Generování náhodných veličin z rozdělení N(0,1)

x=rnorm(n=100,mean=0,sd=1)

Výpočet základních charakteristik náhodného výběru

## Výběrový průměr
mean(x)

## [1] -0.01273

## výběrový medián
median(x)

## [1] -0.01943

## výběrový rozptyl
var(x)

## [1] 0.8556

## minimum
min(x)

## [1] -2.309

## maximum
max(x)

## [1] 2.167

## pořádkové statistiky
sort(x)

##   [1] -2.30901 -1.84637 -1.80453 -1.64941 -1.46733 -1.44817 -1.43497
##   [8] -1.23285 -1.12030 -1.11952 -1.07592 -1.04727 -1.00805 -1.00170
##  [15] -0.94656 -0.94204 -0.87523 -0.86999 -0.82348 -0.81663 -0.80082
##  [22] -0.79181 -0.76535 -0.75929 -0.75742 -0.74604 -0.70577 -0.62315
##  [29] -0.61297 -0.58055 -0.57370 -0.56953 -0.53707 -0.52240 -0.50836
##  [36] -0.50544 -0.43008 -0.38644 -0.32310 -0.32303 -0.31763 -0.30527
##  [43] -0.28852 -0.21339 -0.17925 -0.15174 -0.12196 -0.07830 -0.05101
##  [50] -0.02386 -0.01501 -0.01413  0.01907  0.09127  0.09418  0.12700
##  [57]  0.12894  0.17464  0.19465  0.22875  0.24226  0.28496  0.30535
##  [64]  0.31625  0.36083  0.39791  0.40417  0.45466  0.45850  0.50693
##  [71]  0.55052  0.57403  0.60910  0.62278  0.62332  0.65510  0.66161
##  [78]  0.67543  0.70061  0.70400  0.72218  0.77710  0.82950  0.88918
##  [85]  0.93755  1.01318  1.03567  1.05203  1.06347  1.10742  1.23589
##  [92]  1.27641  1.39410  1.66098  1.66898  1.68328  1.79483  1.79938
##  [99]  1.87362  2.16673

## 22. pořádková statistika
sort(x)[22]

## [1] -0.7918

## vektor pořadí
rank(x)

##   [1]  73  69 100  86  26  62  77  78  71  85  16  47  93  35  22  12  70
##  [18]  55  83  82  46  67  59  50  64  57  48  14  41  33  66  80  92  25
##  [35]  96  36   9  29  65  45  49  30  88  24   1  99  28  32   8  31  27
##  [52]  72  81  58  95   2  44  38  53  34   3   6  13  94  84  75  42  54
##  [69]  97  56  68  76  63  23  52  74  15  89  51  20  91  79  60  61  39
##  [86]  19  18  11  37   4   5  10   7  87  17  40  21  90  98  43

Tabulace náhodného výběru, empirické relativní četnosti

## najdi, v kterých intervalech pozorování jsou
tbl=cut(x,breaks=c(-Inf,-3:3,Inf))

## kolik pozorování je v kterém intervalu
table(tbl)

## tbl
## (-Inf,-3]   (-3,-2]   (-2,-1]    (-1,0]     (0,1]     (1,2]     (2,3] 
##         0         1        13        38        33        14         1 
##  (3, Inf] 
##         0

## empirické relativní četnosti
table(tbl)/length(x)

## tbl
## (-Inf,-3]   (-3,-2]   (-2,-1]    (-1,0]     (0,1]     (1,2]     (2,3] 
##      0.00      0.01      0.13      0.38      0.33      0.14      0.01 
##  (3, Inf] 
##      0.00

Grafické zobrazování náhodného výběru

Boxplot (krabicový diagram) zobrazuje krabici ohraničenou horním a dolním výběrovým kvartilem, výběrový medián tlustou vodorovnou čárou uvnitř krabice, vousy, které jdou do jedenapůlnásobku délky boxu (mezikvartilového rozmezí) nahoru i dolů. Pozorování, která se nevejdou do vousů, jsou nakreslena zvlášť (odlehlá pozorování/outliers).

boxplot(x)

Histogram ukazuje absolutní nebo relativní četnosti pozorování v určitých intervalech (lze měnit jejich počet i umístění). Histogram s relativními četnosti odhaduje hustotu pomocí po částech konstantní funkce. Histogram ale není konsistentním odhadem hustoty.

## histogram s absolutními četnostmi
hist(x)

Stanovíme si rozsah osy x, namaluje me reativní četnosti místo absolutních a proložíme hustotu rozdělení N(0,1)

## Stanovíme rozsah osy x na (-3.5,3.5), 
## malujeme relativní četnosti místo absolutních
hist(x,freq=FALSE,xlim=c(-3.5,3.5))

## Spočítej a domaluj hustotu N(0,1) na intervalu (-3.5,3.5)
xpts=seq(-3.5,3.5,length=500)
lines(xpts,dnorm(xpts,mean=0,sd=1))

Nyní zvětšíme rozsah výběru na n=5000.

x=rnorm(n=5000,mean=0,sd=1)

hist(x,freq=FALSE,xlim=c(-3.5,3.5))
xpts=seq(-3.5,3.5,length=500)
lines(xpts,dnorm(xpts,mean=0,sd=1))

Podobá se tvar histogramu hustotě rozdělení, z kterého data pocházejí?

Empirická distribuční funkce je nestranným a konsistentním odhadem skutečné distribuční funkce (viz větník a poznámky z přednášek).

$$\widehat{F}_n(u)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbb{I}_{(-\infty,u\rangle}(X_i)$$

Ukažme si empirickou distribuční funkci pro výběr z N(0,1) o rozsahu n=30.

## Rozsah výběru 30
x=rnorm(n=30,mean=0,sd=1)

## Výpočet a malování empirické distribuční funkce
plot(ecdf(x))

## Stanovíme rozsah osy x na (-3.5,3.5), zmenšíme puntíky, přepíšeme titulek
plot(ecdf(x),xlim=c(-3.5,3.5),cex.points=0.5, 
     main="Empiricka distribucni funkce N(0,1), n=30")

## Spočítej a namaluj skutečnou d.f. N(0,1) na intervalu (-3.5,3.5)
xpts=seq(-3.5,3.5,length=500)
lines(xpts,pnorm(xpts,mean=0,sd=1))

Nyní zvětšíme rozsah výběru na n=200.

## Rozsah výběru 200
x=rnorm(n=200,mean=0,sd=1)

## Empirická distribuční funkce
plot(ecdf(x),xlim=c(-3.5,3.5),cex.points=0.1, 
     main="Empiricka distribucni funkce N(0,1), n=200")

## Spočítej a namaluj d.f. N(0,1) na intervalu (-3.5,3.5)
xpts=seq(-3.5,3.5,length=500)
lines(xpts,pnorm(xpts,mean=0,sd=1))

Podobá se empirická distribuční funkce distribuční funkci, z které data pocházejí?

Nestrannost a konsistence odhadů

Ilustrujme si pojmy nestrannosti a konsistence. Budeme pracovat s výběrovým rozptylem na simulovaných datech. Máme

$$S^2_n=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\overline{X}_{n})^2$$

## Spočítej 1000x výběrový rozptyl výběru o rozsahu 100
nsim=1000
nobs=100
xmat=rnorm(n=nsim*nobs,mean=0,sd=1)
xmat=matrix(xmat,nrow=nobs,ncol=nsim)

dim(xmat)

## [1]  100 1000

## V i-tém řádku je 1000 opakování pozorování X_i.
## V j-tém sloupci je náhodný výběr o rozsahu 100.
## Z každého výběru spočítáme výběrový rozptyl, bude jich 1000.
rozptyly=apply(xmat,2,var) 

## Podívejte se na prvních 50 odhadů rozptylu.
## Podobají se skutečnému rozptylu?
rozptyly[1:50]

##  [1] 1.1176 1.0134 0.8345 0.9791 0.9902 1.0245 1.2892 0.9802 1.0766 0.9212
## [11] 0.9574 0.7845 1.0316 0.8180 0.8505 0.9456 0.9156 1.0057 0.9158 0.8355
## [21] 1.0991 1.1130 0.9327 0.9032 0.9488 0.8600 1.0785 0.9008 0.8918 1.0713
## [31] 0.9457 1.2102 0.9083 0.8164 1.0609 1.0235 1.0327 1.0901 0.8878 1.1528
## [41] 0.8474 1.0625 1.0164 0.8794 0.8377 0.9451 0.9451 0.9040 0.9216 0.7081

## Jaký je průměr z 1000 odhadů rozptylu?
mean(rozptyly)

## [1] 1.003

## Spočítej výběrový rozptyl z výběru o rozsahu 10, 100, 200, 1000
rozsahy=c(10,100,200,1000)

## Sem dáme výsledky
vybrozp=rep(0,length(rozsahy))
names(vybrozp)=paste("n",rozsahy,sep="=")

x=rnorm(max(rozsahy),mean=0,sd=1)

for(n in rozsahy)
{
  vybrozp[paste("n",n,sep="=")]=var(x[1:n])
}

vybrozp

##   n=10  n=100  n=200 n=1000 
##  1.453  1.093  1.093  1.020

Doplňující úloha 1.

Zopakujte vše pro rozdělení Exp(2) namísto N(0,1)

## Generování veličin z Exp(2): 
rexp(n,2)
## Hustota Exp(2): 
dexp(x,2)
## Distribuční funkce Exp(2): 
pexp(x,2)

Doplňující úloha 2.

Zopakujte vše pro Cauchyovo rozdělení C(0,1) namísto N(0,1)

## Generování veličin z C(0,1): 
rcauchy(n,0,1)
## Hustota C(0,1): 
dcauchy(x,0,1)
## Distribuční funkce C(0,1): 
pcauchy(x,0,1)