Matematická analýza II

(Dalibor Pražák -- LS 2025/26)

Závěrečné poznámky k určitému integrálu. Rovnost N.i. a R.i. Newton-Leibnizova formule. Per-partes a věta o substituci pro Newtonův integrál (bez důkazu). Příklady.

10. Řady.

Řada, posloupnost částečných součtů, součet řady. Geometrická řada, harmonická řada. Terminologie: řada konverguje/diverguje/osciluje. Nutná podmínka konvergence řady. Změna konečně členů nemění konvergenci. p1 (17. února) ↵ Aritmetika řad. Řada s nezápornými členy konverguje, právě když posloupnost částečných součtů je omezená. Srovnávací kritérium (nelimitní verze). Podílové kritérium. Odmocninové kritérium (b.d.). Integrální kritérium. Příklady. p2 (19. února) ↵ Srovnávací kritérium (limitní verze). Příklady. Raabeho kritérium. Řady s komplexními členy. Bolzano-Cauchyho podmínka konvergence řady. p3 (24. února) ↵ Absolutní konvergence implikuje konvergenci. Leibnizovo kritérium (prozatím b.d.) Absolutně/neabsolutně konvergentní řada. Řady s omezenými částečnými součty; příklady. Abelova parciální sumace. Dirichletovo kritérium. p4 (26. února) ↵ Abelovo kritérium. Omezenost částečných součtů ∑sin(kx), ∑cos(kx). Přerovnání absolutně konvergentní řady nemění součet. p5 (3. března) ↵ Neabsolutně konvergentní reálnou řadu lze přerovnat k libovolnému součtu. Cauchyův součin řad.

11. Mocninné řady.

Mocninná řada - koeficienty, střed. Poloměr konvergence. Kruh konvergence, kružnice konvergence. Věty o výpočtu poloměru konvergence. p6 (5. března) ↵ Formální derivování/integrování řady člen po členu nemění poloměr konvergence. Věta o derivování mocninné řady člen po členu. Důsledky: součet mocninné řady je funkce v kruhu konvergence nekonečně diferencovatelná (dokonce podle komplexní proměnné), a má zde primitivní funkci. p7 (10. března) ↵ Aplikace: zavedení funkce exp, sin a cos mocninnou řadou. Vztah mezi koeficienty mocninné řady a derivací jejího součtu. Taylorův polynom celého součtu je částečný součet. Dvě mocninné řady se stejným součtem mají stejné koeficienty.

12. Diferenciální rovnice.

ODR 1. řádu. Pojem řešení. Lineární ODR 1. řádu. p8 (12. března) ↵ Bernoulliho rovnice. Rovnice se separovanými proměnnými. Homogenní rovnice. Příklady. Věty o lokální existenci a jednoznačnosti řešení (bez důkazu). p9 (17. března) ↵ Lemma o napojování řešení. Geometrický význam řešení. Bod větvení. Prodloužení řešení. Maximální řešení. Obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu. Pojem řešení. Systém n rovnic 1. řádu vs. jedna rovnice řádu n, jejich vzájemné převedení (d'Alembertova transformace). Lineární rovnice řádu n. Věta o (globální) existenci a jednoznačnosti řešení (bez důkazu.) Operátorový zápis. Homogenní úloha. p10 (19. března) ↵ Struktura řešení lineární rovnice. Fundamentální systém (F.S.) Regularita Wronského matice. Partikulární řešení a jeho nalezení metodou variace konstant. Lineární rovnice s konstantními koeficienty. Charakteristický polynom. p11 (24. března) ↵ Polynom, kořen, násobnost - opakování. Nalezení F.S. pro rovnici s konstantními koeficienty. Poznámka o komplexních kořenech. Příklady. p12 (26. března) ↵ Partikulární řešení pro speciální pravou stranu. Příklady.

13. Metrické prostory.

Metrický prostor. Normovaný lineární prostor jako speciální případ metrického prostoru. Příklady: normy v R^k a v C([a,b]). Okolí bodu. Otevřená a uzavřená množina. Příklady v R. Zachování otevřenosti a uzavřenosti při průniku a sjednocení. p13 (31. března) ↵ Limita posloupnosti. Ekvivalentní vyjádření uzavřenosti pomocí limit posloupnosti. Uzávěr množiny a jeho vlastnosti. p14 (2. dubna) ↵ Hranice množiny a její vlastnosti. Příklady. Vnitřek a vnějšek množiny; doplňující poznámky bez důkazů. Spojitost funkce. Definice, vyjádření pomocí otevřenosti/uzavřenosti vzorů. Heineho charakterizace spojitosti pomocí posloupností. p15 (7. dubna) ↵ Příklady. Podprostor m.p. (Bez důkazu: složení spojitých funkcí je spojitá funkce. Součet, rozdíl, součin a podíl reálných spojitých funkcí je spojitá funkce. Limita funkce v bodě; izolovaný bod, hromadný bod. Heineho charakterizace limity funkce v bodě. Spojitost funkce v bodě, její vztah k limitě.) Posloupnost, podposloupnost, hromadný bod. Omezená množina. Kompaktní množina a její vlastnosti. Spojitý obraz kompaktu je kompakt. Spojitá reálná funkce na kompaktu je zde omezená a nabývá maxima a minima. p16 (9. dubna) ↵ Cauchyovská posloupnost. Konvergentní posloupnost je Cauchyovská. Pojem: úplný metrický prostor. Lipschitzovské zobrazení, kontrakce. Banachova věta o pevném bodě. p17 (15. dubna) ↵ --- Fakta, týkající se speciálně R^n: Opakování: skalární součin, pomocí něj vytvořená norma. Cauchy-Schwartzova nerovnost. Posloupnost bodů v R^N konverguje v normě, právě když konvergují jednotlivé složky. Množina v R^N je kompaktní, právě když je omezená a uzavřená. Prostor R^N je úplný. Banachův a Hilbertův prostor.

14. Funkce více proměnných.

Skalární součin, norma a metrika v R^N. Spojitost funkcí funkcí z R^N do R^M. Příklady: lineární funkce, polynomy jsou spojité. Parciální derivace, derivace ve směru. Totální diferenciál. Nespojitá funkce, mající parciální derivace. p18 (17. dubna) ↵ Existence t.d. implikuje spojitost a existence derivací ve směru. Reprezentace t.d. gradientem. Omezenost parc. derivací implikuje spojitost funkce, spojitost parc. derivací implikuje existenci t.d. Řetízkové pravidlo. p19 (21. dubna) ↵ Totální diferenciál součtu a složeného zobrazení. Uzavřená o otevřená úsečku v R^N. Konvexní množina. Věta o střední hodnotě ve více proměnných. Derivace vyšších řádů. Funkce třídy C^k. p20 (23. dubna) ↵ Záměnnost pořadí parciálních derivací. Taylorův rozvoj funkce více proměnných 2. řádu včetně tvaru zbytku. Multiindex a rozvoje obecně n-tého řádu. Multinomická věta (bez důkazu). p21 (28. dubna) ↵ Lokální a globální extrém funkce vzhledem k množině. Nutná podmínka extrému vůči kruhovému okolí. Kvadratická forma, definitnost formy, Sylvestrovo pravidlo. Hessova matice. Postačující podmínka na lokální extrém. Geometrická interpretace gradientu: vrstevnice, spádnice. Vázané extrémy, věta o Lagrangeových multiplikátorech (jedna vazba - zatím b.d.). Existence globálních extrémů. p22 (30. dubna) ↵ Dokončení předchozí věty. Příklad: obvod přístěnku. Věta o Lagrangeových multiplikátorech -- více vazeb (bez důkazu). Věta o implicitní funkci -- 1. verze (náčrt důkazu). Věta o implicitní funkci -- obecná verze (znění věty). Poznámka o výpočtu derivací implicitně zadané funkce. p23 (5. května) ↵ Důkaz věty o multiplikátorech (s jednou vazbou). Obecná verze VoIF -- důkaz. p24 (7. května) ↵ Věta o inverzní funkci. Příklady. p25 (12. května) ↵ Příklad: AG nerovnost jako úloha na vázaný extrém. Heuristické poznámky ke gradientu a multiplikátorům.

15. Variační počet.

Variační počet: motivační úlohy. Terminologie: funkce, funkcionál, operátor. Gateauxův a Fréchetův diferenciál funkcionálu. Nutná podmínka lokálního extrému. Prostory funkcí C, C^1 a C^1_0. Základní úloha (U) variačního počtu. Gateauxův diferenciál úlohy (U). p26 (14. května) ↵ Konstrukce seřezávací funkce. Lemma o slabé formulaci. Euler-Lagrangeova rovnice úlohy (U). Extremála. Konvexní funkce/funkcionál, Jensenova nerovnost. p27 (19. května) ↵ Postačující podmínky konvexity; aplikace na úlohu (U). Lemma o zjednodušení E.L. rovnice. Variační úloha (V) s (jednou) vazbou. Lagrangeova podmínka. Příklady. p28 (21. května) ↵