\documentclass[11pt,notitlepage]{report}

\frenchspacing % aktivuje použití některých českých typografických pravidel

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} % nastavuje použité kódování, uživatelé Windows zamění utf8 za cp1250
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,amscd,mathrsfs,enumerate,multicol,color,url}%,showkeys,layout}
\usepackage{verbatim} %pro vynechavani comment
\usepackage[top=1cm, left=1cm, right=1cm]{geometry} % nastavení dané velikosti okrajů
\pagestyle{empty}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defin}{Definice}

\newcommand\lne[1]{\mathcal L(#1)}
\newcommand\sg{\sigma}
\newcommand\spp[1]{\sigma_{\mathrm p}(#1)}
\def\ce{\mathbb C} 
\def\en{\mathbb N}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\qe{\mathbb Q} 
\def\er{\mathbb R}
\def\teleso{\mathbb K}
\def\R{\er}
\def\N{\en}
\newcommand\Z{{\mathbb Z}}
\newcommand\Q{{\mathbb Q}}
%\newcommand\C{{\mathbb C}}
\newcommand\K{{\mathbb K}}
\newcommand\M{{\mathcal M}}
\def\setsep{:\;}
\def\CC{\mathcal C}
\newcommand\C{{\mathbb C}}
\def\nec{Nech\v t\ }
\def\eqdef{\stackrel{\text{\tiny def}}{=}}
\def\Mod{\operatorname{mod}}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\newcommand\lx[1][0]{\displaystyle\lim_{x\to #1}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \tg {\operatorname{tg}}
\def \sgn {\operatorname{sgn}}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def \arccotg {\operatorname{arccotg}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\def \sumad {\sum_{n=2}^\infty}
\def \d {\, \mathrm{d}}
\def \P {\mathcal{P}}
\newcommand\pdx[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial x}}
\newcommand\pdy[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial y}}
\newcommand\pdz[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial z}}
\def\x{\mathbf{x}}
\def\m{\mathbf{m}}
\newcommand\dgx[1]{\, \mathrm{d} #1}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\Int}{Int}
\DeclareMathOperator{\ess}{ess}
\def\vysledky{\begin{center}----------V\'YSLEDKY----------\end{center}}

%%%%%%%%%ze sbirky%%%%%%%%%
\newcommand\abs[1]{\mathopen|#1\mathclose|}
\newcommand\absa[1]{\left|#1\right|}
\newcommand\absb[2]{\csname#1l\endcsname|#2\csname#1r\endcsname|}
\newcommand\norm[1]{\mathopen\|#1\mathclose\|}
\newcommand\ov[1]{\overline{#1}}
\newcommand\norma[1]{\left\|#1\right\|}
\newcommand\normb[2]{\csname#1l\endcsname\|#2\csname#1r\endcsname\|}
\newcommand\tnorm[1]{\mathopen{|\mkern-1.5mu|\mkern-1.5mu|}#1\mathclose{|\mkern-1.5mu|\mkern-1.5mu|}}


\newtheorem{theorem*}{Věta}

\newcounter{Priklad}
\addtocounter{Priklad}{1}
\newcommand{\pr}{\quad\alph{Priklad})\;\addtocounter{Priklad}{1}}
\newcommand{\resetpr}{\setcounter{Priklad}{1}}

\title{Cvi\v{c}en\'i - Vybrané partie z funkcionální analýzy, MFF}  % tyto dvě položky jsou zde v podstatě formálně, ve skutečnosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}	
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 1}}\ \\
\textbf{1. Teoreti\v{c}t\v{e}j\v{s}\'i p\v{r}\'iklady}\\ \resetpr
\pr Dokažte následující tvrzení (až je dokážete, je možné je používat jako ``známá tvrzení'')
\begin{theorem*}
Nechť $P$ a~$Q$ jsou metrické prostory, $f,g\colon P\to Q$ jsou spojitá zobrazení a $M\subset P$ je hustá v~$P$.
Jestliže $f=g$ na~$M$, pak $f=g$ na celém~$P$.
\end{theorem*}

\begin{theorem*}
Nechť $(P,\rho)$ je metrický prostor a $A\subset P$.
Pak funkce $x\mapsto\dist(x,A)$ je 1-Lipschitzovská na $P$.
\end{theorem*}

\begin{theorem*}
Součin $X_1\times X_2\times\dotsb\times X_n$ úplných metrických prostorů $X_1,\dotsc,X_n$ je též úplný.
\end{theorem*}

\noindent\textbf{2. Konkr\'etn\v{e}j\v{s}\'i p\v{r}\'iklady}\\ \resetpr
\pr Nechť je dána posloupnost $(f_n)_{n=1}^\infty$ v $\er^\en$ předpisem 
\[
	f_n(k):=\frac{k+1}{k^2+2} + \frac{n+1}{n^2k}, \quad n,k\in\en.
\]
Uvažujte postupně Banachovy prostory $X\in\{c_0,\ell_1,\ell_2,\ell_3,\ell_\infty\}$. Zjistěte, zda $f_n$, $n\in\en$ jsou prvky Banachova prostoru $X$. D\'ale zjistěte zda je posloupnost $f_n$ konvergentní v Banachov\'ych prostorech $c_0$ a $\ell_\infty$ (a pokud ano, určete její limitu).\\[5pt]
\noindent\pr Nechť je dána posloupnost funkcí $f_n:[0,1]\to \er$, $n\in\en$ předpisem 
\[
	f_n(x):=\frac{e^x-1}{\sqrt[3]{x^4}} + \frac{n^2}{(n^2-1+e^x)^2}, \quad n\in\en, x\in [0,1].
\]
Uvažujte postupně Banachovy prostory $X\in\{C([0,1]), L_1([0,1]), L_2([0,1]), L_3([0,1]), L_\infty([0,1])\}$. Zjistěte, zda $f_n$, $n\in\en$ jsou prvky Banachova prostoru $X$. Pokud ano, zjistěte zda je posloupnost $f_n$ konvergentní v Banachově prostoru $X$ (a pokud ano, určete její limitu).\\[5pt]
\noindent\pr Nechť $Y\subset L_1([0,1])$ je množina daná předpisem
\[
Y:= \{f\in L_1([0,1])\colon \int_0^1 tf(t) \d t = 0\}.
\]
Určete, zda $Y$ je uzavřený podprostor $L_1([0,1])$ a pokud ano, zda má nekonečnou dimenzi.\\[5pt]
\noindent\pr Nechť $Y\subset \ell_2$ je množina daná předpisem
\[
Y:= \{x\in \ell_2\colon \sum_{n=1}^7 x_n = 0\}.
\]
Určete, zda $Y$ je uzavřený podprostor $\ell_2$ a pokud ano, zda má nekonečnou dimenzi.\\[5pt]
\noindent\pr Nechť je dána posloupnost $(f_n)_{n=1}^\infty$ v $\er^\en$ předpisem 
\[
	f_n(k):=\frac{e^n + k}{e^n\cdot k^3}, \quad n,k\in\en.
\]
 Uvažujte postupně Banachovy prostory $X\in\{c_0,\ell_1\}$. Zjistěte, zda $f_n$, $n\in\en$ jsou prvky Banachova prostoru $X$. Pokud ano, zjistěte zda je posloupnost $f_n$ konvergentní v Banachově prostoru $X$ (a pokud ano, určete její limitu).\\[5pt]
\noindent\pr Nechť je dána posloupnost reálných funkcí $f_n$, $n\in\en$ předpisem 
\[
	f_n(x):=\frac{\log(nx)}{\sqrt{x}}, \quad n\in\en, x>0.
\]
Uvažujte postupně Banachovy prostory $X\in\{C([1,2]), L_1([0,1])\}$. Zjistěte, zda $f_n$, $n\in\en$ jsou prvky Banachova prostoru $X$. Pokud ano, zjistěte zda je posloupnost $f_n$ konvergentní v Banachově prostoru $X$ (a pokud ano, určete její limitu).
\newpage

\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 2}}\ \\
\textbf{1. Teoreti\v{c}t\v{e}j\v{s}\'i p\v{r}\'iklady, které by ale studenti opravdu měli ovládat}\\ \resetpr
\pr Nechť $X$ je normovaný lineární prostor. Ukažte, že $B(x,r) = x + B(0,r)$ a $B(0,r) = rB(0,1)$.\\
\pr Ukažte, že $B(x,r)$ a $U(x,r)$ jsou konvexní množiny.\\
\pr Nechť $X$ je normovaný lineární prostor nad $\K$, $M\subset X$ a $\alpha\in\K$. Ukažte, že $\overline{\alpha M} = \alpha\overline{M}$.\\
\pr Ukažte, že v normovaném lineárním prostoru platí $\overline{U(x,r)} = B(x,r)$, $\Int B(x,r) = U(x,r)$ a $\partial U(x,r) = \partial B(x,r) = S(x,r)$. Nalezněte příklad metrického prostoru, kde tyto rovnosti neplatí.\\[10pt]

\noindent\textbf{2. Další teoreti\v{c}t\v{e}j\v{s}\'i p\v{r}\'iklady}\\ \resetpr
\pr Jaký je množinový vztah mezi vektorovými prostory $\ell_p$ a $\ell_q$ pro $p<q$? Jaký je jejich vztah k prostoru $c_0$?\\
\pr Jaký je množinový vztah mezi vektorovými prostory $L_p([0,1])$ a $L_q([0,1])$ pro $p<q$?\\
\pr Jaký je množinový vztah mezi vektorovými prostory $L_p(\R)$ a $L_q(\R)$ pro $p<q$?\\
\pr Dokažte následující tvrzení (až jej dokážete, je možné je používat jako ``známé tvrzení'')

\begin{theorem*}
Nechť $(P,\rho)$ a $(Q,\sigma)$ jsou metrické prostory, $Q$ je úplný, $M\subset P$ je hustá v $P$ a $f:M\to Q$ je stejnoměrně spojité zobrazení. Pak existuje spojité rozšíření $f$ na celé $P$. Toto rozšíření je určeno jednoznačně a je stejnoměrně spojité. 
\end{theorem*}

\noindent\textbf{3. Ukažte, že $\varphi:X\to\K$ je spojitý lineární funkcionál, spočtěte jeho normu a zjistěte, zda $\varphi$ své normy nabývá, jestliže
}\\[5pt] \resetpr
\pr $X=\ell_1$, $\varphi((x_n)) = \sum_{n=1}^\infty \tfrac{1}{n}x_n$;
\pr $X=c_0$, $\varphi((x_n)) = \sum_{n=1}^\infty \tfrac{1}{2^n}x_n$;\\
\pr $X=C([0,1])$, $\varphi(f) = \int_0^1 (t-\tfrac{1}{2})f(t) \d t$;
\pr $X=L_\infty([0,1])$, $\varphi(f) = \int_0^1 (t-\tfrac{1}{2})f(t) \d t$;\\
\pr $X=\ell_1$, $\varphi((x_n)) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^nx_n$;
\pr $X=\ell_1$, $\varphi((x_n)) = \sum_{n=1}^\infty (1-\tfrac{1}{n})x_{2n}$;\\
\pr $X=C([0,1])$, $\varphi(f) = f(0)-f(1)$;
\pr $X=L_\infty([0,1])$, $\varphi(f) = \int_0^{1/2} f(t) \d t$;\\
\pr $X=\ell_2$, $\varphi((x_n)) = \sum_{n=1}^\infty \tfrac{1}{n}x_n$;
\pr $X=L_1([0,1])$, $\varphi(f) = \int_0^1 t f(t) \d t$;
;\\
\pr $X=\ell_p$ (kde $p\in (1,\infty)$), $\varphi((x_n)) = \sum_{n=1}^\infty \tfrac{1}{n}x_n$;
\pr $X=L_1([0,1])$, $\varphi(f) = \int_0^1 (t-\tfrac{1}{2})f(t) \d t$.\\[20pt]
\centerline{\MakeUppercase{v\'ysledky}}\ \\
\textbf{3.}\resetpr 
\pr $\|\varphi\| = 1$, normy se nabývá
\pr $\|\varphi\| = 1$, normy se nenabývá
\pr $\|\varphi\| = \frac{1}{4}$, normy se nenabývá
\pr $\|\varphi\| = \frac{1}{4}$, normy se nabývá
\pr $\|\varphi\| = 1$, normy se nabývá
\pr $\|\varphi\| = 1$, normy se nenabývá
\pr $\|\varphi\| = 2$, normy se nabývá
\pr $\|\varphi\| = \frac{1}{2}$, normy se nabývá
\pr $\|\varphi\| = \sqrt{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}}$, normy se nabývá
\pr $\|\varphi\| = 1$, normy se nenabývá
\pr $\|\varphi\| = \sqrt[q]{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^q}}$, normy se nabývá
\pr $\|\varphi\| = \frac{1}{2}$, normy se nenabývá


\newpage

\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 3}}\ \\
\textbf{1. Teoreti\v{c}t\v{e}j\v{s}\'i p\v{r}\'iklady}\\ \resetpr
\pr Dokažte následující tvrzení (až je dokážete, je možné je používat jako ``známé tvrzení'')

\begin{theorem*}
Nechť $K$ je kompaktní metrický prostor. Pak prostor $C(K)$ je separabiln\'i.
\end{theorem*}

\noindent\textbf{2. Ukažte, že $T:X\to Y$ je spojitý lineární operátor, spočtěte jeho normu a zjistěte, zda existuje $x\in S_X$ splňující $\|Tx\| = \|T\|$. Dále zkoumejte následující otázky:
\begin{itemize}
	\item Je operátor $T$ prostý? Pokud ne, zjistěte jeho jádro.
	\item Je operátor $T$ na?
	\item Je operátor $T$ izometrie, případně izomorfismus? Pokud ano, popište jeho obor hodnot a spočtěte normu inverzního operátoru.
\end{itemize}   
}
(Jako vzorové se dají vzít řešené příklady [2, příklady 1.2.6 (a), (d)-(g)])
\\ \resetpr
\pr $X=Y=\ell_1$, $T((x_n)) = (x_1,-x_2,x_3,-x_4,\ldots)$;
\pr $X=Y=\ell_2$, $T((x_n)) = (0,x_2,0,x_4,\ldots)$;\\
\pr $X=Y=\ell_3$, $T((x_n)) = ((-1)^n\frac{x_n}{2^n})_{n=1}^\infty$;
\pr $X=Y=c_0$, $T((x_n)) = (\frac{2n^2+n+1}{n^2 + 5n}x_n)_{n=1}^\infty$;\\
\pr $X=\ell_1$, $Y=\ell_\infty$, $T((x_n)) = (x_1+\ldots+x_n)_{n=1}^\infty$;\\
\pr $X=Y=C([0,1])$, $Tf = f + f(1) - f(0)$;\\
\pr $X=Y=C([0,1])$, $Tf(t) = (t-\tfrac{1}{2})f(t)$;\\
\pr $X=Y=C([-1,1])$, $Tf(t) = f(t^2)$;\\
\pr $X=Y=\ell_2$, $T((x_n)) = (2x_1+3x_2,x_1-x_2,x_3,x_4,\ldots)$ (technicky náročnější).\\

\noindent\textbf{3. Dal\v{s}\'i vhodn\'e p\v{r}\'iklady:}\\
\noindent [1, příklady 1, 2, 3 (a)-(q) - některé z nich použity výše]\\
\noindent [2, příklady 1.2.6 (a)-(g), 1.2.11 (a)-(i)]\\[5pt]
	\noindent [1] materiály prof. Kalendy, umístěny na webu zde:\\ \url{https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/data/ufa15-normy.pdf}\\
	\noindent [2] sbírka řešených příkladů z webu:\\ \url{https://www.karlin.mff.cuni.cz/~spurny/doc/ufa/fa-priklady.pdf}\\[20pt]
\centerline{\MakeUppercase{v\'ysledky}}\ \\
\textbf{2.}\resetpr 
\pr $T$ je isometrie na \pr $\|T\|=1$, normy se nabývá, není prostý a není na, $\ker T = \{x\colon x(2n)=0,\;n\in\en\}$, není isomorfismus
\pr $\|T\|=\frac{1}{2}$, normy se nabývá, je prostý a není na, není isomorfismus
\pr $\|T\|=2$, normy se nenabývá, $T$ je isomorfismus na, $\|T^{-1}\| = \frac{3}{2}$
\pr $\|T\|=1$, normy se nabývá, $T$ je prosté, není na, není isomorfismus
\pr $\|T\| = 3$, normy se nabývá, $T$ je prostý a na, je izomorfismus, $\|T^{-1}=3$.
\pr  $\|T\|=\frac{1}{2}$, normy se nabývá, $T$ je prostý a není na, není izomorfismus.
\pr  $\|T\|=1$, normy se nabývá, $T$ není prostý a není na, $\ker T = \{f\colon f|_{[0,1]}\equiv 0\}$.
\pr $\|T\| = \sqrt{\frac{15+5\sqrt{5}}{2}}$, normy se nabývá, $T$ je isomorfismus na, $\|T^{-1}\| = \frac{1}{5}\|T\|$.
\newpage

\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 4}}\ \\
\textbf{1. Teoreti\v{c}t\v{e}j\v{s}\'i p\v{r}\'iklady}\\ \resetpr
\pr Dokažte následující tvrzení (až je dokážete, je možné je používat jako ``známé tvrzení'')

\begin{theorem*}
Nechť $\Omega\subset \R^d$ je lebesgueovsky měřitelná množina a $p \in [1, \infty)$. Pak $C_c(\Omega)$ je hustá podmnožina $L_p(\Omega, \lambda)$,
kde
\[C_c(\Omega) = \{f:\Omega\to \K\colon \text{$f$ je spojitá a $\{f\neq 0\}$ je omezená}\}\]
\end{theorem*}

\begin{theorem*}
Nechť $\Omega\subset \R^d$ je lebesgueovsky měřitelná množina a $p \in [1, \infty)$. Pak prostor $L_p(\Omega, \lambda)$ je separabilní.
\end{theorem*}

\noindent\textbf{2. Ukažte, že $T:X\to Y$ je dobře definovaný spojitý lineární operátor}\ \\ \resetpr
\pr $X = L_1([0,2])$, $Y=L_1([0,2])$, $Tf(t) = \int_0^1 f(s) \mathrm{d} s + f(t)$\\
\pr $X = C([0,1])$, $Y = L_2([0,1],\sin t \; \mathrm{d}\lambda)$, $Tf(t) = \sqrt{t}f(t)$\\
\pr $X=C([0,1])$, $Y=c_0$, $Tf = \big(f(\tfrac{1}{n}) - f(0)\big)_{n=1}^\infty$\\[5pt]

\noindent\textbf{3. Ukažte, že $T:X\to Y$ je spojitý lineární operátor, spočtěte jeho normu a zjistěte, zda existuje $x\in S_X$ splňující $\|Tx\| = \|T\|$. Dále zkoumejte následující otázky:
\begin{itemize}
	\item Je operátor $T$ prostý? Pokud ne, zjistěte jeho jádro.
	\item Je operátor $T$ na?
	\item Je operátor $T$ izometrie, případně izomorfismus? Pokud ano, popište jeho obor hodnot a spočtěte normu inverzního operátoru.
\end{itemize}   
}\resetpr
\noindent
\pr $X = Y = L_p([0,1])$, kde $p\in [1,\infty]$, $T(f)(t) = f(\sqrt{t})$;
\pr $X=Y=L_p([0,1])$, kde $p\in[1,\infty]$, $Tf(t) = (t-\tfrac{1}{2})f(t)$.\\
\pr $X=Y=L_p([0,1])$, kde $p\in[1,\infty]$, $Tf = \chi_{[0,\tfrac{1}{2}]} \cdot f$\\[5pt]



\noindent\textbf{4. Vyšetřete, pro která $k\in\mathbb{Z}$ je $T:X\to Y$ dobře definovaný spojitý lineární operátor}\ \\ \resetpr
\pr $L_3([0,5])$, $Y=L_1([0,5]^2)$, $Tf(x,y)=\frac{f(x)}{(xy)^k}$;
\pr $X=C([-\pi, \pi])$, $Y=\mathbb{R}$, $T(f)=\int_{-\pi}^{\pi} f(t) (\sin t)^k \d t$\\
\pr $X=L_2([0,1])$, $Y=\mathbb{R}$, $Tf = \int_0^1 x^k f(x) \d x$\\[10pt]

\noindent\textbf{5. Dal\v{s}\'i vhodn\'e p\v{r}\'iklady:}\\ \resetpr 
 \pr počítací viz. [1, příklady (u), (w)-(z) z oddílů 3 a 4] (některé použity výše)\\
 \pr [2, příklady ze sekce 1.2]\\[5pt]
\\[5pt]
	\noindent [1] materiály prof. Kalendy, umístěny na webu zde:\\ \url{https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/data/ufa15-normy.pdf}\\
	\noindent [2] sbírka řešených příkladů z webu:\\ \url{https://www.karlin.mff.cuni.cz/~spurny/doc/ufa/fa-priklady.pdf}\\[20pt]
\centerline{\MakeUppercase{v\'ysledky}}\ \\
\textbf{3.}\resetpr \pr viz. [2, řešený příklad I.2.6(j)] \pr $\|T\| = \frac{1}{2}$, normy se nabyde právě když $p = \infty$, je prosté a není na, není izomorfismus
\pr $\|T\| = 1$, normy se nabyde, $T$ není prostý a není na, $\ker T = \{f\in L_p([0,1])\colon f|_{[0,\frac{1}{2}]}\equiv 0\}$, $T$ není izomorfismus.\\
\textbf{4.}\resetpr \pr pro $k\leq 0$ \pr pro $k\geq0$ \pr pro $k\geq0$
	
	\newpage
	
	Zadání zápočtové písemky z minulých let (slouží jako vzor toho, jak může zápočtová písemka vypadat):\\[10pt]
	
\noindent\textbf{Příklad 1:}(6 bod\r{u}) Které z následujících funkcí $T:C([0,1])\to L_2([0,1])$ jsou spojité a lineární? Své tvrzení dokažte.
\begin{enumerate}
    \item $Tf = f$ pro $f\in C([0,1])$;
    \item $Tf = f^3$ pro $f\in C([0,1])$;
    \item $Tf(t) = f(t^3)$ pro $f\in C([0,1])$ a $t\in [0,1]$.
\end{enumerate}


\noindent\textbf{Příklad 2:}(6 bod\r{u}) Nechť je dáno zobrazení $T:\ell_1\to \ell_1$ definované předpisem
\[
    Tx = \Big(\int_0^1 x_n t^n \d t\Big)_{n=1}^\infty,\qquad x\in \ell_1.
\]
\begin{enumerate}
 \item Dokažte, že se jedná o spojitý lineární operátor.
 \item Určete normu operátoru $T$.
 \item Zjistěte, zda je $T$ izomorfismus do.
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Příklad 3:}(8 bod\r{u}) Nechť je dáno zobrazení $T:L_1([0,1])\to L_1([0,1], t \d t)$ definované předpisem
\[
    Tf(t) = (t+2)f(t),\qquad f\in L_1([0,1]),\; t\in [0,1].
\]
\begin{enumerate}
 \item Dokažte, že se jedná o spojitý lineární operátor.
 \item Určete normu operátoru $T$.
 \item Zjistěte, zda je $T$ izomorfismus do.
\end{enumerate}

\centerline{\MakeUppercase{v\'ysledky}}\ \\
\textbf{Příklad 1:} 1. ano, 2. ne, 3. ano\\
\textbf{Příklad 2:} $\|T\|=\frac{1}{2}$, není isomorfismus do\\
\textbf{Příklad 3:} $\|T\|=3$, není isomorfismus do
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 5}}\ \\
Na cvičení se psala zápočtová písemka. Její zadání je níže.\\[10pt]
V příkladech níže uvažujte všechny prostory nad tělesem reálných čísel.

 \bigskip
 
\noindent\textbf{Příklad 1:}(3 body) Které z následujících funkcí jsou dobře definované, lineární a spojité operátory z $c_0$ do $\ell_4$? Své tvrzení dokažte.
\begin{enumerate}
    \item $Tx = (x_1^2,0,0,0,\ldots)$ pro $x\in c_0$;
    \item $Tx = (x_1 + x_2,0,0,0,\ldots)$ pro $x\in c_0$;
    \item $Tx = x$ pro $x\in c_0$.
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Příklad 2:}(5 bod\r{u}) Nechť je dáno zobrazení $T:C([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}])\to \er$ definované předpisem
\[
    Tf = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(t)\sin t \d t,\qquad f\in C([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]).
\]
\begin{enumerate}
 \item Dokažte, že se jedná o spojitý lineární operátor.
 \item Určete normu operátoru $T$.
 \item Zjistěte, zda $T$ nabývá své normy.
\end{enumerate}

\noindent\textbf{Příklad 2:}(6.5 bod\r{u}) Nechť je dáno zobrazení $T:L_1([1,\infty))\to L_1([1,\infty), e^{-t^2} \d t)$ definované předpisem
\[
    Tf(t) = tf(t),\qquad f\in L_1([1,\infty)),\; t\geq 1.
\]
\begin{enumerate}
 \item Dokažte, že se jedná o spojitý lineární operátor.
 \item Zjistěte, zda je $T$ prostý.
 \item Zjistěte, zda je $T$ na.
 \item Zjistěte, zda je $T$ izomorfismus do.
\end{enumerate}
(Pozor: v zadání není stejná míra na definičním oboru a oboru hodnot zobrazení $T$.)

\noindent\textbf{Příklad 2:}(5.5 bod\r{u}) Nechť je dáno zobrazení $T:\ell_\infty\to \ell_\infty$ definované předpisem
\[
    Tx = (-x_1,x_2-x_1,x_3-x_2,x_4-x_3,\ldots),\qquad x\in\ell_\infty.
\]
\begin{enumerate}
 \item Dokažte, že se jedná o spojitý lineární operátor.
 \item Zjistěte, zda je $T$ prostý.
 \item Zjistěte, zda je $T$ na.
 \item Zjistěte, zda je $T$ izomorfismus do.
\end{enumerate}
\newpage

	\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 6}}\ \\
	\noindent\textbf{1. V následujícím příkladě je dán Hilbertův prostor $H$, jeho uzavřený podprostor $Y$ a bod $x_0\in H$. Najděte nějakou ortonormální bázi $Y$, napište vzorec pro ortogonální projekci na $Y$ a najděte nejbližší bod v $Y$ k bodu $x_0$.}\\ \resetpr
	\pr $H=\C^4$, $Y=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \C^3\setsep x_2=ix_1,\;x_4=(1+i)x_3\}$, $x_0 = (1,i,1,1)$.\\
	\pr $H = L_2([0,1])$, $Y$ podprostor tvořený polynomy stupně nejvýše $2$, $x_0(t) = e^t$.\\
	\pr $H = L_2((0,\infty),e^{-t}\d t)$, $Y$ podprostor tvořený polynomy stupně nejvýše $2$, $x_0(t) = t^5$.\\
	\pr $H = \ell_2$, $Y = \operatorname{span}\{(2^{-n})_{n=1}^\infty, (3^{-n})_{n=1}^\infty\}$, $x_0 = e_1 = (1,0,0,0,\ldots)$.\\[10pt]
	
	\noindent\textbf{2. Dal\v{s}\'i vhodn\'e p\v{r}\'iklady:}\\
	\pr [1, příklady 1-7] (některé použity výše)\\
 \pr [2, příklady ze sekce 1.4] (některé použity výše)\\[5pt]
\\[5pt]
	\noindent [1] materiály prof. Kalendy, umístěny na webu zde:\\ \url{https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/data/ufa15-projekce.pdf}\\
	\noindent [2] sbírka řešených příkladů z webu:\\ \url{https://www.karlin.mff.cuni.cz/~spurny/doc/ufa/fa-priklady.pdf}\\[20pt]
\centerline{\MakeUppercase{v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr ON báze $Y$ je například $\{(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{i}{\sqrt{2}},0,0), (0,0,\tfrac{1}{\sqrt{3}}, \tfrac{1+i}{\sqrt{3}})\}$. OG projekce je $P(x_1,\ldots,x_4) = (\tfrac{1}{2}(x_1-ix_2), \tfrac{1}{2}(ix_1+x_2), \tfrac{1}{3}x_3 + \tfrac{1-i}{3}x_4, \tfrac{1+i}{3}x_3 + \tfrac{2}{3}x_4)$, nejbližší bod je $(1,i,\tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{3}i, 1 + \tfrac{1}{3}i)$.

\pr ON báze $Y$ je například $\{1,2\sqrt{3}x-\sqrt{3}, \sqrt{180}(x^2-x+\tfrac{1}{6})\}$, OG projekce má tvar $P(f)(x) = 180 (x^2-x+\tfrac{1}{6})\cdot \int_0^1 t^2f(t) \d t - (180x^2-192x+36)\cdot\int_0^1 tf(t) \d t + (30x^2-36x+9)\cdot \int_0^1 f(t) \d t$, nejbližší bod je $(210e-570)x^2 + (588-216e)x + 39e - 105$

\pr ON báze $Y$ je například $\{1,x-1,\tfrac{x^2}{2}-2x+1\}$, OG projekce je dána vzorcem $P(f)(x) = (\tfrac{x^2}{4} -x + \tfrac{1}{2})\cdot \int_0^\infty t^2f(t)e^{-t} \d t + (-x^2 +5x -3)\cdot \int_0^\infty tf(t)e^{-t} \d t + (\tfrac{x^2}{2} -3x + 3)\cdot \int_0^\infty f(t)e^{-t} \d t$, nejbližší bod je $f(x) = 600x^2-1800x+720$.

\pr ON báze $Y$ je například $\{\sqrt{3}(2^{-n})_{n=1}^\infty,\sqrt{200}(3^{-n}-\frac{3}{5}2^{-n})_{n=1}^\infty)$, $Pe_1 = (\frac{20}{3}3^{-n} + \frac{9}{10}2^{-n})_{n=1}^\infty$	
	
	\newpage

	\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 7}}\ \\
	\noindent\textbf{1. Ukažte, že $T\in L(X,Y)$ a vyjádřete duální operátor $T^*\in L(Y^*,X^*)$ pomocí reprezentace duálů klasických prostorů. V případě, že $X$ a $Y$ jsou Hilbertovy, vyjádřete také hilbertovsky adjungovaný operátor $T^\star$.}\\ \resetpr
	\pr $X = (\C^3,\|\cdot\|_2)$, $Y = (\C^2,\|\cdot\|_2)$, $T(x_1,x_2) = (ix_1-x_3,(1+i)x_2)$;\\
	%\pr $X=Y=\ell_2$, $T((x_n)) = (0,ix_1,x_2,\ldots)$;
	\pr $X=Y=\ell_2$, $T((x_n)) = (x_1,ix_2,x_3,ix_4,\ldots)$;\\
	\pr $X=Y=\ell_2$, $T((x_n)) = (x_1-x_2,x_2-2x_1,x_3,x_4,\ldots)$;\\
	\pr $X=Y=\ell_1$, $T((x_n)) = (\tfrac{2}{1}x_2-\tfrac{1}{2}x_1,\tfrac{3}{2}x_4-\tfrac{2}{3}x_3,\ldots,\tfrac{n+1}{n}x_{2n}-\tfrac{n}{n+1}x_{2n-1},\ldots)$;\\
%	\pr $X=\ell_1$, $Y=c_0$, $T((x_n)) = (\sum_{k=n}^\infty x_k)_{n=1}^\infty$;\\
	\pr $X = Y = L_p([0,1])$, kde $p\in[1,\infty)$, $Tf = \chi_{[0,\tfrac{1}{2}]}\cdot f$;\\
	\pr $X = Y = L_2([0,1])$, $Tf(t) = \int_0^1 \min(s,t) f(s) \d s\quad $ (Pozor: zde je asi nejtěžší důkaz omezenosti operátoru $T$);\\
    \pr $X=L_1((0,\infty))$, $Y=L_1((0,\infty),e^{-t}\d t)$, $Tf(t) = f(2t)$;\\
    \pr $X=\ell_2$, $Y=L_2(1,\infty)$, $Tx = \sum_{n=1}^\infty x_n\chi_{(n,n+1)}$.\\

	
	\noindent\textbf{2. Dal\v{s}\'i vhodn\'e p\v{r}\'iklady:}\\
	\pr [1, příklady 1 a 2 (a)-(m)] (některé použity výše)\\
 \pr [2, Příklad 1 (a)-(e) a Příklad 2 (a)-(e) ze sekce 4.1] (některé použity výše)\\[5pt]
\\[5pt]
	\noindent [1] materiály prof. Kalendy, umístěny na webu zde:\\ \url{https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/data/ufa15-dualniop.pdf}\\
	\noindent [2] sbírka řešených příkladů z webu:\\ \url{https://www.karlin.mff.cuni.cz/~spurny/doc/ufa/fa-priklady.pdf}\\[20pt]
\centerline{\MakeUppercase{v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr $T^*(y_1,y_2) = (iy_1,(1+i)y_2,-y_1)$, $T^\star(y_1,y_2) = (-iy_1,(1-i)y_2,-y_1)$\\
\pr $T^*y=(y_1,iy_2,y_3,iy_4,\ldots)$, $T^\star y=(y_1,-iy_2,y_3,-iy_4,\ldots)$\\
\pr $T^*y=T^\star y=(y_1-2y_2,y_2-y_1,y_3,y_4,\ldots)$
\pr $T^*y=(-\tfrac{1}{2}y_1,\tfrac{2}{1}y_2,-\tfrac{2}{3}y_3,\tfrac{3}{2}y_4,\ldots,-\tfrac{n+1}{n}y_{2n-1},\tfrac{n+1}{n}y_{2n},\ldots)$\\
\pr $T^*g = \chi_{[0,\tfrac{1}{2}]}\cdot g$ pro $g\in L_q([0,1])$ a pro $p=2$ máme $T^\star g = T^*g$ 
\pr $T=T^*=T^\star$\\
\pr $T^*g(s) = \frac{1}{2}g(s/2)e^{-s/2}$
\pr $T^*f = \Big(\int_n^{n+1} f(t) \d t\Big)_{n=1}^\infty$


    \newpage

	\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 8}}\ \\
	
	\noindent\textbf{1. Ukažte, že $T\in L(X,Y)$ a vyjádřete duální operátor $T^*\in L(Y^*,X^*)$ pomocí reprezentace duálů klasických prostorů.}\\ \resetpr
        \pr $X = Y = C([-1,1])$, $Tf(t) = f(t^2)$;
        \pr $X = Y = C([0,1])$, $Tf(t) = f + f(1) - f(0)$;\\
        \pr $X = C([0,1])$, $Y=L_2([0,1],\sin t \; \mathrm{d}\lambda)$, $Tf(t) = \sqrt{t}f(t)$;
        \pr $X = Y = L_1([0,2])$, $Tf = \int_0^1 f(s) \mathrm{d} s + f(t)$;\\
	\pr $X = \ell_1$, $Y = C([0,1])$, $T((x_n))(t) = \sum_{n=1}^\infty x_nt^n$, $t\in [0,1]$;\\
    \pr $X = C([0,1])$, $Y=c_0$, $Tf = \big(f(\tfrac{1}{n}) - f(0)\big)_{n=1}^\infty$;
	%\pr $X=L_2([0, 2\pi])$, $Y=c_0$, $T(f)=(\int_{0}^{2\pi} f(t) \cos(kt) dt)_{k=1}^{\infty}$;
	%\pr $X = L_2([0,1])$, $Y=\ell_2$, $Tf = (\int_0^{2\pi} f(t) \cos kt \d t)_{k=1}^\infty$;\\
	%\pr $X = Y = C([0,1])$, $Tf(t) = f(1-t)$;\\
	%\pr $X = Y = C([0,1])$, $Tf(t) = \int_0^t f$;
	\pr $X = \ell_1$, $Y = L_3([0,1])$, $T((x_n))(t) = \sum_{n=1}^\infty x_nt^n$, $t\in [0,1]$;\\[3pt]
    \pr $T:L_2([1,\infty))\to c_0$, $Tf = \Big(\int_1^\infty \frac{f(t)}{t^n} \d t\Big)_{n=1}^\infty\quad $(Pozor: nejprve je třeba dokázat, že $Tf\in c_0$ a že je spojitý)\\[3pt]
	\pr $X=L_1([0,1])$, $Y=(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)$, $Tf = \big(\int_0^1 tf(t) \d t, \int_0^1 \cos(t)f(t) \d t\big)$
	\\[20pt]

\centerline{\MakeUppercase{v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr $T^*\mu = \varphi_\#\mu$, kde $\varphi(t)=t^2$ \pr $T^*\mu = \mu + \mu([0,1])(\delta_1-\delta_0)$
\pr $T^*f = \sqrt{t}f(t) \sin t \d \lambda$
\pr $T^*g = g + \chi_{[0,1]}\int_0^2 g(s) \d s$
\pr $T^*\mu = \Big(\int_0^1 t^i d\mu(t)\Big)_{i=1}^\infty$ 
\pr $T^*x = \sum_{n=1}^\infty x_n (\delta_{1/n}-\delta_0)$ (sumou se rozumí absolutně konvergentní řada v prostoru $M([0,1])$)
\pr $T^*g = \Big(\int_0^1 t^i g(t)\;  d\lambda(t)\Big)_{i=1}^\infty$
\pr $T^*x = \sum_{n=1}^\infty \frac{x_n}{t^n}$ (sumou se rozumí absolutně konvergentní řada v prostoru $L_2$) \pr $T^*x(t) = x_1 t + x_2\cos t$\\[20pt]

\noindent\textbf{Dal\v{s}\'i vhodn\'e p\v{r}\'iklady:}
\begin{itemize}
    \item příklady ze zkouškových písemek na hledání adjungovaného operátoru, dostupné na webu prof. Spurného, často včetně řešení (\url{https://www.karlin.mff.cuni.cz/~spurny/pages/ufa.php} a \url{https://www.karlin.mff.cuni.cz/~spurny/pages/fa-leto.php})
    \item vznikající skripta řešených příkladů (viz. \url{https://www.karlin.mff.cuni.cz/~spurny/doc/ufa/fa-priklady.pdf})
    \item příklady ze zkouškových písemek z VPFA (viz. \url{https://www.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/doc/MFF/VPFA/2021_22/VPFA_zkPisWeb.pdf})
\end{itemize}

	\newpage
	
	\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 9}}\ \\	
	\noindent\textbf{1. Určete, zda je operátor $T\in \mathcal{L}(X,Y)$ kompaktní}\resetpr \\
	\pr $X = (\C^2,\|\cdot\|_2)$, $Y = (\C^3,\|\cdot\|_2)$, $T(x_1,x_2) = (x_1+x_2,x_1-x_2,2x_1+x_2)$;\\
	\pr $X=Y=\ell_2$, $T((x_n)) = (x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,\ldots)$;
	\pr $X=Y=c_0$, $T((x_n)) = (\tfrac{1}{n}x_n)_{n=1}^\infty$;\\
        \pr $X=Y=L_p([0,1])$, kde $p\in[1,\infty)$, $Tf(t) = tf(t)$;
        \pr $X=Y=C([0,1])$, $T(f)(t) = \int_0^1 f(s)\sqrt{1+t+s^2} \d s$;\\[8pt]        
    \pr $X=Y=\ell_2$, $T((x_n)) = (x_1-x_2,2x_2-x_1,x_3,x_4,\ldots)$;
	\pr $X=\ell_{3/2}$, $Y=c_0$, $T((x_n)) = \big(\frac{x_1+\ldots+x_{2n}}{\sqrt{n}}\big)_{n=1}^\infty$;\\
	\pr $X = Y = C([0,1])$, $T(f) = f - f(0) + 5f(1)$;	
	\pr $X = C([0,1])$, $Y=c_0$, $Tf = \big(f(\tfrac{1}{n}) - f(0)\big)_{n=1}^\infty$;\\    
	\pr $X = Y = L_1([0,2])$, $Tf(t) = \int_0^1 f(s) \mathrm{d} s + f(t)$;
	\pr $X=c_0$, $Y=C([0,2\pi])$, $Tx(t) = \sum_{n=1}^\infty \tfrac{x_n}{2^n} \cos(nt)$;\\
	\pr $X=Y=L_2([0,1])$, $Tf(t) = \int_0^1 \min(s,t) f(s) \d s$\\
	(\emph{Hint: Uva\v{z}ujte oper\'atory $A:L_2([0,1])\to C([0,1])$ a $B:C([0,1])\to L_2([0,1])$, kde $A$ je d\'ano stejn\'ym p\v{r}edpisem jako $T$ a $B$ je ``identita'' (p\v{r}esn\v{e}ji: $Af(t)=\int_0^1 \min(t,s)f(s) \d s$ a $Bf = [f]$). Uka\v{z}te, \v{z}e $A$ a $B$ jsou line\'arn\'i, spojit\'e  a s pomoc\'i Arzela-Ascoliho v\v{e}ty uka\v{z}te, \v{z}e $A$ je kompaktn\'i. Na z\'av\v{e}r pou\v{z}ijte identitu $T = B\circ A$.})\\[20pt]

\centerline{\MakeUppercase{v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr ano (aplikujeme metodu (ii)); \pr ne (aplikujeme metodu (i)); \pr ano (aplikujeme metodu (ii)); \pr ne (aplikujeme metodu (iii)); \pr ano (aplikujeme metodu (iv)); \pr ne (aplikujeme metodu (i)); \pr ano (aplikujeme metodu (ii)); \pr ne (aplikujeme metodu (iii)); \pr ne (aplikujeme metodu (i)); \pr ne (aplikujeme metodu (iii)); \pr ano (aplikujeme metodu (ii));\\[20pt]
	
    \noindent\textbf{Dal\v{s}\'i vhodn\'e p\v{r}\'iklady:}\\
    \begin{itemize}
    \item příklady ze zkouškových písemek na vyšetření, zda je operátor kompaktní: dostupné na webu prof. Spurného, často včetně řešení (\url{https://www.karlin.mff.cuni.cz/~spurny/pages/ufa.php} a \url{https://www.karlin.mff.cuni.cz/~spurny/pages/fa-leto.php}), příklady ze zkouškových písemek z VPFA (viz. \url{https://www.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/doc/MFF/VPFA/2021_22/VPFA_zkPisWeb.pdf})
    \item vznikající skripta řešených příkladů (viz. \url{https://www.karlin.mff.cuni.cz/~spurny/doc/ufa/fa-priklady.pdf})
    \item materiály prof. Kalendy (viz. \url{https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/data/ufa15-kompakt.pdf})
\end{itemize}
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 10}}\ \\
Na cvičení se psala zápočtová písemka. Její zadání je níže.\\[10pt]
\textbf{Příklad 1:} Je dán Hilbertův prostor $H = \mathbb{C}^3$, jeho uzavřený podprostor 
\[
Y := \{(x_1,x_2,x_3)\colon 2x_1+ix_2-ix_3=0\}
\]
a bod $x_0=(1,1,i)$. Najděte nějakou ortonormální bázi $Y$, napište vzorec pro ortogonální projekci na $Y$ a najděte nejbližší bod v $Y$ k bodu $x_0$.


\bigskip

V příkladech níže uvažujte všechny prostory nad tělesem reálných čísel.

\bigskip

\noindent\textbf{Příklad 2:} Nechť je dáno $T:C([0,1])\to \ell_1$ předpisem
\[
Tf = \Big(\frac{f(\frac{1}{n})}{2^n}\Big)_{n=1}^\infty,\qquad f\in C([0,1]).
\]
Dokažte, že $T$ je dobře definovaný spojitý operátor, zjistěte, zda je $T$ kompaktní a vyjádřete duální operátor $T^*$ pomocí reprezentace duálů klasických prostorů.

\bigskip

\noindent\textbf{Příklad 3:} Nechť je dáno $T:L_3([0,\pi])\to L_3([0,\pi])$ předpisem
\[
Tf(x) = f(x) + \sin x\Big(\int_0^\pi f(t) \cos t\; dt\Big) + \cos x\Big(\int_0^\pi f(t) \sin t\; dt\Big),\qquad f\in L_3([0,\pi]).
\]
Dokažte, že $T$ je dobře definovaný spojitý operátor, zjistěte, zda je $T$ kompaktní a vyjádřete duální operátor $T^*$ pomocí reprezentace duálů klasických prostorů.
\newpage
    \centerline{\MakeUppercase{Cvičení 11}}\ \\
    
    \noindent\textbf{1. Pro následující operátory ukažte že $T \in \lne{X}$ a určete $\sg(T)$ a $\spp T$.}\resetpr \\
    % JA: kombinatoricke, konecne-dim (2 krat), nasobeni (2 druhy)
\pr $X=\ell_1$, $T(x)=(-x_2,x_1,-x_4,x_3,\ldots,-x_{2n},x_{2n-1},\ldots)$;\\
    (v tomto příkladu uvažujte pouze prostory nad tělesem komplexních čísel)\\
    \pr $X = C([0,1])$, $Tf(t) = f(t) + f(1) - f(0)$;
    \pr $X = L_1([0,1])$, $Tf(t) = 2f(t) + t\int_0^1 f(x)\d x + t^2\int_0^1 x f(x) \d x$;\\
    \pr $X = c_0$, $T(x) = (x_1,\tfrac{1}{2}x_2,x_3,\tfrac{1}{4}x_4,x_5,\tfrac{1}{6}x_6,\ldots)$;
    \pr $X = L_3([0,1])$, $Tf(t) = t^2f(t)$;\\[5pt]
    % SAMI: analogicke
\pr $X=\ell_2$, $T((x_n)) = (-x_2,x_1,-\tfrac{1}{2}x_4,x_3,-\tfrac{1}{3}x_6,x_5,\ldots)$;\\
    (v tomto příkladu uvažujte pouze prostory nad tělesem komplexních čísel)\\
    \pr $X = C([0,1])$, $Tf(t) = f(t) + tf(1)$;
    \pr $X = L_1((0,\infty), e^{-t} \d t)$, $Tf(x) = f(x) + x^2 \int_0^\infty f(t) e^{-t}\d t$;\\
    \pr $X = \ell_1$, $Tx = (\tfrac{n+1}{n}x_n)_{n=1}^\infty$;
    \pr $X=C([0,1])$, $T(f)(t)=tf(t)$;\\
    \pr $X = L_2([0,1])$, $T(f)(t)=\chi_{[0,1/2]}(t)\cdot f(t)$;\\
    \pr $X=C([-1,1])$, $T(f)(t)=f(|t|)$;
    %\pr $X = L_1([0,2])$, $Tf(t) = \int_0^1 f(s) \mathrm{d} s + f(t)$.
    \\[20 pt]
    \textbf{Výsledky:}\\ \resetpr 
    \pr $\sigma_p(T) = \{\pm i\} = \sigma(T)$%FAsbirkaReseny
    \pr $\sigma_p(T) = \{1\} = \sigma(T)$%FAsbirkaReseny
    \pr $\sigma_p(T) = \{2,\frac{57 + \sqrt{79}}{24},\frac{57 - \sqrt{79}}{24}\} = \sigma(T)$\\%FAsbirkaReseny
    \pr $\sigma_p(T) = \{\frac{1}{2n}\colon n\in\N\}\cup\{1\}$, $\sigma(T) = \sigma_p(T)\cup\{0\}$%FAsbirkaResenyObecne
    \pr $\sigma_p(T) = \emptyset$, $\sigma(T) = [0,1]$\\[5pt]%FAsbirkaResenyObecne\\[5pt]
    \pr $\sigma_p(T) = \{\pm\frac{i}{\sqrt{n}}\colon n\in\N\}$, $\sigma(T) = \sigma_p(T)\cup\{0\}$%FAsbirkaNereseny
    \pr $\sigma_p(T) = \{1,2\} = \sigma(T)$%novy
    \pr $\sigma_p(T) = \{1,3\} = \sigma(T)$\\%FAsbirkaNereseny
    \pr $\sigma_p(T) = \{\frac{n+1}{n}\colon n\in\N\}$, $\sigma(T) = \sigma_p(T)\cup\{1\}$%FAsbirkaResenyObecne
    \pr $\sigma_p(T) = \emptyset$, $\sigma(T) = [0,1]$%FAsbirkaNereseny
    \pr $\sigma_p(T) = \{0,1\} = \sigma(T)$\\%FAsbirkaResenyObecne
    \pr $\sigma_p(T) = \{0,1\} = \sigma(T)$%FAsbirkaNereseny
    %\pr $\sigma_p(T) = \{1,2\} = \sigma(T)$%zkPisWeb
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 12}}\ \\
 \noindent\textbf{1.} Uvažujme operátor $T:\ell_1\to\ell_1$ definovaný předpisem
 \[
 Tx = (2x_1+x_2,3x_1+2x_2,\tfrac{x_4}{4},\tfrac{x_5}{5},\tfrac{x_6}{6},\ldots),\quad x\in \ell_1.
 \]
 Dokažte, že $T$ je spojitý lineární operátor. Zjistěte, zda je $T$ kompaktní a určete $\sigma_p(T)$ a $\sigma(T)$.

 \medskip

 \noindent\textbf{2.} Uvažujme operátor $T:C([-1,1])\to C([-1,1])$ definovaný předpisem
 \[
 Tf(t):=if(t) + t^2\int_{-1}^1 f(s) \d s,\quad f\in C([-1,1]),\; t\in [-1,1].
 \]
  Dokažte, že $T$ je spojitý lineární operátor. Zjistěte, zda je $T$ kompaktní a určete $\sigma_p(T)$ a $\sigma(T)$.
  
 \medskip

 \noindent\textbf{3.} Uvažujme operátor $T:L_{10}([0,2\pi])\to L_{10}([0,2\pi])$ definovaný předpisem
 \[
 Tf(x):=\max\{\sin x , 0\}f(x),\quad f\in L_{10}([0,2\pi]).
 \]
  Dokažte, že $T$ je spojitý lineární operátor. Určete $\sigma_p(T)$ a $\sigma(T)$. Nakonec zjistěte, zda je $T$ kompaktní operátor.
   
 \medskip

 \noindent\textbf{4.} Uvažujme operátor $T:L_{2}([0,2\pi])\to L_{2}([0,2\pi])$ definovaný předpisem
 \[
 Tf(x):=\Big(\int_0^{2\pi} f(t)\cos t \d t\Big)\cdot \sin x - 2 \Big(\int_0^{2\pi} f(t)\sin t \d t\Big)\cdot \cos x + 3 f(x),\quad f\in L_{2}([0,2\pi]).
 \]
  Dokažte, že $T$ je spojitý lineární operátor. Vyjádřete $T^\star$ (hilbertovsky adjungovaný operátor). Zjistěte, zda je $T$ kompaktní. Určete $\sigma_p(T)$ a $\sigma(T)$ (pro každé vlastní číslo nalezněte nějaký vlastní vektor).
 \\[20 pt]
    \textbf{Výsledky:}
    \textbf{1.} $T$ je kompaktní, $\sigma_p(T)=\sigma(T)=\{0,2\pm \sqrt{3}\}$
    \textbf{2.} $T$ není kompaktní, $\sigma_p(T)=\sigma(T)=\{i,\tfrac{2}{3} + i\}$\\
    \textbf{3.} $\sigma_p(T)=\{0\}$, $\sigma(T)=[0,1]$, $T$ není kompaktní
    \textbf{4.} $T^\star f(x) = \Big(\int_0^{2\pi} f(t)\sin t \d t\Big)\cdot \cos x - 2 \Big(\int_0^{2\pi} f(t)\cos t \d t\Big)\cdot \sin x + 3 f(x)$, $T$ není kompaktní, $\sigma_p(T)=\sigma(T)=\{3,3\pm i \pi \sqrt{2}\}$
\end{document}