Matematická analýza I - cvičení

  • Kdy a kde: Pondělí: 12:20 - 14:35, T10, a Úterý: 9:50 - 12:05, T6
  • Zápočet je možné získat napsáním zápočtových na minimálně 50% v součtu obou písemek. Na konci semestru se bude konat náhradní zápočtová písemka.
  • Dobrovolné domácí úkoly slouží jako rozšíření matematických znalostí směrem k aplikacím ve fyzice.
  • Doporučuji zúčastnit se všech cvičení, ale docházka není nutná. Doporučuji také propočítat si cvičebnici Kopáček a kol. pro 1. semestr.
  • Další studijní materiály a diskuse budou přístupné v rámci MS Teams.
  • Po osobní domluvě jsou možné individuální konzultace.
  • Na cvičeních budeme počítat příklady níže a doporučené příklady.

Příklady na cvičení

  1. 29.9., 30.9.: Opakování ze střední školy
  2. 6.10., 7.10.: Opakování II
  3. 13.10., 14.10.: Limity funkcí I
  4. 20.10., , 4.11.: Limity funkcí II
  5. 27.10., 11.11.: Spojitost a derivace funkcí
  6. 3.11., 18.11.: 1. písemka (limity funkcí). Primitivní funkce I
  7. 10.11., 25.11.: Primitivní funkce II
  8. 24.11., 1.12., 2.12.: Limity funkcí podruhé, Limita posloupnosti
  9. 8.12., 9.12.: Hlubší vlastnosti funkcí
  10. 15.12., 16.12.: 2. písemka (primitivní funkce). Taylorův polynom
  11. 5.1., 6.1.: Průběh funkcí

Dobrovolné domácí úkoly

  1. Jak souvisí nekonečný elektrický obvod a USS Enterprise? (2 body): Spočtěte odpor nekonečného elektrického obvodu na obrázku a postup zapište matematicky korektně, tedy dokažte, že limita existuje. Uměli byste výsledek ověřit numericky?

    Speciálně vyčíslete odpor, pokud \(R_1=R_2=1\).
  2. Frekvence spicyonu (3 body): Bylo zjištěno, že koření na planatě Arrakis obsahuje zvláštní jednodimenzionální částice zvané spicyony. Spicyon se pohybuje v potenciálovém poli \(U(x) = -U_0\cosh^{-2}(x/l_P)\), kde \(U_0\) je klidová energie elektronu a \(l_P\) je Planckova délka. Hmotnost spicyonu je stejná jako hmotnost elektronu. K průmyslovému využití spicionů je však třeba zjistit, jak závisí perioda jejich kmitů v daném potenciálovém poli na jejich celkové energii \(E=\frac{1}{2}m (\dot{x})^2 +U(x)\). Z nalezené harkonenské dokumentace se zdá, že čas lze vyjádřit jako \(t=\sqrt{\frac{m}{2}}\int \frac{dx}{\sqrt{E-U(x)}}+\mathrm{konst}\), ale je třeba nejprve tento vztah zkontrolovat. Celková perioda pak bude čtyřnásobkem času uplynulého od momentu, kdy je částice na pozici \(x=0\), k okamžiku, kdy je v bodě zvratu, kdy platí \(E=U(x)\). Pomožte nám zjistit, jak závisí perioda kmitů spicyonů na jejich energii, je to důležité pro další vývoj planety. Zkuste výsledný vztah ověřit numericky.
  3. Kinetická energie spicyonů v rovnováze (3 body): Pro úspěšné využití spicyonů v energetickém průmyslu je třeba znát jejich průměrnou kinetickou energii. Známe-li celkovou energii $N$ spicyionů \(E=T+U\), jaká je jejich kinetická energie po ustavení termodynamické rovnováhy, \(\bar{T} = \lim_{t\rightarrow \infty} T(t)\)? Tuto otázku lze zodpovědět například díky tomu, že \(2T= \sum_{i=1}^N \mathbf{p}_i\cdot\dot{\mathbf{r}}_i=\frac{d}{d t}\left(\sum_{i=1}^N \mathbf{p}_i\cdot\mathbf{r}_i\right)-\sum_{i=1}^N \mathbf{r}_i\cdot\dot{\mathbf{p}}_i\), kde \(\mathbf{r}_i\) a \(\mathbf{p}_i\) jsou poloha a hybnost částice \(i\) a \(\dot{\mathbf{p}}_i=-\frac{\partial U}{\partial \mathbf{r}_i}\). Podle nalezené harkonenské dokumentace to vypadá, že bude výhodné spočítat integrál \(\frac{1}{\tau} \int_0^\tau T(t)dt\). Předpokládáme, že systém těchto částic má omezenou energii, takže je i omezený v prostoru. Dá se očekávat, že částice budou blízko minim své potenciální energie, kde tuto energii můžeme aproximovat do druhého řádu přesnosti. Jak by se udělala numerická simulace?