<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\def\softd{{\leavevmode\setbox1=\hbox{d}%
\hbox to 1.05\wd1{d\kern-0.4ex{\char039}\hss}}}%cstocs
\def\softt{{\leavevmode\setbox1=\hbox{t}%
\hbox to \wd1{t\kern-0.6ex{\char039}\hss}}}%cstocs
\def\softl{l\kern-0.45ex\raise0.1ex\hbox{'}\kern-0.10ex}%cstocs
\def\softL{L\kern-0.8ex\raise0.1ex\hbox{'}\kern0.1ex}%cstocs
% endofdefsfromcstocs %

\input cviceni
\vcorrection{12mm}
\NoBlackBoxes

{
\centerline{\smc I. Rozvi\v{n}te n\'asleduj\'{\i}c\'{\i} funkce ve Fourierovu
\v{r}adu na dan\'ych intervalech}

\pr $\sin x$ a) na $[0,\pi]$, b) na $[-1,1]$,
c) na $[0,1]$.
\pr $x$ a) na $[0,1]$, b) v lichou \v{r}adu na $[0,1]$,
\linebreak
c) v sudou \v{r}adu na $[0,1]$.
\pr $x^2$ a) na $[0,1]$, b) v lichou \v{r}adu na $[0,1]$, c) v sudou
\v{r}adu na $[0,1]$.
\pr $\sgn x$ na $[a,b]$, kde $a&lt;b$.}

\oddel

@ \pr a) $\frac2\pi-\sn1{4\over \pi(4n^2-1)}\cos 2nx$,
b) $\sn1{(-1)^{n+1}\cdot 2n\pi\over n^2\pi^2-1}\cdot \sin 1\cdot
\sin n\pi x$,
c) $1-\cos 1 +\sn1 \left({2(cos 1-1)\over 4\pi^2n^2-1}\cdot \cos 2n\pi
x - {4\pi n \sin 1\over 4\pi^2n^2-1}\sin 2n\pi x\right)$.
\pr a) $\frac12-\sn1{\sin 2n\pi x\over n\pi}$,
b) $\sn1{2\cdot (-1)^{n+1}\over n\pi}\cdot\sin n\pi x$,
c) $\frac12 +2\cdot\sn1{(-1)^n-1\over n^2\pi^2}\cdot\cos n\pi x$.
\pr a) $\frac13 +\sn1\left({\cos 2n\pi x\over n^2\pi^2}-{sin
2n\pi x\over n\pi}\right)$, \newline
b) $\sn1\left({2\cdot (-1)^{n+1}\over n\pi}-{4(1-(-1)^n)\over
n^3\pi^3}\right)\sin n\pi x$,
c) $\frac 13+\sn1{4\cdot(-1)^n\over n^2\pi^2}\cos n\pi x$.
\pr $1$, pokud $a\ge 0$; $-1$, pokud $b\le 0$; pokud $a&lt;0&lt;b$, pak
${b+a\over b-a} + \sn1 \left(\sin {2n\pi a\over b-a}+\sin{2n\pi
b\over b-a}\right){\cos {2n\pi x\over b-a}\over n\pi}
+\left(2-\cos {2n\pi a\over b-a}-\cos{2n\pi
b\over b-a}\right){\sin {2n\pi x\over b-a}\over n\pi}$.
\par

\varoddel

{
\centerline{\smc II. FUNKCE S KONE\v{C}NOU VARIAC\'I A FUNKCE ABSOLUTN\v{E}
SPOJIT\'E}

\pr Nech\softt{} funkce $f,g$ maj\'{\i} kone\v{c}nou variaci na $[a,b]$, a
$c\in\Bbb R$. Co lze \v{r}\'{\i}ci o variaci funkc\'{\i} $f+g$, $f\cdot g$, $cf$,
$\max(f,g)$, $\frac fg$ ?
\pr Tyt\'e\v{z} ot\'azky pro absolutn\v{e} spojit\'e funkce.

\centerline{\smc zjist\v{e}te, zda n\'asleduj\'{\i}c\'{\i} funkce maj\'{\i} kone\v{c}nou
variaci, a zda jsou absolutn\v{e} spojit\'e}
\centerline{\smc pokud to lze, vyj\'ad\v{r}ete je jako rozd\'{\i}l dvou
neklesaj\'{\i}c\'{\i}ch funkc\'{\i}}


\pr $f(x)=\sin x$  a) na $[0,\pi]$, b) na $[0,R]$.
\pr $f(x)=\cases x^\alpha \sin \frac1x &amp; x\in(0,1], \\ 0 &amp; x=0.
\endcases$

\pr $f(x)=g(x)\cdot D(x)$, kde $D$ je Dirichletova funkce, t.j.
$D(x)=\cases 1 &amp; x\in \Bbb Q, \\ 0 &amp; x\in\Bbb R\setminus\Bbb
Q.\endcases$

\pr $f(x)=\sn1{\cos nx\over n^3}$ na $[0,2\pi]$.
\pr $f(x)=\sn1{\cos nx\over n^2}$ a) na $[c,2\pi-c]$, b) na
$[0,2\pi]$.

\pr $f(x)=\dist(x,C)$, kde $C\subset[0,1]$ je Cantorovo
diskontinuum (nebo jin\'a mno\v{z}ina), na $[-2,2]$.
}

\oddel

@ \pr Plat\'{\i} $V(f+g)\le V(f)+V(g)$, $V(cf)=|c|V(f)$, $V(f\cdot
g)\le V(f)\cdot \sup|g| + V(g) \cdot \sup|f|$, $V(\max(f,g))\le
V(f)+V(g)$, $V(\frac fg)\le V(f)\cdot \sup{1\over |g|}+ V(g)\cdot
\sup |f|\cdot\sup{1\over g^2}$, pokud je $g$ \clqq odra\v{z}en\'a od
nuky\crqq, t.j. pokud $\frac1g$ je omezen\'a.
\pr $f+g$, $f\cdot g$, $cf$, $\max(f,g)$ jsou absolutn\v{e} spojit\'e,
$\frac fg$ tak\'e, pokud $\frac1g$ je omezen\'a.
\pr a) Variace je $2$, $f$ je AC, nap\v{r}. proto, \v{z}e m\'a omezenou
derivaci ($\cos$). b) Analogicky jako v a).
\pr Pro $\alpha\le 1$ nen\'{\i} BV (z definice). Pro $\alpha&gt;1$ je BV,
nebo\softt{} $\int_0^1 |f'|$ konverguje. Z t\'eho\v{z} d\accent23uvodu je AC. Rozklad
$f=g-h$, kde nap\v{r}. $g(x)=\int_0^x |f'|$ a $h=\int_0^x
(|f'|-f')$.
\pr $V(f,[a,b])=|f(a)|+|f(b)|+2\cdot\sum\limits_{q\in\Bbb Q\cap
(a,b)}|g(q)|$, tedy $f$ je BV, pr\'av\v{e}
kdy\v{z} $\sum\limits_{q\in\Bbb Q\cap (a,b)}|g(q)|&lt;\infty$. $f$ je AC, pr\'av\v{e}
kdy\v{z} $g=0$ na $\Bbb Q$ (t.j. $f=0$). Rozklad $f=f_1-f_2$, kde
nap\v{r}. $f_1(x)=\sum\limits_{\smallmatrix q\in\Bbb Q \\ q\le
x\endsmallmatrix} |g(q)|$,
$f_2=f_1-f$.\pr $f$ je BV i AC. Nap\v{r}. $f\in\Cal C^1[0,2\pi]$.
\pr $f$ je $\Cal C^1$ na $(0,2\pi)$. Proto a) je BV i AC na
$[c,2\pi-c]$. b) Je t\'e\v{z} BV i AC, nebo\softt{} m\'a omezenou derivaci na
$(0,2\pi)$.
\pr Uka\v{z}te, \v{z}e $f$ je 1-lipschitzovsk\'a, a tedy BV i AC.
\par

\newpage

{\centerline{\smc III. Kurzweil\accent23uv integr\'al}

\pr Nech\softt{} $\{x\in [a,b]\mid f(x)\ne 0\}$ je lebesgueovsky nulov\'a
mno\v{z}ina. Doka\v{z}te, \v{z}e $(K)\int_a^b f(x)=0$.

\pr Nech\softt{} $A\subset [0,1]$ je lebesgueovsky m\v{e}\v{r}iteln\'a mno\v{z}ina.
Spo\v{c}t\v{e}te $(K)\int_0^1 \chi_A$, kde $\chi_A$ je charakteristick\'a
funkce mno\v{z}iny $A$.

\pr Pro kter\'e mno\v{z}iny $A\subset [0,1]$ existuje Riemann\accent23uv
integr\'al $(R)\int_0^1 \chi_A$?

\pr Existuje $(K)\int_0^1 \chi_A$, pokud $A\subset[0,1]$ je
lebesgueovsky nem\v{e}\v{r}iteln\'a?

\pr Nech\softt{} $f$ je neklesaj\'{\i}c\'{\i} na $[0,1]$. Existuje $(K)\int_0^1
f$?

\pr Najd\v{e}te funkci, pro kterou existuje $(K)\int_0^1 f$, ale a) neexistuje
$(L)\int_0^1 f$, b) neexistuje $(L)\int_\varepsilon^{1-\varepsilon} f$
pro mal\'a $\varepsilon$.

\pr Najd\v{e}te funkci $f$, pro n\'{\i}\v{z} existuje $(K)\int_0^1 f$, ale pro ka\v{z}d\'e
$\varepsilon&gt;0$ existuje $\delta\in(0,\varepsilon)$, \v{z}e
$(L)\int_\delta^\varepsilon f$ neexistuje.}

\oddel

@ \pr Nejd\v{r}\'{\i}ve doka\v{z}te pro $f$ omezenou. Vyu\v{z}ijte regularitu
Lebesgueovy m\'{\i}ry (co\v{z} zde znamen\'a mo\v{z}nost pokryt\'{\i} nulov\'e mno\v{z}iny
otev\v{r}enou mno\v{z}inou libovoln\v{e} mal\'e m\'{\i}ry). Pak tento postup pou\v{z}ijte pro
nulov\'e mno\v{z}iny $\{x: |f(x)|\le n\}$ pro $n\in\Bbb N$.
\pr $\lambda(A)$ ($\lambda$ zna\v{c}\'{\i} Lebesgueovu m\'{\i}ru). Vyu\v{z}ijte regularity
Lebesgueovy m\'{\i}ry -- aproximujte $A$ shora otev\v{r}enou a zdola uzav\v{r}enou
mno\v{z}inou bl\'{\i}zk\'e m\'{\i}ry.
\pr Pr\'av\v{e} pro takov\'e, \v{z}e $[0,1]\setminus (\vn A\cup \vn([0,1]\setminus
A))$ je lebesgueovsky nulov\'a mno\v{z}ina. Nejprve zkoumejte p\v{r}\'{\i}pad, kdy $\vn
A=\emptyset$, kdy uveden\'a podm\'{\i}nka znamen\'a $\lambda(\overline A)=0$.
\pr Neexistuje. Vyu\v{z}ije se Bolzano-Cauchyho podm\'{\i}nka pro Kurzweil\accent23uv
integr\'al, to, \v{z}e $\lambda_*(A)&lt;\lambda^*(A)$, a Vitaliova v\v{e}ta o
pokryt\'{\i}.
\pr Existuje. Vyu\v{z}ijte toho, \v{z}e mno\v{z}ina bod\accent23u nespojitosti $f$ je
spo\v{c}etn\'a, BC podm\'{\i}nky
a nap\v{r}\'{\i}klad aproximace po \v{c}\'astech konstantn\'{\i} funkc\'{\i} na velk\'e
mno\v{z}in\v{e}.
\pr a) Nap\v{r}\'{\i}klad zvolte $f$, \v{z}e m\'a neabsolutn\v{e} konvergentn\'{\i} Newton\accent23uv
integr\'al, nebo ji sestrojte na vhodn\'ych mno\v{z}in\'ach konstantn\'{\i} s pou\v{z}it\'{\i}m
n\v{e}jak\'e neabsolutn\v{e} konvergentn\'{\i} \v{r}ady. b) Vhodn\v{e} posu\v{n}te funkci z a).
\pr "Slepte" vhodn\v{e} posloupnost funkc\'{\i} z p\v{r}edchoz\'{\i}ho p\v{r}\'{\i}kladu.\par

\varoddel

{
\centerline{\smc IV. Hilbertovy prostory}

\pr
a) Spo\v{c}t\v{e}te $\min\limits_{a,b,c\in\Bbb R} \int_{-1}^1
\left|x^3-a-bx-cx^2\right|^2\d x$, a ur\v{c}ete v\v{s}echny trojice
$a,b,c$, v nich\v{z} se minima nab\'yv\'a.
b) Najd\v{e}te re\'alnou
funkci $g$, kter\'a spl\v{n}uje $\int_{-1}^1g(x)=\int_{-1}^1
xg(x)=\int_{-1}^1 x^2g(x)=0$, $\int_{-1}^1|g(x)|^2\d x=1$ a pro n\'{\i}\v{z} je
$\int_{-1}^1 x^3g(x)$ maxim\'aln\'{\i}.

\pr Stejn\'a \'uloha jako v p\v{r}edchoz\'{\i}m p\v{r}\'{\i}klad\v{e}, jen $a,b,c\in\Bbb C$
a $g$ je komplexn\'{\i}.

\pr  Spo\v{c}t\v{e}te $\min\limits_{a,b,c\in\Bbb R} \int_0^\infty
\left|x^3-a-bx-cx^2\right|^2e^{-x}\d x$, a ur\v{c}ete v\v{s}echny trojice
$a,b,c$, v nich\v{z} se minima nab\'yv\'a. Zformulujte a zodpov\v{e}zte ot\'azku
analogickou \'uloze b) v p\v{r}edchoz\'{\i}ch p\v{r}\'{\i}kladech.

\pr Nech\softt{} $H$ je Hilbert\accent23uv prostor, $M\subset H$ uzav\v{r}en\'y
podprostor a $x_0\in H$. Doka\v{z}te, \v{z}e
$\min\{\|x-x_0\|\mid x\in M\}=\max\{|(x_0,y)|\mid y\in
M^\perp,\|y\|=1\}$.

\pr Nech\softt{} $M\subset H$ ($H$ je H-prostor). Co lze \v{r}\'{\i}ci o mno\v{z}in\v{e}
$(M^\perp)^\perp$ ?}

\newpage

{
\centerline{\smc Test \v{c}\'{\i}slo 3}

\pr (25 bod\accent23u) Nech\softt{} $f(x)=\dist(x,A)\cdot\dist([x,0],B)$, kde $A$ je Cantorovo
diskontinuum v intervalu $[0,1]$ a $B$ je graf funkce $\sin$ na
intervalu $[0,2\pi]$. (Symbol $\dist$ ozna\v{c}uje vzd\'alenost na p\v{r}\'{\i}mce, respektive
v rovin\v{e}.)

a) Uka\v{z}te, \v{z}e ka\v{z}d\'a z funkc\'{\i} $x\mapsto \dist(x,A)$ a $x\mapsto
\dist([x,0],B)$ je lipschitzovsk\'a na $[0,2\pi]$. S jakou konstantou?

b) Je funkce $f$ t\'e\v{z} lipschitzovsk\'a?

c) Co m\accent23u\v{z}ete \v{r}\'{\i}ci o konvergenci Fourierovy \v{r}ady funkce $f$ na intervalu
$[0,2\pi]$? (Pou\v{z}ijte Jordan-Dirichletovo krit\'erium.)

\pr (25 bod\accent23u) Najd\v{e}te $a,b\in\Bbb R$ takov\'a, aby $\int_{-1}^1\left|1-a\cos x-b\sin
x\right|^2 e^x\d x$ bylo nejmen\v{s}\'{\i}.

\pr (25 bod\accent23u) Nech\softt{} $M=\{ x=(x_n)\in\ell_2\mid \sum\limits_{n=1}^\infty x_n=0\}$
a $N=\{ x=(x_n)\in\ell_2\mid \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x_n}n=0\}$.

a) Uka\v{z}te, \v{z}e $M$ i $N$ jsou line\'arn\'{\i} podprostory $\ell_2$.

b) Uka\v{z}te, \v{z}e $M^\perp =\{0\}$. Ur\v{c}ete $N^\perp$.

c) Je $M$ uzav\v{r}en\'y? A co $N$?
\vskip-8pt
\pr (25 bod\accent23u) Existuje re\'aln\'a symetrick\'a matice $A$, pro n\'{\i}\v{z} plat\'{\i}
a) $e^A=\pmatrix 1 &amp; 2 \\ 2 &amp; 1\endpmatrix$,
b) \nobreak$e^A=~\pmatrix 2 &amp; 1 \\ 1 &amp; 2 \endpmatrix$?
\vskip -8 pt Pokud ano, ur\v{c}ete ji.
}

\end</pre></body></html>