<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">Napište $T^{\tg x,\,0}_5$.

   \reseni Položme $f(x) = \tg x$. Podle Taylorovy věty je
   $$
      f(x) = \sum_{k=0}^5 \frac{f^{(k)}(0) \cdot x^k}{k!} + o(x^5).
   $$
   Máme tedy spočítat $k$-té derivace funkce $f$ v bodě $x_0=0$.
   \begin{align*}
      f'(x)    &amp;= \frac1{\cos^2 x}\\
      f''(x)   &amp;= \left(\frac1{\cos^2 x}\right)' = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}\\
      f'''(x)  &amp;= 2\left(\frac{\sin x}{\cos^3 x}\right)' =
               2\left(\frac{\cos^4x + 3\sin^2x\cos^2x}{\cos^6x}\right)=
               2\left(\frac1{\cos^2x} + \frac{3\sin^2x}{\cos^4x}\right)\\
      f^{(4)}(x) &amp;= 2\left(\frac{2\sin x}{\cos^3 x} +
               \frac{6\sin x\cos^5x + 12\cos^3x\sin^3x}{\cos^8x}\right)=\\
               &amp;=2\left(\frac{8\sin x}{\cos^3x} + \frac{12\sin^3x}{\cos^5x}\right)
               =8\left(\frac{2\sin x}{\cos^3x} + \frac{3\sin^3x}{\cos^5x}\right)\\
      f^{(5)}(x) &amp;= 8\left(\frac2{\cos^2x} + \frac{\dots}{\dots}\right)
   \end{align*}
   \textit{Poznámka k tečkám ve výpočtu poslední derivace: tyto tečky reprezentují výraz,
   ze kterého se dá vytknout $\sin x$ a který proto má pro $x=0$ hodnotu $0$. Následující
   derivace nepočítáme, nepotřebujeme počítat i tento výraz.}

   Teď můžeme spočítat koeficienty hledaného polynomu:
   \begin{align*}
      a_0 &amp;= \frac{f(0)}{0!} = 0\\
      a_1 &amp;= \frac{f^{(1)}(0)}{1!} = 1\\
      a_2 &amp;= \frac{f^{(2)}(0)}{2!} = 0\\
      a_3 &amp;= \frac{f^{(3)}(0)}{3!} = \frac 13\\
      a_4 &amp;= \frac{f^{(4)}(0)}{4!} = 0\\
      a_5 &amp;= \frac{f^{(5)}(0)}{5!} = \frac{16}{120} = \frac2{15}
   \end{align*}
   Hledaný polynom má tvar:
   $$
      T^{f,\,0}_5 = x + \frac{x^3}3 + \frac{2x^5}{15} + o(x^5).
   $$
</pre></body></html>