Teaching

Matematická analýza I - cvičení

Kdy a kde: Středa, 10:40 - 12:55, N6 (Troja, Impakt)
Během cvičení můžete získat až 25 bodů, přičemž až 18 za písemky (budeme psát dvě) a 7 za aktivitu na cvičení a domácí úkoly.
Pro zápočet, který je nutný ke zkoušce, je nutné získat alespoň 13 bodů.
Body za aktivitu můžete získat třemi způsoby:
1. Dobrým vyřešením předem připraveného příkladu během cvičení
2. Vyřešením zapsaného dobrovolného domácího úkolu (budou 3).
Doporučuji zúčastnit se všech cvičení, ale docházka není nutná. Doporučuji také propočítat si cvičebnici Kopáček a kol. pro 1. semestr.
Další studijní materiály a diskuse budou přístupné v rámci MS Teams.
Po osobní domluvě jsou možné individuální konzultace.

Příklady na cvičení

2.10.: Opakování ze střední školy
9.10.: Opakování II
16.10.: Limity funkcí I
23.10.: Cvičení se nekoná - imatrikulace
30.10.: Limity funkcí II
6.11.: Spojitost a derivace funkcí
13.11.:1. písemka (limity funkcí). Primitivní funkce I
20.11.: Primitivní funkce II
27.11.: Limity funkcí podruhé, Limita posloupnosti
4.12.: Hlubší vlastnosti funkcí
11.12.: 2. písemka (primitivní funkce). Taylorův polynom
18.12.: Průběh funkcí
8.1.: Newtonův a Riemannův integrál

Dobrovolné domácí úkoly

Jak souvisí nekonečný elektrický obvod a USS Enterprise? (2 body): Spočtěte odpor nekonečného elektrického obvodu na obrázku a postup zapište matematicky korektně.

Speciálně vyčíslete odpor, pokud $R_{1} = R_{2} = 1$ .
Frekvence spicyonu (3 body): Bylo zjištěno, že koření na planatě Arrakis obsahuje zvláštní jednodimenzionální částice zvané spicyony. Spicyon se pohybuje v potenciálovém poli $U (x) = - U_{0} \cosh^{- 2} (x / l_{P})$ , kde $U_{0}$ je klidová energie elektronu a $l_{P}$ je Planckova délka. Hmotnost spicyonu je stejná jako hmotnost elektronu. K průmyslovému využití spicionů je však třeba zjistit, jak závisí perioda jejich kmitů v daném potenciálovém poli na jejich celkové energii $E = \frac{1}{2} m (\dot{x})^{2} + U (x)$ . Z nalezené harkonenské dokumentace se zdá, že čas lze vyjádřit jako $t = \sqrt{\frac{m}{2}} \int \frac{d x}{\sqrt{E - U (x)}} + konst$ , ale je třeba nejprve tento vztah zkontrolovat. Celková perioda pak bude čtyřnásobkem času uplynulého od momentu, kdy je částice na pozici $x = 0$ , k okamžiku, kdy je v bodě zvratu, kdy platí $E = U (x)$ . Pomožte nám zjistit, jak závisí perioda kmitů spicyonů na jejich energii, je to důležité pro další vývoj planety.
Kinetická energie spicyonů v rovnováze (3 body): Pro úspěšné využití spicyonů v energetickém průmyslu je třeba znát jejich průměrnou kinetickou energii. Známe-li celkovou energii $N$ spicyionů $E = T + U$ , jaká je jejich kinetická energie po ustavení termodynamické rovnováhy, $\bar{T} = lim_{t \to \infty} T (t)$ ? Tuto otázku lze zodpovědět například díky tomu, že $2 T = \sum_{i = 1}^{N} p_{i} \cdot {\dot{r}}_{i} = \frac{d}{d t} (\sum_{i = 1}^{N} p_{i} \cdot r_{i}) - \sum_{i = 1}^{N} r_{i} \cdot {\dot{p}}_{i}$ , kde $r_{i}$ a $p_{i}$ jsou poloha a hybnost částice $i$ a ${\dot{p}}_{i} = - \frac{\partial U}{\partial r_{i}}$ . Podle nalezené harkonenské dokumentace to vypadá, že bude výhodné spočítat integrál $\frac{1}{τ} \int_{0}^{τ} T (t) d t$ . Předpokládáme, že systém těchto částic má omezenou energii, takže je i omezený v prostoru. Dá se očekávat, že částice budou blízko minim své potenciální energie, kde tuto energii můžeme aproximovat do druhého řádu přesnosti.