Lineární rovnice a matice

Máme-li zadány lineární rovnice, mùžeme je pomocí Maplu snadno pøevést na maticový tvar:

> rovnice := {2*x+3*y+z=1,x+3*y=0,x+y+z=3};

> K := genmatrix(rovnice,[x,y,z],flag);

Parametr flag urèuje, že se do matice dopíše i sloupec pravých stran. Nicménì je praktiètìjší parametr flag nahradit jménem promìnné do které chceme uložit vektor pravých stran:

> K := genmatrix(rovnice,[x,y,z],'l');

> print(l);

> augment(K,l);

Maple to umí i nazpátek - z matic do rovnic:

> geneqns(K,[x,y,z],l);

Tohle byly jen takové hraèièky, aby se nám lépe poèítalo, teï budeme rovnice øešit. Balíèek linalg na to obsahuje speciální funkci linsolve. Její výhodou je, že si slušnì poradí i v pøípadì nekoneènì mnoha øešení a vypíše pøíslušné vektory, generující prostor všech øešení. Navíc lze jako její parametry zadávat rovnice v maticovém tvaru a ušetøit si práci s vypisováním všech promìnných. Následující rovnici tak napíšu už jen maticovì:

> A:= matrix(4,4,[[1,2,3,-1],[1,-1,1,2],[1,5,5,-4],[1,8,7,-7]]);

> b := vector(4,[0,4,-4,-8]);

> linsolve(A,b);

Jak snadno z tohohle dostat standartní tvar øešení tj. souèet jednoho øešení a lineárního prostoru øešení homogení rovnice? Nejdøíve použijeme zajímavou funkci nullspace, která nám dodá øešení homogení rovnice , tedy spoèítá Ker f, kde f je homomorfismu daný maticí A.

> reseni_homogeni := nullspace(A);

Teï už staèí do zjištìného parametrického øešení dosadit jen nuly za a _ {respektive jakékoli jiné konstanty, pokud nás to baví poèítat) a dostat vektor øešení [6,0,-2,0].

Pomocí funkce linsolve mùžeme též hledat matice pøechodu, tedy takovou matici X aby pro matice A a B platilo AX = B.

> A := matrix(3,3,[[5,-9,5],[1,-2,1],[2,3,3]]);

> B := matrix(3,3,[[1,-1,2],[0,2,-1],[1,0,1]]);

> linsolve(A,B);

> gausselim(A);

Gaussovu eliminaci mùžeme provádìt i v tìlesech s celoèíselným dìlením mod n - . Dìlá se to pomocí ekvivalentního pøíkazu Gausselim, který dokonce není z balíèku linalg.

> Gausselim(A) mod 5;

Maple umí i další úpravy, jsou to pøedevším rùzné modifikace Gaussovy eliminace, dále se pokouší upravovat i hermitovsky (bohužel podle mì ne moc užiteèným zpùsobem) viz. pøíslušné helpy na : ffgausselim , gaussjord , ismith , ihermite .