Projektivní geometrie - přednáška a cvičení pro 1. ročník U |
Literatura:V. Hlavatý, Projektivní geometrie I. |
Podmínky zápočtu:Zápočet je za průběžnou aktivitu na cvičeních, s tím že nejsou striktně časově rozlišována cvičení a přednášky - máme je podle potřeby. Aktivita na cvičeních může být jak "z voleje", tak s domácí přípravou. Při nedostatečné aktivitě nebo větším počtu absencí budou zadány domácí úkoly jako kompenzace. |
Požadavky ke zkoušce: |
Archiv minulých let: |
Co jsme probrali:20.2. Úvod a motivace ke studiu projektivní geometrie, několik historických jmen. I. Afinní prostor, projektivní přímka a rovina. Afinní prostor -- definice, definice středu úsečky; afinní zobrazení, afinita; dělící poměr tří bodů na afinní přímce; Věta: zobrazení (mezi afinními prostory) je afinní právě když zachovává dělící poměr (nebo body splývají). Dělící poměr při permutacích tří bodů. Definice: projektivní přímka RP1, geometrický a aritmetický bod, homogenní souřadnice, kanonické vnoření afinní přímky/roviny do projektivní přímky, vlastní a nevlastní body. Dvojpoměr (čtyř vektorů v rovině, čtyř bodů na proj. přímce), harmonická čtveřice. Lemma - výpočet dvojpoměru pomocí 4 determinantů; vztah k dělícímu poměru. Kolineární zobrazení, kolineace. Věta: zobrazení (mezi projektivnímí přímkami) je kolineace právě když zachovává dvojpoměr. Hodnoty dvojpoměru při permutacích 4 bodů. Případy čtveřic, kdy některé hodnoty dvojpoměrů splývají: se dvěma splývajícími body, harmonická, ekvianharmonická. 27.2. Definice: projektivní rovina RP2, geometrický a aritmetický bod, homogenní souřadnice, kanonické vnoření afinní roviny do projektivní roviny, vlastní a nevlastní body, projektivní podprostor, přímky v RP2, nevlastní přímka (úběžnice) v RP2. Projektivní škála na přímce - konstrukce (pro celočíselné body). Princip duality. Svazek přímek v rovině a duální konstrukce projektivní škály na svazku přímek. Věta: vztah mezi homogenními souřadnicemi bodu E a hodnotou dvojpoměru (E 1 0 nek.). Zavedení projektivního souřadného systému na přímce (PSS) a projektivních souřadnic vůči PSS. Věta: převod mezi proj. souřadnicemi při vyjádření bodu vůči dvěma PSS je dán regulární maticí. 6.3. Konstrukce: čtvrtý harmonický element. Důsledek: dva základní body v harm. čtveřici oddělují zbylé dva. Pojem projektivní transformace. II. Projektivita a perspektivita lineárních soustav. Soustavy bodové, přímkové, sourodé, nesourodé, soumístné, nesoumístné. Projektivita soustav (sourodých i nesourodých, soumístných i nesoumístných) - definice pomocí projektivní transformace souřadnic. Dvojpoměr je invariant 4 elementů. Věta: soustavy jsou projektivní právě když odpovídající si elementy mají týž dvojpoměr. Perspektivita soustav sourodých nesoumístných resp. nesourodých - definice, ilustrace na obrázku konstrukce projektivní škály. Složení perspektivit (sourodých soustav) není obecně perspektivita, nýbrž projektivita. Věta: sourodé nesoumístné soustavy jsou perspektivní právě když jsou perspektivní s nějakou nesourodou soustavou. Střed perspektivity, přímka perspektivity. Doplňování perspektivit. 13.3. Věta o direkční přímce. Konstrukce: doplňování bodových projektivních soustav nesoumístných a soumístných. Věta: u perspektivních bodových soustav prochází direkční přímka průsečíkem daných přímek.
Konstrukce: spojení bodu s nepřístupným průsečíkem přímek. Pappova věta o šestiúhelníku, navíc Pascalova a Brianchonova věta o šestici na kuželosečce.
Duální věty a konstrukce ke všem uvedeným: Věta o direkčním bodu. Konstrukce: doplňování přímkových projektivních soustav nesoumístných a soumístných. Věta: u perspektivních přímkových soustav leží
direkční bod na spojnici daných bodů. Konstrukce: průsečík přímky s nenarýsovanou spojnicí bodů.
20.3. Samodružné elementy S,T projektivity soumístných soustav. Věta: rozlišení samodr. elementů podle diskriminantu. Charakteristika projektivity w. Věta: w nezávísí na volbě bodu X. Souhlasné a nesouhlasné soustavy. Věta: pro S, T reálné je w>0 resp. <0 pro souhlasné resp. nesouhlasné soustavy. Konstrukce: Doplňování projektivity dané dvěma samodr. body a jedním párem. Sestrojení druhého samodr. bodu projektivity dané jedním samodr. bodem a dvěma páry. Případ S=T. Duální konstrukce ke všem uvedeným. Involuce a věta o jejím ekvivalentním vyjádření. 27.3. Involuce hyperbolická/eliptická, též degenerovaná parabolická. Hyperb. involuce = nesouhlasné soustavy, eliptická involuce = souhlasné soustavy. Páry involuce. Involuce je určena dvěma páry involuce. Tři různá párování čtyř bodů na přímce - 2x hyp. a 1x elipt. involuce. Skládání involucí. Konstrukce "domeček": sestrojit druhý samodružný bod involuce určené jedním samodr. bodem a jedním párem. Duální konstrukce: sestrojit druhou samodružnou přímku involuce určené jednou samopdr. přímkou a jedním párem. Věta (o bodu na direkční přímce): přímky z lib. bodu na direkční přímce projektivity nesoumístných soustav tvoří vždy páry involuce. Věta* (o přímce procházející direkčním bodem). Konstrukce: doplňování involuce dané dvěma páry involuce (v bodové i přímkové verzi). Úplný čtyřroh a čtyřstran, vrcholy, strany, diagonální vrcholy a strany. Věta: každá strana čtyřrohu je proťata ostatními stranami ve 4 bodech, které tvoří harm. čtveřici. 3.4. Věta*: každý vrchol čtyřstranu je spojen s ostatními vrcholy 4 přímkami, které tvoří harm. čtveřici. Věta: na ostatních přímkách vytínají strany čtyřrohu tři páry téže involuce. Věta*: spojnice lib. bodu roviny s protějšími vrcholy čtyřstranu tvoří tři páry téže involuce. III. Kuželosečky. Bodová kčka B, složená (singulární) a jednoduchá (regulární). Sečna, tečna, nesečna(=vnější přímka). Věta: Každým bodem kčky prochází jediná tečna. Věta: Bodová kčka je určena 5 podmínkami, tj. buď 5 body nebo 4 body + tečnou v 1 bodě nebo 3 body + tečnami ve 2 bodech. Příslušné konstrukce + konstrukce tečny v 1 bodě při zadání kčky 5 body. Bodové soustavy na bodové kčce, soumístné/nesoumístné, jejich projektivita. Věta o direkční přímce projektivity na kčce. Konstrukce: doplňování projektivity na bodové kčce. 10.4. Involuce na kčce. Věta o involuci na kčce (tj. o středu involuce, ose involuce, samodružných bodech a tečnách). Věta: involuce je hyp/elipt právě když její osa je sečna/vnější přímka. Parabolická involuce = střed leží na kčce. Vnější/vnitřní body kčky, pól a polára vzhledem ke kčce. Věty A,B,C,D o involucích a harmonických čtveřicích. Konstrukce tečny v bodě kčky (jsou-li zadány další dva body a tečny v nich) jakožto čtvrté harmonické přímky. Tečnová kuželosečka T, složená a jednoduchá. Body vně, body dotyku, body uvnitř T. Věta: na každé tečně leží jediný bod dotyku. Věta: T je určena 5 podmínkami, tj. buď 5 tečnami nebo 4 tečnami s 1 bodem dotyku nebo 3 tečnami s 2 body dotyku. Příslušné konstrukce kčky T + konstrukce bodu dotyku, je-li zadáno 5 tečen. 17.4. Kvadratické tečnové soustavy na T, soumístné/nesoumístné, jejich projektivita. Duální věty o projektivitě tečnových soustav (direkční bod). Konstrukce: doplňování projektivity tečnových soustav na T. Involuce tečnových soustav: duální zavedení k involuci bodových soustav na B, duální věty, osa a střed involuce. Věta: množina dotykových bodů T je B, množina tečen B je T. Věta D*: "(MNCA)=-1". Konstrukce* bodu dotyku na zadané tečně (jsou-li zadány další dvě tečny body a jejich dotykové body) jakožto čtvrtého harmonického bodu. Věta: o úplném čtyřrohu vepsaném kčce, duálně o úplném čtyřstranu opsaném kčce. Věta "(aarp)=(AARP)=-1". Afinní rovina, rovnoběžnost a střed úsečky. Konstrukce: nalezení středu úsečky v afinní rovině (tj. pomocí rovnoběžnosti). Rozdělení regulárních kček v afinní rovině: elipsa E, parabola P, hyperbola H. Asymptoty, střed (směr osy), průměr kčky; středové a osové kčky. Věta: střed E/H půlí každý její průměr. Věta: spojnice středů rovnoběžných spojnic bodů prochází středem kčky. Konstrukce: sestrojení středu středové kčky dané 5 body. 24.4. Konstrukce: sestrojení středu středové kčky dané 5 tečnami. Věta: spojnice bodů dotyku rovnoběžných tečen E/H je průměrem. Věta: P nemá dvě rovnoběžné tečny. Věta: vnější bod, střed úsečky dané body dotyku tečen a střed kčky jsou kolineární. Hyperbola - speciální vlastnosti a konstrukce (vždy včetně asymptot a středu). Konstrukce: sestrojení H, jsou-li dány 3 body a oba směry asymptot; sestrojení H, jsou-li dány obě asymptoty a 1 bod. Věta: 1) H a její asymptoty vytínají na libovolné sečně stejně dlouhé úsečky; 2) "tečna c je rovnoběžná s C1C2 a C je střed U1U2". Konstrukce za použití předchozí věty: sestrojení H, je-li dáno: a) 4 body a 1 směr asymptoty, b) 3 body + 1 asymptota, c) 2 asymptoty + 1 tečna, d) 1 asymptota + 3 tečny. Parabola - speciální vlasnosti a konstrukce. Věta: P je určena 4 tečnami, všechny průměry P jsou rovnoběžné, bodové soustavy vyťaté tečnami na dvou pevných tečnách jsou si podobné (tj. jsou projektivní a zachovávají nevlastní bod). Konstrukce: sestrojit P ze 4 tečen a přitom sestrojit směr průměrů (=směr osy) P. 15.5. Konstrukce: k parabole, dané 4 tečnami, sestrojit tečnu s předem daným směrem; sestrojit parabolu ze 3 tečen s 1 bodem dotyku; sestrojit P ze 3 bodů a směru osy. Elipsa/kružnice. Zavedení kružnice, známe-li pojem kolmosti: absolutní involuce, izotropické přímky a body, kružnice (kce) = elipsa, jejíž asymptoty jsou izotr. přímky. Věta: kce je určena 3 body. Konstrukce: kružnice ze 3 bodů (tj. bez kružítka); kce z tečny s bodem dotyku a jednoho dalšího bodu; kce ze dvou tečen a 1 bodu dotyku; kce ze tří tečen -- pomocí půlení úhlu. Použití kružítka v praxi. Konstrukce: vedení tečen ke kružnici z vnějšího bodu pomocí Thaletovy kružnice. Konstrukce: sestrojení samodružných bodů soumístných bodových soustav na přímce (s použitím pomocné kružnice). Duální konstrukce: sestrojení samodružných přímek soumístných přímkových soustav. Konstrukce: určit průsečíky přímky z kčkou danou 5 body. Duální konstrukce: Určit tečny z bodu R ke kčce dané 5 tečnami. 22.5. Konstrukce: sestrojit asymptoty hyperboly, dané 5 body. Pascalova věta, Pascalova přímka. Konstrukce: kčka dána 5 body, přímka x prochází jedním z nich, najít (pomocí Pascalovy věty) druhý průsečík kčky a x. Konstrukce: kčka dána 5 body, sestrojit v jednom z nich tečnu (pomocí Pascalovy věty). Konstrukce: sestrojit (pomocí Pascalovy věty) tečnu v bodě kčky, dané tímto bodem a dvěma dalšími body a tečnami v nich. Duálně - Brianchonova věta, Brianchonův bod. Dále k samostudiu: Konstrukce: kčka dána 5 tečnami, bod X leží na jedné z nich, najít (pomocí Brianchonovy věty) druhou tečnu kčky z bodu X. Konstrukce: kčka dána 5 tečnami, sestrojit (pomocí Brianchonovy věty) bod dotyku na jedné z nich. Konstrukce: sestrojit (pomocí Brianchonovy věty) bodo dotyku na tečně kčky, dané touto tečnou a dvěma dalšími tečnami s body dotyku. |