\documentclass[11pt,notitlepage]{report}

\frenchspacing % aktivuje použití některých českých typografických pravidel

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} % nastavuje použité kódování, uživatelé Windows zamění utf8 za cp1250
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,amscd,mathrsfs,enumerate,enumitem,multicol,color,url}%,showkeys,layout}
\usepackage{verbatim} %pro vynechavani comment
\usepackage[top=1cm, left=1cm, right=1cm]{geometry} % nastavení dané velikosti okrajů
\pagestyle{empty}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defin}{Definice}

\def\ce{\mathbb C} 
\def\en{\mathbb N}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\qe{\mathbb Q} 
\def\er{\mathbb R}
\def\HH{\mathbb H}
\def\A{\mathcal A}
\def\U{\mathcal U}
\def\B{\mathcal B}
\def\C{\mathcal C}
\def\D{\mathcal D}
\def\R{\er}
\def\N{\en}
\def\setsep{:\;}
\def\nec{Nech\v t\ }
\def\eqdef{\stackrel{\text{\tiny def}}{=}}
\def\Mod{\operatorname{mod}}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\newcommand\lx[1][0]{\displaystyle\lim_{x\to #1}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \ind {\operatorname{ind}}
\def \sgn {\operatorname{sgn}}
\def \Ind {\operatorname{Ind}}
\newcommand{\cl}{\overline }
\def\Int{\operatorname{Int}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\def \sumad {\sum_{n=2}^\infty}
\def \dx {\, \mathrm{d} x}
\def \P {\mathcal{P}}
\def\x{\mathbf{x}}
\def\m{\mathbf{m}}
\newcommand\dgx[1]{\, \mathrm{d} #1}
\def\vysledky{\begin{center}----------V\'YSLEDKY----------\end{center}}

\newtheorem*{thm}{V\v{e}ta}

\newcounter{Priklad}
\addtocounter{Priklad}{1}
\newcommand{\pr}{\quad\alph{Priklad})\;\addtocounter{Priklad}{1}}
\newcommand{\noindentpr}{\alph{Priklad})\;\addtocounter{Priklad}{1}}
\newcommand{\resetpr}{\setcounter{Priklad}{1}}

\title{Cvi\v{c}en\'i - Obecná topologie}  % tyto dvě položky jsou zde v podstatě formálně, ve skutečnosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}
% Cviceni rozdam vzdy kdyz zacneme probirat nejakou kapitolu. Cokoliv ze cviceni muze byt pouzito u zkousky jakozto "priklad navic". Zapocet je zadarmo (student jej dostane zaroven se zkouskou). Idea jak jednotliva cviceni vyresit se bude probirat vzdy az po dokonceni prislusne kapitoly, vyhradi se na to jedna 90ti minutovka (na celou serii prislusnou jedne kapitole) .. bude probihat jako moderovane setkani, kde studenti rikaji jak se snazili jednotlive ulohy resit a ja k tomu pripadne reknu jak jsem to resil ja.
\centerline{\MakeUppercase{cvičení - uniformní prostory}}\ \\
\textbf{1. Najděte dvě uniformity $\D_1$ a $\D_2$ na $\R$, které obě generují na $\R$ obvyklou topologii a přitom neexistuje unifomní homeomorfismus mezi $(\er,\D_1)$ a $(\er,\D_2)$.}

\medskip

\noindent\textbf{2. Nechť $(X,\mathcal U)$ je uniformní prostor. Dokažte, že pokud $(X,\D)$ je metrizovatelný, pak $(X,\tau_\D)$ je metrizovatelný a nalezněte příklad dosvědčující, že opačná implikace neplatí.}

\medskip

\noindent\textbf{3. Uniformita zadaná systémem pokrytí: }
Ať $X$ je množina. Systém $\mathscr U$ se nazývá \emph{pokrývací uniformita} na množině $X$, pokud:
\begin{itemize}
\item[(a)] Každé $\mathcal U \in\mathscr U$ je pokrytí $X$.
\item[(b)] Je-li $\mathcal U\in\mathscr U$ a $\mathcal U$ je zjemněním nějakého pokrytí $\mathcal V$, pak $\mathcal V\in\mathscr U$.
\item[(c)] Pro $\mathcal U, \mathcal V\in \mathscr U$ platí, že $\mathcal U\wedge \mathcal V\in\mathscr U$.
\item[(d)] Pro každé $\mathcal U\in\mathscr U$ existuje $\mathcal V\in\mathscr U$, že $\mathcal V$ silně hvězdovitě zjemňuje $\mathcal U$.
\end{itemize}
\noindent(Je-li $X$ množina a $\mathcal U$ její pokrytí, pak systém $\mathcal V$ nazýváme \emph{zjemněním} $\mathcal U$, pokud $\mathcal V$ je pokrytí $X$ a pro každé $V\in\mathcal V$ existuje $U\in\mathcal U$, že $V\subseteq U$. Pro systém $\mathcal S$ podmnožin množiny $X$ a $A\subseteq X$ definujme $st_{\mathcal S}(A)=\bigcup\{S\in\mathcal S\colon S\cap A\neq\emptyset\}$.
Říkáme, že pokrytí $\mathcal U$ \emph{silně hvězdovitě zjemňuje} $\mathcal V$, pokud $\{st_{\mathcal U}(U)\colon U\in\mathcal U\}$ zjemňuje $\mathcal V$. Pro dvě pokrytí $\mathcal U, \mathcal V$ definujeme jejich společné zjemnění $\mathcal U\wedge\mathcal V$ jako $\{U\cap V\colon U\in\mathcal U, V\in\mathcal V\}$.)\\[3pt]
Je-li $\mathscr U$ pokrývací uniformita, položme 
\[
\mathcal D_{\mathscr U} =\{D\subseteq X\times X\colon\exists \mathcal U\in\mathscr U\colon \bigcup\{U\times U\colon U\in \mathcal U\} \subseteq D \},\]
a je-li $\mathcal D$ uniformita, položme
\[\mathscr U_{\mathcal D}=\{\mathcal U \in\mathcal P(\mathcal P(X))\colon\exists D\in\mathcal D: \{D[x]: x\in X\}\text{ zjemňuje } \mathcal U\}.\]
Dokažte, že zobrazení $\mathcal U\mapsto \D_{\mathcal U}$ je bijekce mezi pokrývacími uniformitami a uniformitami, přičemž inverzní zobrazení je dáno předpisem $\D\mapsto \mathcal U_{\D}$.

\medskip

\noindent\textbf{4. Topologie na podprostoru a součinu: }Dokažte, že pokud $(X,\D)$ je uniformní prostor a $A\subset X$, pak topologie na $A$ příslušná $\D|_A$ je shodná s podprostorovou topologií. Dále dokažte, že pokud $(X_i,\D_i)$, $i\in I$ jsou uniformní prostory, pak topologie na $\Pi_I X_i$ příslušná $\D_{\Pi_I X_i}$ je součinová topologie.

\medskip

\noindent\textbf{5. Existence zúplnění: } Nechť $(X,\D)$ je $T_1$ uniformní prostor, kde $\D$ je generována systémem pseudometrik $R$.
\begin{itemize}
    \item Označ $\widetilde{X}_0:=\{(x_i)_{i\in I}\colon (x_i) \text{ je cauchyovský net}\}$. Kdykoliv $d\in R$, pak uvažuj $\widetilde{d}_0:\widetilde{X}_0\times \widetilde{X}_0\to [0,\infty)$ definované předpisem
    \[
    \widetilde{d}_0\big((x_i),(y_j)\big):= \lim_{(i,j)\in I\times J} d(x_i,y_j),\qquad \text{pro }(x_i)_{i\in I}\in \widetilde{X}_0\text{ a }(y_j)_{j\in J}\in \widetilde{X}_0
    \]
    (na $I\times J$ uvažujeme uspořádání $(i,j)\leq (i'j')$ iff $i\leq i'$ a zároveň $j\leq j'$).\\ Dokažte, že $\widetilde{d}_0$ je dobře definovaná pseudometrika na $\widetilde{X}_0$.
    \item Pro $x\in \widetilde{X}_0$ uvažujme $[x]:=\{y\in \widetilde{X}_0\colon \widetilde{d}_0(x,y)=0\text{ pro každé }d\in R\}$. Uvažujme na prostoru $\widetilde{X}:=\{[x]\colon x\in \widetilde{X}_0\}$ systém pseudometrik $\widetilde{R}:=\{\widetilde{d}\colon d\in R\}$, kde pro $d\in R$ pseudometrika $\widetilde{d}$ je dána předpisem $\widetilde{d}([x],[y]):=\widetilde{d}_0(x,y)$. Dokažte, že $\widetilde{R}$ je dobře definovaný systém pseudometrik na $\widetilde{X}$ a že $(\widetilde{X},\widetilde{R})$ je $T_1$ uniformní prostor.
    \item Definume zobrazení $e:X\to \widetilde{X}$ předpisem $e(x):=[x]$ (bod $x$ ztotožňujeme s netem, který obsahuje jen jeden bod). Dokažte, že $e$ je vnoření uniformních prostorů a že $e(X)$ je husté v $\widetilde{X}$.
    \item Dokažte, že $\widetilde{X}$ je úplný prostor.\\
    (\emph{Hint: je dobré si nejprve uvědomit, že pokud $D$ je hustá podmnožina uniformního prostoru $M$, pak $M$ je úplný právě když každý cauchyovský net sestávající z bodů v $D$ je konvergentní v $M$.})
\end{itemize}
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{cvičení - topologické grupy}}\ \\
\textbf{1. Topologická grupa $H(K)$ - základy: }Ať $K$ je $T_2$ kompakt.\\ \resetpr \noindentpr Dokažte, že $H(K)$ je topologická grupa.\\ (Symbolem $H(K)$ zde označujeme množinu všech surjektivních homeomorfismů $f:K\to K$ s grupovou operací skládání a \emph{compact-open} topologií, tj. topologií jejíž subbáze je tvořena množinami $E[L;U]:=\{f\in H(K)\colon f(L)\subset U\}$, kde $L\subset K$ je kompaktní a $U\subset K$ je otevřená množina.)\\
\noindentpr Dokažte, že pokud $(K,d)$ je metrický kompakt, pak compact-open topologie na $H(K)$ je metrizovatelná metrikou $\rho$ definovanou předpisem $\rho(f,g):=\sup_{x\in K} d(f(x),g(x))$ pro $f,g\in H(K)$.

\medskip

\noindent\textbf{2. Topologie na grupě generovaná systémem bi-invariantních pseudometrik.} Nechť $G$ je grupa a nechť $R$ je systém bi-invariantních pseudometrik oddělující body. Pak \emph{topologie generovaná systémem $R$} je topologie $\tau_R$, jejíž báze okolí bodu $x$ má subbázi generovanou $\{B_\rho(x,\varepsilon)\colon \varepsilon>0,\; \rho\in R\}$.\\ \resetpr
\noindentpr Dokažte, že pak $G$ s topologií $\tau_R$ je $T_1$ topologická grupa, která je SIN.\\
\noindentpr Dokažte, že $T_1$ topologická grupa $(G,\cdot,\tau)$ je SIN, právě když existuje systém $R$ bi-invariantních pseudometrik splňující $\tau = \tau_R$.

\medskip

\noindent\textbf{3. Topologické grupy, které ne/jsou SIN: }\\ \resetpr
\noindentpr Uvažujme topologickou grupu $G = \{(a,b)\colon a>0,b\in\R\}$ s grupovou operací definovanou předpisem $(a,b)\cdot(a',b'):=(aa',b+ab')$ a s topologií zděděnou z $\R^2$. Dokažte, že $G$ je metrizovatelná topologická grupa, která není metrizovatelná bi-invariantní metrikou.\\
(\emph{Hint pro důkaz že není metrizovatelná bi-invariantní metrikou: Pro spor předpokládejme, že $G$ je metrizovatelná bi-invariantní metrikou $\rho$. Ukažte, že pak existuje $\varepsilon>0$ a $t\neq 0$ splňující $(1,t)\in B_\rho(e,\varepsilon)\subset \{(a,b)\colon |b|<1\}$, odvoďte že pak $(1,at)\in B_\rho(e,\varepsilon)$ pro každé $a>0$, z čehož dostaneme spor.})

\smallskip

\noindent\noindentpr Rozhodněte a dokažte, zda metrizovatelná topologická grupa $H([0,1])$ je SIN.\\ (Definice a základní vlastnosti $H([0,1])$ viz. příklad 1. výše).

\smallskip

\noindent\noindentpr Uvažujte grupu $S_\infty$ (permutace $\N$ s operací skládání) s topologií bodové konvergence (tj. bázová okolí $\pi\in S_\infty$ jsou tvořena množinami $U[\pi;F]:=\{\sigma\colon \sigma|_F = \pi|_F\}$, kde $F\subset \N$ jsou konečné podmnožiny). Dokažte, že pak $S_\infty$ je metrizovatelná topologická grupa. Rozhodněte a dokažte, zda $S_\infty$ je SIN.

\medskip

\noindent\textbf{4. Uzavřené podgrupy a kvocienty $\R$:}\\ Na $\R$ uvažujeme operaci $+$ a standardní topologii generovanou absolutní hodnotou.\\ \resetpr \noindentpr Najděte všechny uzavřené podgrupy $\R$.\\ \smallskip \noindentpr Ukažte, že každý kvocient $\R$ podle uzavřené podgrupy je jakožto topologická grupa isomorfní $\{0\}$, $\R$, nebo $\mathbb{T}$.\\ ($\mathbb{T}$ značí kružnici $\{e^{ix}\colon x\in \R\}\subset \ce$ s operací $e^{ix}e^{iy}=e^{i(x+y)}$ a topologií zděděnou z $\ce = \R^2$).

\medskip

\noindent\textbf{5. Nalezněte příklad $T_1$ topologické grupy, která není $T_4$.}
% treba Z^R .. soucin topologickych grup je topologicka grupa, ale Z^R je homeomorfni N^R a to neni normalni topologicky prostor, protoze je separabilni (musi se dokazat) a obsahuje uzavrenou diskretni podmnozinu mohutnosti kontinuum .. nebo se da vzit Z^omega_1 a pouzit dukaz ze skript, viz. Příklad 2.38

% priklady topologickych prostoru, ktere ne/jsou topologicke grupy

\medskip

%\noindent\textbf{6. Každá $T_1$ topologická grupa se vnoří jakožto topologická grupa do $H(K)$ pro nějaký $T_2$ kompakt $K$.}  \resetpr
%\noindentpr Nechť $V$ je Banachův prostor a uvažujme $K:=(B_{V^*},w^*)$. Ukažte, že potom zobrazení $\operatorname{Iso}(V)\ni T\mapsto T^*|_{B_{V^*}}\in H(K)$ je vnoření topologické grupy.\\
%\noindentpr Z Telemanovy věty pak odvoďte, že každá $T_1$ topologická grupa se vnoří jakožto topologická grupa do $H(K)$ pro nějaký $T_2$ kompakt $K$.
% nemelo by to byt moc tezke .. viz. poznamky Megrelishviiho pro nejake pripadne detaily .. 

\newpage
\centerline{\MakeUppercase{cvičení - parakompaktnost}}\ \\
\textbf{1. Zachování parakompaktnosti: }
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
    \item Dokažte, že $F_\sigma$ podmnožina parakompaktního prostoru je parakompaktní.
    \item Nalezněte příklad podmnožiny parakompaktního prostoru, která není parakompaktní.
    \item Nalezněte příklad parakompaktního prostoru $X$, že $X\times X$ není parakompaktní.
    \item Dokažte, že součin parakompaktního prostoru a kompaktního $T_2$ prostoru je parakompaktní.
    \item Topologi0cký prostor se nazývá $\sigma$-kompaktní, pokud je sjednocením spočetně mnoha svých kompaktních podprostorů. Dokažte, že součin parakompaktního a $\sigma$-kompaktního $T_{3\frac 12}$ prostoru je parakompaktní.\\
    (Uvědomte si, že jako důsledek dostaneme, že pro každý Banachův prostor $X$ je $(X^*,w^*)$ parakompaktní prostor, neboť $(X^*,w^*)$ je $\sigma$-kompaktní.)
    \item Dokažte, že $[0,\omega_1)$ je kolektivně normální ale není parakompaktní.\\
    (\emph{Hint: }Dokažte, že ve spočetném kompaktu je každé lokálně konečné pokrytí konečné. Z toho pak odvoďte, že každý parakompaktní prostor který je spočetně kompaktní, je už kompaktní. Jenomže $[0,\omega_1)$ je spočetně kompaktní a není kompaktní.)
\end{enumerate}

\medskip

\noindent\textbf{2. Metrické prostory se vnoří do spočetného součinu ježků: }Pro množinu $I$ definujeme \emph{metrického ježka s $I$ ostny} jako metrický prostor $(I\times [0,1])/{\sim}$, kde $(i,x)\sim (j,y)$ iff $x=y=0$ vybavený metrikou 
\[d((i,x),(j,y)):=\begin{cases}|x-y| & i=j,\\
x + y & i\neq j.\end{cases}\]
Dokažte, že každý metrický prostor se vnoří do spočetného součinu metrických ježků.\\
(\emph{Hint: zkuste se inspirovat  důkazem Bingovy-Nagatovy-Smirnovovy věty})
\iffalse
\medskip

\noindent\textbf{2. Charakterizace parakompaktnosti s pomocí rozkladu jednotky: }Dokažte, že $T_{3\frac 12}$ prostor je parakompaktní právě když existuje ke každému otevřenému pokrytí $X$ lokálně konečný rozklad jednotky podřízený tomuto pokrytí.

\medskip

\noindent\textbf{4. Oddělování Lipschitzovských funkcí: }Nechť $M$ je metrický prostor splňující $\operatorname{dens} M\leq 2^\omega$. Dokažte, že existuje spočetně mnoho Lipschitzovských funkcí oddělujících body $M$.
% Pridat jeste Hint podle naseho clanku s Benem
\fi
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{cvičení - souvislost}}\ \\
\textbf{1. Mohutnost souvislého prostoru: }\resetpr \pr Dokažte, že souvislý $T_{3 \frac 1/2}$ prostor s alespoň dvěma body má mohutnost alespoň kontinuum. \pr Dokažte, souvislý $T_{3}$ prostor s alespoň dvěma body je nespočetný. \pr Nalezněte příklad nekonečného souvislého $T_2$ prostoru, který je spočetný.\\
(\emph{Hint: nejprve nalezněme systém po dvou disjunktních podmnožin racionálních čísel $\qe_n$, $n\in \en\cup \{0\}$ splňující že každé $\qe_n$ je husté v $\er$. Pak uvažujme $X =\{\infty\}\cup \bigcup_{n\in\en\cup\{0\}} \qe_n\times \{n\}$, kde báze okolí $\infty$ je tvořena množinami $\{\infty\}\cup \bigcup_{n\geq k} \qe_n\times \{n\}$ pro $k\in \en$, báze okolí $(q,k)$ pro $q\in \qe_k$ a $k$ liché je určena jako $X\cap \big((q-\varepsilon,q+\varepsilon)\times \{k-,k,k+1\}\big)$ a báze okolí $(q,k)$ pro $q\in \qe_k$ a $k$ sudé je určena jako $X\cap \big((q-\varepsilon,q+\varepsilon)\times \{k\}\big)$. Rozmyslete si, že pak $X$ je spočetný, $T_2$ a kdykoliv clopen množina $C\subset X$ obsahuje $\infty$ pak $C = X$.})

\medskip

\noindent\textbf{2. Souvislé lineárně uspořádané topologické prostory: }\resetpr Dokažte, že lineárně uspořádaný topologický prostor $(X,\leq)$ je souvislý, právě když každá neprázdná shora omezená množina má supremum a $(x,y)\neq \emptyset$ pro každé $x,y\in X$.

\medskip

\noindent\textbf{3. Komponenty souvislosti $H([0,1])$: }Popište všechny komponenty souvislosti topologické grupy $H([0,1])$.\\ (Definice a základní vlastnosti $H([0,1])$ - viz. cvičení 1 k topologickým grupám.)

\medskip

\noindent\textbf{4. Komponenty souvislosti $GL(n,\er)$: }Popište všechny komponenty souvislosti topologické grupy $GL(n,\er)$.

\medskip

\noindent\textbf{5. Inverzní limity a příklady kontinuí: }\emph{Inverzní posloupnost} je posloupnost dvojic $(X_n, f_n)_{n=1}^\infty$, kde $X_n$ jsou topologické prostory a $f_n:X_{n+1}\to X_n$ spojitá zobrazení.  \emph{Inverzní limitou} inverzní posloupnosti $(X_n, f_n)_{n=1}^\infty$ rozumíme následující podprostor $\lim_{\leftarrow} (X_n, f_n)$
součinu $\prod_\en X_n$:
\[
\lim_{\leftarrow} (X_n, f_n):=\{(x_n)_{n\in\en}: f_n(x_{n+1}) = x_n \text{ pro každé }n\in\en\}.
\]
(Někdy také značíme jako $\lim_{\leftarrow} X_n$ nebo $X_\infty$, pokud je z kontextu jasné co je $X_n$ a $f_n$.)\\
\noindentpr Dokažte že pokud jsou $X_n$ Hausdorffovy kompakty (resp. kontinua), pak $X_\infty$ je Hausdorffův kompakt (resp. kontinuum).\\
\noindentpr Najděte inverzní systém sestávající z konečných diskrétních prostorů, jehož inverzní limita je homeomorfní Cantorovu diskontinuu.\\
\noindentpr Inverzní posloupnost $(X_n, f_n)_{n=1}^\infty$ se nazývá \emph{nerozložitelná}, pokud pro každé $i\in \en$ a každá dvě kontinua $A,B\subset X_{i+1}$,  jejichž sjednocením je $X_{i+1}$, platí, že $f_i(A) = X_i$ nebo $f_i(B) = X_i$. Dokažte, že pokud $X_n$ jsou kontinua a $(X_n, f_n)_{n=1}^\infty$ nerozložitelná inverzní posloupnost, pak $X_\infty$ je nerozložitelné kontinuum.\\
\noindentpr Nechť $X_n=[0,1]$ a $f_n(x) = |1-2x|$ pro každé $n\in\en$. Dokažte, že $X_\infty$ je pak nerozložitelné kontinuum.\\
(\emph{Pozn: jedná se o tzv. Knasterovo kontinuum.})\\
%\noindentpr Nechť $X_n=\mathbb{T} = \{z\in\ce\colon |z|=1\}$ a $f_n(z) = z^2$ pro každé $n\in\en$. Dokažte, že $X_\infty$ je pak nerozložitelné kontinuum, na kterém je možné zadefinovat operaci násobení tak, že $X_\infty$ je také komutativní topologická grupa.\\
%(\emph{Pozn: jedná se o tzv. dyadický solenoid.})

\medskip

\noindent\textbf{6. Silně nuldimenzionální metrické prostory: }Řekneme, že metrika $\rho$ na $X$ je \emph{ultrametrika}, pokud $\rho(x,y)\leq \max\{\rho(x,z),\rho(z,y)\}$ pro každé $x,y,z\in X$. V takovém případě říkáme, že $(X,\rho)$ je \emph{ultrametrický prostor}. Řekneme, že topologický prostor je \emph{ultrametrizovatelný}, pokud je homeomorfní ultrametrickému prostoru. Dokažte následující.\\ \resetpr 
\noindentpr Každý ultrametrický prostor je nuldimenzionální. (\emph{Hint: otevřené koule jsou uzavřené množiny.})\\
\noindentpr Prostor $2^\omega$ je ultrametrizovatelný. Odvoďte z věty z přednášky, že separabilní metrický prostor je nuldimenzionální právě když je ultrametrizovatelný.\\
\emph{Další cvičení směřují k tomu, že platí analogie předchozího i pro neseparabilní prostory. Existuje příklad (dosti komplikovaný%viz. \emph{P. Roy: Nonequality of dimensions for metric spaces, 1968}) .. tento priklad ukazuje, ze ind(X)\neq Ind(X) pro nejaky (nutne neseparabilni) metricky prostor
neseparabilního metrického prostoru, který je nuldimenzionální a není silně nuldimenzionální. Ukazuje se, že správný pojem bude pojem silné nuldimenzionality.}\\
\noindentpr Každý ultrametrický prostor je silně nuldimenzionální.\\
\noindentpr Silně nuldimenzionální metrický prostor je ultrametrizovatelný.\\
(\emph{Hint: nejprve ukažte, že každé otevřené pokrytí ma lokálně konečné zjemnění tvořené obojetnými množinami. Následně sestrojte posloupnost lokálně konečných pokrytí $\B_n$ sestávajících z clopen množin takových, že diametry množin z $\B_n$ jsou nejvýše $2^{-n}$ a $\B_{n+1}$ zjemňuje $\B_n$. Ultrametriku pak definujte jako $\rho(x,y):=2^{-n}$, kde $n = \min\{k\colon \exists B\in  \B_k\text{ že }x\in B\;\&y\;\notin B\text{ nebo }y\in B\;\&x\;\notin B\}$. Dokažte pak, že $\rho$ je hledaná ultrametrika.})

\medskip

\noindent\textbf{7. Příklad normálního podprostoru kompaktu, který je nuldimenzionální ale není silně nuldimenzionální: }\\ \resetpr
\noindentpr Dokažte, že existuje rozklad $\{A_\alpha\colon \alpha<\omega_1\}$ intervalu $[0,1]$ takový, že pro každé $\alpha<\omega_1$ je $A_\alpha$ hustá podmožina intervalu $[0,1]$.\\
\noindentpr Pro $\alpha<\omega_1$ označme $B_\alpha=\bigcup\{A_\beta\colon \beta\leq \alpha\}$, kde množiny $A_\alpha$ jsou jako výše. Buď $D\subseteq [0,1]\times \omega_1$ definován předpisem 
\[D=\{(r,\alpha)\colon r\in B_\alpha, \alpha<\omega_1\}.\]
Dokažte, že prostor $D$ je nuldimenzionální.\\
\noindentpr Nechť $D\subset [0,1]\times [0,\omega_1]$ je jako výše. Označme $D^*:=D\cup ([0,1]\times\{\omega_1\})$. Dokažte, že $D^*$ je normální prostor.\\
\noindentpr Nechť $D$ a $D^*$ jsou jako výše. Dokažte, že kdykoliv $A,B$ jsou disjunktní uzavřené podmnožiny $D$, pak jejich uzávěry v $D^*$ jsou také disjunktní.\\
\noindentpr Nechť $D\subset [0,1]\times [0,\omega_1]$ je jako výše. S použitím všech informací výše dokažte, že $D$ je normální prostor který je nuldimenzionální ale není silně nuldimenzionální.
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{cvičení - dimenze}}\ \\
Ať $X$ je $T_4$. Připomeňme, že $A\subset X$ je \emph{zero} (resp. \emph{cozero}) množina, pokud existuje spojitá funkce $f:X\to \er$ splňující $A = f^{-1}(0)$ (resp. $A = f^{-1}(\er\setminus\{0\})$). Řekneme, že $M\subset X$ je \emph{$C^*$-vnořená}, pokud každá spojitá funkce $f:M\to [0,1]$ ma spojité rozšíření na spojitou funkci $\widetilde{f}:X\to [0,1]$.\\

\medskip

\noindent\textbf{1. Dimenze podprostoru: }\resetpr \\ \noindentpr S využitím předchozích cvičení najděte příklad kompaktního prostoru $X$ a jeho normálního podprostoru $M$ tak, že $\Ind M > \Ind X$ a také $\dim M > \dim X$.\\
\noindentpr Nechť $X$ a $M$ jsou $T_4$ prostory a $M\subset X$ je $C^*$-vnořená. Dokažte, že pak $\dim M\leq \dim X$.\\
\noindentpr Nechť $D$ a $D^*$ jsou jako v Cvičení na souvislost, Příklad 7. Dokažte, že $D\subset D^*$ je $C^*$-vnořená a s využitím předchozího odvoďte, že $\dim D \leq \dim D^*$.\\
\noindentpr Nechť $D$ a $D^*$ jsou jako v Cvičení na souvislost, Příklad 7. Dokažte, že $\operatorname{ind} D = 0 < 1 = \dim D \leq \Ind D$.\\ (Automaticky také dostanete $1 = \operatorname{ind} D^* = \dim D^* = \Ind D^*$.)

\medskip

\noindent\textbf{2. Dimenze jistých hustých podmnožin: }Ať $X$ je $T_4$.\\ \resetpr
\noindentpr Dokažte, že pro každé konečné otevřené pokrytí $\{G_1,\ldots,G_k\}$ existují pokrytí $\mathcal{H} = \{H_1,\ldots,H_k\}$ a $\mathcal{E} = \{E_1,\ldots,E_k\}$ taková, že $\mathcal{H}$ sestává z cozero množin, $\mathcal{E}$ sestává ze zero množin a $H_i\subset E_i\subset G_i$, $i=1,\ldots,k$.\\
\noindentpr Dokažte, že kdykoliv $M\subset X$ je hustá $C^*$-vnořená, pak pro každé otevřené pokrytí $\{U_1,\ldots,U_k\}$ prostoru $M$ sestávající z cozero množin v $M$ existuje otevřené pokrytí $\{V_1,\ldots,V_k\}$ prostoru $X$ splňující $V_i\cap M = U_i$ pro každé $i=1,\ldots,k$.\\
\noindentpr Dokažte, že kdykoliv $M\subset X$ je hustá $C^*$-vnořená a normální, pak $\dim M\geq \dim X$.\\
(S pomocí příkladu 1b) výše pak máme dokonce $\dim M = \dim X$, speciálně pak dostaneme že $\dim X = \dim \beta X$).

\medskip

\noindent\textbf{3. Dimenze $\ind$ může být o mnoho menší než $\dim$: }\\ \resetpr \pr Nechť $X$ je separabilní metrický prostor. Dokažte, že existuje pokrytí $\{X_\alpha\colon \alpha<\omega_1\}$ prostoru $X$ takové, že $X_\alpha\subset X_\beta$ pro $\alpha<\beta$ a $\dim X_\alpha\leq 0$ pro každé $\alpha<\omega_1$.\\
(\emph{Hint: použijte, že $X\subset [0,1]^\omega$ a tvrzení tak stačí dokázat pro $X = [0,1]^\omega$. Můžete použít, že pro interval $[0,1]$ přílušný rozklad už máme z Cvičení na souvislost, Příklad 7a).})\\
\noindentpr Připomeňme, že ve Cvičení na souvislost, Příklad 7 jsme s pomocí intervalu $[0,1]$ sestrojili normální prostor $D$, o kterém jsme v Příkladu 1. výše dokázali, že $\ind D = 0 < 1 = \dim D$. Zkuste vymyslet, jak provést analogii této konstrukce a sestrojit tak příklad normálního prostoru $D$ splňujícího $\ind D = 0 < \infty = \dim D = \Ind D$.\\
(\emph{Hint: místo intervalu $[0,1]$ v konstrukci pracujte s $[0,1]^\omega$, to že příslušná sestrojená množina $D$ splní $\dim D = \infty$ dokažte tak, že analogicky jako v Přikladu 1c) výše ukažete, že $D$ je $C^*$-vnořené v $D^*$ a tedy s pomocí Příkladu 2. výše ukážete, že $\dim D = \dim D^*\geq \dim [0,1]^\omega = \infty$.\\
Poznámka: pokud bychom konstrukci provedli s $[0,1]^n$, sestrojíme tak normální prostor $D$ splňující $\ind D = 0 < n = \dim D = \Ind D$.})

\medskip

\noindent\textbf{4. Malé induktivní dimenze v kompaktu: }\\ \resetpr \noindentpr Dokažte, že pro každý $T_2$ kompakt $X$ platí, že $\ind X = 1$ právě když $\Ind X = 1$.\\
\noindentpr Nechť $X$ a $Y$ jsou $T_2$ kompakty splňující $\Ind(X)\leq 1$ a $\Ind(Y)\leq 0$. Ukažte, že pak $\Ind(X\times Y)\leq 1$.\\
\noindentpr Dokažte, že pokud $T_4$ prostor $X$ je sjednocením uzavřených podmnožin $A$ a $B$, pak $\ind(X)\leq \ind(A) + \ind (B)$.\\
\noindentpr Nechť $L_0 = [0,\omega_1)\times [0,1)$ je lineárně uspořádaný prostor uspořádaný lexikograficky a nechť $L:=L_0\cup \{\omega_1\}$ je lineárně uspořádaný prostor, kde $x\leq \omega_1$ pro $x\in L$. Dokažte, že pokud na $L$ uvažujeme topologii danou uspořádáním, pak $L$ je $T_2$ kompakt splňující $\dim L = \ind L = \Ind L = 1$. Poznámka: prostor $L$ nazýváme \emph{dlouhá úsečka.}

\medskip

\noindent\textbf{5. Dimenze $\dim$ může být menší než $\ind$: }\\ \resetpr
\noindentpr \emph{Konstrukce dvou Cantorových funkcí:} Na Cantorově diskontinuu $2^\omega$ uvažujte lexikografické uspořádání, symbolem $0\in 2^\omega$ a $1\in 2^\omega$ označíme největší a nejmenší prvek v lexikografickém uspořádání, pro $s\in 2^n$ označme $x_s\in 2^\omega$ bod pro který je $x_s|_{\{1,\ldots,n\}} = s$ a $x_s(i)=s(n)$ pro $i\geq n$, pro $s\in 2^n$ splňující $s(n-1)=0$ a $s(n)=1$ označme $s^+\in 2^n$ posloupnost danou jako $s|_{\{1,\ldots,n-2\}} = s^+|_{\{1,\ldots,n-2\}}$, $s^+(n-1)=1$ a $s^+(n)=0$ a uvažujme spočetnou podmnožinu $D:=\{x_s\colon s\in 2^n,\;n\in\en\}$. Najděte spojité surjekce $h_i:2^\omega\to [0,1]$ pro $i=1,2$, pro které platí že jsou nerostoucí (tj. kdykoliv $x<y$ pak $h_i(x)\leq h(y)$), $h_i(x)=h_i(y)$ právě když $\{x,y\} = \{x_s,x_{s^+}\}$ pro nějaké $s\in D$, $0=h_1(0)=h_2(0)$, $1=h_1(1)=h_2(1)$ a konečně $h_1(D)\setminus\{0,1\}$ a $h_2(D)\setminus\{0,1\}$ jsou disjunktní husté podmnožiny intervalu $[0,1]$. \\
\noindent \emph{Nechť $L$ je dlouhá úsečka z cvičení 4d) výše a $h_i:2^\omega\to [0,1]$ pro $i=1,2$ jsou jako výše. Uvažujme ekvivalenci $E$ na prostoru $(L\times \{0,1\})\times 2^\omega$ definovanou jako $xEy$ pokud $x=y$ nebo $x,y\in (\{(\omega_1,0)\}\times h_1^{-1}(t)) \; \cup\; (\{(\omega_1,1)\}\times h_2^{-1}(t))$ pro nějaké $t\in[0,1]$. Označme jako $S$ příslušný kvocient a $q:(L\times \{0,1\})\times 2^\omega\to S$ příslušné kvocientové zobrazení. Dále označme $I:=q(\{(\omega_1,0)\}\times 2^\omega)$ a $S_i:= q(L\times\{i\}\times 2^\omega)$ pro $i=0,1$. Dokažte pak následující.}\\
\noindentpr $S$ je kompaktní $T_2$ prostor, $S = S_1\cup S_2$, $S_1\cap S_2 = I$, $I$ je homeomorfní $[0,1]$, restrikce $q$ na $\big((L\setminus \{\omega_1\})\times \{0\}\big)\times 2^\omega$ je homeomorfismus na $S_i\setminus I$ a topologie na $I$ je indukována lineárním uspořádáním $q(\omega_1,0,s)\leq q(\omega_1,0,t)$ iff $h_1(s)\leq h_1(t)$ v $[0,1]$.\\
\noindentpr Dokažte, že $\ind S_1\leq 1$ a odvoďte, že $1=\dim S_i=\ind S_i = \Ind S_i = \dim S$ pro $i=1,2$.\\
\noindentpr Zvolte v $S$ libovolné okolí $G$ bodu $q(\omega_1,0,0)$ splňující $q(\omega_1,0,1)\notin \overline{G}$. Dokažte, že $\partial G$ není 0-dim a odvoďte, že $\ind S = 2 \leq \Ind S$.\\
(\emph{Dostali jsme tak přiklad prostoru, kde $\dim S < \ind S\leq \Ind S$ a navíc příklad, dovědčující se sčítací věta pro dimenze $\ind$ a $\Ind$ neplatí ani v kompaktních prostorech.})
\end{document}