\documentclass[10pt,notitlepage]{report}

\frenchspacing % aktivuje pou?it? n?kter?ch ?esk?ch typografick?ch pravidel

\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,enumerate,enumitem,mathabx,multicol,color}
\usepackage[top=1cm]{geometry} % nastaven? dan? velikosti okraj?
%\pagestyle{empty}
\newtheorem{theorem}{V\v{e}ta}%[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{fact}[theorem]{Fakt}
\newtheorem{prop}[theorem]{Tvrzen\'i}
\newtheorem{corollary}[theorem]{D\r{u}sledek}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{example}{P\v{r}\'iklad}
\newtheorem*{examples}{P\v{r}\'iklady}
\newtheorem*{defin}{Definice}
\newtheorem*{cviko}{Cvi\v{c}en\'i}
\newtheorem*{pozn}{Pozn\'amka}
\newtheorem*{pozns}{Pozn\'amky}
\newtheorem*{notation}{Zna\v{c}en\'i}
\newtheorem*{convention}{\'Umluva}
\newtheorem*{exercise}{Cvi\v{c}en\'i}

\def\ce{\mathbb C} 
\def\en{\mathbb N}
\def\qe{\mathbb Q}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\er{\mathbb R}
\def\A{\mathcal{A}}
\def\B{\mathcal{B}}
\def\D{\mathcal{D}}
\def\E{\mathcal{E}}
\def\P{\mathcal{P}}
\def\U{\mathcal{U}}
\def\M{\mathfrak{M}}
\def\m{\mathfrak{m}}
\def\dom{D}
\def\rng{H}
\def\Rr{\er^*}
\def\R{\er}
\def\N{\en}
\def\nec{Nech\v t\ }
\def\ov{\overline}
\newcommand\eqc{\overset c=}
\def\st{\operatorname{st}}
\def\period{\mathcal{P}([0,2\pi])}
\def\eqdef{\stackrel{\text{\tiny def}}{=}}
\def\Mod{\operatorname{mod}}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\def\sgn{\operatorname{sgn}}
\newcommand\lx[1][0]{\displaystyle\lim_{x\to #1}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \tg {\operatorname{tg}}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def \arg {\operatorname{arg}}
\def \Arg {\operatorname{Arg}}
\def \Log {\operatorname{Log}}
\def\arccotg{\operatorname{arccotg}}
\newcommand{\cl}{\overline }
\def\ind{\operatorname{ind}}
\def\Ind{\operatorname{Ind}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\def \sumad {\sum_{k=2}^\infty}
\def \dx {\, \mathrm{d} x}
\def \dt {\, \mathrm{d} t}
\def \dz {\, \mathrm{d} z}
\def \dw {\, \mathrm{d} w}
\def \dmu {\, \mathrm{d} \mu}
\newcommand\dgx[1]{\, \mathrm{d} #1}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\def\C{\mathcal{C}}
\def\ov{\overline}
\def\x{\mathbf{x}}
\def\a{\mathbf{a}}
\def\o{\mathbf{o}}
\def\y{\mathbf{y}}
\def\f{\mathbf{f}}
\def\dist{\operatorname{dist}}
\def\setsep{;\;}
\def\at{A\v{t} }
\def\ve{\varepsilon}
\def\de{\delta}
\def\int{\operatorname{Int}}
\def\Re{\operatorname{Re}}
\def\Im{\operatorname{Im}}
\def\res{\operatorname{res}}
\def\Iso{\operatorname{Iso}}
\newcommand\nint{(N)\int}
\newcommand\rint{(R)\int}
\newcommand\rsint{(RS)\int}
\newcommand\dl[1]{\, \mathrm{d} \lambda^{#1}}
\newcommand\ser[2]{\sum_{#1=#2}^\infty}
\newcommand\abs[1]{\left|#1\right|}
\newcommand\cbl[1]{\textbf{#1}}
\newcommand\emphdef[1]{\emph{#1}}
\newcommand{\disjUnion}{\biguplus}
%minus s teckou
\makeatletter
\newcommand{\dotminus}{\mathbin{\text{\@dotminus}}}

\newcommand{\@dotminus}{%
  \ooalign{\hidewidth\raise1ex\hbox{.}\hidewidth\cr$\m@th-$\cr}%
}
\makeatother
%formatovani kapitol a sekci
\titleformat{\chapter}
   {\normalfont\LARGE\bfseries}{\thechapter.}{1em}{}
\titlespacing*{\chapter}
  {0pt}{20pt}{20pt}
  \titleformat{\section}
   {\normalfont\large\bfseries}{\thesection.}{1em}{}


\newcounter{Priklad}
\addtocounter{Priklad}{1}
\newcommand{\pr}{\quad\alph{Priklad})\;\addtocounter{Priklad}{1}}
\newcommand{\resetpr}{\setcounter{Priklad}{1}}

\newcounter{prednaska}
\newcommand{\cisloPrednasky}{\addtocounter{prednaska}{1}\arabic{prednaska}}
\newcommand\konecPrednasky[1]{\bigskip
	\hfill\textbf{konec \cisloPrednasky.~p\v{r}edn\'a\v{s}ky (#1)}
	\bigskip}

\newcommand\dukazNaznak{\begin{proof}Idea důkazu byla, ale některé jeho části byly vynechány, tyto mohou být u zkoušky použity jakožto příklad navíc.\end{proof}}
\newcommand\sTezkymDukazem{\begin{proof}Důkaz byl, může být zkoušen.\end{proof}}
\newcommand\sLehkymDukazem{\begin{proof}Důkaz byl, může být zkoušen.\end{proof}}
\newcommand\sDukazemVkontextu{\begin{proof}Důkaz byl, může být zkoušen.\end{proof}}
\newcommand\dukazLehky{\begin{proof}Důkaz je snadný, byl vynechán, může být u zkoušky použit jakožto příklad navíc.\end{proof}}
\newcommand\bezDukazu{\begin{proof}Důkaz byl vynechán, zkoušen nebude.\end{proof}}

\title{P\v{r}edn\'a\v{s}ka - Obecná topologie 2}
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}
%\konecPrednasky{0.0.2017}
\chapter{Uniformní prostory}
\section{Vztah k topologickým a metrickým prostorům}
\begin{pozn} % nebo toto patří do appendixu?
Pro množinu $X$ označme diagonálu $\Delta(X)=\{(x,y)\in X^2\colon x=y\}$. Inverzní relace k relaci $E$ je relace $\{(x,y)\colon (y,x)\in E\}$.
Pro binární relace $C,D$ na množině $X$ značíme jako $C\circ D=\{(x,z)\in X\times X\colon (x,y)\in C, (y,z)\in D \text{ pro nějaké } y\in X\}$.
\end{pozn}

\begin{defin}
Dvojice $(X, \mathcal D)$ se nazývá \emph{uniformní prostor} (UP), pokud $X$ je množina a $\mathcal D\subseteq\mathcal P(X\times X)$ je neprázdný a splňuje:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=(U\alph*), series=uniformita]
\item $\forall D\in \mathcal D:\;\Delta(X)\subseteq D$,
\item $\forall C, D\in\mathcal D:\; C\cap D\in\mathcal D$,
\item je-li $D\in\mathcal D$ a $D\subseteq E$, pak $E\in\mathcal D$,
\item $\forall D\in\mathcal D:\;D^{-1}\in\mathcal D$,
\item $\forall D\in\mathcal D\; \exists C\in\mathcal D:\quad C\circ C\subseteq D$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
Systém $\mathcal D$ se nazývá \emph{uniformita}. Prvky množiny $\mathcal D$ se nazývají \emph{okolí diagonály}. 
Uniformita $\mathcal D$ se nazývá se separovaná, pokud navíc platí
\begin{enumerate}[label=(U\alph*), resume*=uniformita]
    \item $\bigcap \mathcal D=\Delta(X)$. (Ekvivalentně, pro každé $x, y\in X$, $x\neq y$ existuje $D\in\mathcal D$, že $(x,y)\notin D$.)
\end{enumerate}
Pokud je $\mathcal D$ separovaná, pak řekneme, že uniformní prostor $(X, \mathcal D)$ je $T_1$.

Systém $\mathcal B\subseteq \mathcal P(X^2)$ se nazývá \emph{báze uniformity} (resp. \emph{báze uniformity $\mathcal D$}), pokud uzavřením $\mathcal B$ na nadmnožiny dostaneme nějakou uniformitu (resp. uniformitu $\mathcal D$). Systém $\mathcal S\subseteq\mathcal P(X^2)$ se nazývá \emph{subbáze uniformity} (resp. \emph{subbáze uniformity $\mathcal D$}), pokud jeho uzavřením na konečné průniky dostaneme nějakou bázi uniformity (resp. nějakou bázi uniformity $\mathcal D$).

Pokud $(X,\mathcal D)$ a $(Y,\mathcal E)$ jsou uniformní prostory, pak řekneme že zobrazení $f\colon (X,\mathcal D)\to (Y,\mathcal E)$ je \emph{stejnoměrně spojité}, pokud $(f\times f)^{-1}(E)\in\mathcal D$ pro každé $E\in\mathcal E$. Zobrazení $f$ se nazývá \emph{uniformní homeomorfismus}, pokud $f$ je bijekce, a $f$ i $f^{-1}$ jsou stejnoměrně spojitá zobrazení.
\end{defin}

\begin{lemma}
Neprázdný systém $\mathcal B\subseteq \mathcal P(X^2)$ tvoří bázi nějaké uniformity na $X$, právě když platí následující podmínky:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item $\forall C\in\mathcal B:\;\Delta (X)\subseteq C$,
\item $\forall C, D\in\mathcal B\; \exists E\in\mathcal B:\quad E\subseteq C\cap D$,
\item $\forall C\in\mathcal B\;\exists D\in\mathcal B:\quad D\subseteq C^{-1}$,
\item $\forall D\in\mathcal B\; \exists C\in\mathcal B:\quad C\circ C\subseteq D$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
Navíc, pokud je $\mathcal B$ báze uniformity, pak je bází separované uniformity právě když $\bigcap \B=\Delta(X)$.
\end{lemma}
\dukazLehky

\begin{examples}
\begin{itemize}
\item \emph{Diskrétní uniformita} na množině $X$ je tvořena všemi nadmnožinami $\Delta(X)$. 
\item Pokud $(X,\rho)$ je pseudometrický prostor, položme $E_\rho(r):=\{(x,y)\in X\times X\colon \rho(x,y)<r\}$ pro $r>0$. Pak $\{E_\rho(r)\colon r>0\}$ je báze uniformity na $X$, která je bází separované uniformity, pokud navíc $\rho$ je metrika. Tuto uniformitu označujeme symbolem $\D_\rho$. Řekneme, že uniformita $\D$ je \emph{metrizovatelná}, pokud existuje metrika $\rho$ splňující $\D = \D_\rho$.

Je snadné se přesvědčit, že pokud $(X,\rho)$ a $(Y,\sigma)$ jsou metrické prostory, pak $f:(X,\rho)\to (Y,\sigma)$ je stejnoměrně spojité právě když je stejnoměrně spojité jakožto zobrazení mezi uniformními prostory $(X,\D_\rho)$ a $(Y,\D_\sigma)$.
\end{itemize}
\end{examples}

\begin{defin}
    Pokud $R$ je systém pseudometrik na množině $X$, pak \emph{uniformita generovaná $R$} (značíme $\D_R$) je uniformita jejíž subbáze je $\{E_\rho(r)\colon r>0,\;\rho\in R\}$.
\end{defin}

\begin{pozn}
    Je snadné se přesvědčit, že pokud $R$ je systém pseudometrik na množině $X$, pak $\D_R$ je separovaná právě když $R$ odděluje body $X$ (tj. $\forall x\neq y\; \exists \rho\in R:\; \rho(x,y)>0$). Dále, pokud je $S$ systém pseudometrik na množině $Y$, pak $f:(X,\D_R)\to (Y,\D_S)$ je stejnoměrně spojité právě když platí
    \[
    \forall \rho\in S\;\forall\varepsilon>0\; \exists \sigma\in R\;\exists \delta>0\; \forall x,y\in X:\quad \sigma(x,y)<\delta\implies \rho(f(x),f(y))<\varepsilon.
    \]
\end{pozn}

\begin{notation}Pro $E\subset X\times X$ a $x\in X$ značíme $E[x]:=\{y\in X\colon (x,y)\in E\}$.
\end{notation}

\begin{prop}
    Je-li $(X,\mathcal D)$ uniformní prostor, pak
\[\tau_{\mathcal D}=\{A\subseteq X\colon \forall x\in A\quad \exists D\in\mathcal D\colon D[x]\subseteq A\}\]
 je topologie na $X$. Navíc platí následující.
 \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
     \item Je--li $\mathcal B$ báze uniformity $\mathcal D$, pak $\mathcal B(x):= \{D[x]\colon D\in\mathcal B\}$, $x\in X$ jsou báze okolí bodů v $(X,\tau_\D)$.
     \item $\D$ je separovaná právě když $(X,\tau_\D)$ je $T_1$.
     \item Je--li $(Y,\E)$ uniformní prostor a $f:(X,\D)\to (Y,\E)$ stejnoměrně spojité, pak $f:(X,\tau_\D)\to (Y,\tau_\E)$ je spojité.
     \item Je--li $\D$ generovaná systémem psedometrik $R$, pak pro každý net $(x_i)_{i\in I}$ a každé $x\in X$ platí, že $x_i\stackrel{\tau_\D}{\to}x$ právě když $\rho(x_i,x)\to 0$ pro každé $\rho\in R$.
 \end{enumerate}
\end{prop}
\sLehkymDukazem

\begin{defin}
    Topologický prostor $(X,\tau)$ je \emph{uniformizovatelný}, pokud existuje uniformita $\D$ splňující $\tau = \tau_\D$.
\end{defin}

\begin{lemma}[O pseudometrice]
Ať $(X,\mathcal D)$ je uniformní prostor a $\{D_n\colon n\in\en\cup \{0\}\}\subset \D$ splňují
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
    \item $D_0=X\times X$,
    \item $\forall n\in\en:\; D_n = (D_n)^{-1}$,
    \item $\forall n\in\en:\; D_{n+1}\circ D_{n+1}\circ D_{n+1}\subseteq D_n$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
Pak existuje pseudometrika $\rho$ na $X$ splňující
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
    \item $\forall n\geq 1:\quad \{(x,y)\colon d(x,y)<2^{-n-1}\}\subseteq D_n\subseteq \{(x,y)\colon d(x,y)\leq 2^{-n}\}$,
    \item $\D_\rho\subset \D$ a $\rho\leq 1$.
\end{enumerate}
\end{lemma}
\sTezkymDukazem

\begin{corollary}\label{cor:uniformitaPseudometrikama}
    Každá uniformita je generovaná nějakým systémem pseudometrik. Každá $T_1$ uniformita je generovaná systémem pseudometrik, který odděluje body.
\end{corollary}
\sDukazemVkontextu

\begin{theorem}
    $T_1$ uniformní prostor je metrizovatelný, právě když má spočetnou bázi.
\end{theorem}
\sLehkymDukazem

\begin{pozn}
    Spočetná báze $\D$ je něco jiného, než spočetná báze $\tau_\D$. Příkladem je diskrétní uniformita jejíž báze je tvořena jedním prvkem $\Delta(X)$, ale $\tau_\D$ je diskrétní topologie a tedy váha $(X,\tau_\D)$ je rovna $|X|$.
\end{pozn}

\begin{theorem}
    $T_1$ topologický prostor je uniformizovatelný, právě když je $T_{3\frac12}$.
\end{theorem}
\sLehkymDukazem

\section{Podprostor, suma a součin}

\begin{defin}
    \begin{itemize}
        \item Ať $(X,\mathcal D)$ je uniformní prostor a $A\subset X$. Polož $\D|_A:=\{D\cap (A\times A)\colon D\in \D\}$. Pak $(A,\D|_A)$ je \emph{podprostor} $(X,\D)$.
        \item Ať $(X_i,\mathcal D_i)$ jsou uniformní prostory. Pak \emph{součin} uniformit je uniformita $\D_{\Pi_I X_i}$ na $\Pi_I X_i$, jejíž subbáze je $\{(\pi_i\times \pi_i)^{-1}(D)\colon i\in I, D\in \D_i\}$. Pak $(\Pi_I X_i, \D_{\Pi_I X_i})$ je \emph{součin uniformních prostorů}.
        \item Ať $(X_i,\mathcal D_i)$ jsou uniformní prostory. Pak na $\biguplus_I X_i := \bigcup_{i\in I} (\{i\}\times X_i)$ definujeme  \emph{sumu} uniformit jako uniformitu $\biguplus_I \D_i:=\{\bigcup_{i\in I}(\{i\}\times D_i)\colon D_i\in\D_i\text{ pro každé }i\in I\}$. Pak $(\biguplus_I X_i, \biguplus_I \D_i)$ je \emph{suma uniformních prostorů}.
    \end{itemize}
\end{defin}

\begin{pozn}
    Je lehké ověřit, že suma/součin/podprostor uniformních prostorů je dobře definovaný uniformní prostor. Topologie generovaná uniformitou $\D|_A$ je topologie podprostoru, topologie generovaná uniformitou $\D_{\Pi X_i}$ je součinová topologie.
\end{pozn}

\begin{prop}
    Nechť $(Z,\D)$ a $(X_i,\D_i)$ pro $i\in I$ jsou uniformní prostory.
    \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
        \item Zobrazení $f:Z\to \Pi_I X_i$ je stejnoměrně spojité, právě když jsou stejnoměrně spojitá zobrazení $\pi_i\circ f$ pro každé $i\in I$.
        \item Ať $f_i:X_i\to (Y_i,\E_i)$, $i\in I$ jsou stejnoměrně spojitá zobrazení. Pak je stejnoměrně spojité také zobrazení $\Pi_I f_i:\Pi_I X_i\to \Pi_I Y_i$.
        \item Ať $f_i:Z\to X_i$, $i\in I$ jsou stejnoměrně spojitá zobrazení. Pak je stejnoměrně spojité také zobrazení $\Delta_I f_i:Z\to \Pi_I X_i$.
        \item Jsou--li $f,g:Z\to \er$ stejnoměrně spojitá zobrazení, pak jsou stejnoměrně spojitá také zobrazení $f+g$, $f-g$, $\max\{f,g\}$, $\min\{f,g\}$ a $|f|$. Navíc, pokud jsou $f,g$ omezené funkce, pak je stejnoměrně spojité také zobrazení $f\cdot g$.
    \end{enumerate}
\end{prop}
\sLehkymDukazem

\konecPrednasky{19. 2. 2026}

\section{\'Uplnost a totální omezenost}

\begin{defin}
    \begin{itemize}
        \item Net $(x_i)_{i\in I}$ v uniformním prostoru $(X,\mathcal D)$ se nazývá \emph{cauchyovský}, pokud pro každé $D\in\mathcal D$ existuje $i_0\in I$ že pro $i, j\geq i_0$ je $(x_i, x_j)\in D$.
        \item Uniformní prostor $(X,\mathcal D)$ se nazývá \emph{úplný}, pokud každý cauchyovský net je konvergentní v $(X,\tau_{\mathcal D})$.
        \item Uniformní prostor $(X,\mathcal D)$ se nazývá \emph{totálně omezený}, pokud pro každé $E\in\mathcal D$ existuje $K\subseteq X$ konečná, že $E[K]=X$.\quad (Kde $E[K]:=\bigcup_{x\in K} E[x]$.)
    \end{itemize}
\end{defin}

\begin{pozn}
    Je--li uniformita $\D$ generovaná systémem pseudometrik $R$, pak net $(x_i)$ je cauchyovský v $(X,\D)$ právě když platí
\[
\forall \rho \in R\;\forall\varepsilon\;\exists i_0\;\forall i,j\geq i_0: \quad \rho(x_i,x_j)<\varepsilon.
\]
\end{pozn}

\begin{pozn}Není složité si rozmyslet, že v úplném metrickém prostoru jsou cauchyovské nety konvergentní. Dále se pak už snadno nahlédne, že metrický prostor $(X,\rho)$ je úplný (resp. totálně omezený), právě když uniformní prostor $(X,\mathcal D_\rho)$ je úplný (resp. totálně omezený).
\end{pozn}

\begin{pozn}Ať $(X,\D)$ je uniformní prostor. Je snadné ověřit, že konvergentní nety v $(X,\tau_\D)$ jsou cauchyovské v $(X,\D)$ a že stejnoměrně spojitá zobrazení zobrazí cauchyovský net na cauchyovský net.
\end{pozn}

\begin{prop}Ať $(X,\D)$ je $T_1$ uniformní prostor. Pak
\[\text{$X$ je totálně omezený $\Leftrightarrow$ každý net v $X$ má cauchyovský podnet.}\]
\end{prop}
\sTezkymDukazem

\begin{prop}\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
    \item Je--li podprostor úplného $T_1$ uniformního prostoru úplný, pak je uzavřený.
    \item Podprostor totálně omezeného (resp. uzavřený podprostor úplného) uniformního prostoru je totálně omezený (resp. úplný).
    \item Součin totálně omezených (resp. úplných) uniformních prostorů je totálně omezený (resp. úplný).
\end{enumerate}
\end{prop}
\sLehkymDukazem

\begin{theorem}
    Ať $X$ je $T_1$ uniformní prostor. Pak $(X,\tau_\D)$ je kompaktní, právě když $(X,\D)$ je úplný a totálně omezený.
\end{theorem}
\sLehkymDukazem

\begin{prop}
    Ať $X$ a $Y$ jsou uniformní $T_1$ prostory, $Y$ je úplný, $A\subset X$ a $f:A\to Y$ je stejnoměrně spojité. Pak existuje $F:\overline{A}\to Y$ stejnoměrně spojité splňující $F|_A = f$.
\end{prop}
\sLehkymDukazem

\begin{defin}Nechť $(X,\D)$ je $T_1$ uniformní prostor. Jeho \emph{zúplněním} je dvojice $(e,Y)$, kde $Y$ je úplný $T_1$ uniformní prostor a $e:X\to Y$ je uniformní vnoření na hustou část (tj. $\overline{e(X)} = Y$ a $e:X\to e(X)$ je uniformní homeomorfismus).
\end{defin}

\begin{theorem}
    Každý $T_1$ uniformní prostor má zúplnění. Navíc, pokud $(e,Y)$ a $(e',Y')$ jsou zúplnění $T_1$ uniformního prostoru $X$, pak existuje uniformní homeomorfismus $F:Y\to Y'$ splňující $F\circ e = e'$.
\end{theorem}
\bezDukazu

\section{Uniformita na kompaktech}

\begin{theorem}
    Nechť $(X,\tau)$ je Hausdorffův kompaktní prostor. Pak na $X$ existuje právě jedna uniformita generující topologii $\tau$, báze této jediné uniformity je tvořena otevřenými okolími diagonály $\Delta(X)$.
\end{theorem}
\sLehkymDukazem

\begin{prop}
    Ať $(X,\mathcal D)$, $(Y,\mathcal E)$ jsou $T_1$ uniformní prostory a $(X,\tau_D)$ je kompaktní. Pak každé spojité zobrazení $f\colon X\to Y$ je stejnoměrně spojité.
\end{prop}
\sLehkymDukazem

\chapter{Topologické grupy}

\begin{defin}
$(G, \cdot, \tau)$ se nazývá \emph{topologická grupa} (TG), pokud $(G, \cdot)$ je grupa, $(G,\tau)$ je topologický prostor a operace násobení $\cdot\colon G\times G\to G$ (na $G\times G$ uvažujeme součinovou topologii) a operace inverzního prvku $^{-1}\colon G\to G$ jsou spojité.
\end{defin}

\begin{examples}
    Příklady topologických grup jsou například následující.
    \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
        \item Každá grupa s diskrétní topologií.
        \item Každý normovaný lineární prostor s operací sčítání a topologií generovanou normou. Obecněji, každý topologický vektorový prostor je komutativní topologická grupa.
        \item $GL(n,\er)$ (grupa všech reálných invertibilních $n\times n$ matic). Grupová operace operace je dána násobením matic, topologie je dána konvergencí po souřadnicích (tj. topologie je zděděná ze součinové topologie na $\er^{n\times n}$).
        
        \konecPrednasky{26. 2. 2026}
        \konecPrednasky{5. 3. 2026}
        \item $\Iso(X)$, kde $(X,\rho)$ je metrický prostor. Symbolem $\Iso(X)$ označujeme množinu všech surjektivních isometrií $f:X\to X$ s grupovou operací skládání a topologií bodové konvergence (tj. se součinovou topologií zděděnou z $X^X$).
        \sLehkymDukazem
        \item $\Iso(V)$, kde $(V,\|\cdot\|)$ je normovaný lineární prostor. Symbolem $\Iso(V)$ zde označujeme množinu všech surjektivních lineárních isometrií $f:X\to X$ s grupovou operací skládání a topologií bodové konvergence (tj. se součinovou topologií zděděnou z $V^V$).
        \item $H(K)$, kde $K$ je kompaktní Hasdorffův prostor. Symbolem $H(K)$ zde označujeme množinu všech surjektivních homeomorfismů $f:K\to K$ s grupovou operací skládání a \emph{compact-open} topologií, tj. topologií jejíž subbáze je tvořena množinami $E[L;U]:=\{f\in H(K)\colon f(L)\subset U\}$, kde $L\subset K$ je kompaktní a $U\subset K$ je otevřená množina.\\
        (Důkaz, že se jedná o topologickou grupu viz. cvičení.)
    \end{enumerate}
\end{examples}

Neutrální prvek topologické grupy $G$ značíme písmenem $e_G$ (nebo jen $e$ pokud je z kontextu jasné o jakou grupu $G$ se jedná). Připomeňme, že podgrupa $N\subset G$ je \emph{normální podgrupa} (píšeme $N\lhd G$), pokud $gNg^{-1} = N$ pro každé $g\in G$ (neplést si s nesouvisejícím pojmem normálního topologického prostoru). Dále připomeňme, že pro $N\lhd G$ můžeme definovat \emph{faktorgrupu} $G/N$, tj. grupu jejíž prvky jsou rozkladové třídy tvaru $xN:=\{xn\colon n\in N\}$ a grupová operace je definována přirozeným způsobem jako $(xN)(yN) = (xy)N$ a $(xN)^{-1} = x^{-1}N$.

Pro každé $g\in G$ definujeme zobrazení levé translace $L_g:G\to G$ a zobrazení pravé translace $R_g:G\to G$ předpisy $L_g(h)=gh$ a $R_g(h)=hg$ pro $h\in G$. Topologický prostor $X$ je \emph{homogenní}, pokud pro každé $x,y\in X$ existuje homeomorfismus $f:X\to X$ splňující $f(x)=y$.

\begin{lemma}Nechť $G$ je topologická grupa. Pak platí následující.
%\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Zobrazení $^{-1}: G\to G$ je homeomorfismus.
\item Pro každé $g\in G$ jsou zobrazení levé a pravé translace $L_g$ a $R_g$ homeomorfismy na $G$.
\item $G$ je homogenní prostor. 
\item $\forall U\in \mathcal{U}(e)\; \exists V\in \mathcal{U}(e):\quad V\cdot V^{-1}\subset U$.
\item Je--li jedna z množin $A,B\subset G$ otevřená, pak $A\cdot B$ je otevřená.
\item Je--li $H\subset G$ (normální) podgrupa, pak $\overline{H}$ je (normální) podgrupa.
\item Je-li $H\subset G$ podgrupa a $\operatorname{Int}(H)\neq \emptyset$, pak $H$ je obojetná.
\item Součin topologických grup se součinovou topologií je topologická grupa.
\item Homomorfismus topologických grup $f\colon G\to H$ je spojitý, právě když je spojitý v neutrálním prvku $e_G$.
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\end{lemma}
\sLehkymDukazem
\section{Uniformity na topologických grupách}
\begin{defin}
    Nechť $G$ je topologická grupa. Pak
    \begin{itemize}
        \item \emph{pravá uniformita} na $G$ je uniformita $\D_R$, jejíž báze je dána systémem $\{R_U\colon U\in\U(e)\}$, kde $R_U:=\{(x,y)\colon xy^{-1}\in U\}$ pro $U\in \U(e)$,
        \item \emph{levá uniformita} na $G$ je uniformita $\D_L$, jejíž báze je dána systémem $\{L_U\colon U\in\U(e)\}$, kde $L_U:=\{(x,y)\colon x^{-1}y\in U\}$ pro $U\in \U(e)$.
    \end{itemize}
\end{defin}
\begin{lemma}Nechť $(G,\cdot,\tau)$ je topologická grupa. Pak $\tau = \tau_{\D_R} = \tau_{\D_L}$ (tj. topologie generovaná pravou uniformitou je topologie grupy). Navíc, zobrazení $R_g:(G,\D_R)\to (G,\D_R)$ a $L_g:(G,\D_L)\to (G,\D_L)$ jsou uniformní homeomorfismy pro každé $g\in G$.
\end{lemma}
\sLehkymDukazem

\begin{theorem}
    Každá $T_1$ topologická grupa je $T_{3\frac12}$. Navíc, $T_1$ topologická grupa je metrizovatelná, právě když má spočetný charakter.
\end{theorem}
\sDukazemVkontextu

\begin{lemma}[O zprava/zleva invariantní pseudometrice]
    Nechť $(G,\cdot,\tau)$ je topologická grupa a $\{U_n\colon n\in\en\cup\{0\}\}\subset \U(e)$ splňují
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
    \item $U_0=G$,
    \item $\forall n\in\en:\; U_n = (U_n)^{-1}$,
    \item $\forall n\in\en:\; U_{n+1}\cdot U_{n+1}\cdot U_{n+1}\subseteq U_n$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
Pak existuje zprava invariantní (resp. zleva invariantní) pseudometrika $\rho$ na $G$ splňující $\rho\leq 1$,
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
    \item $\forall n\geq 1:\quad B_\rho(e,2^{-n-1})\subseteq U_n\subseteq \overline{B}_\rho(e,2^{-n})$,
    \item $\D_\rho\subset \D_R$ (resp. $\D_\rho\subset \D_L$).
\end{enumerate}
Navíc, pokud na grupě $G$ splývá levá a pravá uniformita, pak existuje dokonce bi-invariantní pseudometrika $\rho$ s vlastnostmi výše.
\end{lemma}
\sDukazemVkontextu

\begin{theorem}[Birkhoff-Kakutani]
    Každá metrizovatelná topologická grupa je metrizovatelná zprava invariantní (resp. zleva invariantní) metrikou.
\end{theorem}
\sDukazemVkontextu

\begin{defin}
    Řekneme, že topologická grupa je SIN (Small Invariant Neighborhoods) pokud na ní existuje $\B$ báze okolí $e$ splňující že $gUg^{-1}\subset U$ pro každé $U\in\B$ a $g\in G$.
\end{defin}

\begin{prop}Topologická grupa je SIN právě když na ní splývá levá a pravá uniformita.
\end{prop}
\sLehkymDukazem

\begin{theorem}
    Metrizovatelná grupa je SIN právě když je metrizovatelná bi-invariantní metrikou.
\end{theorem}
\sDukazemVkontextu

\begin{examples}
    Typickými příklady SIN topologických grup jsou kompaktní grupy, diskrétní grupy a komutativní grupy. Příkladem metrizovatelné topologické grupy, která není SIN je $GL(n,\R)$.
\end{examples}
\sLehkymDukazem

\section{Kvocient topologických grup}

\begin{theorem}
    Nechť $G$ je topologická grupa a $N\lhd G$. Na $G/H$ uvažujme kvocientovou topologii induktivně generovanou zobrazením $\pi:G\to G/H$. Pak $G/H$ je topologická grupa a $\pi$ je otevřený homomorfismus. Navíc, $G/H$ je $T_1$ právě když $H$ je uzavřená (bez ohledu na to, zda $G$ je $T_1$).
\end{theorem}
\sTezkymDukazem

\begin{theorem}
    Nechť $G$ je $T_1$ topologická grupa a $H\subset G$ lokálně kompaktní podgrupa. Pak $H$ je uzavřená.
\end{theorem}
\sLehkymDukazem

\section{Reprezentace topologických grup}

\begin{defin}Nechť $G$ je $T_1$ topologická grupa. Řekneme, že funkce $f:G\to\R$ je zprava stejnoměrně spojitá, pokud $f$ je stejnoměrně spojitá jakožto funkce z $(G,\D_R)$ do $\R$. Množinu všech omezených zprava stejnoměrně spojitých funkcí $f:G\to \R$ označujeme jako $RUC(G)$.
\end{defin}

\konecPrednasky{12.3.2026}

\begin{lemma}Nechť $G$ je $T_1$ topologická grupa. Pak $f:G\to \R$ je zprava stejnoměrně spojitá právě když
\[
\forall\varepsilon>0 \; \exists U\in\U(e)\; \forall u\in U\;\forall x\in G:\quad |f(ux)-f(x)|<\varepsilon.
\]
Pokud $RUC(G)$ vybavíme normou $\|f\|_\infty:=\sup_{x\in G} |f(x)|$, pak $(RUC(G),\|\cdot\|_{\infty})$ je Banachův prostor. Navíc, $RUC(G)$ odděluje body a uzavřené množiny v $G$.  
\end{lemma}
\sLehkymDukazem

\begin{theorem}[Teleman]
    Nechť $G$ je $T_1$ topologická grupa. Pak existuje Banachův prostor $V$ takový, že $G$ se vnoří jakožto topologická grupa do $\Iso(V)$.
\end{theorem}
\sTezkymDukazem

\konecPrednasky{19.3.2026}

\chapter{Parakompaktní prostory}

\begin{defin}
    Je-li $X$ množina a $\mathcal U$ její pokrytí, pak systém $\mathcal V$ nazýváme \emph{zjemněním $\mathcal U$} (značíme $\mathcal V\prec \U$), pokud $\mathcal V$ je pokrytí $X$ a pro každé $V\in\mathcal V$ existuje $U\in\mathcal U$, že $V\subseteq U$.

    Dále, nechť $X$ je topologický prostor a $\mathcal S\subseteq\mathcal P(X)$. Systém $\mathcal S$ se nazývá
    \begin{itemize}
        \item \emph{lokálně konečný}, pokud každý bod v $X$ má okolí protínající jen konečně mnoho množin z $\mathcal S$,
        \item \emph{diskrétní}, pokud každý bod v $X$ má okolí protínající nejvýše jednu množinu z $\mathcal S$,
        \item \emph{$\sigma$-lokálně konečný} (resp. \emph{$\sigma$-diskrétní}), pokud je spočetným sjednocením lokálně konečných (resp. diskrétních) systémů.
    \end{itemize}
\end{defin}

\begin{pozns}
Každý ($\sigma$-)diskrétní systém je ($\sigma$-)lokálně konečný. Systém $\{(-\tfrac{1}{n}, \tfrac{1}{n})\colon n\in\mathbb N\}$ je $\sigma$-diskrétní, ale není lokálně konečný.
\end{pozns}

\begin{fact}[Uzávěr lokálně konečného souboru]
Je-li $\mathcal A$ lokálně konečný soubor v topologickém prostoru $X$, pak $\{\cl A\colon A\in\mathcal A\}$ je lokálně konečný a  $\cl{\bigcup \mathcal A}=\bigcup\{\cl A\colon A\in\mathcal A\}$.
\end{fact}
\sDukazemVkontextu

\begin{defin}
Hausdorffův topologický prostor $X$ se nazývá \emph{parakompaktní}, pokud každé jeho otevřené pokrytí má lokálně konečné otevřené zjemnění.
\end{defin}

\begin{examples}
Všechny kompaktní a všechny diskrétní prostory jsou parakompaktní.\\ (Později dokážeme, že také každý metrický prostor je parakompaktní.)    
\end{examples}

\begin{theorem}[Charakterizace parakompaktnosti]\label{charakparak}
Pro $T_{3}$ topologický prostor $X$ jsou následující podmínky ekvivalentní.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item $X$ je parakompaktní.
\item Každé otevřené pokrytí $X$ je zjemňováno $\sigma$-lokálně konečným otevřeným pokrytím.
\item Každé otevřené pokrytí $X$ je zjemňováno lokálně konečným pokrytím.
\item Každé otevřené pokrytí $X$ zjemňováno lokálně konečným uzavřeným pokrytím.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\sTezkymDukazem

\begin{corollary}
Každý Lindelöfův $T_{3}$ prostor je parakompaktní.
\end{corollary}
\sDukazemVkontextu

\begin{defin}
    Pro systém $\mathcal S$ podmnožin množiny $X$ a $x\in X$ definujme $st_{\mathcal S}(x)=\bigcup\{S\in\mathcal S\colon x\in S\}$.
Říkáme, že pokrytí $\mathcal V$ \emph{hvězdovitě zjemňuje} $\mathcal U$ (píšeme $\mathcal{V}\prec_{st} \U$), pokud $\{st_{\mathcal V}(x)\colon V\in\mathcal V\}$ zjemňuje $\mathcal U$.
\end{defin}

\begin{theorem}[Charakterizace parakompaktnosti II]
Pro Hausdorffův topologický prostor $(X,\tau)$ jsou následující podmínky ekvivalentní.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Každé otevřené pokrytí $\U$ prostoru $X$ má otevřené hvězdovité zjemnění, které je pokrytím.
\item Existuje uniformita $\D$ na $X$ generující topologii $X$ (tj. $\tau_\D=\tau$) taková, že pro každé otevřené pokrytí $\U$ prostoru $X$ existuje $D\in\D$ splňující $\{D[x]\colon x\in X\}\prec \U$.
\item $X$ je $T_{3\frac 12}$ a pro každé otevřené pokrytí $\U$ prostoru $X$ existuje spojitá pseudometrika $\rho$ na $X$ splňující $\{B_{\rho}(x,1)\colon x\in X\}\prec \U$
\item $X$ je $T_{3\frac 12}$ a každé otevřené pokrytí $X$ je zjemňováno $\sigma$-diskrétním otevřeným pokrytím.
\item $X$ je parakompaktní.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\sTezkymDukazem

\konecPrednasky{26. 3. 2026}

\begin{defin}
Hausdorffův topologický prostor $X$ se nazývá \emph{kolektivně normální}, pokud pro každý diskrétní systém $\mathcal F$ z uzavřených množin existuje systém disjunktních otevřených množin $\{U(F)\colon F\in\mathcal F\}$ splňující $F\subset U(F)$ pro každé $F\in\mathcal F$..
\end{defin}

\begin{pozn}
    Pokud je systém uzavřených množin konečný, pak je diskrétní právě když je disjunktní. Speciálně, každý kolektivně normální prostor je i normální.
\end{pozn}

\begin{prop}
Každý parakompaktní topologický prostor je kolektivně normální, a tedy normální.
\end{prop}
\sLehkymDukazem

\begin{theorem}[Stone]
    Každý metrizovatelný topologický prostor je parakompaktní.
\end{theorem}
\sTezkymDukazem

\begin{defin}
    Nechť $\mathcal G$ je otevřené pokrytí prostoru $X$. Soubor spojitých funkcí $\{f_i:X\to [0,1]\colon i\in I\}$ se nazývá \emph{lokálně konečný rozklad
jedničky podřízený $\mathcal G$}, jestliže soubor $\{\{f_i\neq 0\}\colon i\in I\}$ je lokálně konečný, zjemňuje $\mathcal G$ a
$\sum_{i\in I}f_i(x) = 1$ pro každé $x\in X$.
\end{defin}

\begin{theorem}[Rozklad jednotky]
V parakompaktním topologickém prostoru existuje ke každému otevřenému pokrytí lokálně konečný rozklad jednotky podřízený tomuto pokrytí.
\end{theorem}
\sLehkymDukazem

\begin{theorem}[Dugundji - speciální případ]
    Nechť $K$ je metrizovatelný kompakt a $L\subset K$ jeho uzavřená podmnožina. Pak existuje lineární zobrazení $E:C(L)\to C(K)$ splňující $Ef|_L = f$ a $\|Ef\|_\infty\leq \|f\|_\infty$ pro každé $f\in C(L)$. Navíc, $Ef\geq 0$ kdykoliv $f\geq 0$.
\end{theorem}
\sTezkymDukazem

%\begin{corollary}
%    Nechť $K$ je metrizovatelný kompakt a $L\subset K$ jeho uzavřená podmnožina. Pak $C(L)$ je isometrický komplementovanému podprostoru $C(K)$.
%\end{corollary}

\konecPrednasky{2. 4. 2026}

\begin{theorem}[Bing, Nagata, Smirnov]
Pro $T_{3\frac 12}$ prostor $X$ je ekvivalentní.
\begin{itemize}[noitemsep]
\item[(a)] $X$ je metrizovatelný.
\item[(b)] $X$ má $\sigma$-diskrétní bázi.
\item[(c)] $X$ má $\sigma$-lokálně konečnou bázi.
\end{itemize}
\end{theorem}
\sTezkymDukazem

\chapter{Souvislost}

\begin{defin}
Topologický prostor se nazývá \emph{souvislý}, pokud ho nelze vyjádřit jako disjunktní sjednocení dvou neprázdných
otevřených množin.
\end{defin}

\begin{pozn}
    Existují ještě pojmy křivkové souvislosti a obloukové souvislosti, v této přednášce se těmto pojmům ale věnovat blíže nebudeme.
\end{pozn}

Poznamenejme, že někteří autoři (např. Engelking) považují prázdnou množinu za souvislou, někteří ne.

\begin{prop}
Pro topologický prostor $X$ jsou následující podmínky ekvivalentní.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item Prostor $X$ je souvislý.
\item Je-li $X=A\cup B$ a $\cl A\cap B=\emptyset=A\cap \cl B$, pak $A=\emptyset$ nebo $B=\emptyset$.
\item Prostor $X$ neobsahuje vlastní obojetnou podmnožinu.
\item Každé spojité zobrazení $f\colon X\to \{0,1\}$ je konstantní (kde $\{0,1\}$ je dvoubodový diskrétní prostor).
\end{enumerate}
\end{prop}
\sDukazemVkontextu

\begin{prop}
Spojitý obraz souvislého prostoru je souvislý.
\end{prop}
\sDukazemVkontextu

\begin{prop}[Sjednocení souvislých množin]\label{prop:sjednoceniSouvislych}
Nechť $\{C_i\colon i\in I\}$ je soubor souvislých podmnožin prostoru $X$ a nechť je splněna jedna z následujících podmínek:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item $\exists i_0\in I\; \forall i\in I:\quad C_i\cap C_{i_0}\neq\emptyset$;
\item $\bigcap_{i\in I} C_i\neq\emptyset$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
Pak $\bigcup C_i$ je souvislá.
\end{prop}
\sLehkymDukazem

\begin{corollary}
Je-li $X$ topologický prostor, $A\subseteq X$ souvislá a $A\subseteq M\subseteq \cl A$, pak $M$ je souvislá.
\end{corollary}
\sLehkymDukazem

\begin{theorem}
Nechť $X$ je $T_{3 \frac 12}$ topologický prostor. Pak $X$ je souvislý, právě když $\beta X$ je souvislý.
\end{theorem}
\sDukazemVkontextu

\begin{theorem}
Nechť $X_i$, $i\in I$ jsou neprázdné topologické prostory. Pak $\prod_I X_i$ je souvislý, právě když jsou všechny prostory $X_i$, $i\in I$ souvislé.
\end{theorem}
\sLehkymDukazem

\begin{defin}
Je-li $X$ topologický prostor a $x\in X$, pak \emph{komponenta souvislosti} bodu $x$ je největší souvislá množina, která obsahuje bod $x$. Značíme ji $C_x$.
\end{defin}

\begin{pozn}
Díky Tvrzení~\ref{prop:sjednoceniSouvislych} existuje komponenta souvislosti každého bodu. Jsou-li $C_x$ a $C_y$ dvě komponenty, pak $C_x=C_y$ nebo $C_x\cap C_y=\emptyset$. Tedy komponenty souvislosti tvoří rozklad prostoru $X$.
\end{pozn}

\begin{prop}
Jsou-li $X_i$, $i\in I$ topologické prostory a $ x = (x_i)\in \prod_I X_i$, pak $C_x = \prod_I C_{x_i}$.\\
(Tj. komponenta $x = (x_i)$ je součin komponent příslušných $x_i$, $i\in I$.)
\end{prop}
\sLehkymDukazem

\begin{defin}
Buď $X$ topologický prostor. Množina $Q$ se  nazývá \emph{kvazikomponentou} v bodě $x$, pokud $Q=\bigcap\{Z\colon x\in Z, Z \text{ je obojetná}\}$. Značíme ji $Q_x$.
\end{defin}

\begin{pozn}
Pro každé $x\in X$ platí, že $C_x\subseteq Q_x$. Kvazikomponenty jsou uzavřené, protože jsou definované jako průniky uzavřených množin. Kvazikomponenty navíc opět tvoří rozklad prostoru.
\end{pozn}

\begin{example}
Ať $X$ je podmnožina roviny tvořená body $a=(0,0),b=(0,1)$ a spočetným systémem úseček spojujících body $(2^{-n},0)$ a $(2^{-n},1)$. Pak  $C_a = \{a\}\neq  \{a,b\} = Q_a$. 
\end{example}
\sLehkymDukazem

\begin{lemma}[O průniku v kompaktu]\label{prunikvkompaktu}
Buď $X$ kompaktní prostor a $\mathcal A$ soubor uzavřených množin. Pokud $\bigcap\mathcal A\subseteq U$ pro nějakou $U$ otevřenou, pak existuje konečný systém $\mathcal F\subseteq \mathcal A$, že $\bigcap \mathcal F\subseteq U$.
\end{lemma}
\sTezkymDukazem

\begin{theorem}\label{komponentyakvazi}
V kompaktním $T_2$ prostoru komponenty a kvazikomponenty splývají.
\end{theorem}
\sTezkymDukazem

\section{Kontinua}

\begin{defin}
Kompaktní souvislý neprázdný $T_2$ prostor se nazývá \emph{kontinuum}. Je-li tvořeno jediným bodem, nazývá se \emph{degenerované}.
\end{defin}

\begin{pozn}Spojité obrazy a libovolné součiny kontinuí jsou kontinua.
\end{pozn}

\begin{prop}
Je-li $\mathcal H$ soubor kontinuí uzavřený na konečné průniky, pak $\bigcap \mathcal H$ je kontinuum.\\
(Speciálně průnik klesající posloupnosti kontinuí je kontinuum.)
\end{prop}
\sLehkymDukazem

\begin{prop}[Bum do hranice]
Je-li $A$ vlastní uzavřená podmnožina kontinua $X$, pak každá komponenta množiny $A$ protíná hranici $A$.
\end{prop}
\sLehkymDukazem

\begin{theorem}[Sierpinski]
Buď $X$ kontinuum a $X_n, n\in\N$, po dvou disjunktní uzavřené podmnožiny, jejichž sjednocením je $X$. Pak $X_n=\emptyset$ pro všechna $n$ až na jedno.
\end{theorem}
\sLehkymDukazem

\konecPrednasky{9. 4. 2026}

\begin{defin}
Kontinuum se nazývá \emph{rozložitelné}, pokud existují dvě vlastní podkontinua, jejichž je sjednocením. V opačném případě se nazývá \emph{nerozložitelné}.
\end{defin}

\begin{example}
    V $\er^2$ existuje nerozložitelné kontinuum.
\end{example}

\konecPrednasky{16. 4. 2026}

\section{Nesouvislost}

\begin{defin}
Hausdorffův topologický prostor $X$ se nazývá 
\begin{itemize}
\item
\emph{dědičně nesouvislý}, pokud komponenty jsou jednobodové;
\item
\emph{totálně nesouvislý}, pokud pro $x\neq y$ existuje obojetná $Z\subseteq X$, že $x\in Z$, $y\notin Z$;
\item
\emph{nuldimenzionální} (píšeme někdy \emph{$0$-dim}), pokud má bázi tvořenou obojetnými množinami;
\item
\emph{silně nuldimenzionální}(píšeme někdy \emph{silně $0$-dim}), pokud pro každé dvě disjunktní uzavřené množiny $E, F$ existuje obojetná $Z$, že $E\subseteq Z\subseteq X\setminus F$.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{pozns}\begin{itemize}
    \item Terminologie není uplně jednotná, používáme terminologii z Engelkinga (ve skriptech zvolena jiná terminologie). Nejpodstatnějším pojmem bude nuldimenzionalita (tam terminologie jednotná je).
    \item Námi definovaná silná nuldimenzionalita implikuje automaticky normalitu, ale lze ji přirozeně definovat rozumným způsobem už v Tichonovových prostorech (blíže viz. například skripta).
\end{itemize}
\end{pozns}

\begin{prop}
    Nechť $X$ je $T_2$ topologický prostor. Pak platí
    \[
    \text{$X$ je silně $0$-dim $\implies$ $X$ je $0$-dim $\implies$ $X$ je totálně nesouvislý $\implies$ $X$ je dědičně nesouvislý.}
    \]
\end{prop}
\sLehkymDukazem

\begin{examples}
    \begin{itemize}
        \item Uvažujme $X=\er^2$ s topologií $\tau$ určenou takto: body $\qe^2$ jsou izolované, ostatní body $x$ mají bázová okolí $\{x\}\cup (B(x,\varepsilon)\cap \qe^2)$ pro $\varepsilon>0$. Pak $(X,\tau)$ je $T_2$ prostor, který je dědičně nesouvislý a není totálně nesouvislý.\\
        Existuje i metrizovatelný příklad, ten je ale o dost složitější (viz. skripta, Příklad 8.46).
        \item Uvažujme Erd\"osův prostor, tj. $E:=\ell_2\cap \qe^\omega$ s topologií zděděnou z $\ell_2$. Pak $E$ je metrizovatelný totálně nesouvislý prostor, který není nuldimenzionální.
        \item Příklady prostorů, který jsou nuldimenzionální a nejsou normální (tedy ani silně nuldimenzionální podle naší definice) byly už zmíněny v Obecné topologii 1 (součin Sorgenfreyovy přímky, nebo Isbel-Mr\'owka space).
        \item Na cvičení si ukážeme příklad normálního prostoru, který je nuldimenzionální ale není silně nuldimenzionální. Dokonce existuje i metrizovatelný příklad, ten je ale velmi komplikovaný.
    \end{itemize}
\end{examples}
\sTezkymDukazem

\begin{theorem}[Nesouvislost v kompaktu]
Pro $T_2$ kompaktní prostor $X$ platí:
 \[
    \text{$X$ je silně $0$-dim $\Leftrightarrow$ $X$ je $0$-dim $\Leftrightarrow$ $X$ je totálně nesouvislý $\Leftrightarrow$ $X$ je dědičně nesouvislý.}
\]
\end{theorem}
\sLehkymDukazem

\begin{theorem}[Nuldimenzionalita $\beta X$]
Ať $X$ je $T_4$. Pak $\beta X$ je $0$-dim, právě když $X$ je silně $0$-dim.
\end{theorem}
\sLehkymDukazem

\begin{prop}
Nechť $X$ je $T_2$. Pak je nuldimenzionální, právě když jej lze vnořit do $2^I$ pro nějakou množinu $I$. V takovém případě lze zvolit $I = w(X)$.
\end{prop}
\sLehkymDukazem

\begin{theorem}
Každý $T_2$ kompakt je spojitým obrazem nuldimenionálního kompaktu stejné váhy.
\end{theorem}
\sTezkymDukazem

\chapter{Topologická dimenze}

\begin{defin}[Malá induktivní dimenze: Menger, Urysohn]
Pro $T_3$ prostor $X$ definujeme pro $n\in\en\cup\{0\}$ jeho malou induktivní dimenzi induktivně takto:
\begin{itemize}[noitemsep]
\item Řekneme, že $\ind X = -1$, právě když $X = \emptyset$.
\item $\ind X\leq n$ jestliže pro každé $x\in X$ a $U$ okolí $x$ existuje otevřená $V$, že $x\in V\subseteq U$ a $\ind(\partial V)\leq n-1$.
\item $\ind X=n$, pokud $\ind X\leq n$ a neplatí $\ind X\leq n-1$.
\item $\ind X=\infty$, pokud $\ind X\leq n$ neplatí pro žádné $n\in\N$.
\end{itemize}
Říkáme, že $\ind X$ je \emph{malá induktivní dimenze} prostoru $X$.
\end{defin}

\begin{pozns} Nechť $X$ je $T_3$ prostor. Pak platí:
    \begin{itemize}[noitemsep]
        \item $\ind X\leq 0$, právě když $X$ je nuldimenzionální;
        \item pokud $M\subset X$, pak $\ind M\leq \ind X$;
        \item $\ind [0,1] = 1$.
    \end{itemize}
\end{pozns}

\begin{defin}[Velká induktivní dimenze: Brouwer, Čech]
Pro $T_4$ prostor $X$ definujeme pro $n\in\en\cup\{0\}$ jeho velkou induktivní dimenzi induktivně takto:
\begin{itemize}[noitemsep]
\item Řekneme, že $\Ind X = -1$, právě když $X = \emptyset$.
\item $\Ind X\leq n$ jestliže pro každou uzavřenou $E$ a otevřenou $U\supseteq E$ existuje otevřená $V$, že $E\subseteq V\subseteq U$ a $\Ind(\partial V)\leq n-1$.
\item $\Ind X=n$, pokud $\Ind X\leq n$ a neplatí $\Ind X\leq n-1$.
\item $\Ind X=\infty$, pokud $\Ind X\leq n$ neplatí pro žádné $n\in\en$.
\end{itemize}
Říkáme, že $\Ind X$ je \emph{velká induktivní dimenze} prostoru $X$.
\end{defin}

\begin{pozns} Nechť $X$ je $T_4$ prostor. Pak platí:
    \begin{itemize}[noitemsep]
        \item pokud $M\subset X$ je uzavřená, pak $\Ind M\leq \Ind X$;
        \item $\Ind X\leq 0$, právě když $X$ je silně nuldimenzionální;
        \item $\ind X\leq \Ind X$;
        \item $\Ind [0,1] = 1$.
    \end{itemize}
\end{pozns}

\begin{defin}Říkáme, že systém $\mathcal A$ podmnožin množiny $X$ je řádu $n$, pokud $n$ je největší přirozené číslo, pro které existují různé prvky $A_1\dots, A_{n+1}\in\mathcal A$, že $\bigcap A_i\neq \emptyset$.
\end{defin}

\begin{defin}[Pokrývací dimenze: Čech, Lebesgue] % Čech: funkcionálně otevřená varianta
Pro $T_4$ prostor $X$ definujeme pro $n\in\en\cup\{0\}$ jeho pokrývací dimenzi induktivně takto:
\begin{itemize}[noitemsep]
\item $\dim\emptyset = -1$.
\item $\dim X\leq n$ jestliže každé konečné otevřené pokrytí $X$ je zjemněno konečným otevřeným pokrytím řádu nejvýše $n$.
\item $\dim X=n$, pokud $\dim X\leq n$ a neplatí $\dim X\leq n-1$.
\item $\dim X=\infty$, pokud $\dim X\leq n$ neplatí pro žádné $n$.
\end{itemize}
Říkáme, že $\dim X$ je \emph{pokrývací dimenze} prostoru $X$.
\end{defin}

\begin{pozns} Nechť $X$ je $T_4$ prostor. Pak platí:
    \begin{itemize}[noitemsep]
        \item pokud $M\subset X$ je uzavřená, pak $\dim M\leq \dim X$;
        \item $\dim [0,1] = 1$.
    \end{itemize}
\end{pozns}

\konecPrednasky{23. 4. 2026}

\begin{prop}V $T_4$ topologickém prostoru $X$ platí, že $\dim X\leq 0$ právě když $X$ je silně $0$-dim.
\end{prop}
\sLehkymDukazem

\begin{defin}
Ať $X$ je množina a $\mathcal S\subseteq \mathcal P(X)$ pokrytí množiny $X$. Indexovaný systém $\{T_S\colon S\in\mathcal S\}$ se nazývá \emph{skrčení} systému $\mathcal S$, pokud je to pokrytí a $T_S\subseteq S$ pro $S\in\mathcal S$.
\end{defin}

\begin{lemma}[O skrčení]
    Ať $X$ je $T_4$ prostor a  $\{G_1,\ldots,G_n\}$ je otevřené pokrytí $X$. Pak existuje otevřené pokrytí $\{H_1,\ldots,H_n\}$ prostoru $X$ takové, že $\overline{H_i}\subset G_i$, $i\in\{1,\ldots,n\}$.\\
    (Tj. každé konečné otevřené pokrytí má uzavřené skrčení takové, že vnitřky tvoří také pokrytí.)
\end{lemma}
\sLehkymDukazem

\konecPrednasky{30. 4. 2026}

\begin{lemma}[O nadmutí]
    Ať $X$ je $T_4$ prostor, $\{F_1,\ldots,F_n\}$ konečný systém uzavřených podmnožin $X$ řádu nejvýše $n$ a nechť $\{U_1,\ldots,U_n\}$ jsou otevřené množiny splňující $F_i\subset U_i$ pro $i=1,\ldots,n$. Pak existuje systém $\{V_1,\ldots,V_n\}$ otevřených podmnožin $X$ splňující, že $\{\overline{V_1},\ldots,\overline{V_n}\}$ má řád nejvýše $n$ a $F_i\subset V_i\subset \overline{V_i}\subset U_i$ pro každé $i=1,\ldots,n$.
\end{lemma}
\sLehkymDukazem

\begin{theorem}[Charakterizace pokrývací dimenze]
Pro $T_4$ prostor $X$ jsou následující podmínky ekvivalentní.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
\item $\dim X \leq n$.
\item Každé konečné otevřené pokrytí prostoru $X$ má otevřené skrčení řádu nejvýše $n$.
\item Každé konečné otevřené pokrytí $X$ má uzavřené skrčení řádu nejvýše $n$.
\item Každé konečné otevřené pokrytí $X$ je zjemněno konečným uzavřeným pokrytím řádu $\leq n$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\sLehkymDukazem

\begin{theorem}[Součtová věta pro dimenzi $\dim$]\label{souctovavetadim}
Je-li $T_4$ prostor $X$ sjednocením spočetně mnoha svých uzavřených podprostorů $F_i$ a $\dim F_i\leq n$, pak $\dim X\leq n$. 
\end{theorem}
\sTezkymDukazem

\begin{theorem}
    Pokud $X$ je $T_4$, pak $\dim X\leq \Ind X$.
\end{theorem}
\sLehkymDukazem

\section{Topologická dimenze v metrizovatelných prostorech}

\begin{theorem}
    Je--li $X$ metrizovatelný prostor, pak $\dim X = \Ind X$.
\end{theorem}
\begin{proof}Důkaz byl uveden pouze pro speciální případ kompaktního prostoru $X$, tento speciální případ lze zkoušet.
\end{proof}

\konecPrednasky{7. 5. 2026}

\begin{lemma}
    Nechť $X$ je metrizovatelný prostor a $Z\subset X$ silně $0$-dim. Pak pro každou $F\subset X$ uzavřenou a $U\subset X$ otevřenou splňující $F\subset U$ existuje otevřená $V\subset X$ splňující $F\subset V\subset \overline{V}\subset U$ a $Z\cap \partial V = \emptyset$.
\end{lemma}

\begin{theorem}
    Nechť $X$ je metrizovatelný separabilní prostor. Pak $\ind X = \dim X = \Ind X$.
\end{theorem}

\begin{theorem}
    Nechť $X$ je metrizovatelný prostor a $n\in \en\cup\{0\}$. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní.
    \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
        \item $\Ind X\leq n$,
        \item $X = Y \cup Z$, kde $\Ind Y\leq n-1$ a $\Ind Z\leq 0$.
    \end{enumerate}    
\end{theorem}

\begin{corollary}[o oddělování]
Nechť $X$ je metrizovatelný prostor a $n\in \en\cup\{0\}$. Pokud je $\Ind X\leq n$, pak pro každou posloupnost $(n+1)$ dvojic uzavřených disjunktních množin $(F_1,H_1),\ldots (F_{n+1}, H_{n+1})$, existují otevřené množiny $U_i$, $i=1,\dots, n+1$, že $F_i\subseteq U_i\subseteq\cl {U_i}\subseteq X\setminus H_i$ a $\bigcap_{i=1}^{n+1} \partial U_i=\emptyset$.
\end{corollary}

\begin{theorem}
    Nechť $X$ a $Y$ jsou neprázdné metrizovatelné prostory, pak $\Ind (X\times Y)\leq \Ind X + \Ind Y$.
\end{theorem}

\section{Dimenze a Euklidovské prostory}

\begin{theorem}[Brouwerova o pevném bodě]
Každé spojité zobrazení $f\colon [0,1]^n\to [0,1]^n$ má pevný bod, tj. existuje $x\in [0,1]^n$, pro které $f(x)=x$.
\end{theorem}

\begin{theorem} 
Pro každé $n\in\en$ platí, že $\dim [0,1]^n=\dim\R^n=n$.
\end{theorem}

\begin{corollary}
    Pokud $n,m\in\en$ a $n\neq m$, pak $\er^n$ není homeomorfní $\er^m$.
\end{corollary}
\end{document}