Požadavky ke zkoušce z předmětu Matematika IV, LS 2021/2022
Klíčové pojmy z Matematiky I
- supremum a infimum množiny reálných čísel
- limita posloupnosti
- limita funkce v bodě
- spojitost funkce v bodě
- derivace funkce v bodě
Klíčové pojmy z Matematiky II
- otevřená množina
- kompaktní množina
- maximum/minimum funkce na množině
- parciální derivace
- funkce třídy C1
- konvexní množina
- konkávní funkce
- matice typu m×n
- součin matic
- determinant matice
- Riemannův integrál
Klíčové pojmy z Matematiky III
- primitivní funkce
- vektorový prostor
- lineární kombinace vektorů
- báze vektorového prostoru
- lineární zobrazení
Klíčové pojmy
- diferenciální rovnice
- řešení diferenciální rovnice
- maximální řešení diferenciální rovnice
- diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
- autonomní diferenciální rovnice
- lineární diferenciální rovnice prvního řádu
- homogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu
- lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
- homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
- fundamentální systém pro homogenní lineární diferenciální rovnici n-tého řádu
- soustava diferenciálních rovnic
- soustava lineárních diferenciálních rovnic
Definice
- lineární diferenční rovnice k-tého řádu s konstantními koeficienty
- řešení diferenční rovnice
- počáteční úloha pro diferenční rovnici
- diferenciální rovnice vyřešená vzhledem k nejvyšší derivaci; řád diferenciální rovnice
- singulární řešení rovnice se separovanými proměnnými
- fundamentální matice homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
- lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty
- homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty
- charakteristický polynom pro homogenní lineární diferenciální rovnici n-tého řádu s konstantními koeficienty
- vektorová funkce, vektorové zobrazení
- (maximální) řešení soustavy diferenciálních rovnic
- počáteční úloha pro soustavu diferenciálních rovnic
- fundamentální matice soustavy lineárních diferenciálních rovnic
- soustava lineárních diferenciálních rovnic s konstatními koeficienty
- homogenní soustava lineárních diferenciálních rovnic s konstatními koeficienty
- lambda-matice
- řádkové úpravy lambda-matice
Věty a metody řešení
Označení (bd) znamená bez důkazu, všechny ostatní věty jsou s důkazem.
- existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy pro lineární diferenční rovnici k-tého řádu s konstantními koeficienty
- struktura množiny řešení homogenní lineární diferenční rovnice k-tého řádu s konstantními koeficienty
- tvar fundamentálního systému řešení homogenní lineární diferenční rovnice k-tého řádu s konstantními koeficienty (bd)
- tvar řešení lineární diferenční rovnice k-tého řádu s konstantními koeficienty
- řešení diferenční rovnice k-tého řádu s konstantními koeficienty se speciální pravou stranou (bd)
- metoda řešení diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
- monotonie řešení autonomní diferenciální rovnice 1. řádu
- divergence ∫ab1/g
- kvalitativní analýza řešení autonomních diferenciálních rovnic
- metoda řešení lineární diferenciální rovnice prvního řádu
- existence a jednoznačnost maximálního řešení pro lineární diferenciální rovnici n-tého řádu (bd)
- vlastnosti množiny řešení lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
- metoda variace konstant pro lineární diferenciální rovnice n-tého řádu (včetně regularity fundamentální matice)
- tvar fundamentálního systému řešení homogenní lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty (bd)
- metoda speciální pravé strany pro lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty (bd)
- Peanova věta o existenci řešení soustavy diferenciálních rovnic (bd)
- existence a jednoznačnost řešení soustavy diferenciálních rovnic (bd)
- opouštění kompaktu
- ekvivalence integrální a diferenciální rovnice
- Gronwallovo lemma
- spojitá závislost na počátečních podmínkách
- existence a jednoznačnost řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic
- vlastnosti množiny řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic
- regularita fundamentální matice pro soustavy lineárních diferenciálních rovnic (bd)
- variace konstant pro soustavu lineárních diferenciálních rovnic
- úprava lambda-matice (bd)
- metoda řešení homogenní soustavy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty (včetně hladkosti řešení)