<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">Definici $s(x)$ je třeba rozumět tak, že k $x$ vytvoříme
posloupnost $x_0=1$, $x_1 = x ^1$, $x_2 = x^x = x^{x_1}$
\cdots $x_{n+1}= x ^{x_n}$ a položíme 
$s(x) := \lim _{n \to \infty} x_n$. 

Ověříme, že  $s(\sqrt{2}) = 2$.  Definujeme posloupnost
$x_0=1$, $x_{n+1}=\sqrt{2} ^{x_n}$. Ukážeme-li , že $x_n \to 2$ ,  pro $n \to \infty$,    pak bude 
tedy platit $s(\sqrt{2}) = 2$.
Posloupnost $x_n$ je definována pomocí  $x_{n+1}=f(x_n)$, kde $f$ je rostoucí funkce pro kladná $x$. Tedy
je  $x_n$  monotónní a má limitu (vlastní či nevlastní). Její limita je pevným bodem funkce $f$, to znamená
$f(x)=x$, což je splněno pro $2$, $4$, $+\infty$. Pro $x_0 \in (0,2)$ je posloupnost $x_n$ rostoucí
k $2$,  pro $x_0 \in (2,4)$ je posloupnost $x_n$ klesající k  $2$, pro   $x_0 =4$ nebo$x_0 =2$  
je posloupnost $x_n$ konstantní, pro $x_0 \in (4, \infty)$ je posloupnost $x_n$ rostoucí k $+\infty$. 
Nakreslete si obrázek  . 

Máme $x_n \to 2$ ,  pro $n \to + \infty$ a $x_0=1$, ,  tedy  $s(\sqrt{2} = 2$. Ferdův výsledek je správný.
Jestliže  $s(x) = 4$, pak $s(x) = x^{s(x)} = x^4=4$,  tedy   $x = \sqrt{2}$, ale $s(\sqrt{2}) = 2$. Tedy 
neexistuje takové $x$ o kterém vyprávěl Pytlík.

Zkusme, pro která $t$ je možné získat výsledek $s(x)=t$. Jestliže $s(x)=t$, je 
$s(x) = x^{s(x)} = x^t=t$, tedy $x:=t^{1/t}$ . Pro $t \in [1,e]$  sestrojme posloupnost 
$x_0=1$,  $x_{n+1}= (t^{1/t}) ^{x_n}$. Je opět monotónní a konverguje 
k nejmenšímu pevnému bodu  $x= (t^{1/t}) ^x$ 
ležícímu v $[1,t]$ (průsečík grafů dvou funkcí)  , tedy k $t$.
Tedy  $s( t^{1/t} )=t$.  

Pro $t &gt;e$ je $t^{1/t} &lt; e^{1/e}$ (viz průběh funkce $y^{1/y}$ na $[1,\infty)$,
extrém v $e$), tedy existuje pomocné $u \in (1,e)$
tak, že $u^{1/u} = t^{1/t}$. Pokud definujeme posloupnost opět
 $x_0=1$,  $x_{n+1}= (t^{1/t}) ^{x_n}$, je vlastně identická s
$x_0=1$,  $x_{n+1}= (u^{1/u}) ^{x_n}$, tedy konverguje k $u$ (ne k $t$!) . 

Tedy $s(x)=t$ má řešení $x=t^{1/t}$ pro $t \in [1,e]$. Pro $t&gt;e$ nemá řešení.
Ferda může definovat  funkci $s(x)= \infty$ pro $x&gt; e^{1/e} \doteq 1.44$.

( podle [Newman], problem 82 )



</pre></body></html>