\font\bbf=cmb10 scaled \magstep 4
\def\ctverecek{\vbox{\hrule
                     \hbox{\vrule\hskip 6pt\vbox to 6pt{}\vrule}
                     \hrule}
              }

\centerline{\vbox{\hbox{\bbf Probl\' emek}
                  \vskip 2pt
                  \hrule depth 2pt}}

\vskip 1cm
\bf Zad\' an\' \i : \it Necht' jsou v\v echny t\v ri strany troj\' uheln\'
                    \i ka i jeho obsah p\v rirozen\' a \v c\' \i sla. Potom
                    je obsah troj\' uheln\' \i ka d\v eliteln\' y \v sesti.

\vskip 1cm
\bf \v Re\v sen\' \i : \rm Pomoc\' \i\ kosinov\' e v\v ety
                          $$c^2\ =\ a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma$$
                       a vzorce pro obsah troj\' uheln\' \i ka
                          $$S\ =\ {ab\sin\gamma \over 2}$$
                       snadno odvod\' \i me n\' asleduj\' \i c\' \i\ vzorec :
                          $$S = {1 \over 4}\sqrt{4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)
                                ^2}$$

       Uka\v zme nejprve, \v ze $S$ je d\v eliteln\' e dv\v ema.
       P\v redpokl\' ad\' ame, \v ze $n = a^2b^2 - {1 \over 4}(a^2 + b^2 -
       c^2)^2$ je d\v eliteln\' e \v cty\v rmi a je \v ctvercem
       p\v rirozen\' eho \v c\' \i sla, a chceme uk\' azat, \v ze $n$ je
       d\v eliteln\' e osmi. ($n$ lze t\' e\v z ps\' at ve tvaru $n=
       {1 \over 4}(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c+b-a)$.)
       \v C\' \i slo $a^2 + b^2 - c^2$ je d\v
       eliteln\' e dv\v ema,
       a proto : jsou-li \v c\' \i sla $a$ i $b$ sud\' a, je i $c$
       sud\' e, je-li pr\' av\v e jedno z \v c\' \i sel $a$, $b$ sud\' e
       (bez \' ujmy na obecnosti necht' je to $a$), je $c$ lich\' e, a
       jsou-li $a$, $b$ lich\' a \v c\' \i sla, mus\' \i\ b\' yt $c$ sud\' e.
       Rozeberme tyto t\v ri p\v r\' \i pady:
       \par {\bf 1) \rm $a=2k$, $b=2l$, $c=2m$. Potom
         $$n=4[4k^2l^2-(k^2+l^2-m^2)^2]$$
       V\' yraz v hranat\' e z\' avorce je kvadr\' at
       p\v rirozen\' eho \v c\' \i sla.
       Av\v sak kvadr\' at p\v rirozen\' eho \v c\' \i sla je bud' \v c\' \i
       slo tvaru $4s$ nebo $4s+1$. Tedy $(k^2+l^2-m^2)^2$ je tvaru $4s$ a
       $n$ je d\v eliteln\' e osmi.

       \bf 2) \rm $a=2k$, $b=2l+1$, $c=2m+1$. V tomto p\v r\' \i pad\v e
       plat\' \i\ (vyu\v zijeme druh\' eho vyj\' ad\v ren\' \i\ $n$):
         $$n=4(k+l+m+1)(k+l-m)(m+k-l)(m+l-k+1)$$
       Zde je ov\v sem rozd\' \i l prvn\' \i ch dvou z\' avorek $2m+1$, co\v z
       je lich\' e \v c\' \i slo. Tedy $n$ je d\v eliteln\' e osmi.

       \bf 3) \rm $a=2k+1$, $b=2l+1$, $c=2m$. V tomto p\v r\' \i pad\v e
       dost\' av\' ame (op\v et s vyu\v zit\' \i m druh\' eho vzorce pro $n$):
         $$n=4(k+l+m+1)(k+l-m+1)(m+k-l)(m+l-k)$$
       Zde je rozd\' \i l prvn\' \i\ a t\v ret\' \i\ z\' avorky lich\' e
       \v c\' \i slo $2l+1$, a tedy $n$ je d\v eliteln\' e osmi.

\bigskip
       Nyn\' \i\ uk\' a\v zeme, \v ze $S$ je d\v eliteln\' e t\v remi, tedy
       \v ze $m=4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2$ je d\v eliteln\' e t\v remi.
       Jeliko\v z $S$ je kvadr\' atem p\v rirozen\' eho \v c\' \i sla, je
       tvaru $3k$ nebo $3k+1$. Podobn\v e je tomu pro $4a^2b^2$ a $(a^2
       +b^2-c^2)^2$. Proto jedinou mo\v znost\' \i , jak by mohlo $m$ b\' yt
       tvaru $3k+1$ je, \v ze $4a^2b^2$ je tvaru $3l+1$ a $(a^2+b^2-c^2)^2$
       je tvaru $3m$. Z podm\' \i nky na $4a^2b^2$ dost\' av\' ame, \v ze
       $a^2=3s+1$ a $b^2=3t+1$, av\v sak potom by podle podm\' \i nky na
       $(a^2+b^2-c^2)^2$ muselo b\' yt $c^2$ tvaru $3u+2$, co\v z nen\' \i
       \ mo\v zn\' e. Tedy $S$ je d\v eliteln\' e t\v remi.
       \hfill\ctverecek

\bye
