<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\subsubsection {}
Nechť $M\subset\Bbb R$ je aspoň
dvouprvková,
$f:M\to\Bbb R$. Platí vždy :

a) $f$ je nerostoucí na $M$ $\Rightarrow$ $f$ není
rostoucí na
$M$ ?

b) $f$  není rostoucí na $M$ $\Rightarrow$ $f$ je
nerostoucí na
$M$ ?

c) ($f$  není rostoucí na žádné dvouprvkové
$A\subset M$)
$\Rightarrow$
$f$ je nerostoucí na $M$ ?



\subsubsection {}
Nechť $f_1,f_2:(0,1)\to\Bbb R$ jsou
rostoucí
funkce a $g_1,g_2:\Bbb R\to(0,1)$ jsou klesající.
Které z
následujících funkcí jsou vždy
monotónní ?

(i) $g_1\circ f_2\circ g_2\circ f_1$,\quad (ii)
$\max(f_1,f_2)\circ g_1\circ (f_1+f_2)$,\quad (iii)
$(f_1f_2)\circ g_1$,

(iv) $(g_1g_2)\circ\min(f_1,f_2)$.



\subsubsection {}
Přeformulujte co nejjednoduššeji
($a,A\in\Bbb
R$):

(i) $(\forall \varepsilon &gt;0)(\exists K&gt;0)(\exists \delta&gt;0)(\forall
x)(x\in P_\delta(a)\Rightarrow\vert f(x)-A\vert &lt; K \varepsilon)$,\quad

(ii) $(\exists\delta&gt;0)(\forall \varepsilon &gt;0)(\forall x\in\Bbb R)
 (x\in P_\delta(a)\Rightarrow\vert f(x)-A\vert &lt; \varepsilon )$.


\subsubsection {}
Najděte reálnou část čísla

$1+2(\cos\frac\pi3 +
i\sin\frac\pi3)+4(\cos\frac{2\pi}3+i\sin\frac{2\pi}3)+\dots+ 2^{100}
(\cos\frac{100\pi}3+i\sin\frac{100\pi}3).$

\subsubsection {}
Nechť $f(x)={2\sqrt x\over 4-\sqrt x}$. Nalezněte $D_f,\,
H_f,\, f^{-1}$. 

\subsubsection {}
Nechť $\varphi:&lt;0,\infty)\to&lt;1,\infty)$ je bijekce a
$\psi(x)=\sqrt{\varphi^2(x)-1}$. Dokažte, že existuje inverzní funkce
$\psi^{-1}$, a vyjádřete ji pomocí $\varphi^{-1}$. Co je
$D_{\psi^{-1}}$? 

\subsubsection {}
 Nechť $f:\Bbb C\to\Bbb C,\,g:\Bbb C\to\Bbb C,\, f(z)=z+2\bar
z,\, g(z)=a(2\bar z-z)$. Existuje $a\in\Bbb C$, pro které $g=f^{-1}$ ?


\subsubsection {}
Platí výrok
$(\exists M\subset\Bbb R)(\exists! f:M\to\Bbb R)(\forall x\in\Bbb
R)(x\ne 0\Rightarrow f(x+\frac1x)=g(x)),$

je-li
$a)\,g(x)=\sin x+\sin\frac1x,\quad b)\,g(x)=\sqrt{x^2+1},\quad c)\,g(x)=
{x^{16}+1\over x^8}$ ?

Pokuste se charakterizovat všechny funkce $g$, pro které uvedený výrok
platí.

\subsubsection {}
$\matrix \mbox{Platí výroky} &amp;
(1)\, (\exists M\subset\Bbb R)(\exists! f:M\to\Bbb R)(\forall x\in\Bbb
R)(f(x^2-2x)=g(x)),        \\
&amp;(2)\, (\exists M\subset\Bbb R)(\exists! f:M\to\Bbb R)(\forall x\in\Bbb
R)(f(x-\vert x\vert)=g(x)),\endmatrix$


je-li
$a)\,g(x)=\cos(1-x),\quad b)\,g(x)=\sin(1-x)\quad c)\,g(x)=\max(x,0),$

$d)\,g(x)= \max(-x,0)$ ?

Pokuste se charakterizovat všechny funkce $g$, pro které uvedené výroky
platí.


</pre></body></html>