Co jsme probrali:
7.10. Opakování syntetické projektivní geometrie z 1. ročníku.
14.10. Opakování z 1. ročníku - involuce.
Pól a polára. Definice pomocí involuce na kčce.
Věta: "(AA'RP)=(aa'rp)=-1". Věta: polára je spojnicí bodů dotyku tečen z pólu ke kčce; pól je průsečík tečen v průsečících poláry s kčkou.
Konstrukce: kčka dána pěti body, dán bod P, sestrojit jeho poláru vzhledem ke kčce; duálně.
Věta: kčce je vepsán čtyřroh, pak každý jeho diag. vrchol je pólem protější diag. strany; duálně pro opsaný čtyřstran.
Věta: P pól p, Q pól q, pak P leží na q právě když Q leží na p.
Definice: takovéto póly resp. poláry se nazývají (polárně) sdružené. P,Q,R resp. p,q,r, které jsou všechny navzájem sdružené, tvoří polární trojúhelník.
Důsledek: polára r průsečíku R přímek p,q je spojnicí pólů P,Q a naopak pól R spojnice r pólů P,Q je průsečíkem polár p,q.
Věta: Pól a polára jsou dvě podmínky pro kčku.
Konstrukce: sestrojit kčku z pólu P, poláry p a tří bodů A,B,C; duálně: sestrojit kčku z P,p,a,b,c.
Věta: Polární trojúhelník je diag. trojúhelníkem vepsaného čtyřrohu. Věta*: Polární trojúhelník je diag. trojúhelníkem opsaného čtyřstranu.
Věta: sdružené póly P,R na téže přímce q tvoří páry involuce, jejíž samodružné body jsou průsečíky q a kčky.
Věta*: sdružené poláry p,r týmž bodem Q tvoří páry involuce, jejíž samodružné přímky jsou tečny kčky z bodu Q.
Def: toto se jmenuje involuce indukovaná kčkou na přímce resp. v bodě.
Věta: dva sdružené póly (resp. dvě sdružené poláry) tvoří jednu podmínku pro kčku.
Věta: Polární trojúhelník tvoří tři podmínky pro kčku.
21.10.
Věta: V polárním trojúhelníku je vždy jeden vrchol vnitřní a dva vnější; jedna strana je vnější a dvě jsou sečny.
Konstrukce: sestrojit kčku z pol. trojúhelníka a dvou bodů, duálně: z pol. trojúhelníka a dvou tečen.
Pozn.: polára středu kčky je nevlastní přímka. Def.: sdružené průměry středové kčky jsou sdružené poláry středem kčky.
Pozn.: tečny v koncových bodech průměru A,B jsou rovnoběžné s průměrem sdruženým k AB.
Pozn.: pól průměru je nevlastní bod, který je tudíž směrem sdruženého průměru.
Pozn.: dva páry sdruž. průměrů tvoří involuci, její samodr. přímky jsou asymptoty kčky, u elipsy je eliptická, u hyperboly hyperbolická, asymptoty hyperboly oddělují sdružené průměry harmonicky.
Pozn.: u elipsy je každý průměr sečna, u hyperboly je vždy jeden sdružený průměr sečna a druhý vnější přímka (pomyslný průměr).
Def: afinní vzdálenost. Věta: Je-li U centrální bod, pak (XU).(X'U)=konst., záporná pro eliptickou a kladná pro hyperbolickou involuci.
Konstrukce sdruženého pólu pomocí konstrukce geometrického průměru.
Tvrzení: nechť r je sdružená polára k AB, P bod na r, promítneme-li body A,B z bodu P na kčku jako body A',B', pak průsečík Q přímek A'B, AB' je sdružený pól k P.
Věta: pár sdružených průměrů jsou tři podmínky pro kčku.
Def: omezený průměr. Věta: kčka je jednoznačně určena párem sdružených omezených průměrů.
Konstrukce: sestrojit kčku z páru sdružených omezených průměrů.
Konstrukce: sestrojit kčku z omezeného průměru AB, ze sdruženého průměru a bodu A'.
4.11.
Konstrukce: Elipsa (hyperbola) je dána omezenými sdruženými průměry. Sestrojit k danému pólu poláru a naopak.
Pozn.: p,q sdružené průměry, X leží na q, pak polára x bodu X je rovnoběžná s p.
Pozn.: Doplníme-li u hyperboly sdružené průměry na čtyřúhelník, pak jeho úhlopříčky jsou asymptoty hyperboly. Záměnou rolí reálného a pomyslného průměru dostaneme tzv. sdruženou hyperbolu.
Pozn.: úhlopříčky rovnoběžníka kčce opsaného jsou sdružené průměry.
Pozn.: střední příčky rovnoběžníka kčce opsaného jsou sdružené průměry.
Pozn.: Spojnice libovolného bodu A' s koncovými body A,B průměru jsou rovnoběžné s nějakou dvojicí sdružených průměrů. Speciálně pro kružnici: Thaletova věta.
Věta + Definice (pro středové kčky): existuje pár kolmých sdružených průměrů - osy kčky; vrcholy; vrcholové tečny. Dva kolmé páry - kružnice.
Konstrukce: sestrojit osy kčky, jsou-li dány dva páry neomezených sdružených průměrů.
Konstrukce: sestrojit kčku včetně os, jsou-li dány tři body a střed.
Konstrukce*: sestrojit kčku včetně os, jsou-li dány tři tečny a střed - sami.
Konstrukce: nalezení koncových bodů os (vrcholů) středových kček, známe-li omezené sdružené průměry (a tedy i osy), Rytzova konstrukce.
Def (pro parabolu): sdružený průměr s tečnou v koncovém bodě, resp. s jejím směrem.
11.11. (jen 1 hodina)
Pozn.: každá tětiva je půlena průměrem sdruženým k jejímu směru.
Tvrzení: U,V = body dotyku tečen k parabole z bodu P, N = střed UV, M = koncový bod průměru PN, pak M je střed PN.
Konstrukce: sestrojit směr průměrů paraboly dané čtyřmi tečnami (2 způsoby - dle prváku a dle předchozí věty).
Konstrukce: sestrojit parabolu ze dvou tečen, pólu a poláry.
18.11.
Věta + Definice (pro parabolu): existuje jediná tečna, jejíž směr je kolmý k průměrům paraboly - vrcholová tečna; vrchol; osa paraboly.
Konstrukce: určit osu paraboly dané čtyřmi tečnami.
Pozn.: Projektivita soumístných soustav zadává jednoznačně samodružné body, zpětně však nikoli. Naproti tomu involuce je jednoznačně určena svými samodružnými body.
Věta + Definice: existují právě dva body, z nichž se eliptická involuce na přímce promítá absolutní involucí přímek ve svazku - tzv. pomocné body eliptické involuce.
Definice: ohnisko středové kčky je reálný průsečík jejích izotropických tečen, řídící přímka = jeho polára.
Ekvivalentně: bod je ohniskem právě když involuce sdružených polár, indukovaná v tomto bodě kčkou, je involuce absolutní.
Pozn.: Ohniska splývají právě když jde o kružnici.
Pozn.: Tečna a normála v bodě dotyku jsou speciálním případem sdružených kolmých polár.
Věta: 1. Kčka má dvě ohniska (evtl. splývající), jsou umístěna symtericky podle středu na jedné z os, tzv. hlavní ose. Ohniska jsou sam. body involuce na hlavní ose, jejímž úběžníkem je střed kčky a páry jsou vyťaty sdruženými
kolmými polárami.
2. Každé z ohnisek je pomocným bodem eliptické involuce na vedlejší ose, jejíž páry jsou vyťaty sdruženými kolmými polárami.
3. Každá kružnice, opsaná trojúhelníku danému vedlejší osou a dvěma libovolnými sdruženými kolmými polárami, protíná hlavní osu v ohniscích.
Konstrukce: Dány osy elipsy s vrcholy, určit ohniska.
Konstrukce: Dány osy hyperboly s vrcholy (a pomyslnými vrcholy), určit ohniska.
25.11.
Analytická projektivní geometrie.
Def.: projektivní prostor RP^n, projektivní rozšíření afinní roviny, homogenní souřadnice, vyjádření vlastních a nevlastních bodů.
Převod mezi homogenními a kartézskými souřadnicemi.
Homogenní souřadnice přímek v RP2.
Def: projektivita je projektivizace vektorového izomorfismu, její matice je určena až na násobek. Příklady.
Samodružné body projektivity odpovídají vlastním vektorům matice projektivity.
Vlastní čísla, vlastní vektory, Jordanův kanonický tvar (JKT) matice, podobnost matic. Příklady.
Klasifikace projektivit v RP1, reálný tvar JKT v případě komplexně sdružených vl. čísel.
Klasifikace involucí v RP1.
2.12.
Souřadná soustava v RPn. Zadání projektivity hodnotami na souřadné soustavě. Zevrubný příklad.
Klasifikace projektivit v RP2. Silně a slabě samodružné body a přímky.
Rozbor jednotlivých případů - (dopodrobna je podán v textu od A. Kargera.)
9.12.
Kvadriky: opakování pojmů symetrická bilineární, resp. kvadratická forma, maticový vs. analytický tvar, polární báze, diagonální tvar, signatura formy.
Definice kvadriky pomocí kv. formy F, rozdělení na reg./sing. kvadriky. Příklady kvadrik.
Polárně sdružené body, polární nadrovina.
16.12.
Singulární a regulární body kvadriky, vrchol kvadriky, příklady.
Vrchol kvadriky je opět kvadrika a zároveň je to podprostor.
Podstava kvadriky - je to regulární kvadrika ve svém podprostoru.
Strukturální věta pro kvadriky: každá Q sestává z podprostorů, které spojují bod podstavy s vrcholem.
Polární nadrovina, polára, pól, tečna, bod dotyku - výpočet.
Maximální podprostory na kvadrice (v RPn): dimenze max. podprostoru neprotínajícího kvadriku je p-1, dimenze max. podprostoru na Q je n-p (p je počet + v signatuře, který je větší nebo roven než počet - ).
Projektivní klasifikace kvadrik: regulární x singulární. Regulární jsou formálně reálná (neobsahuje body), oválná (obsahuje jen body), typ jednodílný hyperboloid (obsahuje přímky) atd.
6.1.
Matice B (=A bez prvního řádku a sloupce) je maticí průniku kvadriky s nevlastní nadrovinou.
Afinní klasifikace kvadrik: středová / nestředová <==> pól nevlastní nadroviny je vlastní (=střed) / nevlastní (=směr osy) <==> podmatice B je reg. / sing.; výpočet středu / směru osy.
Početní příklady na afinní klasifikaci kuželoseček.
23.1.
Výpočet metrických klasifikací kuželoseček, výpočet směrů os a délek poloos. Afinní klasifikace kvadrik v RP^3, příklady.
|