<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\def\softd{{\leavevmode\setbox1=\hbox{d}%
\hbox to 1.05\wd1{d\kern-0.4ex{\char039}\hss}}}%cstocs
\def\softt{{\leavevmode\setbox1=\hbox{t}%
\hbox to \wd1{t\kern-0.6ex{\char039}\hss}}}%cstocs
\def\softl{l\kern-0.45ex\raise0.1ex\hbox{'}\kern-0.10ex}%cstocs
\def\softL{L\kern-0.8ex\raise0.1ex\hbox{'}\kern0.1ex}%cstocs
% endofdefsfromcstocs %

\input c:/emtex/texinput/amstex/cviceni
%\vcorrection{12 mm}
\NoBlackBoxes

{
\centerline{\smc I. Vyj\'ad\v{r}ete primitivn\'{\i} funkce pomoc\'{\i} element\'arn\'{\i}ch
funkc\'{\i}}
\centerline{\smc na maxim\'aln\'{\i}ch intervalech existence}

\pr $\int x^3+2x+\frac{17}x \d x$
\pr $\int 18e^x+16e^{8x}-\frac1x+3\cos x \d x$
\pr $\int\root 3\of {1-3x}\d x$
\pr $\int{(1-x)^3\over x\root 3\of x}\d x$

\pr $\int {x^2\over(1-x)^{100}}\d x$
\pr $\int \sin^7x\cos x\d x$
\pr $\int x e^{-x^2} \d x$
\pr $\int \tg x\d x$
\pr $\int \cotg x\d x$

\pr $\int\sqrt{x^6}\d x$
\pr $\int\vert\cos x\vert\d x$
\pr $\int \arcsin\sin \frac{4x}{x^2+1} \d x$
\pr $\int{2^{x+1}-5^{x-1}\over10^x}\d x$
\pr $\int{e^{3x}+1\over e^x+1}\d x$
\pr $\int \tg^2x\d x$
\pr $\int\cotg^2x\d x$
\pr $\int {\d x\over2+3x^2}$
\pr $\int\sin^2x\d x$
\pr $\int \cos^4x\d x$
\pr $\int{x^2\d x\over\cos^2\left(x^3\right)}$
\pr $\int {x\over 1+4x^2}\d x$
\pr $\int{x\over1+x^4}\d x$
\pr $\int {\d x\over x\log x\log\log x}$
\pr $\int {\d x\over\sin x}$
\pr $\int {\d x\over\cos x}$
\pr $\int x e^x\d x$
\pr $\int \log x\d x$
\pr $\int \arctg x \d x$
\pr $\int{\sin x\over e^x}\d x$
\pr $\int e^{ax}\cos{bx}\d x\ ,\, a, b \in \Bbb R$
\pr $\int x^\alpha\log x\d x$

\pr $\int x^3\log^2x\d x$
\pr $\int e^{\sqrt{x}}\d x$
\pr $\int\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\d x$
}

\oddel

@ V\'ysledky jsou uvedeny \clqq a\v{z} na konstantu\crqq.
\pr $\frac14x^4+x^2+16\log|x|$ na $(-\infty,0)$ a na
$(0,\infty)$ \pr $18e^x+2e^{8x}-\log|x|+3\sin x$ na $(-\infty,0)$ a na
$(0,\infty)$
\pr $-\frac14(1-3x)^{\frac43}$, na $\Bbb R$
\pr $-\frac3{\root3\of x}-\frac92\root
3\of{x^2}+\frac95x^{\frac53}-\frac38x^{\frac83}$ na $(-\infty,0)$
a na $(0,\infty)$
\pr ${1\over99(1-x)^{99}}-{1\over 49(1-x)^{98}}+{1\over
97(1-x)^{97}}$, na $(-\infty,1)$ a na $(1,\infty)$
  \pr $\frac18\sin^8x$ na $\Bbb R$ \pr
$-\frac12e^{-x^2}$ na $\Bbb R$ \pr $-\log |\cos x|$ na ka\v{z}d\'em
z interval\accent23u $(-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi)$, $k\in\Bbb Z$
\pr $\log|\sin x|$ na ka\v{z}d\'em z interval\accent23u $(k\pi,(k+1)\pi)$,
$k\in\Bbb Z$
\pr $\frac14|x|\cdot x^3$, na $\Bbb R$
\pr $\sin\left(x-\pi\cdot\left[\frac x\pi+\frac12\right]\right)+
2\cdot\left[\frac x\pi+\frac12\right]$, na $\Bbb R$
\pr $F(x)=\cases
2\log(1+x^2)+\pi(x_2-x_1)+ 4\log\frac{x_1}{x_2} &amp;
x\in[-\infty,-x_2] \\
-\pi(x+x_1)-2\log(1+x^2)+4\log(\frac8\pi x_1) &amp; x\in[-x_2,-x_1] \\
2\log(1+x^2) &amp; x\in[-x_1,x_1] \\
\pi(x-x_1)-2\log(1+x^2)+4\log(\frac8\pi x_1) &amp; x\in[x_1,x_2] \\
2\log(1+x^2)+\pi(x_2-x_1)+ 4\log\frac{x_1}{x_2} &amp;
x\in[x_2,\infty] \endcases$\qquad a \quad $\matrix x_1={4-\sqrt{16-\pi^2}\over\pi}
\\ x_2={4+\sqrt{16-\pi^2}\over\pi}\endmatrix$, na $\Bbb R$
\pr ${-10\cdot 5^{-x}\log2+2^{-x}\log5\over 5\log5\log2}$,
na $\Bbb R$
\pr $\frac12e^{2x}-e^x+x$, na $\Bbb R$
\pr $\tg x-x$, na ka\v{z}d\'em z interval\accent23u
$(-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi)$, $k\in\Bbb Z$
\pr $-\cotg x-x$, na ka\v{z}d\'em z interval\accent23u $(k\pi,(k+1)\pi)$,
$k\in\Bbb Z$
\pr $\frac1{\sqrt6}\arctg{x\sqrt6\over2}$, na $\Bbb R$
\pr $\frac x2-\frac14\sin 2x$, na $\Bbb R$
\pr $\frac38x+\frac38\sin x\cos x+\frac14\sin x\cos^3x$, na $\Bbb
R$
\pr $\frac13\tg(x^3)$, na ka\v{z}d\'em z interval\accent23u
$(\root 3\of{-\frac\pi2+k\pi},\root3\of{\frac\pi2+k\pi})$,
$k\in\Bbb Z$
\pr $\frac18\log(1+4x^2)$, na $\Bbb R$
\pr $\frac12 \arctg(x^2)$, na $\Bbb R$
\pr $\log|\log\log x|$, na $(1,e)$ a na $(e,\infty)$
\pr $\log\left|\tg\frac x2\right|$, na ka\v{z}d\'em z interval\accent23u $(k\pi,(k+1)\pi)$,
$k\in\Bbb Z$
\pr $-\log\left|\tg(\frac\pi4-\frac x2)\right|$,  na ka\v{z}d\'em z interval\accent23u
$(-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi)$, $k\in\Bbb Z$
\pr $(x-1)e^x$ na $\Bbb R$
\pr $x\log x-x$ na $(0,\infty)$
\pr $x\arctg x -\frac12\log(1+x^2)$ na $\Bbb R$
\pr $-\frac12e^{-x}\cdot(\sin x+\cos x)$, na $\Bbb R$
\pr ${e^{ax}\over a^2+b^2}\cdot(a\cos bx+b\sin bx)$ na $\Bbb
R$, pokud $a^2+b^2\ne0$; $x$ na $\Bbb R$, pokud $a=b=0$
\pr ${x^{1+\alpha}\over 1+\alpha}\cdot\left(\log
x-\frac1{1+a}\right)$, na $(0,\infty)$ pro $\alpha\ne1$;
$\frac12\ln^2x$, na $(0,\infty)$ pro $\alpha=-1$
\pr $\frac14x^4\ln^2x-\frac18x^4\ln x+\frac1{32}x^4$, na
$(0,\infty)$
\pr $2e^{\sqrt x}\cdot(\sqrt x-1)$, na $(0,\infty)$ (substituce $x=y^2$ a pak per partes)
\pr $x\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)-\sqrt{x^2+1}$, na $\Bbb R$ (per partes)


%\end

\newpage

{
\centerline{\smc II. Spo\v{c}t\v{e}te primitivn\'{\i} funkce}

\pr $\int \frac{x^{17}-5}{x-1}\d x$
\pr $\int \frac{x^{17}-5}{x^2-1}\d x$
\pr $\int \frac{x^3+1}{x^3-5x^2+6x}\d x$
\pr $\int \frac{x}{x^3-1}\d x$
\pr $\int {\d x\over x^4+1}$

\pr $\int {\d x\over (x^2+1)^2}$ pomoc\'{\i} $x=\tg y$
\pr $\int{x^8+x-1\over x^6+1}\d x$
\pr $\int{\d x\over\left(x^2+3x+4\right)^2}$

\pr Pro jak\'y vztah mezi parametry $a$, $b$, $c\in \Bbb R$
je primitivn\'{\i} funkce k funkci $f$ racion\'aln\'{\i}, je-li
$f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x^3(x-1)^2}$?
\pr $\int\frac{x\,\d x}{\sqrt{x+1}+\root 3\of{x+1}}$
\pr $\int\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\frac{\d x}{x}$
\pr $\int\root3\of{\frac{1-x}{1+x}}\frac{\d x}{x}$
\pr $\int{\d x\over\left(4+x^2\right)\sqrt{4-x^2}}$
\pr $\int{1-\sqrt{x+1}\over 1-\root 3 \of{x+1}}\d x$
\pr $\int{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}\over\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}\d x$
\pr $\int \frac{\exp x}{\exp x + 1}\d x$
\pr $\int{e^{2x}\over 1+e^x}\d x$
\pr $\int\frac{\d x}{1+\sqrt{x^2 + 2x + 2}}$
\pr $\int\,\sqrt{x^2 - 2x - 1}\d x$
\pr $\int\frac{(2x + 3)\,\d x}{(x^2+2x+3)\sqrt{x^2+2x+4}}$
\pr $\int{\d x\over\sqrt{x^2+1}}$
\pr $\int\sqrt{x^2-1}\d x$

\pr $\int\sqrt{1-x^2}\d x$
\pr $\int {\sin x\cos x\over 1+\sin^4x}\d x$
\pr $\int {\sin^2x\over\sin x+2\cos x}$
\pr $\int{\d x\over 2\sin x-\cos x+5}$

\pr $\int{\d x\over\left(\sin^2x+2\cos^2x\right)^2}$
\pr $\int{\d x\over(2+\cos x)\sin x}$
\pr $\int{\sin^2 x\over 1+\sin^2 x}\d x$
\pr $\int{\sin x\cos x\over \sin x+\cos x}\d x$

\pr $\int{\sin x\over\sin^3x+\cos^3x}\d x$
\pr $\int{\d x\over\sin^4x+\cos^4x}$
\pr $\int{\d x\over 1+\varepsilon\cos x}$, $\varepsilon&gt;0$
\pr $\int{\d x \over a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}$, $a,b\in\Bbb R$
}

\oddel

@ \pr  $ \left(\sum_1^{17}\frac{x^k}{k}\right) -
4\log|x-1|$,  $x \in (-\infty, 1)$ nebo  $x \in (1,
+\infty)$
\pr $\left(\sum_{1}^{8}\frac{1}{2k}x^{2k}\right)
- 2\log |x - 1| +  3\log |x+1|$,
 $x \in (-\infty, -1)$  nebo $x \in (-1,1)$
nebo  $x \in (1,+\infty)$
\pr  $ x + \frac{1}{6}\log|x| -\frac{9}{2}\log|x-2|+
\frac{28}{3}\log|x-3|$,
$x \in (-\infty, 0)$  nebo  $x \in(0,2)$ nebo  $x \in (2,3)$ nebo
$x \in (3, +\infty)$
\pr $  \frac16\log\frac{(x-1)^2}{x^2+x+1}
+\frac{\sqrt3}{3}\arctg\frac{2x+1}{\sqrt3}$, $x \in (-\infty, 1)$
 nebo  $x \in (1, +\infty)$
\pr $\frac{\sqrt2}8\log{x^2+x\sqrt2+1\over
x^2-x\sqrt2+1}+\frac{\sqrt2}4\arctg(x\sqrt2+1)+\frac{\sqrt2}4
\arctg(x\sqrt2-1)$
\pr ${x\over 2(x^2+1)}+\frac12\arctg x$
\pr $\frac13x^3+\frac16\log(1+x^2)+{\sqrt3-1\over2}\log(x^2-x\sqrt3+1)
-{\sqrt3+1\over2}\log(x^2+x\sqrt3+1)-{3-\sqrt3\over6}\arctg(2x-
\sqrt3)-{3+\sqrt3\over6}\arctg(2x+\sqrt3)$
\pr $\frac17\cdot{2x+3\over
x^2+3x+4}+{4\sqrt7\over49}\arctg{2x+3\over\sqrt7}$
\pr  $ a+2b+3c=0 $
\pr $6\Big(\frac{1}{9}u^{(3/2)}- \frac{1}{8}u^{(4/3)}+
\frac{1}{7}u^{(7/6)}- \frac{1}{6}u+ \frac{1}{5}u^{(5/6)}-
\frac{1}{4}u^{(2/3)}\Big)$,  kde   $u=x+1$,  $x \in
(-1, +\infty) $
\pr $\log\Big|\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+
\sqrt{1-x}}\Big| +2\arctg\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$, $x \in
(-1,1)$
\pr $\log\frac{|u^2-1|}{\sqrt{u^4+u^2+1}} -
\sqrt3\arctg\frac{2u + 1}{\sqrt3}\ + \sqrt3\arctg\frac{2u -
1}{\sqrt3}$, kde $u= \root3\of{\frac{1-x}{1+x}}$,
$x \in (-\infty,-1)$ nebo   $x \in (-1,0)$  nebo $x \in (1,+\infty)$
\pr  $t=\sqrt{2-x\over 2+x}$
\pr $t=\root 6\of{x+1}$
\pr $t=\sqrt{x-1\over x+1}$
\pr $ \log {(e^x + 1)}$, $x \in \Bbb R$
\pr $e^x-\log(1+e^x)$
\pr $ \frac{2}{x - \sqrt{x^2 + 2x +2}}
- \log (\sqrt{x^2 + 2x + 2} -x -1)$, $x \in \Bbb R $
\pr  $ \frac 12 (x - 1)\sqrt{x^2 -2x -1} - \log
|x-1 + \sqrt{x^2 - 2x - 1}|$, $x\in (-\infty, 1 - \sqrt 2)$
 nebo  $x \in (1 + \sqrt 2, +\infty)$
\pr $\log \frac{t^2 - 4t + 6}{t^2 + 2} +
\frac{1}{\sqrt 2} \arctg \frac{t}{\sqrt 2} -
\frac{1}{\sqrt 2} \arctg \frac{t-2}{\sqrt 2}$,  kde
$t = \sqrt{x^2 + 2x + 4} - x$, $x \in \Bbb R$
\pr $\argsinh x=\log(x+\sqrt{x^2+1})$ na $\Bbb R$
\pr $\frac12x\sqrt{x^2-1}-\frac12\log|x+\sqrt{x^2-1}|$ na
$(-\infty,-1)$ a na $(1,+\infty)$
\pr $\frac x2\sqrt{1-x^2}+\frac12\arcsin x$ na $(-1,1)$
\pr $\frac12\arctg\sin^2x$
\pr a \pr substituce $y=\tg\frac x2$
\pr substituce $y=\tg x$
\pr substituce $y=\cos x$
\pr substituce $y=\tg x$
\pr substituce $y=\tg\frac x2$
\pr a \pr substituce $y=\tg x$
\pr substituce $y=\tg\frac x2$
\pr substituce $y=\tg x$\par

\newpage

{
\centerline{\smc III. Aplikace urèitého integrálu}
\centerline{(všechny parametry jsou kladné)}

\pr Najdìte obsahy ploch ohranièených køivkami:

(a) $ax=y^2$, $ay=x^2$
(b) $y=x^2$, $x+y=2$
(c) $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
(d) $Ax^2+2Bxy+Cy^2=1$ ($AC-B^2&gt;0$)

\pr Spoètìte délky køivek

(a) $y=x^{\frac32}$ ($0\le x\le 4$) \quad
(b) $y=e^x$, ($0\le x\le x_0$) \quad
(c) $x=\frac14y^2-\frac12\log y$ ($1\le y\le e$) \quad

(d) $x^{\frac23}+y^{\frac23}=a^{\frac23}$ \quad
(e) $x=\cos^4t$, $y=\sin^4t$ \quad
(f) $x=a(\cos t +t\sin t)$, $y=a(\sin t-t\cos t)$ ($0\le
t\le2\pi$)

\pr Spoètìte objemy a povrchy následujících tìles vzniklých rotací:
(a) Plochy ohranièené parabolou $y^2=4x$ a pøímkou $x=1$ okolo osy
$x$.
(b) Elipsy s polosami $a,\,b$ okolo jedné z jejích os.
(c) Plochy ohranièené parabolami $y=x^2$ a $x=y^2$ kolem osy I.
kvadrantu.
(d) Pravidelného šestiúhelníku o stranì $a$ okolo jedné z jeho
stran.
}

\oddel

@ \pr (a) $\int_0^a (\sqrt{ax}-\frac1a
x^2)\d x=\frac13a^2$
(b) $\int_{-2}^1 (2-x-x^2)\d x=\frac92$;
(c) $\int_{-a}^a 2b\sqrt{1-(\frac x a)^2}\d x=\pi ab$;
(d) $\int_{-\sqrt{\frac{C}{AC-B^2}}}^{\sqrt{\frac{C}{AC-B^2}}}
\frac2C\sqrt{C-(AC-B^2)x^2}=\frac\pi{\sqrt{AC-B^2}}$
\newline
\pr (a) $\int_0^4\sqrt{1+\frac94x}\d x=\frac{80\sqrt{10}-8}{27}$;
(b) $\int_0^{x_0}\sqrt{1+e^{2x}}\d
x=\log(\sqrt2+1)-\sqrt2+\sqrt{1+e^{2x_0}}
+\frac12\log\frac{\sqrt{1+e^{2x_0}-1}}{\sqrt{1+e^{2x_0}+1}}$;
(c) $\int_1^e \sqrt{1+(\frac y2-\frac1{2y})^2}\d
y=\frac14(e^2+1)$;
(d) $2\int_{-a}^a\sqrt{1+(a^{\frac23}-x^{\frac23})x^{-\frac23}}
=6a$;\newline
(e) $\int_0^{\frac\pi2}\sqrt{16\cos^6t\sin^2t+16\sin^6t\cos^2t}\d
t=1+\frac{\sqrt2}4\log(3+2\sqrt2)$;
(f) $\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2t^2\cos^2t+a^2t^2\sin^2t}=2a\pi^2$;
\pr (a) objem: $\pi\int_0^14x\d x=2\pi$; povrch pláštì:
$2\pi\int_0^1 2\sqrt x\sqrt{1+\frac1x}\d
x=\frac83\pi(2\sqrt2-1)$; celkový povrch je o $4\pi$ vìtší;
(b) objem: $\pi\int_{-a}^a b^2(1-\frac{x^2}{a^2})\d x=\frac43\pi
a b^2$ (rotuje se okolo osy délky $2a$); povrch: $2\pi\int_{-a}^a
b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\sqrt{1+\frac{b^2x^2}
{a^4(1-\frac{x^2}{a^2})}} \d x=\cases 2\pi
b(b+\frac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\arcsin\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}), &amp;
a&gt;b, \\ 4\pi b^2, &amp; a=b, \\ 2\pi
b(b+\frac{a^2}{\sqrt{b^2-a^2}}\log\frac{b+\sqrt{b^2-a^2}}{a}), &amp;
a&lt;b;\endcases$
(c) je to stejné, jako rotace grafu funkce
$f(x)=x+\frac{1-\sqrt{1+4t\sqrt2}}{\sqrt2}$, $x\in[0,\sqrt2]$
okolo osy $x$; objem: $\frac{\pi\sqrt2}{60}$; povrch
$\frac{\sqrt2}{24}-\frac{13\sqrt{10}}{192}-\frac{\sqrt2}{128}
\log(2+\sqrt5)$;
(d) objem:
$\pi(\int_{-\frac{\sqrt3}2a}^0((\frac{\sqrt3}2x+a\sqrt3)^2
-\frac34x^2)\d x+\int_0^a 3a^2\d x+\int_{a}^{a(a+\frac{\sqrt3}2)}
((a\sqrt3-\frac{\sqrt3}2(x-a))^2-\frac34(x-a)^2)\d x)=
3\pi a^3(\sqrt3+\frac14)$; povrch:
$2\pi(\int_{-\frac{\sqrt3}2a}^0(-\frac{\sqrt3}2x+\frac{\sqrt3}2x
+a\sqrt3)\frac{\sqrt7}2\d x+\int_0^a a\sqrt3 \d x
+\int_{a}^{a(a+\frac{\sqrt3}2)}(\frac{\sqrt3}2(x-a)-\frac{\sqrt3}2(x-a)
+a\sqrt3)\frac{\sqrt7}2\d x=\frac12\pi a^2(3\sqrt7+4\sqrt3)$
 \par



\newpage
{\let\e\varepsilon
\centerline{\smc IV. Stejnomìrná konvergence a její aplikace}

\pr Vyšetøete bodovou, stejnomìrnou a lokálnì stejnomìrnou konvergenci posloupností funkcí:
(a) $x^{n+1}-x^{n-1},\,x\in\langle0,1\rangle$,
(b) $x^n-x^{3n},\,x\in\langle0,1\rangle$,
(c) ${1\over x+n}$, $x\in\bold R$,
(d) ${nx\over 1+n+x}$, $x\in\langle0,1\rangle$,
(e) ${x^n\over 1+x^n}$,   $x\in\langle0,+\infty)$, 
(f) ${2nx\over 1+n^2x^2}$, $x\in\langle0,+\infty)$,
(g) $\sqrt{x^2+{1\over n^2}},\,x\in\bold R$,
(h) ${\sin nx\over n}$, $x\in\bold R$,
(i) $\sin\frac x n$, $x\in\bold R$,
(j) $n\cdot\left(\sqrt{x+\frac1n}-\sqrt x\right)$, $x\in \langle0,\infty)$.

\pr Vyšetøete bodovou, stejnomìrnou a lokálnì stejnomìrnou konvergenci øad:
(a) $\sk1 {kx\over 1+k^5x^2}$,
(b) $\sk1 \log\left(1+{x^2\over k^2}\right)$,
(c) $\sk1 {(-1)^k\over x+k}$,
(d) $\sk1 {(-1)^k\over x+2^k}$,
(e) $\sk1 \arctg{2x\over x^2+k^3}$,
(f) $\sk2 {(-1)^k\over k+\sin x}$,
(g) $\sk1 2^k\sin{1\over 3^k x}$,
(h)* $\sk1 {\sin kx\over k}$
(i)* $\sk1 {\cos kx\over k}$
(j)* $\sk1 {\sin x\sin kx\over\sqrt{k+x}}$
(k)* $\sk1 {\cos kx\over k}\arctg(kx+k)$

\pr Spoètìte limity:
(a) $\lx{1-}\sk1{(-1)^k\over k}\cdot{x^k\over x^k+1}$
(b) $\lx{1-}\sk1(x^k-x^{k+1})$
(c) $\lx{0+}\sk1{1\over 2^k k^x}$

\pr Platí $\lp\int_0^1 f_n(x)\d x=\int_0^1 \lp f_n(x)\d x$,
jestliže
(a) $f_n(x)=nxe^{-nx^2}$,

(b) $f_n(x)=nx(1-x)^n$, (c)
$f_n(x)={nx\over 1+n^3x^2}$ ?
Jak je to se stejnomìrnou konvergencí $f_n$ na $(0,1)$?



\pr Dokažte, že funkce $\zeta(x)=\sk1\frac1{k^x}$ má na intervalu $(1,\infty)$
derivace všech øádù.

\pr Nech $\bold a=\{a_k\}$ je posloupnost nezáporných reálných èísel.
Položme $\zeta_{\bold a}(x)=\topsmash{\sk1\frac{a_k}{k^x}}$. Co lze øíci o
definièním oboru, spojitosti a derivacích funkce $\zeta_{\bold
a}$ ? (*Jak je to v pøípadì, že $\bold a=\{a_k\}$ je posloupnost
reálných, ne nutnì nezáporných èísel?)


\pr Nech $f(x)=\sk1{x\over k^p+x^2 k^q}$, kde $p,q\ge 0$.
Dokažte, že

(i) $f$ je spojitá na $(0,\infty)$, pokud
$\max(p,q)&gt;1$, (ii) $f$ je spojitá na $\Bbb R$, pokud $p+q&gt;2$.

(iii) Vyšetøete definièní obor a spojitost $f$ v
závislosti~na~$p,q$.

\pr V kterých bodech má derivaci funkce
(a) $f(x)=\sk1 {(-1)^k\over k+x}$
(b) $f(x)=\sk1 {|x|\over k^2+x^2}$

\pr* Dokažte, že $f(x)=\sk1{\sin kx\over k^3}$ má spojitou
derivaci na $\Bbb R$ a spojitou $f''$ na $(0,2\pi)$.
}
\oddel

{\let\tost\rightrightarrows \let\e\varepsilon
@ \pr (a) $f_n\tost 0$ na $\langle0,1\rangle$, (b)  $f_n\to 0$ na $\langle0,1\rangle$,
stejnomìrnì na $\langle0,1-\varepsilon\rangle$ pro $\varepsilon\in(0,1)$, na
žádném $\langle1-\varepsilon,1\rangle$ konvergence není stejnomìrná.
(c) $f_n\to 0$ na $\bold R$, stejnomìrnì na $(k,\infty)$ pro každé
$k\in\bold R$, na žádném $(-\infty,k)$ konvergence není
stejnomìrná.
(d) $f_n\tost x$ na $\langle0,1\rangle$ (dokonce na $\langle0,k\rangle$ pro $k\in
(0,\infty)$, ale ne na okolí  $+\infty$.
(e) $f_n(x)\to \cases 0 &amp; x\in\langle0,1) \\ \frac12 &amp; x=1 \\ 1 &amp; x&gt;1
\endcases$,  stejnomìrnì na $\langle0,1-\e\rangle$ a $\langle1+\e,+\infty)$ pro každé $\e&gt;0$, nestejnomìrnì na okolí $1$ (ani na jednostranných okolích).
(f) $f_n\to 0$ na $\bold R$, stejnomìrnì na $\langle\varepsilon,\infty\rangle$
pro $\varepsilon&gt;0$, nestejnomìrnì na $\langle0,\varepsilon\rangle$.
(g) $f_n\tost|x|$ na $\bold R$
(h) $f_n\tost0$ na $\bold R$
(i) $f_n\to0$ na $\bold R$, stejnomìrnì na omezených intervalech,
nestejnomìrnì na okolích $\pm\infty$.
(j) $f_n(x)\to \cases 0 &amp; x=0 \\ {1\over 2\sqrt x} &amp; x&gt;0\endcases$,
stejnomìrnì na $\langle\varepsilon,\infty\rangle$, $\varepsilon&gt;0$, nikoli na
$\langle0,\varepsilon\rangle$.
\pr (a) Konverguje stejnomìrnì na $\bold R$ (totéž platí pro øadu
absolutních hodnot, lze použít Weierstrassovo kritérium).
(b) Konverguje bodovì na $\bold R$ (absolutnì). Konvergence je
stejnomìrná na omezených intervalech (Weierstrassovo kritérium),
není omezená na okolích $+\infty$ a $-\infty$ (nutná podmínka).
(c) Konverguje bodovì na množinì $M=\{x\in\bold R; -x\notin
\bold N\}$ (neabsolutnì), v ostatních bodech nemá smysl. Konvergence
je stejnomìrná na $(K,+\infty)\cap M$ pro každé $K\in\bold R$
(Leibnizovo kritérium), není
stejnomìrná na $(-\infty,K)\cap M$ (nutná podmínka).
(d)  Konverguje bodovì na množinì $M=\{x\in\bold R; x\ne
-2^k\text{ pro }k\in \bold N\}$ (absolutnì), v ostatních bodech nemá smysl.
Konvergence
je stejnomìrná na $(K,+\infty)\cap M$ pro každé $K\in\bold R$
(Weierstrassovo kritérium), není
stejnomìrná na $(-\infty,K)\cap M$ (nutná podmínka).
(e) Konverguje stejnomìrnì na $\bold R$ (totéž platí pro øadu
absolutních hodnot, lze použít Weierstrassovo kritérium).
(f) Konverguje stejnomìrnì na $\bold R$ (neabsolutnì, Leibnizovo
kritérium).
(g) Konverguje bodovì na $\bold R\setminus\{0\}$ (absolutnì).
Konvergence je stejnomìrná na $\bold
R\setminus\langle-\varepsilon,\varepsilon\rangle$ pro
$\varepsilon&gt;0$ (Weierstrassovo kritérium), není stejnomìrná na
$(-\varepsilon,0)$ ani na $(0,\varepsilon)$ (nutná podmínka).
\qquad
{\bf Poznámka:} V dalších pøíkladech se používá i Dirichletovo a
Abelovo kritérium a odhady $\left|\sum_{k=1}^n \sin kx\right|\le
{1\over 2|\sin \frac x2|}$ a $\left|\sum_{k=1}^n \cos kx\right|\le
{1\over 2|\sin \frac x2|}$ pro $x\ne 2k\pi$ ($k\in\bold Z$).
(h) Konverguje bodovì na $\bold R$ (pro $x=k\pi$ je to zøejmé,
pro ostatní to plyne z Dirichletova kritéria). Konvergence je
stejnomìrná na intervalech
$(2k\pi+\varepsilon,(2k+2)\pi-\varepsilon)$ pro každé
$\varepsilon\in (0,\pi)$ (Dirichletovo kritérium), není
stejnomìrná na $(2k\pi,2k\pi+\varepsilon)$ ani na
$(2k\pi-\varepsilon,2k\pi)$ pro $\varepsilon&gt;0$
(Bolzano-Cauchyova podmínka).
(i)  Konverguje bodovì na $\bold R\setminus \{2k\pi; k\in\bold
Z\}$ (Dirichletovo kritérium, divergence v bodech $2k\pi$ je
dùsledkem divergence øady $\sk1 \frac1k$). Konvergence je
stejnomìrná na intervalech
$(2k\pi+\varepsilon,(2k+2)\pi-\varepsilon)$ pro každé
$\varepsilon\in (0,\pi)$ (Dirichletovo kritérium), není
stejnomìrná na $(2k\pi,2k\pi+\varepsilon)$ ani na
$(2k\pi-\varepsilon,2k\pi)$ pro $\varepsilon&gt;0$
(vìta o zámìnì limit).
(j) Konverguje stejnomìrnì na $(-1,+\infty)$ (Dirichletovo
kritérium), pro $x\le-1$ nemá smysl.
(k)  Konverguje bodovì na $\bold R\setminus \{2k\pi; k\in\bold
Z\}$ (Dirichletovo a Abelovo kritérium, divergence v bodech $2k\pi$ je
dùsledkem divergence øady $\sk1 \frac1k$). Konvergence je
stejnomìrná na intervalech
$(2k\pi+\varepsilon,(2k+2)\pi-\varepsilon)$ pro každé
$\varepsilon\in (0,\pi)$ (Dirichletovo a Abelovo kritérium), není
stejnomìrná na $(2k\pi,2k\pi+\varepsilon)$ ani na
$(2k\pi-\varepsilon,2k\pi)$ pro $\varepsilon&gt;0$
(vìta o zámìnì limit).
\pr (a) Limita je $\frac12\sk1 {(-1)^k\over k}=-\frac12\log2$
(øada konverguje stejnomìrnì na $\langle0,+\infty)$ podle Abelova
kritéria). (b) Limita je $1$ (lze spoèítat elementárnì, nelze
pøehodit limitu a sumu, øada nekonverguje stejnomìrnì na
$(1-\varepsilon,1)$). (c) Limita je $1$ (øada konverguje
stejnomìrnì napøíklad na $(-1,+\infty)$).
\pr (a) $f_n\to0$ na $\bold R$, konvergence není stejnomìrná na
$(0,1)$, $\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n =\frac12\ne0=\int_0^1
\lim_{n\to\infty} f_n$. (b)  $f_n\to0$ na $\langle0,1\rangle$,
konvergence není stejnomìrná na $(0,1)$,
$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n =0=\int_0^1 \lim_{n\to\infty} f_n$.
(c) $f_n\rightrightarrows 0$ na $(0,1)$, a tedy
$\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n =0=\int_0^1 \lim_{n\to\infty} f_n$.
\pr Dokažte pomocí Weierstrassova kritéria, že øada $n$-tých
derivací konverguje lokálnì stejnomìrnì na $(1,+\infty)$ pro
všechna $n$.
\pr Definièní obor je buï $\emptyset$, nebo interval
$(\alpha,+\infty)$ pro nìjaké $\alpha\in\bold R$, nebo interval
$\langle \alpha,+\infty)$ pro nìjaké $\alpha\in\bold R$, nebo
$\bold R$. Funkce je spojitá na svém definièním oboru. Pro
$x\in(\alpha,+\infty)$ (je-li definièní obor $(\alpha,+\infty)$
nebo $\langle\alpha,+\infty)$) nebo pro $x\in\bold R$ (je-li
definièní obor $\bold R$) má funkce $\zeta_{\bold a}$ pro všechna
$n\in\bold N$ vlastní $n$-tou derivaci ${(\zeta_{\bold
a})}^{(n)}(x)=\sk1 {(-1)^n a_k\log^n k\over k^x}$. Je-li definièní obor
$\langle\alpha,+\infty)$, pak $n$-tá derivace zprava v bodì
$\alpha$ je dána týmž vzorcem, pokud ovšem øada ve vzorci
konverguje (což mùže a nemusí být pravda). Použije se
Weierstrassovo kritérium (a vìty o zámìnì limit a derivací atp.).
Pro obecný pøípad platí stejné závìry, jen se použije Abelovo
kritérium místo Weierstrassova.
\pr (i) Ukažte, že øada konverguje lokálnì stejnomìrnì na
$(0,+\infty)$.
(ii) Ukažte, že øada konverguje stejnomìrnì na $\bold R$.
(iii) Je-li $\max(p,q)\le1$, je $D_f=\{0\}$, je-li $\max(p,q)&gt;1$,
je $D_f=\bold R$. Pro $\max(p,q)&gt;1$ je $f$ spojitá na $\bold R$.
Je-li navíc $p+q&gt;2$ nebo $p&gt;q$, je $f$ spojitá na $\bold R$;
je-li $p+q\le 2$ a $p&lt;q$, není $f$ spojitá v $0$ (ani zleva ani
zprava). (Pøípad $p+q\le2$ a $p=q$ nemùže nastat, je-li
$\max(p,q)&gt;1$.)
\pr (a) Ve všech bodech definièního oboru, kterým je množina
$\{x\in\bold R; -x\notin \bold N\}$. (b) $D_f=\bold R$, derivace
existuje (vlastní) v bodech $\bold R\setminus\{0\}$. V $0$
derivace neexistuje, protože $f'_+(0)=\sk1{1\over k^2}$ a
$f'_-(0)=-f'_+(0)$.
\pr Pro první derivaci použijte Weierstrassovo kritérium, pro
druhou Dirichletovo kritérium (viz pøíklad 8).\par }


%\end

\newpage

{
\let\s\sk

\centerline{\smc V. Mocninné øady}

\centerline{\smc Seètìte mocninné øady tam, kde konvergují:}

\pr $\s0{x^{2k}\over (2k)!}$  \pr $\s0{x^{4k}\over (4k)!}$
\pr $\s0{x^{2k+1}\over 2k+1}$ \pr $\s0{(-1)^k
x^{2k+1}\over 2k+1}$ \pr $\s1 k x^k$  \pr $\s1 (-1)^k k^2 x^k$
\pr $\s1 {x^k\over k(k+1)}$ \pr $\s1 k(k+1)x^k$\quad

\centerline{\smc Seètìte následující øady}

\pr $\s0{(-1)^k\over 3k+1}$
\pr $\s2{(-1)^k\over k^2+k-2}$
\pr $\s1{k(k+1)\over 2^k}$
\pr $\s0{(-1)^k\over 7k+5}$
\pr $\s1{(-1)^k k^3\over 3^k}$
}\oddel

@ \pr ${e^x+e^{-x}\over 2}$ na $\bold R$.
\pr $\frac12({e^x+e^{-x}\over 2}+\cos x)$ na $\bold R$.
\pr $\frac12\log{1+x\over 1-x}$ na $(-1,1)$.
\pr $\arctg x$ na $\langle-1,1\rangle$.
\pr ${x\over (1-x)^2}$ na $(-1,1)$.
\pr ${x(1-x)\over (1+x)^3}$ na $(-1,1)$.
\pr Souèet je $f(x)=\cases 0 &amp; x=0 \\ {\log (1-x)\over
x}-\log(1-x)+1 &amp; x\in \langle-1,0)\cup(0,1), \\ 1 &amp; x=1.\endcases$
\pr $2x\over(1-x)^3$ na $(-1,1)$.
\pr $\frac12\log 2+\frac\pi{3\sqrt3}$ (Abelova vìta, pøipište $x^{3k+1}$);
\pr $\frac23\log2-\frac58$ (Abelova vìta, pøipište $x^{k+2}$) \pr $8$ (místo $\frac1{2^k}$ pište $x^k$, seètìte øadu a dosaïte $x=\frac12$)  \pr $\int_0^1\frac{x^4}{1+x^7}\d x$,
lze spoèítat: rozklad jmenovatele je $(x+1)(x^2-2x\cos\frac\pi7+1)(x^2-2x\cos\frac37\pi+1)(x^2-2x\cos\frac57\pi+1)$
(Abelova vìta, pøipište $x^{7k+5}$); \pr $\frac3{128}$ (místo $\frac{(-1)^k}{3^k}$ pište $x^{k}$, seètìte øadu a dosaïte $x=-\frac13$)
\par

\varoddel

{
\centerline{\smc VI. Fourierovy øady}

\pr Rozviòte následující funkce ve Fourierovu øadu na intervalu
$(-\pi,\pi)$ a urèete souèet všude, kde øada konverguje.
(a) $\sin^2 x$, \quad
(b) $\cos^3 x$,\quad
(c) $\cos^{2m} x$, \quad
(d) ${\sin mx\over \sin x}$,

(e) $\sum\limits_{m=1}^\infty \alpha^m{\sin m x\over \sin x}$,
kde $|\alpha|&lt;1$, \quad (f) ${1\over \sin x}$.

\pr Pro následující funkce najdìte trigonometrickou øadu, jejímž
jsou souètem, a dosazením vhodného $x$ seètìte uvedenou èíselnou øadu.
\qquad (a) $x^2$ na $(-\pi,\pi)$, $\sn1 {(-1)^{n+1}\over n^2}$;

(b) $x$ na $(-\pi,\pi)$, $\sn0{(-1)^n\over 2n+1}$; \qquad
(c) $\sin ax$ na $(-\pi,\pi)$ ($a\in\Bbb R\setminus\Bbb Z$), $\sn0 (-1)^n\cdot\left({1\over
n+\frac12-a}+{1\over n+\frac12+a}\right)$; \qquad
(d) $x^2$ na $(0,2\pi)$, $\sn1{1\over n^2}$;\qquad
(e) $x^2-x$ na $(-\pi,\pi)$;\qquad 
(f) $x^2+\sin^4 x$ na $(0,2\pi)$.

\pr (a) Napište funkci $f(x)=x$ na $(0,\pi)$ jako souèet cosinové
øady. Jaký je souèet øady v ostatních bodech?
(b) Napište funkci $f(x)=x^2$ na $(-\pi,0)$ jako souèet sinové
øady. Jaký je souèet øady v ostatních bodech?
(c)  Napište funkci $f(x)=\sin x$ na $(0,\pi)$ jako souèet cosinové
øady. Jaký je souèet øady v ostatních bodech?

*\pr Funkci $f(x)=x$ na $(0,\frac\pi2)$ vyjádøete jako souèet
trigonometrické øady obsahující jen èleny tvaru

(a) $c\sin kx$, $k\in\Bbb N$ liché,
(b) $c\cos kx$, $k\in\Bbb N$ liché,
(c) $c\cos kx$, $k\in\Bbb N$ sudé,
(d) $c\sin kx$, $k\in\Bbb N$ sudé.

Jak vypadají souèty tìchto øad?
}
\newpage

@ \pr a) $\frac12-\frac12\cos 2x$, konverguje všude
k $f$, je to trigonometrický polynom.
b) $\frac34\sin x-\frac14\sin 3x$, konverguje všude
k $f$, je to trigonometrický polynom.
c) ${1\over 2^{2m}}\cdot\binom{2m}{m}+\sum\limits_{n=1}^m
{1\over 2^{2m-1}}\cdot\binom{2m}{m-n}\cos 2nx$, konverguje všude
k $f$, je to trigonometrický polynom.
d) Pro $m=2k$: $\sum\limits_{n=1}^k 2\cos (2n-1)x$; pro $m=2k+1$:
$1+\sum\limits_{n=1}^k 2\cos 2nx$; konverguje všude
k $f$, je to trigonometrický polynom.
e) ${\alpha\over 1-\alpha^2}+\sn1{2\alpha^{n+1}\over
1-\alpha^2}\sin nx$, konverguje všude k $f$.
f) Tato funkce nemá koneèný Riemannùv integrál na $[0,2\pi]$, nemá FØ.
\pr a) FØ: ${\pi^2\over 3}+\sn1 {4\cdot(-1)^n\over n^2}\cdot\cos nx$;
souèet: ${\pi^2\over 12}$ -- dosadit $x=0$.
b) FØ: $\sn1{2\cdot(-1)^{n+1}\over n}\cdot\sin nx$;
souèet: $\frac\pi4$ -- dosadit $x=\frac\pi2$.
c) FØ: $\sn1{2n\cdot (-1)^{n+1}\over \pi(n^2-a^2)}\cdot \sin\pi
a\cdot \sin nx$; souèet: ${\pi\over \cos \pi a}$ -- dosadit
$x=\frac\pi2$.
%\hfill\linebreak
d) FØ: ${4\pi^2\over 3}+\sn1\left(\frac4{n^2}\cos nx -\frac{4\pi}n\sin
nx\right)$; souèet: ${\pi^2\over 6}$ -- dosadit $x=0$.
e) Odvoïte z výsledkù a) a b) pomocí linearity integrálu.
f) Odvoïte z výsledku c) pomocí linearity integrálu a vyjádøení $\sin^4x$ jako trigonometrický polynom.
\pr a) FØ: $\frac\pi2-\sn0{4\over \pi (2n+1)^2}\cos (2n+1)x$, souèet je $|x|$ na $[-\pi,\pi]$; 
b) FØ: $\sn1\left(2\cdot(-1)^n\cdot\frac\pi n+{4\over \pi
n^3}(1-(-1)^n)\right)\sin nx$, souèet je $-x|x|$ na $(-\pi,\pi)$, $0$ v bodì $\pi$;
c) FØ: $\frac2\pi-\frac4\pi\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos 2kx}{4k^2-1}$, souèet je $|\sin x|$ na $\Bbb R$.
\pr a) $\sk0{4\cdot (-1)^k\over\pi\cdot(2k+1)^2}\sin(2k+1)x$, souèet je
$f^*(x)=\cases -\pi-x &amp; x\in[-\pi,\frac\pi2] \\ x &amp;
x\in[-\frac\pi2,\frac\pi2] \\ \pi-x &amp; x\in[\frac\pi2,\pi]\endcases$, a
$2\pi$-periodicky.
b) $\sk0\left({2\cdot (-1)^k\over
2k+1}-{4\over\pi\cdot(2k+1)^2}\right)\cdot\cos (2k+1)x$, souèet je
$f^*(x)=\cases -\pi-x &amp; x\in[-\pi,\frac\pi2) \\ |x| &amp;
x\in(-\frac\pi2,\frac\pi2) \\ x+\pi &amp; x\in(\frac\pi2,\pi]
\\ 0 &amp; x=\pm\frac\pi2\endcases$, a
$2\pi$-periodicky.
c) $\frac\pi4+\sk1{(-1)^k-1\over\pi\cdot k^2}\cos 2kx$, souèet je
$f^*(x)=\cases \pi+x &amp; x\in[-\pi,\frac\pi2] \\ |x| &amp;
x\in[-\frac\pi2,\frac\pi2] \\ \pi-x &amp; x\in[\frac\pi2,\pi]\endcases$, a
$2\pi$-periodicky.
d)$\sk1{2\cdot (-1)^k\over k}\sin 2kx$, souèet je
$f^*(x)=\cases \pi+x &amp; x\in[-\pi,\frac\pi2) \\ x &amp;
x\in(-\frac\pi2,\frac\pi2) \\ x-\pi &amp; x\in(\frac\pi2,\pi]
\\ 0 &amp; x=\pm\frac\pi2\endcases$, a
$2\pi$-periodicky.
\par

\end
\varoddel

{%
\centerline{\smc VII. Otev\v{r}en\'e a uzav\v{r}en\'e mno\v{z}iny, vnit\v{r}ek,
uz\'av\v{e}r \dots}

\pr Rozhodn\v{e}te, zda n\'asleduj\'{\i}c\'{\i} mno\v{z}iny jsou otev\v{r}en\'e ev.
uzav\v{r}en\'e, zjist\v{e}te jejich vnit\v{r}ek, uz\'av\v{e}r, hranici.

(a) $\Bbb Q$,\qquad (b) $\Bbb N$,\qquad (c) $\{\frac1n\mid
n\in\Bbb N\}$,\qquad (d) $(-\infty,0)\cup\{x\in\Bbb Q\mid x&gt;0\}$

V\v{s}echny tyto mno\v{z}iny uva\v{z}ujte (i) v $\Bbb R$ s obvyklou metrikou
(ii) v rovin\v{e} ($\Bbb R^2$) s euklidovskou metrikou.

\pr Rozhodn\v{e}te, zda n\'asleduj\'{\i}c\'{\i} mno\v{z}iny jsou otev\v{r}en\'e ev.
uzav\v{r}en\'e, zjist\v{e}te jejich vnit\v{r}ek, uz\'av\v{e}r, hranici.

$\matrix\format\l&amp;\quad\l\\
\text{a) $A=\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid x&gt;0,\,y\le 0\}$;} &amp;
\text{b) $B=\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid x^2+y^2+2xy=5\}$;} \\
\text{c) $C=\{(x,y,z)\in\Bbb R^3\mid x\ge0,y&gt;0,x+y=2,z\le0\}$;} &amp;
\text{d) $D=\{f\in\Cal C[0,1]\mid f(\frac12)=2\}$;} \\
\text{e) $E=\{f\in\Cal C[0,1]\mid f(\frac12)\in(0,2)\}$;} &amp;
\text{f) $F=\{f\in\Cal C[0,1]\mid \int\limits_0^1f(x)\roman
dx=0\}$} \\
\text{g) $G=\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid |x+y|&gt;x+y\}$} &amp;
\text{g) $H=\{(x,y)\in\Bbb R^2\mid |x-y|=x-y\}$}
\endmatrix$

\pr Definujme $\Cal N:\Cal C[0,1]\to\Bbb R$ p\v{r}edpisem $\Cal
N(f)=\int\limits^1_0f(x)\roman dx$. Je $\Cal N$ spojit\'e
zobrazen\'{\i}?

\pr Plat\'{\i} rovnosti $\overline{B(a,\delta)}=\{x\mid\rho(a,x)\le
\delta\}$ a $\vn\{x\mid\rho(a,x)\le\delta\}=B(a,\delta)$ pro
ka\v{z}d\'e $\delta&gt;0$ a) v ka\v{z}d\'em metrick\'em prostoru  b) v normovan\'em
line\'arn\'{\i}m prostoru ?
}

\newpage

{\def\partial{\operatorname{bd}}
@ \pr (i) V $\Bbb R$: (a) Nen\'{\i} otev\v{r}en\'a ani uzav\v{r}en\'a, $\vn
\Bbb Q=\emptyset$, $\partial\Bbb Q=\overline{\Bbb Q}=\Bbb R$.
(b) Uzav\v{r}en\'a, $\vn \Bbb N=\emptyset$,
$\overline{\Bbb N}=\partial\Bbb N=\Bbb N$.
(c) Nen\'{\i} otev\v{r}en\'a ani uzav\v{r}en\'a, vnit\v{r}ek je $\emptyset$, uz\'av\v{e}r i
hranice je $\{\frac1n\mid n\in\Bbb N\}\cup\{0\}$.
(d)  Nen\'{\i} otev\v{r}en\'a ani uzav\v{r}en\'a, vnit\v{r}ek je $(-\infty,0)$, uz\'av\v{e}r
$\Bbb R$, hranice $[0,\infty)$.
(ii) V rovin\v{e} (jako\v{z}to podmno\v{z}iny osy $x$, kterou zna\v{c}\'{\i}me $\Bbb
R$):
(a) Nen\'{\i} otev\v{r}en\'a ani uzav\v{r}en\'a, $\vn
\Bbb Q=\emptyset$,
$\partial\Bbb Q=\overline{\Bbb Q}=\Bbb R$.
(b) Uzav\v{r}en\'a, $\vn \Bbb N=\emptyset$,
 $\overline{\Bbb N}=\partial\Bbb N=\Bbb N$.
(c) Nen\'{\i} otev\v{r}en\'a ani uzav\v{r}en\'a, vnit\v{r}ek je $\emptyset$, uz\'av\v{e}r i
hranice je $\{\frac1n\mid n\in\Bbb N\}\cup\{0\}$.
(d)  Nen\'{\i} otev\v{r}en\'a ani uzav\v{r}en\'a, vnit\v{r}ek je $\emptyset$, uz\'av\v{e}r
$\Bbb R$, hranice $\Bbb R$.
\pr
(a) Nen\'{\i} otev\v{r}en\'a ani uzav\v{r}en\'a, $\vn A=\{(x,y)\mid x&gt;0,y&lt;0\}$,
$\overline
A=\{(x,y)\mid x\ge0,y\ge0\}$, $\partial A=\{(x,y)\mid (x\ge
0,y=0) \text{ nebo } (x=0,y\le0)\}$.
(b) Uzav\v{r}en\'a, $\vn B=\emptyset$, $\overline B=\partial B= B$.
(c) Nen\'{\i} otev\v{r}en\'a ani uzav\v{r}en\'a, $\vn C=\emptyset$, $\overline
C=\partial C=\{(x,y,z)\mid x\ge0,y\ge0,x+y=2,z\le0\}$.
(d) Uzav\v{r}en\'a, $\vn D=\emptyset$, $\overline D=\partial D=D$.
(e) Otev\v{r}en\'a, $\vn E=E$, $\overline E=\{f\mid
f(\frac12)\in[0,2]\}$, $\partial E=\{f\mid
f(\frac12)\in\{0,2\}\}$.
(f) Uzav\v{r}en\'a, $\vn F=\emptyset$, $\overline F=\partial F=F$.
(g) Otev\v{r}en\'a, $\vn G=G$, $\overline G=\{(x,y)\mid x+y\le 0\}$,
$\partial G=\{(x,y)\mid x+y= 0\}$.
(h) Uzav\v{r}en\'a, $\vn H=\{(x,y)\mid x&gt;y\}$, $\partial H=\{(x,y)\mid
x=y\}$.
\pr Ano, vyu\v{z}ijte v\v{e}tu o z\'am\v{e}n\v{e} limity a integr\'alu.
%linearitu a monotonii Newtonova integr\'alu.
\pr V metrick\'em prostoru platit nemus\'{\i}
(nap\v{r}. diskr\'etn\'{\i} prostor a $\delta=1$), ale v NLP plat\'{\i}.
\par
}

\end
</pre></body></html>