Matematická analýza I

(ZS 2025)

1. Úvod. Reálná čísla.

Reálná čísla: algebraické vlastnosti, uspořádání. Přirozená, celá, racionální čísla. Intervaly. Absolutní hodnota. Trojúhelníková nerovnost. Odmocnina. Vlastnosti přirozených čísel. Archimédova vlastnost, princip indukce. p1 (29. září) ↵ Existence iracionálních čísel. Každý interval obsahuje nekonečně racionálních i iracionálních čísel. Maximum, minimum, horní odhad, dolní odhad. Omezená množina. Supremum, infimum. Věty o existenci suprema/infima. Rozšířená reálná čísla, početní operace s nekonečnem. Funkce, obraz a vzor množiny. Funkce prostá, na, inverzní. Složené zobrazení, definiční obor, obor hodnot. p2 (1. října) ↵

2. Reálné funkce. Limita a spojitost.

Reálná funkce: (ne)rostoucí, (neklesající), (ryze) monotónní. Funkce sudá, lichá a periodická. Funkce omezená (shora, zdola). Okolí (kruhové, prstencové, levé, pravé) bodu. Hausdorffův princip oddělení. Limita funkce v bodě. Vlastnosti a příklady. Jednoznačnost limity. Dirichletova funkce nemá limitu. p3 (6. října) ↵ Limita zleva a zprava. Funkce signum. Vztah limity a jednostranných limit. Funkce s vlastní limitou je omezená, funkce s nenulovou limitou je odražená od nuly na jistém okolí. Aritmetika limit - vlastní verze. Funkce omezená krát funkce jdoucí do nuly jde do nuly. Spojitost funkce v bodě. Vztah limity a spojitosti. Spojitost polynomu, racionální funkce, odmocniny. Věta o limitě složené funkce (zatím jen znění). Příklady: funkce spojitá všude kromě jednoho bodu, funkce spojitá jen v jednom bodě. Příklady na VoLSF. Aritmetika limit - obecná verze. Příklady. Limita typu jedna děleno nula zprava, zleva. Zachování nerovností v limitě. Věta o dvou policajtech. Existence limity pro monotonní funkci. Spojitost zleva a zprava. Souvislost s limitou a oboustrannou spojitostí. Spojitost funkce na intervalu (obecně na množině). Vnitřní a krajní bod intervalu. Vztah mezi spojitostí funkce na intervalu a spojitostí v bodě. Darbouxova věta. Věta o spojitosti inverzní funkce. Spojitost součtu, rozdílu, součinu, podílu funkcí. Spojitost složené funkce. Spojitost restrikce. Poznámka o existenci suprema/infima v R^*. Lemma o charakterizaci intervalu. Spojitý obraz intervalu je interval. Důkaz věty o existenci odmocniny. Převedení limity v nekonečnu na jednostrannou limitu v nule.

3. Elementární funkce.

Funkce sin, cos, ln, exp a jejich základní vlastnosti. Obecná mocnina. Funkce arcsin, arccos, tg, arctg. Definice elementární funkce. Příklady. (Nepřednášeno - samostudium, viz prezentace na úložišti.)

4. Derivace.

Definice derivace. Příklady: derivace elementárních funkcí. Derivace zleva, zprava, vztah k oboustranné derivaci. Existence vlastní derivace implikuje spojitost. Derivace součtu, rozdílu, součinu, podílu. Příklady. Derivace složené funkce. Derivace inverzní funkce. Příklady: arcsin, arctg, odmocnina.

5. Primitivní funkce.

Definice primitivní funkce. Linearita integrálu. Integrování per-partes. První věta o substituci. Druhá věta o substituci. Příklady. Lepení primitivních funkcí. Poznámka o funkcích z R do C: limita, spojitost, derivace. Poznámky o derivaci/integrálu funkce s komplexními hodnotami. Rozklad polynomů. Rozklad racionální funkce na parciální zlomky a jejich integrace. Typové substituce. (Nepřednášeno - samostudium, viz prezentace na úložišti.)

6. Hlubší vlastnosti derivace a spojitosti.

Funkce spojitá v bodě je omezená na nějakém okolí. Funkce spojitá na omezeném a uzavřeném intervalu je na něm omezená. Funkce spojitá na omezeném, uzavřeném intervalu má zde maximum a minimum. Lokální a globální maximum a minimum. Vztah derivace k extrému. Věty o střední hodnotě: Rolleova, Lagrangeova. Výpočet derivace limitou. Příklady. Lemma o lepení primitivní funkce. Derivace spojité funkce má Darbouxovu vlastnost (bez důkazu). Cauchyho věta o střední hodnotě. l'Hospitalovo pravidlo. Příklady. l'Hospitalovo pravidlo - dokončení. Znaménko derivace a monotonie. Funkce (ryze) konvexní, (ryze) konkávní. Ekvivalentní vyjádření konvexity. Monotonie derivace a konvexita. Znaménko druhé derivace a konvexita. Inflexní bod.

7. Posloupnosti.

Posloupnost. Limita posloupnosti. Konvergentní posloupnost. Ekvivalentní vyjádření limity. Bez důkazu: aritmetika limit, zachování nerovnosti, věta o dvou policajtech pro posloupnosti. Omezená a monotonní posloupnost. Konvergentní posloupnost je omezená. Monotonní posloupnost má vždy limitu; je-li navíc omezená, pak konverguje. Hromadný bod posloupnosti. Posloupnost vybraná. Ekvivalentní vyjádření hromadného bodu. Bolzano-Weierstrassova věta: každá omezená posloupnost má v R hromadný bod. Bolzano-Cauchyho podmínka konvergence. Heineho věty: charakterizace limity v bodě, spojitosti v bodě, charakterizace spojitosti v intervalu pomocí posloupností.

8. Taylorův polynom.

Derivace vyšších řádů. Funkce třídy C^n. Malé ó, velké ó, řádová rovnost. Taylorův polynom funkce v bodě. Aproximační vlastnost Taylorova polynomu. Derivování a integrování Taylorova polynomu. Příklady Taylorových rozvojů. Zobecněné kombinační číslo. Operace s malým ó u nuly. Výpočty limit pomocí Taylorova polynomu. Odhad zbytku po Taylorově polynomu.

9. Riemannův integrál.

Určitý integrál: geometrický význam, očekávané vlastnosti. Zobecněný přírustek funkce. Newtonův integrál. Vlastnosti Newtonova integrálu (bez důkazu): linearita, intervalová aditivita, vztah k nerovnosti. Dělení intervalu. Horní a dolní součet, horní a dolní Riemannův integrál. Zjemnění dělení. Vlastnosti těchto pojmů. Definice Riemannova integrálu. Nutná a postačující podmínka existence R.i. Monotonní, omezená funkce má R.i. Názorný význam Riemannova integrálu. Funkce spojitá na omezeném, uzavřeném intervalu je na něm stejnoměrně spojitá. Spojitá funkce má Riemannův integrál. Aproximace R.i. při rovnoměrném dělení intervalu. Příklady: signum, Dirichletova funkce. Linearita a intervalová aditivita R.i. Monotonie R.i., odhad absolutní hodnoty. Riemannův integrál s proměnnou horní mezí. Důsledky: existence primitivní funkce pro spojitou funkci; rovnost Newtonova a Riemannova integrálu pro spojitou funkci na omezeném, uzavřeném intervalu; základní věta analýzy.

X. Úvod do teorie množin.

Definice: spočetná a nespočetná množina. Kartézský součin, potenční množina. Příklady spočetných množin. Spočetné sjednocení spočetných množin je spočetná množina. Množina reálných čísel je nespočetná; množina všech podmnožin přirozených čísel je nespočetná. Reprezentace přirozených čísel množinami. Číslo: algebraické, konstruovatelné, transcendentní, vyčíslitelné; vztahy mezi nimi. Existence nevyčíslitelných čísel.