f5[x_]=2 x/(1-x^2);
(*první způsob, jak zapsat derivaci pomocí funkce D, první parametr udává funkci, kterou derivujeme, druhý proměnnou, podle které derivujeme*)
D[f5[x],x]
D[f5[x],x]
(*výraz ještě zjednodušíme*)
Simplify[%]
(*alternativně můžeme derivaci zapsta pomocí '*)
f5'[x]
Simplify[%]

f7[x_]=Log[Exp[x]+Sqrt[1+Exp[2 x]]]
D[f7[x],x]

f8[x_]=2^(Tan[1/x])
D[f8[x],x]

f9[x_]=ArcTan[(1+x)/(1-x)]
D[f9[x],x]
(*výsledek ještě zjednodušíme*)
Simplify[%]

f10[x_]=x ArcSin[5 x+7]^2
D[f10[x],x]

f12[x_]=ArcCos[1/(1+x^2)]
D[f12[x],x]
(*spočítáme ještě derivaci zleva a zprava, nejdříve jako limitu derivací*)
Limit[f12'[x],x->0,Direction->"FromBelow"]
Limit[f12'[x],x->0,Direction->"FromAbove"]
(*čistě formálně ještě ověříme spojitost zleva a zprava*)
Limit[f12[x],x->0,Direction->"FromBelow"]
Limit[f12[x],x->0,Direction->"FromAbove"]
(*alternativně ještě spočítáme jednostranné derivace podle definice*)
Limit[(f12[x]-f12[0])/x,x->0,Direction->"FromBelow"]
Limit[(f12[x]-f12[0])/x,x->0,Direction->"FromAbove"]

(*ještě příklad na derivaci vyššího řádu, řád udává parametr za derivovanou proměnnou, v tomto případě 10*)
f14[x_]=Sqrt[x]
D[f14[x],{x,10}]
(*použít ' mmůžeme i pro derivace vyššího řádu, což v tomto případě vypadá poněkud směšně*)
f14''''''''''[x]

(*příklad na Leibnizův vzorec*)
f15[x_]=(x^4+3 x) Sin[x]
D[f15[x],{x,13}]

(*pro úplnost se ještě podíváme na parciální derivace*)
f16[x_,y_]=Exp[x/y^2]
(*derivace podle x*)
D[f16[x,y],x]
(*derivace podle y*)
D[f16[x,y],y]
(*gradient, tedy vektor parciálních derivací*)
Grad[f16[x,y],{x,y}]
(*alternativně pomocí dunkce D*)
D[f16[x,y],{{x,y}}]
(*matice druhých parciálních derivací je už pak snadná*)
D[f16[x,y],{{x,y},2}]
(*v o něco přehlednějším maticovém zobrazení*)
%//MatrixForm