Nechť a1 < a2 < ... < an. 
Pak máme následující posloupnost rostoucích součtů: 

a1 < a2 < ... < an                             n součtů 
a1+an < a2+an < ... < an-1+an                  n-1 součtů  
a1+an-1+an < a2+an-1+an < ... < an-2+an-1+an   n-2 součtů  
...    
a1 + a2 + ... + an                             1 součet  


A celkově je jich  1+2+ ... +n = n(n+1)/2. 



\documentstyle[11pt]{article}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
{\bf Pouźka.} Nechś ${\bf{M}\subset\bf{Z}}$ je koneźn  nepr zdn 
podmno§ina celěch źˇsel, tak §e $n$ znaźˇ poźet prvk… ${\bf M}$.
Nechś d le ${\bf P}$ je syst‚m vçech podmno§in ${\bf{M}}$ kromŘ pr zdn‚
mno§iny a
$ {\bf S}:=\{ s\in{\bf Z};s=\sum_{p\in{\bf P}}p \} $ (d le v~textu ýˇk me,
§e {\bf S} je tvoýena souźty prvk… {\bf P}). Pak platˇ, §e
poźet prvk… ${\bf S}$ je alespoĺ $(n^2+n)/2$.
\par
{\bf D…kaz.} Postupujme indukcˇ tak, §e v~$n$-t‚m indukźnˇm kroku budeme
uva§ovat $n$-prvkovou mno§inu ${\bf M}$.
\par
Prvnˇ krok:Nechś ${\bf M}$ poz…st v  z~jednoho prvku $z$. Pak
${\bf P}=\{z\}$, {\bf S}=\{z\}, tedy poźet prvk… ${\bf S}$ je 1 a
tedy vskutku platˇ uveden  pouźka.
\par
$n$-tě krok: Pýedpokl dejme, §e pouźka platˇ pro vçechny mno§iny
${\bf M}$, kter‚ majˇ $n-1$ prvk…. Podle vzorce
${\sum_{i=1}^n}i=(n^2+n)/2$ staźˇ uk zat, §e pýid nˇm $n$-t‚ho prvku
do mno§iny {\bf M} zvŘtçˇme poźet prvk… mno§iny ${\bf S}$ alespoĺ o~$n$.
D le nechś prvek $z_n$, kterě pýid v me, je vŘtçˇ, ne§ kterěkoliv prvek,
kterě mno§ina zatˇm obsahuje.
\par
Nynˇ najdeme mno§iny, kter‚ zvŘtçˇ poźet prvk… mno§iny {\bf S}.
Mno§ina ${\bf P}$ obsahuje prvek
$A:=\{z_1,z_2,...,z_{n-1}\}$, kterě obsahuje n-1 prvk…. Definujeme-li
$B$ jako $A$  sjednocenou s~$\{z_n\}$, pak platˇ, §e soupis
$$B,B-\{z_1\},B-\{z_2\},...,B-\{z_{n-1}\}$$ jsou mno§iny, jejich§ souźty jsou
vz jemnŘ r…zn‚ a z roveĺ nepatýˇ do {\bf S}. To, §e jsou r…zn‚ plyne
z~r…znosti źlen… $z_i$.
Nepatýˇ do ${\bf S}$, proto§e nejvyççˇ prvek mno§iny ${\bf S}$ je tvoýen
souźtem mno§iny $A$, pýiźem§ libovolně źlen soupisu m  evidentnŘ
vŘtçˇ souźet (to plyne z~pýedpokladu, §e $z_n$ je vŘtçˇ ne§ $z_i$ pro vçechna
$i=1..n-1$). Tedy ka§dě źlen soupisu bude po provedenˇ $n$-t‚ho
kroku nověm prvkem mno§iny {\bf S} a soupis m  pr vŘ $n$ źlen…,
źˇm§ je tvrzenˇ dok z no...tedy alespoĺ douf m.


\end{document}