Vítám vás na stránkách Matematiky A. Důkladně si je pročtěte - najdete v nich mnoho užitečných informací a
odpovědi na většinu možných otázek.
Přednáška 55F100 Matematika A má dvojitou časovou dotaci. Koná se v pondělí 14:30-16:00 + 16:15-17:45 v RB101.
| Datum. Stručný obsah | Domácí úkoly | Slajdy z přednášky |
| 12.2. Organizační věci. Motivace ke studiu matematiky. I. Přehled požadovaných vstupních znalostí. Reálná čísla, intervaly. Množinové a logické operace, kvantifikátory. Aritmetické operace: úpravy zlomků. Mocniny, odmocniny, mocniny s racionálním exponentem. Rovnice, nerovnice a grafy jednoduchých funkcí v kartézských souřadnicích: a) Lineární rovnice a nerovnice, lineární funkce, význam jejích koeficientů (průsečík s osou y, směrnice přímky, přímka rostoucí/klesající), různé způsoby zápisu přímky. b) Rovnice s absolutní hodnotou, graf funkce abs. hodnota. c) Kvadratické funkce a rovnice (diskriminant, výpočet kořenů). | 1 2 | 1. přednáška |
|
19.2.Kvadratické funkce: Vietovy vztahy, graf, význam koeficientů (konvexita, konkavita), výpočet a znázornění vrcholu paraboly (odvození souřadnic doplněním na čtverec a z Vietových vztahů).
d) Kubické rovnice a nerovnice (odhadnutí celočíselných kořenů, dělení polynomů). Rovnice přímky, rovnice kružnice. Soustavy lineárních i nelineárních rovnic 2x2. Graf lineární lomené
funkce, asymptoty a střed hyperboly, posun grafu 1/x. Exponenciála, logaritmus.
Minitest 20.2.: Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou. |
3 4 | 2. přednáška |
|
26.2. Definiční obory funkcí. Rovnice s racionálními lomenými funkcemi (řešení nerovnic pomocí tabulky). II. Posloupnosti a limity. Posloupnosti konečné a nekonečné, posloupnost aritmetická,
geometrická. Konečná a nekonečná limita posloupnosti, pojem konvergence/divergence, základní příklady. Limita aritmetické a geometrické posl., věta o limitě součtu, rozdílu, součinu
a podílu, rozšířené operace s limitami (tj. i s nekonečnými), příklady na výpočet limit. Výpočet limit posloupností, početní finta č.1 (vytknutí členů s nejvyššími mocninami).
Minitest 27.2.: Kvadratická funkce -- výpočet průsečíků s osami, vrcholu, graf. |
5 6 | 3. přednáška |
|
5.3. Finta č. 1 pro neceločíselné mocniny, vytýkání zpod odmocniny, finta č.2 (vytknutí exponenciál s nejvyššími základy), finta č.3 (odečtení odmocnin pomocí rozšíření výrazem s opačným znaménkem).
Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí limit jistých posloupností. Ekonomický význam Eulerova čísla. Řady konečné a nekonečné, příklady - zejména geometrická řada. Zavedení Eulerova čísla a exponenciály pomocí jistých
nekonečných řad. III. Funkce jedné proměnné. Pojem funkce = funkční předpis + definiční obor. Obor hodnot. Zoo základních funkcí a jejich grafů. Pojem prostá funkce, inverzní funkce a jak vznikne její graf z
původní funkce. Graf k-té mocniny a odmocniny, exponenciály a logaritmu (přirozených i s obecným základem).
Minitest 6.3.: Limity posloupností. |
-- | 4. přednáška |
|
12.3. Pojem složená funkce, hledání jejího definičního oboru. Spojitost funkce. Limita funkce - definice. Jednostranné limity, základní příklady s limitami. Výpočet limity funkce: věta o limitě součtu, rozdílu, součinu
a podílu, věta o limitě složené funkce. Rozlišení podle polohy bodu x_0 vzhledem k D_f: 1. v bodě v D_f spojité funkce je limita rovna funkční hodnotě, 2. v krajním bodě D_f - A. je-li tímto bodem (plus minus) nekonečno,
používáme analogické postupy jako u limit posloupností s opatrností ohledně znamének. B. Je-li daný bod reálný: výpočet limity typu a/0 pomocí tzv. dělení "kladnou a zápornou nulou". Limity exponenciály a logaritmu a jejich
kombinací s mocninami. Derivace funkce: zavedení.
Minitest 13.3.: Určení definičního oboru funkce, jejích průsečíků s osami a kde je kladná/záporná (kombinace odmocnin a rac. lom. funkcí). |
7 8 | 5. přednáška |
|
19.3.
Derivace funkce: zavedení, derivace základních funkcí. Pravidla pro derivaci součtu, rozdílu, součinu a podílu, a pro derivaci složené funkce, příklady. L'Hospitalovo pravidlo (=Finta č. 4) pro výpočet limity posloupnosti typu
0/0, nekonečno/nekonečno a jeho užití v příkladech. Význam derivace funkce v bodě jako směrnice příslušné tečny, výpočet rovnice tečny v daném bodě.
Minitest 20.3.: Limity funkcí v krajních bodech definičního oboru. |
9 10 | 6. přednáška |
|
26.3. Výpočet rovnice tečny v daném bodě. Nekonečná derivace, jednostranné derivace, absolutní hodnota jako příklad funkce, která nemá v 0 derivaci. Monotonie funkce (funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesající
v intervalu). Lokální a globální extrémy, stacionární body. Vztah mezi znaménkem derivace a monotonií funkce. Výjimečné (podezřelé) body = kandidáti na extrém. Zjištění monotonie mezi dvěma výjimečnými body. Funkce sudé a
liché. Asymptoty (svislé v bodě, obecné v plus minus nekonečnu, jak poznat vodorovnou asymptotu z limity funkce v nekonečnu).
Minitest 27.3.: Derivace funkcí. |
11 12 | 7. přednáška (už kompletní) |
|
2.4. Pondělí velikonoční.
Minitest 3.4.: Úlohy s tečnami ke kvadratické funkci. |
13 | -- |
|
9.4. Výpočet asymptot v nekonečnu. Druhá derivace, konvexita - konkavita. Přehled dílčích kroků při vyšetření průběhu funkce. Příklady vyšetření průběhu funkce. Souvislost lok. extrémů a druhé derivace funkce. IV.
Funkce více proměnných. Parciální derivace, stacionární bod funkce.
Minitest 10.4.: Určení intervalů monotonie funkce. |
14 15 | 9. přednáška |
|
16.4. Hledání globálních extrémů funkce na kompaktní množině: Pojem kompaktní množiny, Weierstrassova věta, obecné schéma řešení optimalizační úlohy (neboli hledání kandidátů na extrém). Rozlišení metod hledání vázaných
extrémů podle typu okraje (pro funkce dvou proměnných): (A) dosazovací metoda - na mnohoúhelníku. Metody hledání vázaných extrémů pro dvě proměnné: (A) dosazovací metoda - na mnohoúhelníku a na množinách s polynomiálními a
některými dalšími vazbami. Speciální případ lineární funkce -- nemá stacionární body. Vsuvka: pojem matice, Jacobiho matice, determinant, jacobián. (B) Metoda jacobiánu pro dvě proměnné.
Minitest 17.4.: Stacionární body funkce dvou proměnných. |
16 17 | 10. přednáška |
|
23.4.Metoda jacobiánu pro dvě proměnné. (C) Metoda Lagrangeových multiplikátorů pro dvě proměnné, příklady a porovnání těchto metod. Metoda Lagrangeových multiplikátorů pro více proměnných a více vazeb, příklady.
Minitest 24.4.: Dosazovací metoda. |
18 19 | 11. přednáška |
|
30.4. Průběžný test. Obsah průběžného testu Odkaz na zadání testů z minulých let najdete v tabulce zcela dole. |
-- | -- |
| 7.5. Determinant matice 3x3. Metoda Jacobiánu pro případ 3 proměnných a 2 vazeb. Příklady na optimalizační úlohy (metoda jacobiánu, Lagr. multiplikátorů), na průběhy funkcí jedné proměnné. | 20 | 13. přednáška |
|
Závěrečné informace:
Obsah Závěrečného testu. Zde jsou kompletní testy z předchozích semestrů (zadání, bez řešení). |