&amp;=-\frac13\\
        a&amp;=-\frac43.
    \end{aligned}\right.
\end{align*}
</pre></body></html>