Matematická analýza I

(ZS 2025)

1. Úvod. Reálná čísla.

Reálná čísla: algebraické vlastnosti, uspořádání. Přirozená, celá, racionální čísla. Intervaly. Absolutní hodnota. Trojúhelníková nerovnost. Odmocnina. Vlastnosti přirozených čísel. Archimédova vlastnost, princip indukce. p1 (29. září) ↵ Existence iracionálních čísel. Každý interval obsahuje nekonečně racionálních i iracionálních čísel. Maximum, minimum, horní odhad, dolní odhad. Omezená množina. Supremum, infimum. Věty o existenci suprema/infima. Rozšířená reálná čísla, početní operace s nekonečnem. Funkce, obraz a vzor množiny. Funkce prostá, na, inverzní. Složené zobrazení, definiční obor, obor hodnot. p2 (1. října) ↵

2. Reálné funkce. Limita a spojitost.

Reálná funkce: (ne)rostoucí, (neklesající), (ryze) monotónní. Funkce sudá, lichá a periodická. Funkce omezená (shora, zdola). Okolí (kruhové, prstencové, levé, pravé) bodu. Hausdorffův princip oddělení. Limita funkce v bodě. Vlastnosti a příklady. Jednoznačnost limity. Dirichletova funkce nemá limitu. p3 (6. října) ↵ Limita zleva a zprava. Funkce signum. Vztah limity a jednostranných limit. Funkce s vlastní limitou je omezená, funkce s nenulovou limitou je odražená od nuly na jistém okolí. Aritmetika limit - vlastní verze. p4 (8. října) ↵ Funkce omezená krát funkce jdoucí do nuly jde do nuly. Spojitost funkce v bodě. Vztah limity a spojitosti. Spojitost polynomu, racionální funkce, odmocniny a elementárních funkcí (sin, cos, exp) - bez důkazu. Věta o limitě složené funkce. Protipříklad. Aritmetika limit - obecná verze. Příklady. p5 (13. října) ↵ Příklady: spojitost třetí odmocniny; funkce spojitá všude kromě jednoho bodu; funkce spojitá jen v jednom bodě. Příklady na VoLSF. Důkaz obecné verze VoAL. Limita typu jedna děleno nula zprava, resp. zleva. p6 (15. října) ↵ Převedení limity v nekonečnu k nule. Zachování nerovností v limitě. Věta o dvou policajtech. Existence limity pro monotonní funkci. Spojitost v bodě zleva a zprava. p7 (20. října) ↵ Souvislost s limitou a oboustrannou spojitostí. Spojitost v intervalu (obecně na množině). Vnitřní a krajní bod intervalu. Vztah mezi spojitostí funkce na intervalu a spojitostí v bodě. Zachování spojitosti při aritmetických operacích a skládání funkcí. Darbouxova věta. p8 (22. října) ↵ Důsledek: spojitý obraz intervalu je interval. Věta o spojitosti inverzní funkce. Důkaz věty o existenci odmocniny. Poznámka o funkcích z R do C: limita, spojitost.
3. Elementární funkce.
Funkce sin, cos, ln, exp a jejich základní vlastnosti. Obecná mocnina. Funkce arcsin, arccos, tg, arctg. Definice elementární funkce. Příklady. (Nepřednášeno - samostudium, viz prezentace na úložišti.)

4. Derivace.

Definice derivace. Příklady: derivace elementárních funkcí. p9 (27. října) ↵ Derivace zleva, zprava, vztah k oboustranné derivaci. Existence vlastní derivace implikuje spojitost. Derivace součtu, rozdílu, součinu, podílu. Příklady. p10 (29. října) ↵ Derivace složené funkce. Derivace inverzní funkce. Příklady: arcsin, arctg, odmocnina.

5. Primitivní funkce.

Definice primitivní funkce. Příklady. p11 (3. listopadu) ↵ Linearita integrálu. Integrování per-partes. První věta o substituci. Druhá věta o substituci. Příklady. Lepení primitivních funkcí. p12 (5. listopadu) ↵ Rozklad polynomů. Rozklad racionální funkce na parciální zlomky a jejich integrace. Typové substituce. (Nepřednášeno - samostudium, viz prezentace na úložišti.)

6. Hlubší vlastnosti derivace a spojitosti.

Funkce spojitá v bodě je omezená na nějakém okolí. Funkce spojitá na omezeném a uzavřeném intervalu je na něm omezená, a nabývá zde maxima a minima. Lokální a globální extrémy. Vztah derivace k extrému. Příklady. Rolleova věta o střední hodnotě. p13 (10. listopadu) ↵ Lagrangeova věta o střední hodnotě. Výpočet derivace limitou. Příklady. Lemma o lepení primitivní funkce. l'Hospitalovo pravidlo. Příklady. Cauchyho věta o střední hodnotě. p14 (19. listopadu) ↵ l'Hospitalovo pravidlo - důkaz. Derivace spojité funkce má Darbouxovu vlastnost (bez důkazu). Znaménko derivace a monotonie. Funkce (ryze) konvexní, (ryze) konkávní. Ekvivalentní vyjádření konvexity. Monotonie derivace a konvexita. p15 (24. listopadu) ↵ Znaménko druhé derivace a konvexita. Inflexní bod.

7. Posloupnosti.

Posloupnost. Limita posloupnosti. Konvergentní posloupnost. Ekvivalentní vyjádření limity. Bez důkazu: aritmetika limit, zachování nerovnosti, věta o dvou policajtech (verze pro posloupnosti). Omezená a monotonní posloupnost. Konvergentní posloupnost je omezená. Monotonní posloupnost má vždy limitu; je-li navíc omezená, pak konverguje. p16 (26. listopadu) ↵ Hromadný bod posloupnosti. Posloupnost vybraná. Ekvivalentní vyjádření hromadného bodu. Bolzano-Weierstrassova věta: každá omezená posloupnost má v R hromadný bod. Bolzano-Cauchyho podmínka konvergence. p17 (1. prosince) ↵ Důkaz B-C podmínky. Heineho věty: charakterizace limity v bodě a spojitosti v bodě; charakterizace spojitosti v intervalu pomocí posloupností. Alternativní důkazy Věty 6.1 a 6.2 p18 (3. prosince) ↵

8. Taylorův polynom.

Derivace vyšších řádů. Funkce třídy C^n. Malé ó, velké ó, řádová rovnost. Taylorův polynom funkce v bodě. Příklady. Aproximační vlastnost Taylorova polynomu. p19 (8. prosince) ↵ Derivování a integrování Taylorova polynomu. Operace s malým ó u nuly. Výpočty limit pomocí Taylorova polynomu. p20 (10. prosince) ↵ Odhad zbytku po Taylorově polynomu. Příklad: aproximace exponenciály polynomem.

9. Riemannův integrál.

Určitý integrál: geometrický význam, očekávané vlastnosti. Zobecněný přírustek funkce. Newtonův integrál. Dělení intervalu. Horní a dolní součet, horní a dolní Riemannův integrál. Definice Riemannova integrálu. p21 (15. prosince) ↵ Lemma: funkce s nulovou derivací je konstantní. Důsledek: jednoznačnost primitivní funkce, korektnost definice Newtonova integrálu.

X. Spočetné množiny. Číselné obory.

Spočetná množina. Kartézský součin, potenční množina. Příklady spočetných množin. Spočetné sjednocení spočetných množin je spočetná množina. Nespočetnost reálných čísel. množina všech podmnožin přirozených čísel je nespočetná. Číslo: algebraické, konstruovatelné, transcendentní, vyčíslitelné; vztahy a příklady. Existence nevyčíslitelných čísel. Zjemnění dělení. Vlastnosti těchto pojmů. Nutná a postačující podmínka existence R.i. Monotonní, omezená funkce má R.i. Názorný význam Riemannova integrálu. Funkce spojitá na omezeném, uzavřeném intervalu je na něm stejnoměrně spojitá. Spojitá funkce má Riemannův integrál. Aproximace R.i. při rovnoměrném dělení intervalu. Příklady: signum, Dirichletova funkce. Linearita a intervalová aditivita R.i. Monotonie R.i., odhad absolutní hodnoty. Riemannův integrál s proměnnou horní mezí. Důsledky: existence primitivní funkce pro spojitou funkci; rovnost Newtonova a Riemannova integrálu pro spojitou funkci na omezeném, uzavřeném intervalu; základní věta analýzy.