\documentclass[10pt,notitlepage]{report}

\frenchspacing % aktivuje pou?it? n?kter?ch ?esk?ch typografick?ch pravidel

\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,enumerate,mathabx,multicol,color}
\usepackage[top=1cm]{geometry} % nastaven? dan? velikosti okraj?
%\pagestyle{empty}
\newtheorem{theorem}{V\v{e}ta}%[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{fact}[theorem]{Fakt}
\newtheorem{prop}[theorem]{Tvrzen\'i}
\newtheorem{corollary}[theorem]{D\r{u}sledek}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{example}{P\v{r}\'iklad}
\newtheorem*{examples}{P\v{r}\'iklady}
\newtheorem*{defin}{Definice}
\newtheorem*{cviko}{Cvi\v{c}en\'i}
\newtheorem*{pozn}{Pozn\'amka}
\newtheorem*{pozns}{Pozn\'amky}
\newtheorem*{notation}{Zna\v{c}en\'i}
\newtheorem*{convention}{\'Umluva}
\newtheorem*{exercise}{Cvi\v{c}en\'i}

\def\ce{\mathbb C} 
\def\en{\mathbb N}
\def\qe{\mathbb Q}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\er{\mathbb R}
\def\A{\mathcal{A}}
\def\B{\mathcal{B}}
\def\P{\mathcal{P}}
\def\M{\mathfrak{M}}
\def\m{\mathfrak{m}}
\def\dom{D}
\def\rng{H}
\def\Rr{\er^*}
\def\R{\er}
\def\N{\en}
\def\nec{Nech\v t\ }
\def\ov{\overline}
\newcommand\eqc{\overset c=}
\def\st{\operatorname{st}}
\def\period{\mathcal{P}([0,2\pi])}
\def\eqdef{\stackrel{\text{\tiny def}}{=}}
\def\Mod{\operatorname{mod}}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\def\sgn{\operatorname{sgn}}
\newcommand\lx[1][0]{\displaystyle\lim_{x\to #1}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \tg {\operatorname{tg}}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def \arg {\operatorname{arg}}
\def \Arg {\operatorname{Arg}}
\def \Log {\operatorname{Log}}
\def\arccotg{\operatorname{arccotg}}
\newcommand{\cl}{\overline }
\def\ind{\operatorname{ind}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\def \sumad {\sum_{k=2}^\infty}
\def \dx {\, \mathrm{d} x}
\def \dt {\, \mathrm{d} t}
\def \dz {\, \mathrm{d} z}
\def \dw {\, \mathrm{d} w}
\def \dmu {\, \mathrm{d} \mu}
\newcommand\dgx[1]{\, \mathrm{d} #1}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\def\C{\mathcal{C}}
\def\ov{\overline}
\def\x{\mathbf{x}}
\def\a{\mathbf{a}}
\def\o{\mathbf{o}}
\def\y{\mathbf{y}}
\def\f{\mathbf{f}}
\def\dist{\operatorname{dist}}
\def\setsep{;\;}
\def\at{A\v{t} }
\def\ve{\varepsilon}
\def\de{\delta}
\def\int{\operatorname{Int}}
\def\Re{\operatorname{Re}}
\def\Im{\operatorname{Im}}
\def\res{\operatorname{res}}
\newcommand\nint{(N)\int}
\newcommand\rint{(R)\int}
\newcommand\rsint{(RS)\int}
\newcommand\dl[1]{\, \mathrm{d} \lambda^{#1}}
\newcommand\ser[2]{\sum_{#1=#2}^\infty}
\newcommand\abs[1]{\left|#1\right|}
\newcommand\cbl[1]{\textbf{#1}}
\newcommand\emphdef[1]{\emph{#1}}
\newcommand{\disjUnion}{\biguplus}
%minus s teckou
\makeatletter
\newcommand{\dotminus}{\mathbin{\text{\@dotminus}}}

\newcommand{\@dotminus}{%
  \ooalign{\hidewidth\raise1ex\hbox{.}\hidewidth\cr$\m@th-$\cr}%
}
\makeatother
%formatovani kapitol a sekci
\titleformat{\chapter}
   {\normalfont\LARGE\bfseries}{\thechapter.}{1em}{}
\titlespacing*{\chapter}
  {0pt}{20pt}{20pt}
  \titleformat{\section}
   {\normalfont\large\bfseries}{\thesection.}{1em}{}


\newcounter{Priklad}
\addtocounter{Priklad}{1}
\newcommand{\pr}{\quad\alph{Priklad})\;\addtocounter{Priklad}{1}}
\newcommand{\resetpr}{\setcounter{Priklad}{1}}

\newcounter{prednaska}
\newcommand{\cisloPrednasky}{\addtocounter{prednaska}{1}\arabic{prednaska}}
\newcommand\konecPrednasky[1]{\bigskip
	\hfill\textbf{konec \cisloPrednasky.~p\v{r}edn\'a\v{s}ky (#1)}
	\bigskip}

\newcommand\dukazNaznak{\begin{proof}Idea důkazu byla, ale některé jeho části byly vynechány, tyto mohou být u zkoušky použity jakožto příklad navíc.\end{proof}}
\newcommand\sDukazem{\begin{proof}Důkaz byl, může být zkoušen.\end{proof}}
\newcommand\dukazLehky{\begin{proof}Důkaz je snadný, byl vynechán, může být u zkoušky použit jakožto příklad navíc.\end{proof}}
\newcommand\bezDukazu{\begin{proof}Důkaz na přednášce předveden nebyl, zkoušen nebude.\end{proof}}

\title{P\v{r}edn\'a\v{s}ka - Obecná topologie}  % tyto dv? polo?ky jsou zde v podstat? form?ln?, ve skute?nosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}
%\konecPrednasky{0.0.2017}
\chapter{Základní topologické pojmy}
\section{Topologický prostor, báze, subbáze}
\begin{defin}Nechť $X$ je množina. Řekneme, že $\tau\subset \P(X)$ je \emph{topologie} na $X$, pokud platí
\begin{itemize}
\item[(T1)] $\emptyset, X\in \tau$,
\item[(T2)] jsou-li $U, V\in \tau$, pak $U\cap V\in\tau$,
\item[(T3)] je-li $\mathcal U\subseteq \tau$, pak $\bigcup \mathcal U\in\tau$.
\end{itemize}
Dvojice $(X,\tau)$ se pak nazývá \emph{topologický prostor}. Prvky $X$ se nazývají \emph{body}, prvky $\tau$ se nazývají \emph{otevřené} množiny.
Množina $V\subseteq X$ se nazývá \emph{okolí} bodu $x\in X$, pokud existuje $U\in\tau$, pro které $x\in U\subseteq V$. Množinu všech okolí bodu $x$ značíme $\mathcal U(x)$.
Soubor množin $\mathcal B\subseteq\tau$ se nazývá \emph{báze} prostoru $X$, pokud každé $U\in\tau$ lze vyjádřit jako sjednocení nějakého $\mathcal U\subseteq \mathcal B$. Soubor $\mathcal S\subseteq\tau$ se nazývá \emph{subbáze}, pokud systém $\{\bigcap\mathcal F\colon \mathcal F\subseteq \mathcal S, \mathcal F \text{ je konečná}\}$ je báze.
\end{defin}

\begin{examples}
\begin{itemize}
    \item Je-li $(X,\rho)$ metrický prostor, pak soubor všech $\rho$-otevřených množin tvoří topologii na $X$. Říkáme pak, že tato \emph{topologie je generovaná metrikou $\rho$}. Báze topologie generované metrikou je například $\{B(x,r)\colon x\in X,\;r>0\}$. Topologický prostor je \emph{metrizovatelný}, pokud je jeho topologie generovaná nějakou metrikou.
    \item Na $\mathbb{R}$ s obvyklou metrikou bázi topologie tvoří otevřené intervaly, subbáze je například systém $\{(-\infty, b), (a, \infty)\colon a, b\in\R\}$. Na $\mathbb{R}^2$ s obvyklou metrikou je báze topologie například $\{(a,b)\times (c,d)\colon a<b,\;c<d\}$, subbáze topologie roviny je například $\{\er\times (a,b), (a,b)\times \er\colon a<b\}$.
    \item Na každé množině $X$ máme dvě triviální topologie. Dvojice $(X, \P(X))$ se nazývá \emph{diskrétní prostor} ($\P(X)$ je diskrétní topologie). Dvojice $(X, \{\emptyset, X\})$ se nazývá \emph{indiskrétní prostor} ($\{\emptyset, X\}$ je indiskrétní topologie). Každý diskrétní prostor je metrizovatelný. Indiskrétní alespoň dvoubodový prostor není metrizovatelný.
\end{itemize}
\end{examples}

\begin{prop}[Vlastnosti báze]
Je-li $(X,\tau)$ topologický prostor a $\mathcal B$ jeho báze, pak
\begin{itemize}
\item[(B1)] pro každé $U, V\in\mathcal B$ a $x\in U\cap V$ existuje $W\in\mathcal B$, že $x\in W\subseteq U\cap V$,
\item[(B2)] $\bigcup\mathcal B=X$.
\end{itemize}
Je-li $X$ množina a $\mathcal B\subseteq \mathcal P(X)$ systém množin splňující podmínky (B1) a (B2), pak existuje jediná topologie na $X$, jejíž báze je $\mathcal B$. 
\end{prop}
\sDukazem

\begin{corollary}
Je-li $X$ množina a $\mathcal S\subset \P(X)$ splní $\bigcup \mathcal S=X$, pak existuje právě jedna topologie na $X$, jejíž subbáze je $\mathcal S$.
\end{corollary}
\sDukazem

\begin{examples}\begin{itemize}
    \item Ať $(X,<)$ je lineárně uspořádaná množina. Pak \emph{topologie generovaná uspořádáním $<$} je topologie $\tau$ generovaná bází
\[\mathcal B=\{(a,b), a, b\in X, a<b\}\cup\{(\leftarrow, b)\colon b\in X\}\cup\{(a,\rightarrow)\colon a\in X\}\cup\{X\}\]
(prvkům $\B$ říkáme otevřené intervaly). Pak říkáme, že $(X,\tau)$ je \emph{uspořádaný topologický prostor}.
\item \emph{Sorgenfreyova přímka} je množina $\er$ s topologií generovanou bází
$\B = \{[a,b)\colon a<b\}$.
\end{itemize}
\end{examples}

\begin{prop}[Charakterizace otevřených množin pomocí okolí]
Ať $(X,\tau)$ je topologický prostor a $U\subseteq X$. Pak $U\in\tau$, {právě když } 
\[\forall x\in U\ \exists V\in\mathcal U(x): V\subseteq U.\]
\end{prop}
\sDukazem

\begin{prop}[Vlastnosti systému všech okolí]\label{TvrzOkoli}
Je-li $(X,\tau)$ topologický prostor, pak pro každé $x\in X$ soubor množin $\mathcal U(x)$ splňuje:
\begin{itemize}
\item[(U1)] $\mathcal U(x)\neq \emptyset$ a $x\in\bigcap\mathcal U(x)$,
\item[(U2)] je-li $U\in \mathcal U(x)$ a $U\subseteq V\subseteq X$, pak $V\in\mathcal U(x)$,
\item[(U3)] jsou-li $U, V\in \mathcal U(x)$, pak $U\cap V\in\mathcal U(x)$,
\item[(U4)] pro každé $U\in\mathcal U(x)$ existuje $V\in\mathcal U(x)$, že pro každé $y\in V$ je $U\in \mathcal U(y)$.
\end{itemize}
Je-li $X$ libovolná množina a soubory množin $\mathcal U(x)\subseteq\mathcal P(X)$, $x\in X$, splňují podmínky (U1) - (U4), pak na množině $X$ existuje jediná topologie $\tau$ jejíž systémy okolí jsou $\{\mathcal U(x)\}_{x\in X}$. 
\end{prop}
\sDukazem

\begin{defin} % pozn.: definice lokální báze - otevřenost množin, v topologických vektorových prostorech se hodí neotevřenost báze okolí.
Nechť $(X,\tau)$ je topologický prostor. Systém množin $\mathcal B(x)$ se nazývá \emph{bází okolí} v bodě $x$, pokud $\mathcal B(x)\subseteq \mathcal U(x)$ a pro každé $V\in\mathcal U(x)$ existuje prvek $U\in\mathcal B(x)$, že $U\subseteq V$. Indexovaný soubor $\{\mathcal B(x)\}_{x\in X}$ se nazývá \emph{báze okolí prostoru $X$}.
\end{defin}

\begin{prop}[Vlastnosti báze okolí]
Je-li $(X,\tau)$ topologický prostor a $\{\mathcal B(x)\}_{x\in X}$ báze okolí, pak pro každé $x\in X$ soubor množin $\mathcal B(x)$ splňuje
\begin{itemize}
\item[(O1)] $\mathcal B(x)\neq \emptyset$ a $x\in\bigcap\mathcal B(x)$,
\item[(O2)] pro každé $U, V\in \mathcal B(x)$ existuje $W\in\mathcal B(x)$, že $W\subseteq U\cap V$.
\item[(O3)] pro každé $U\in \mathcal B(x)$ existuje $V\in\mathcal B(x)$, že pro každé $y\in V$ existuje $W\in \mathcal B(y)$, že $W\subseteq U$.
\end{itemize}
Je-li $X$ libovolná množina a soubory množin $\mathcal B(x)\subseteq\mathcal P(X)$, $x\in X$, splňují podmínky (O1), (O2) a (O3), pak na množině $X$ existuje jediná topologie $\tau$ s bází okolí $\{\mathcal B(x)\}_{x\in X}$.
\end{prop}
\dukazNaznak

\begin{defin}
\emph{Váhu} topologického prostoru $X$ značíme $w(X)$ a je to nejmenší mohutnost báze. Přesnější značení $w(X,\tau)$ použijeme tehdy, pokud topologie $\tau$ není zřejmá z kontextu.
\emph{Charakter} v bodě $x\in X$ značíme $\chi(x, X)$ a je to nejmenší mohutnost báze okolí v bodě $x$. Charakter prostoru $X$ je supremum charakterů v jednotlivých bodech.
\end{defin}

\begin{examples}\begin{itemize}
    \item Je--li $X$ metrizovatelný, pak má spočetný charakter. Dále pak platí že $w(X)\leq \omega$ právě když je separabilní.
    \item Je--li $X$ diskrétní, pak $\chi(X)=1$ a $w(X)=|X|$.
    \item Je--li $X$ indiskrétní, pak $w(X)=\chi(X)=1$.
\end{itemize}
\end{examples}
\konecPrednasky{29. 9. 2025}
\begin{prop}
Nechť $X$ je topologický prostor. Pak $\chi(X)\leq w(X)\leq 2^{|X|}$.
\end{prop}
\sDukazem

%planovany konec prvniho tydne prednasek (cviceni se vynecha, protoze studenti dostanou k rozmysleni ulohy na priste a procvicovat se tedy bude priste .. )


\section{Vnitřek, uzávěr a hranice, husté a řídké množiny, hromadné a izolované body, spojitá zobrazení}

\begin{defin}
Množina $F$ v topologickém prostoru $(X,\tau)$ se nazývá \emph{uzavřená}, pokud $X\setminus F$ je otevřená. Množina se nazývá \emph{obojetná}, pokud je otevřená i uzavřená zároveň.
Je-li $A\subseteq X$, pak \emph{uzávěr} množiny $A$ je množina
\[\cl{A}:=\bigcap\{F\colon F \text{ je uzavřená}, A\subseteq F\}.\]
\emph{Vnitřek} množiny $A$ je množina 
$\int A= \bigcup\{ U\in \tau\colon U\subseteq A\}$.
\emph{Hranice} množiny $A$ je $\partial A=\cl{A}\cap \cl{X\setminus A}$.
\end{defin}

\begin{pozn}Je snadné si uvědomit že $\emptyset$ a $X$ jsou obojetné množiny a že systém uzavřených množin je uzavřený na konečná sjednocení a libovolné průniky. Uzávěr i hranice jsou uzavřené množiny, vnitřek je otevřená množina. Množina je uzavřená, právě když se rovná svému uzávěru, a je otevřená, právě když se rovná svému vnitřku.
\end{pozn}

\begin{prop}[Vztah vnitřku a uzávěru] Nechť $X$ je topologický prostor. Pak
\[X\setminus\cl{A}=\int{(X\setminus A)}\quad\text{a}\quad X\setminus\int{A}=\cl{(X\setminus A)}.\]
\end{prop}
\dukazLehky

\begin{prop}[Charakterizace uzávěru]
Nechť $X$ je topologický prostor, $x\in X$, $A\subseteq X$ a $\mathcal B(x)$ báze okolí v bodě $x$. Pak následující podmínky jsou ekvivalentní:
\begin{itemize}
\item[(1)] $x\in\cl A$,
\item[(2)] pro každé $U\in\mathcal U(x)$ je $U\cap A \neq\emptyset$,
\item[(3)] pro každé $U\in \mathcal B(x)$ je $U\cap A\neq\emptyset$.
\end{itemize}
Speciálně, je--li $U\subset X$ otevřená pak
\[U\cap A=\emptyset\Leftrightarrow U\cap \cl A=\emptyset.\]
\end{prop}
\sDukazem

\begin{prop}[Charakterizace hranice]
Ať $X$ je topologický prostor, $A\subseteq X$ a $x\in X$. Pak
\[x\in\partial A\Leftrightarrow \forall U\in\mathcal{U}(x):\; \big(U\cap A\neq \emptyset\; \&\;  U\cap(X\setminus A)\neq\emptyset\big).\] 
\end{prop}
\dukazLehky

\begin{defin}Ať $X$ je topologický prostor a $A\subset X$.
Množina $A$ se nazývá \emph{hustá}, pokud $\cl A=X$. Množina $A$ se nazývá \emph{řídká}, pokud $X\setminus\cl A$ je hustá v $X$. \emph{Hustota} prostoru $X$ je nejmenší mohutnost husté podmnožiny, značí se $d(X)$. Řekneme, že $X$ je \emph{separabilní}, pokud $d(X)\leq \omega$.
\end{defin}

\begin{prop}[Charakterizace hustých a řídkých množin]Ať $X$ je topologický prostor a $A\subset X$.
\begin{itemize}
    \item $A$ je hustá v $X$, právě když každá neprázdná otevřená množina $U\subseteq X$ protíná $A$,
    \item $A$ je řídká v $X$, právě když $\int(\cl A)=\emptyset$,
    \item $A$  je řídká v $X$, právě když každá otevřená neprázdná množina $V$ obsahuje neprázdnou otevřenou množinu $U$, která je disjunktní s $A$.
\end{itemize}
\end{prop}
\sDukazem

\begin{prop}[Vztah váhy a hustoty]
Pro každý topologický prostor $X$ platí $d(X)\leq w(X)$. Pokud je $X$ metrizovatelný, pak $d(X)=w(X)$.
\end{prop}
\dukazNaznak

\begin{defin}
Bod $x\in A\subseteq X$ se nazývá \emph{izolovaným bodem} množiny $A$, pokud existuje otevřená množina $U\subseteq X$, že $U\cap A=\{x\}$. Bod $x\in X$ se nazývá \emph{hromadným bodem} množiny $A$, pokud každé okolí $U$ bodu $x$ protíná $A\setminus \{x\}$. Množinu všech hromadných bodů množiny $A$ značíme $A'$ (tzv. derivace množiny $A$).
\end{defin}

\begin{examples}
V diskrétním prostoru jsou všechny body izolované a žádné hromadné. 
Je-li $X=\R$ a $A=\mathbb Q$, pak $A'=\R$ a žádný bod z $A$ není izolovaný.
\end{examples}

\begin{prop}[Vlastnosti derivace] Ať $X$ je topologický prostor a $A\subset X$. Pak
$\cl A=A\cup A'$ a $(A\cup B)'=A'\cup B'$.
\end{prop}
\dukazLehky

\begin{defin}
Ať $(X, \tau), (Y, \sigma)$ jsou dva topologické prostory a $f\colon X\to Y$ je funkce. Funkce $f$ se nazývá \emph{spojitá}, pokud pro každé $U\in\sigma$ je $f^{-1}(U)\in\tau$.
Zobrazení $f$ se nazývá \emph{homeomorfismus}, pokud $f$ je bijekce a $f$ i $f^{-1}$ jsou spojitá. Zobrazení $f$ je \emph{vnoření}, pokud jeho zúžení $f:X\to f(X)$ je homeomorfismus na podprostor  $f(X)\subset Y$.
Řekneme, že $f$ je \emph{spojité v bodě $x$}, pokud pro každé okolí $V$ bodu $f(x)$ existuje okolí $U$ bodu $x$, že $f(U)\subseteq V$.
Zobrazení $f$ se nazývá \emph{otevřené/uzavřené}, pokud je množina $f(M)$ je otevřená/uzavřená v $Y$ pro každou otevřenou/uzavřenou $M\subseteq X$.
\end{defin}

\begin{pozn}
Pokud jsou $X,Y,Z$ topologické prostory a $x\in Z$ pak pokud je funkce $f:X\to Y$ spojitá (v bodě $x$), je i její restrikce $f|_Z$ spojitá (v bodě $x$).
\end{pozn}

\begin{prop}[Charakterizace spojitých zobrazení]
Ať $(X,\tau)$, $(Y,\sigma)$ jsou topologické prostory a $f\colon X\to Y$ zobrazení a ať $\mathcal B$ je báze $Y$ a $\mathcal S$ subbáze $Y$
Pak jsou následující podmínky ekvivalentní
\begin{enumerate}
\item[(1)] $f$ je spojité,
\item[(2)] vzory množin ze subbáze $\mathcal S$ jsou otevřené,
\item[(3)] $f$ je spojité v každém bodě,
\item[(4)] vzory množin z báze $\mathcal B$ jsou otevřené,
\item[(5)] vzory uzavřených množin jsou uzavřené,
\item[(6)] pro každé $A\subseteq X$ platí $f(\cl A)\subseteq \cl{f(A)}$.
\end{enumerate}
\end{prop}
\dukazLehky

\begin{pozn}
    Složení spojitých zobrazení je spojité.
\end{pozn}

\konecPrednasky{6. 10. 2025}

\begin{defin}Pokud $(X,\tau)$ je topologický prostor a $Y\subset X$. Uvažujme $\sigma:=\{U\cap Y\colon U\in \tau\}$. Pak $\sigma$ je topologie na $Y$ a říkáme, že $(Y,\sigma)$ je \emph{podprostor} $X$.
\end{defin}

\begin{examples}Pro metrizovatelné prostory platí, že váha je rovna hustotě a že podprostor separabilního prostoru je separabilní. Pro nemetrizovatelné prostory tato tvrzení již platit nemusí. Následující příklady budou postupně probrány na cvičení.
    \begin{itemize}
        \item Pokud je $X$ double arrow space nebo Sorgenfreyova přímka, pak $d(X) = \omega < 2^\omega = w(X)$. Navíc, každý podprostor $X$ je separabilní.
        \item Pokud je $\A\subset \P(\en)$ nespočetný systém nekonečných množin, který je skoro disjunktní, pak pro příslušný Mrówka-Isbell space $X:=\psi(\A)$ platí $d(X) = \omega < |\A| = w(X)$. Navíc, $X$ je separabilní ale obsahuje neseparabilní podprostor (konkrétněji, $\A\subset \psi(\A)$ je nespočetný uzavřený podprostor, který je diskrétní).
    \end{itemize}
\end{examples}

\section{Nety a konvergence}

\begin{defin}
Dvojice $(I, \leq)$ se nazývá \emph{shora usměrněná} množina, pokud $\leq$ je částečné uspořádání na $I$ (tj. binární reflexivní, tranzitivní a slabě antisymetrická relace) s vlastností, že pro $i, j\in I$ existuje $k\in I$, že $i\leq k$ a $j\leq k$.
Symetrickým symbolem $\geq$ pak přirozeně myslíme inverzní relaci.
\emph{Net} v topologickém prostoru $X$ je zobrazení z nějaké neprázdné usměrněné množiny do $X$. Speciálním případem je \emph{posloupnost} (což je net indexovaný přirozenými čísly).
Řekneme, že net $(x_i)_{i\in I}$ \emph{konverguje} k bodu $x\in X$, pokud pro každé $U\in\mathcal{U}(x)$ existuje $i\in I$, že pro každé $j \geq i$ platí $x_j\in U$. Bod $x$ se pak nazývá \emph{limita netu $(x_i)_{i\in I}$}.
\end{defin}

\begin{prop}[Charakterizace uzávěru pomocí konvergence netů]\label{prop:uzaverNety}
Ať $X$ je topologický prostor a $A\subseteq X$. Pak
\begin{itemize}
\item $x\in \cl A$ právě když $x$ je limitou netu sestávajícího z bodů z $A$,
\item $A$ je uzavřená právě když každý konvergentní net sestávající z bodů v $A$ má limitu v $A$.
\end{itemize}
\end{prop}
\sDukazem

\begin{prop}[Charakterizace spojitosti pomocí konvergence netů]\label{prop:spojitostNety}Ať $X$ a $Y$ jsou topologické prostory. Zobrazení $f\colon X\to Y$ je spojité v bodě $x$, právě když pro každý net $(x_i)_{i\in I}$ konvegující k bodu $x$ konverguje net $(f(x_i))_{i\in I}$ k $f(x)$.
\end{prop}
\sDukazem

\begin{example}Tvrzení~\ref{prop:uzaverNety} a  Tvrzení~\ref{prop:spojitostNety} neplatí, pokud v něm slovo ``net'' nahradíme slovem ``posloupnost''. Vskutku, zvolme nespočetnou množinu $X$ s topologií
\[
\tau:=\{\emptyset\}\cup \{A\subset X\colon X\setminus A\text{ je spočetná}\}.
\]
Této topologii $\tau$ říkáme \emph{ko-spočetná topologie}. Pak pro libovolnou nespočetnou množinu $A\subsetneq X$ platí, že $A$ není uzavřená, ale zároveň každá konvergentní posloupnost sestávající z bodů z $A$ je konstantní až na konečně mnoho prvků. Dále, pokud na $\{0,1\}$ uvažujeme diskrétní topologii a funkci $f:X\to \{0,1\}$ definujme předpisem $f(x)=1$ pro $x\in A$ a $f(x)=2$, pak $f$ není spojitá funkce ale kdykoliv $(x_n)_{n\in\en}$ je konvergentní posloupnost v $A$, pak $\lim_{n\to\infty} f(x_n) = f(\lim_{n\to\infty} x_n)$.
\end{example}
\sDukazem

\section{Oddělovací axiomy}

\begin{defin}
Topologický prostor $X$ se nazývá
\begin{itemize}
\item $T_0$, pokud pro každé různé body $x, y\in X$ existuje otevřená $U$, že $|U\cap\{x, y\}|=1$,
\item $T_1$, pokud pro každé různé body $x, y\in X$ existuje otevřená $U$, že $x\in U$ a $y\notin U$,
\item $T_2$ (nebo \emph{Hausdorffův}), pokud pro každé různé body $x, y\in X$ existují otevřené disjunktní množiny $U$, $V$, že $x\in U$, $y\in V$,
\item \emph{regulární}, pokud pro každou uzavřenou $F\subseteq X$ a bod $x\in X\setminus F$ existují otevřené disjunktní množiny $U$, $V$, že $x\in U$ a $F\subseteq V$,
\item \emph{normální}, pokud pro každé dvě disjunktní uzavřené množiny $E$, $F$ existují disjunktní otevřené množiny $U$, $V$, že $E\subseteq U$ a $F\subseteq V$,
\item \emph{úplně regulární}, pokud pro každou uzavřenou množinu $F$ a bod $x\in X\setminus F$ existuje spojitá funkce $f\colon X\to [0,1]$, že $f(x)=0$ a $f(F)\subseteq \{1\}$,
\item $T_3$, pokud je regulární a $T_1$,
\item $T_{3\frac12}$ (nebo \emph{Tichonovův}), pokud je úplně regulární a $T_1$,
\item $T_4$, pokud je normální a $T_1$.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{pozn}
    Platí implikace 
    \[
    T_4 \implies T_{3\frac12}\implies T_3\implies T_2\implies T_1\implies T_0,\]
    ovšem první implikaci je relativně těžké dokázat (viz. Důsledek~\ref{cor:T4isT3}), ostatní je snadné. Žádnou z uvedných implikací nelze obrátit, což je v prvních třech případech obtížnější (viz. Příklady~\ref{ex:separatingAxiomsEasy} a příklad Niemiytzkého roviny, který bude předveden na cvičení, příklad že nelze obrátit druhou implikaci je nejsložitejší a vynecháme jej, je sepsán ve skriptech).

    Je jednoduché si rozmyslet, že vlastnosti $T_{3\frac12}$, $T_3$, $T_2$, $T_1$ a $T_0$ se zachovají na podprostorech a že vlastnost $T_4$ se zachová na uzavřených podprostorech. Obecně se normalita na podprostorech nezachová, příslušný protipříklad bude zmíněn později.
\end{pozn}

\begin{lemma} Ať $(X,\tau)$ je topologický prostor. Pak platí:
\begin{itemize}
\item[a)] $X$ je $T_1 \iff$ každá jednoprvková podmnožina $X$ je uzavřená $\iff$ každá konečná podmnožina $X$ je uzavřená.
\item[b)] $X$ je $T_2 \iff \forall x, y\in X, x\neq y\;\exists U\in\mathcal U(x)\colon x\in U \text{ a }y\notin\cl U$.
\item[c)] $X$ je regulární $\iff \forall x\in X\;\forall U\in\mathcal U(x)\;\exists V\in\mathcal U(x)\colon \cl V\subseteq U$.
\item[d)] $X$ je normální $\iff \forall V\in \tau\;\forall E\subseteq V \text{ uzavřenou }\; \exists U\in\tau:\;  E\subseteq U\subseteq \cl U\subseteq V$.
\end{itemize}
\end{lemma}
\dukazLehky

\begin{prop}[Jednoznačnost limity netu]Topologický prostor je $T_2$ právě když každý net má nejvýše jednu limitu.
\end{prop}
\sDukazem

\begin{theorem}[Urysohnovo lemma]
Topologický prostor $X$ je normální, právě když pro každé dvě disjunktní uzavřené množiny $E$ a $F$ existuje spojitá funkce $f\colon X\to [0,1]$, že $f(E)\subseteq \{0\}$ a $f(F)\subseteq\{1\}$.
\end{theorem}
\sDukazem

\begin{corollary}\label{cor:T4isT3}
Pokud je topologický prostor $T_4$, pak je $T_{3\frac12}$.
\end{corollary}
\sDukazem

\konecPrednasky{14. 10. 2025}

\begin{defin}Řekneme, že topologický prostor je \emph{nuldimenzionální}, pokud existuje báze okolí sestávající z obojetných množin.
\end{defin}

\begin{examples}\label{ex:separatingAxiomsEasy}
    \begin{itemize}
        \item Sierpińského prostor (tj. prostor $X=\{0,1\}$ s topologií $\tau = \{\emptyset,X,\{0\}\}$) je $T_0$, ale není $T_1$.
        \item Příkladem topologického prostoru, který je $T_1$ a není $T_2$ je nekonečná množina $X$ s \emph{ko-konečnou topologií}, tj. s topologií $\tau:=\{\emptyset\}\cup \{A\subset X\colon X\setminus A\text{ je konečná}\}$.
        \item Příkladem topologického prostoru, který je $T_2$ a není $T_3$ je množina $S:=(0,1)^2\cup\{(0,0)\}$ s topologií generovanou bází okolí danou takto:\\
 - pro $x\in (0,1)^2$ je $\mathcal{B}(x):=\{B_\rho(x,\varepsilon)\colon \rho\text{ je Euklidovská metrika a }\varepsilon>0\}$,\\
- pro $x=(0,0)$ je $\mathcal{B}(x):=\{[0,1/2)\times [0,1/n)\cap S\colon n\in\en\}$.
    \item Každý nuldimenzionální  $T_1$ topologický prostor je $T_{3\frac{1}{2}}$. 
    \end{itemize}
\end{examples}
\sDukazem

\begin{prop}[Metrizovatelné prostory jsou normální]
Metrizovatelné prostory jsou $T_4$.
\end{prop}
\sDukazem

\chapter{Operace s topologickými prostory a zobrazeními}

\section{Projektivně a induktivně generované topologie}

\begin{defin}
Ať $X$ je množina a $\tau, \sigma$ dvě topologie na $X$. Řekneme, že $\tau$ je \emph{větší (jemnější, silnější)} než $\sigma$, pokud $\tau\supseteq\sigma$. Topologie $\sigma$ se tom případě nazývá \emph{menší (hrubší, slabší)}. 
\end{defin}

Diskrétní topologie je největší ze všech topologií, indiskrétní nejmenší.

\begin{defin}[Projektivní a induktivní vytváření]
Ať $X$ je množina, $(X_i, \tau_i)$, $i\in I$ soubor topologických prostorů a $f_i\colon X\to X_i$, $i\in I$ je soubor zobrazení.
Topologie $\tau$ na množině $X$ se nazývá \emph{projektivně vytvořená} zobrazeními $f_i$, pokud $\tau$ je nejmenší topologie při níž jsou všechna zobrazení $f_i\colon (X, \tau)\to (X_i,\tau_i)$ spojitá.
Jsou-li $f_i\colon X_i\to X$, pak topologie $\tau$ na $X$ se nazývá \emph{induktivně vytvořená}, pokud $\tau$ je největší topologie, při níž jsou všechna zobrazení $f_i\colon (X_i, \tau_i)\to (X,\tau)$ spojitá.
\end{defin}

\begin{theorem}[Existence a vlastnosti projektivně vytvořeného TP]
Ať $X$ je množina, $(X_i, \tau_i)$, $i\in I$ soubor topologických prostorů a $f_i\colon X\to X_i$, $i\in I$ je soubor zobrazení. Pak existuje právě jedna topologie $\tau$ projektivně vytvořená souborem zobrazení $f_i$, $i\in I$. Tato topologie má následující vlastnosti.
\begin{itemize}
    \item[(P1)] Subbáze topologie $\tau$ je $\{f_i^{-1}(U)\colon U\in\tau_i\}$
    \item[(P2)] Kdykoliv $(Y,\sigma)$ je topologický prostor a kdykoliv je dáno $g\colon Y\to X$, pak zobrazení $g$ je spojité, právě když pro každé $i\in I$ je zobrazení $f_i\circ g$ spojité.
    \item[(P3)] Kdykoliv je dán net $(x_\alpha)_{\alpha\in A}$ v $X$ a bod $x\in X$, pak $x_\alpha\to x$ v prostoru $(X,\tau)$, právě když pro každé $i\in I$ platí $f_i(x_\alpha)\to f_i(x)$.
\end{itemize}
\end{theorem}
\sDukazem

\begin{examples}\begin{itemize}
    \item Pokud je $Y$ podprostor topologického prostoru $X$, pak topologie na $Y$ je projektivně vytvořená z topologie na $X$ s pomocí zobrazení identity $i:Y\to X$.
    \item $f:(X,\tau)\to (Y,\sigma)$ je vnoření právě když je prosté a topologie $\tau$ je projektivně vytvořená zobrazením $f$.
    \item Nechť $X$ je topologický prostor. Pak symbolem $C_p(X)$ rozumíme topologický prostor $(C(X),\tau_p)$, kde $C(X):=\{f:X\to \R\colon f \text{ spojité}\}$ a $\tau_p$ je topologie projektivně vytvořená zobrazeními $\delta_x:C(X)\to \R$, $x\in X$ danými předpisem $\delta_x(f):=f(x)$. Pak pro každý net funkcí $(f_i)_{i\in I}$ z $C_p(X)$ a pro každé $f\in C_p(X)$ platí, že $f_i\to f$ právě když $f_i(x)\to f(x)$ pro každé $x\in X$. Říkáme, že $\tau_p$ je \emph{topologie bodové konvergence}.
    \end{itemize}
\end{examples}

\begin{theorem}[Existence a vlastnosti induktivně vytvořeného TP]
Ať $X$ je množina, $(X_i, \tau_i)$, $i\in I$ soubor topologických prostorů a $f_i\colon X_i\to X$, $i\in I$ je soubor zobrazení. Pak existuje právě jedna topologie $\tau$ induktivně vytvořená souborem zobrazení $f_i$, $i\in I$. Tato topologie má následující vlastnosti.
\begin{itemize}
    \item[(I1)] $\tau=\{M\subset X\colon f_i^{-1}(M)\in \tau_i,;i\in I\}$
    \item[(I2)] Kdykoliv $(Y,\sigma)$ je topologický prostor a kdykoliv je dáno $g\colon X\to Y$, pak zobrazení $g$ je spojité, právě když pro každé $i\in I$ je zobrazení $g\circ f_i$ spojité.
\end{itemize}
\end{theorem}
\dukazNaznak

%\begin{examples}\begin{itemize}
 %   \item Uvažujme množinu $\R^{<\omega}:=\{(x_n)\colon x_n\neq 0\text{ jen pro konečně mnoho $n$}\}$ a zobrazení $i_n:\R^n\to \R^{<\omega}$, $n\in\N$ daná předpisem $i_n(x_1,\ldots,x_n):=(x_1,\ldots,x_n,0,0,\ldots)$. Na $\R^{<\omega}$ uvažujme topologii $\tau$ induktivně vytvořenou zobrazeními $i_n$, $n\in\N$. Pak $U\subset \R^{<\omega}$ je otevřená, právě když $U\cap i_n(\R^n)$ je otevřená v $i_n(\R^n)$ pro každé $n\in\N$, kde na každém $i_n(\R^n)$ uvažujeme topologii induktivně generovanou bijekcí $i_n:\R^n\to i_n(\R^n)$.
 %   \item Dalším příkladem induktivně vytvořené topologie bude topologie kvocientová, dostaneme se k ní později.
%\end{itemize}
%\end{examples}

\section{Součin}

\begin{defin}
Jsou-li $(X_i, \tau_i)$ topologické prostory, pak jejich součin je topologický prostor $(X,\tau)$, kde $X=\prod X_i$ a topologie $\tau$ je projektivně vytvořená projekcemi $\pi_i\colon X\to X_i$.
Značí se $\prod_{i\in I} X_i$.
Zobrazení $f\colon (X,\tau)\to (Y,\sigma)$ se pak nazývá \emph{vnoření}, pokud $f$ je prosté a topologie $\tau$ je projektivně vytvořená zobrazením $f$.
\end{defin}

\begin{pozn}
Báze $\mathcal B$ na součinu vypadá následovně:
\[\mathcal B=\{\pi_{i_1}^{-1}(U_1)\cap\dots\cap \pi_{i_n}^{-1}(U_n)\colon i_1, \dots, i_n\in I, U_{1}\in\tau_{i_1}, \dots, U_{n}\in\tau_{i_n}, n\in\mathbb N\},\]
přičemž uvedený průnik vzorů projekcí můžeme přepsat jako
\[\pi_{i_1}^{-1}(U_1)\cap\dots\cap \pi_{i_n}^{-1}(U_n)=\left\{x\in\prod X_i\colon x({i_1})\in U_1, \dots, x({i_n})\in U_n\right\}.\]
Konvergence netů v součinové topologie je přímočará: net $(x_j)_{j\in J}$ konverguje k $x$, právě když pro každé $i\in I$ konverguje net $(x_j(i))_{j\in J}$ k $x(i)$. Tedy součinová topologie odpovídá bodové konvergenci.
Proto se součinová topologie někdy nazývá topologií bodové konvergence.
Uzávěr množiny tvaru $\prod A_i$ je $\prod \overline A_i$.
\end{pozn}

\konecPrednasky{20. 10. 2025}

\begin{defin}Máme-li soubor zobrazení $f_i:X_i\to Y_i, i\in I$ definujeme \emph{součin zobrazení} $\prod_I f_i:\prod_I X_i\to\prod_I Y_i$ rovností $\prod_i f_i (\{x_i\}_{i\in I})=\{f_i(x_i)\}_{i\in I}$. Máme-li soubor zobrazení $f_i:X\to Y_i, i\in I$ definujeme \emph{diagonální zobrazení} $\Delta_I f_i:X\to\prod_I Y_i$ rovností $\Delta_I f_i(x)=\{f_i(x)\}_{i\in I}$.
\end{defin}

\begin{prop}Nechť $Z$, $Y_i$, $i\in I$ a $X_i$, $i\in I$ jsou topologické prostory.
\begin{enumerate}[(i)]
	\item Zobrazení $f\colon Z\to \prod_I X_i$ je spojité, právě když jsou spojitá všechna složení $f$ s projekcemi $\pi_i:\prod_I X_i\to X_i$.
	\item Jsou-li $f_i\colon Y_i\to X_i$, $i\in I$ spojitá zobrazení, je i jejich součin $\prod_I f_i\colon \prod_I Y_i \to\prod_I X_i$ spojitý.
	\item Jsou-li $f_i\colon Z\to X_i$, $i\in I$ spojitá zobrazení, je i jejich diagonální součin $\Delta_I f_i\colon Z\to \prod_I X_i$ spojitý.
\end{enumerate}
\end{prop}
\sDukazem

\begin{corollary}Je--li $X$ topologický prostor a jsou-li $f, g\colon X \to \R$ spojitá zobrazení, pak $f+g$, $f-g$, $f\cdot g$, $\max\{f, g\}$, $\min\{f, g\}$, $|f|$ jsou spojitá.
Pokud $g$ je nenulové, pak také $f/g$ je spojité.
\end{corollary}
\sDukazem

%Pokud $\P$ je topologická vlastnost, pak řekneme, že $\P$ je \emph{součinová} (resp. \emph{spočetně součinová}, resp. \emph{konečně součinová}), jestliže každý součin (resp. součin spočetně mnoha, resp. součin konečně mnoha) prostorů s $\P$ má opět $\P$.

%\begin{theorem}
%	\begin{enumerate}[(i)]
%		\item Následující vlastnosti prostorů jsou součinové: $T_0$, $T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_{3 \frac{1}{2}}$, nuldimenzionalita.
%		\item Metrizovatelnost a separabilita jsou spočetně součinové vlastnosti.
%	\end{enumerate}
%\end{theorem}

%\begin{pozn}
%    Vlastnost $T_4$ není ani konečně součinová, příslušný příklad bude uveden později.
%\end{pozn}

\begin{prop}[Charakterizace Hausdorffova prostoru]
Topologický prostor $X$ je Hausdorffův, právě když $\{(x,x)\colon x\in X\}$ je uzavřená v $X\times X$.
\end{prop}
\sDukazem

% planovany konec 4. prednasky

\section{Suma, kvocient}

\begin{defin}Suma prostorů $X_i,i\in I$ je prostor $\disjUnion_I X_i$  skládající se z bodů $(i,x)$, kde $i\in I, x\in X_i$. Pokud jsou všechny množiny $X_i$ disjunktní, většinou se berou místo dvojic $(i,x)$ rovnou body $x$.

Jsou--li $(X_i, \tau_i)$, $i\in I$ topologické prostory, pak jejich \emph{topologická suma} je topologický prostor $(\disjUnion_I X_i,\tau)$, kde topologie $\tau$ je definována předpisem
\[
\tau := \Big\{\disjUnion_I O_i\colon O_i\subset X_i\text{ jsou otevřené}\Big\}.
\]
Topologickou sumu značíme jako $\bigoplus_I X_i$.\\
(Pozor: na značení topologické sumy není shoda, v různé literatuře se používají různé symboly. Značení použité výše je mírně nešikovné, neboť například v teorii Banachových prostorů symbolem $\bigoplus_I X_i$ značíme Banachův prostor, který je jakožto topologický prostor součinem $X_i$ a ne topologickou sumou.)
\end{defin}

\begin{pozn}Topologie na $X:=\bigoplus_I X_i$ je induktivně generovaná kanonickými vnořeními $X_i\ni x\mapsto (i,x)\in \disjUnion X_i$.

Jsou--li $X_i$ disjunktní, pak množina $U$ v sumě topologických prostorů $\bigoplus_{i\in I} X_i$ je otevřená, právě když pro každé $i\in I$ je $U\cap X_i$ otevřená v $X_i$. Množiny $X_i$ jsou obojetné v $X$. Jsou--li $f_i:X_i\to Y_i$, $i\in I$ spojitá zobrazení, pak $\bigoplus_I f_i:\bigoplus_I X_i\to \bigoplus_I Y_i$ je spojité.
\end{pozn}

\begin{defin}Je-li $(X, \tau)$ topologický prostor, $E\subseteq X\times X$ ekvivalenční relace, pak \emph{kvocientová} topologie na $X/E$ je induktivně definována zobrazením $x\mapsto [x]_E$. 

Zobrazení $f\colon (X,\tau)\to (Y,\sigma)$ se nazývá \emph{kvocientové}, pokud $f$ je na a topologie $\sigma$ je induktivně vytvořená zobrazením $f$.
\end{defin}

\begin{pozn}
Názornější je opět přímý popis topologie kvocientu. Množina $U$ v kvocientovém prostoru $Y$ je otevřená, právě když $f^{-1}(U)$ je otevřená v $X$. 

Je-li $f\colon X\to Y$ kvocientové zobrazení, pak na $X$ lze přirozeným způsobem uvažovat ekvivalenci $\sim$, že $x\sim y$, právě když $f(x)=f(y)$. Pak $X/\sim$ je přirozeným způsobem homeomorfní s $Y$.
\end{pozn}

\begin{examples}
\begin{itemize}
    \item Definujeme-li na $\R$ ekvivalenci mezi $xEy$, právě když $\{x,y\}\in \qe$ nebo $\{x,y\}\subset \R\setminus\qe$. Pak $\R/E$ je dvoubodový indiskrétní prostor. Speciálně, kvocient $T_4$ prostoru nemusí být ani $T_0$.
    \item Definujeme-li na $\R$ ekvivalenci mezi $xEy$, právě když $x-y\in\mathbb Z$, pak kvocientový prostor $\R/E$ je homeomorfní kružnici. 
\end{itemize}

\end{examples}

\begin{prop}[Charakterizace kvocientového zobrazení]
Ať $(X,\tau)$ a $(Y,\sigma)$ jsou topologické prostory a $f\colon X\to Y$ je zobrazení. Pak $f$ je kvocientové, právě když $f$ je na a pro každou $V\subseteq Y$ je $V\in\sigma \iff f^{-1}(V)\in\tau$.  
\end{prop}
\dukazNaznak

\begin{prop}[Postačující podmínka kvocientového zobrazení]
Je-li zobrazení $f\colon X\to Y$ spojité, otevřené (nebo uzavřené) a na, pak je kvocientové.   % byla def. ot. zobrazení?
\end{prop}
\sDukazem

\begin{pozn}
Věta o otevřeném zobrazení říká, že spojité surjektivní lineární zobrazení mezi Banachovými prostory už je otevřené.
Kvocientové zobrazení mezi topologickými prostory nemusí být ani otevřené ani uzavřené.
\end{pozn}

\begin{pozn}
Spojitý obraz (a tedy i kvocient) separabilního prostoru je separabilní prostor.
\end{pozn}

Přehled zachovávání vlastností jednotlivými operacemi.
Symbol (+) znamená zachovávání pojmu alespoň na spočetný součin nebo sumu.

\begin{tabular}{|r|c|c|c|c|c|c|}
\hline
    & $T_0$, $T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_{3\frac12}$ & $T_4$ & separabilní & spoč. báze & spoč. charakter  & metr.  \\
\hline
podprostor   & + & -  & - & + & + & +  \\
\hline
 (spočetná) suma  & + & + & -(+) & -(+) &+ & +    \\
\hline
 kvocient  & - & - & + & - & - & -   \\
\hline
(spočetný) součin  & + & - & -(+)  & -(+) & -(+) & -(+)   \\
\hline
\end{tabular}
(Něco bylo/bude na přednášce, něco bylo/bude na cvičení .. )

\section{Rozšiřování spojitých funkcí}

\begin{prop}
Ať $X, Y$ jsou topologické prostory a $f, g\colon X\to Y$ spojitá zobrazení. Pokud $Y$ je Hausdorffův, pak $\{x\in X\colon f(x)=g(x)\}$ je uzavřená.
\end{prop}
\sDukazem

\begin{corollary}[Jednoznačnost spojitého rozšíření]\label{jednorozsireni}
Je-li tedy $f\colon X\to Y$ spojité, $Y$ Hausdorffův a $S\subseteq X$ hustá, pak funkce $f\restriction S$ má jediné spojité rozšíření na celé $X$.
\end{corollary}
\sDukazem

\begin{prop}
Je-li $X$ topologický prostor, $f_n\colon X\to\mathbb \R$ jsou spojité a posloupnost $(f_n)$ konverguje stejnoměrně k $f$, pak $f$ je spojitá.
\end{prop}
\sDukazem

\konecPrednasky{27. 10. 2025}

\begin{theorem}[Tietze-Urysohn]
Je-li $X$ normální prostor a $F\subseteq X$ uzavřená, pak lze každou spojitou funkci $f\colon F\to\R$ spojitě rozšířit na celé $X$, tedy existuje spojitá funkce $\tilde f\colon X\to \R$, že $\tilde f\restriction F=f$.
\end{theorem}
\sDukazem

\chapter{Kompaktnost}

\section{Kompaktní prostory}

\begin{defin}
Systém množin $\mathcal S$ se nazývá \emph{pokrytí} prostoru $X$, pokud $\bigcup\mathcal S=X$. Každý podsystém $\mathcal S$, který je pokrytí se nazývá \emph{podpokrytí}. Pokrytí se nazývá \emph{otevřené}, pokud jeho prvky jsou otevřené množiny.
Topologický prostor se nazývá \emph{kompaktní}, pokud z každého otevřeného pokrytí lze vybrat konečné podpokrytí. 
Topologický prostor se nazývá \emph{spočetně kompaktní}, pokud z každého spočetného otevřeného pokrytí lze vybrat konečné podpokrytí.
Topologický prostor se nazývá \emph{Lindelöfův}, pokud z každého otevřeného pokrytí lze vybrat spočetné podpokrytí.

Řekneme, že sytém $\mathcal F\subseteq \mathcal P(X)$ je \emph{centrovaný}, pokud $F_1\cap\dots\cap F_n\neq\emptyset$ pro $n\in\mathbb N$ a $F_1,\dots, F_n \in\mathcal F$.
\end{defin}

\begin{defin}Nechť $X$ je topologický prostor, $(I,\leq)$ shora usměrněná množina a $(x_i)_{i\in I}$ je net. Bod $x\in X$ se nazývá \emph{hromadným bodem netu} $(x_i)_{i\in I}$, pokud pro každé $U\in \mathcal{U}(x)$ a každé $i\in I$ existuje $j \geq i$, že $x_j\in U$.

Nechť dále $(J,\preceq)$ je shora usměrněná množina. Pak řekneme, že zobrazení $\varphi:J\to I$ je \emph{kofinální}, pokud pro každé $i_0\in I$ existuje $j_0\in J$ splňující $\varphi([j_0,\to])\subset [i_0,\to)$ (tj. pro každé $j\in J$, $j_0\preceq j$ je $i_0\leq \varphi(j)$). Pokud je dáno kofinální zobrazení $\varphi:J\to I$, pak řekneme, že $(x_{\varphi(j)})_{j\in J}$ je \emph{podnet} netu $(x_i)_{i\in I}$.
\end{defin}

\begin{pozn}Je--li dána posloupnost $(x_n)_{n=1}^\infty$ v prostoru $X$, pak podposloupnosti jsou speciálním případem podnetů. Existují ale i podnety, které nejsou podposloupnostmi. Například $(x_{F(t)})_{t\in\R}$, kde $F:\R\to\en$ je libovolné zobrazení splňující $\lim_{t\to \infty} F(t) = \infty$.

Je snadné si rozmyslet, že pokud net $(x_i)$ konverguje k bodu $x$, pak každý podnet konverguje také k bodu $x$.
\end{pozn}

\begin{theorem}[Charakterizace kompaktnosti]
Pro topologický prostor $X$ jsou následující podmínky ekvivalentní.
\begin{itemize}
\item[(a)] X je kompaktní.
\item[(b)] Každý centrovaný systém z uzavřených množin má neprázdný průnik.
\item[(c)] Každý net v $X$ má konvergentní podnet.
\end{itemize}
\end{theorem}
\sDukazem

\begin{lemma}Nechť $X$ je topologický prostor a $x\in X$. Pak $x$ je hromadným bodem
netu $(x_i)_{i\in I}$ právě tehdy, když existuje podnet netu $(x_i)_{i\in I}$, který k bodu $x$ konverguje.
\end{lemma}
\sDukazem

\begin{theorem}[Charakterizace spočetné kompaktnosti]
Pro topologický prostor $X$ jsou následující podmínky ekvivalentní.
\begin{itemize}
\item[(a)] X je spočetně kompaktní.
\item[(b)] Každý spočetný centrovaný systém z uzavřených množin má neprázdný průnik.
\item[(c)] Každá posloupnost v $X$ má konvergentní podnet.
\end{itemize}
\end{theorem}
\dukazNaznak

\begin{theorem}[Charakterizace Lindelöfovosti]
Pro topologický prostor $X$ jsou následující podmínky ekvivalentní.
\begin{itemize}
\item[(a)] X je Lindelöfův.
\item[(b)] Každý spočetně centrovaný systém z uzavřených množin má neprázdný průnik.
\end{itemize}
\end{theorem}
\dukazNaznak

\begin{prop}[Zachovávání vlastností]
Kompaktnost, spočetná kompaktnost i Lindelöfovost se dědí na uzavřené podprostory a spojité obrazy.
\end{prop}
\sDukazem

\begin{corollary}[Nabývání extrémů]
Spojitá reálná funkce na (spočetně) kompaktním neprázdném prostoru nabývá svého maxima a minima. 
\end{corollary}
\sDukazem

\begin{examples}
\begin{itemize}
    \item Pokud $(X,\leq)$ je lineárně uspořádaný a každá (i prázdná) podmnožina $A\subset X$ má supremum a infimum, pak $X$ s topologií generovanou uspořádáním je kompaktní prostor.
    \sDukazem
    \item $[0,\alpha]$ je kompaktní prostor pro každý ordinál $\alpha$.
    \dukazNaznak
\end{itemize}
\end{examples}
\konecPrednasky{3. 11. 2025}

\begin{lemma}[Alexander]
Ať $X$ je topologický prostor a $\mathcal S$ jeho subbáze. Předpokládejme, že z každého pokrytí $\mathcal U\subseteq \mathcal S$ lze vybrat konečné podpokrytí. Pak $X$ je kompaktní.
\end{lemma}
\sDukazem

\begin{theorem}[Tichonov]
Součin kompaktních topologických prostorů je kompaktní.
\end{theorem}
\sDukazem

\begin{pozn}
    Tichonovova věta je v ZF ekvivalentní s AC. Tichonovova věta zúžená pouze na Hausdorffovy prostory je v ZF ekvivalentní s Boolean prime ideal theorem.
\end{pozn}

V dalších tvrzeních potřebujeme Hausdorfovskost kompaktů.

\begin{prop}[Kompakty jsou uzavřené v Hausdorffových prostorech]
Je-li $X$ Hausdorffův topologický prostor a $K\subseteq X$ je kompaktní, pak $K$ je uzavřená v $X$.
\end{prop}
\sDukazem

\begin{prop}[Automatický homeomorfismus]
Ať $X, Y$ jsou Hausdorffovy kompaktní topologické prostory a $f\colon X\to Y$ spojité.
Je-li $f$ na, pak $f$ je kvocientové zobrazení.
Je-li $f$ bijekce, pak $f$ je homeomorfismus.
\end{prop}
\sDukazem

\begin{pozn}Tedy kompaktní Hausdorffova topologie na dané množině je minimální Hausdorffova a maximální kompaktní.
\end{pozn}

\begin{theorem}[Postačující podmínka pro normalitu]
Regulární Lindelöfův topologický prostor je normální. Hausdorffův kompaktní prostor je $T_4$.
\end{theorem}
\sDukazem

\begin{prop}[Spojitý obraz kompaktu nezvýší váhu] Nechť $X,Y$ jsou Hausdorffovy topologické prostory, $X$ je kompaktní a $f\colon X\to Y$ je spojité a surjektivní zobrazení. Pak $w(Y)\leq w(X)$.
\end{prop}

\section{Prostory spojitých funkcí na kompaktu}

Pro dva topologické prostory $X, Y$ označme symbolem $C(X,Y)$ množinu všech spojitých funkcí $X$ do $Y$. V případě, že $Y=\mathbb R$, píšeme pouze $C(X)$. Pro kompaktní topologický prostor $K$ tvoří $C(K)$ spolu se supremovou normou Banachův prostor, jehož některé vlastnosti jsou těsně provázány s topologickými vlastnostmi kompaktu $K$.

\begin{prop}[Diniho kriterium stejnoměrné konvergence]
Ať $K$ je kompaktní topologický prostor, $f_n\colon K\to\mathbb R$ posloupnost spojitých funkcí, že $f_{n+1}\geq f_n$, které konvergují bodově ke spojité funkci $f\colon K\to \mathbb R$. Pak $(f_n)$ konverguje stejnoměrně k $f$.
\end{prop}
\sDukazem

\begin{lemma}[O odmocnině]
Existuje posloupnost polynomů, která stejnoměrně konverguje k funkci $\sqrt{t}$ na $[0,1]$.
\end{lemma}
\sDukazem

\konecPrednasky{10. 11. 2025}

\begin{defin}
Řekneme, že systém funkcí $\mathcal F$ zobrazující $X$ do $Y$ \emph{odděluje body}, pokud pro různé body $x,y\in X$ existuje $f\in\mathcal F$, že $f(x)\neq f(y)$.
\end{defin}

Okruh a svaz jsou pojmy algebraické povahy. Nebudeme zde připomínat jejich obecné definice. Pouze poznamenejme, že pro $\emptyset\neq\mathcal A\subset C(K,\mathbb{F})$, kde $\mathbb{F}\in\{\R,\mathbb{C}\}$, tvoří systém $\mathcal A$ okruh, pokud je $\A$ podprostor uzavřený na násobení. Systém $\A$ je samoadjungovaný, pokud $\ov{f}\in\A$, kdykoliv $f\in\A$.
Systém $\mathcal A\subset C(K,\R)$ je svaz, pokud je uzavřený na $\max$ a $\min$ dvou (resp. konečně mnoha) funkcí.

\begin{theorem}[Stoneova-Weierstrassova věta]
Ať $K$ je kompaktní topologický prostor.
\begin{enumerate}[(a)]
\item Nechť $\mathcal B\subset C(K,\R)$ je vektorový podprostor obsahující konstanty a oddělující body.
Je-li $\mathcal B$ okruh nebo svaz, pak $\mathcal B$ je hustá v $C(K,\R)$.
\item Nechť $\mathcal B\subset C(K,\mathbb{C})$ je vektorový podprostor obsahující konstanty a oddělující body, který je navíc samoadjungovaný. Pokud $\B$ je okruh, je $\B$ hustý v $C(K,\mathbb{C})$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\sDukazem

\begin{corollary}
Polynomy s racionálními koeficienty tvoří hustou podmnožinu prostoru $C([0,1])$.
\end{corollary}
\sDukazem

\begin{prop}Nechť $K$ je Hausdorffův kompakt. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní.
\begin{enumerate}[(a)]
    \item $K$ má spočetnou váhu.
    \item Existuje spočetně mnoho funkcí $\A\subset C(K)$, které oddělují body $K$.
    \item $C(K)$ je separabilní.
\end{enumerate}
Speciálně, pokud $K$ je metrizovatelný kompakt, pak $C(K)$ je separabilní.
\end{prop}
\sDukazem

\begin{pozn}Později uvidíme, že Hausdorffův kompakt má spočetnou váhu, právě když je metrizovatelný.
\end{pozn}

\section{Kompaktifikace}

\begin{defin}
Ať $X$ je topologický prostor. Dvojice $(j, Y)$ se nazývá \emph{kompaktifikací} prostoru $X$, pokud $j\colon X\to Y$ je vnoření $X$ na hustou podmnožinu kompaktního Hausdorffova prostoru $Y$. Často se jako kompaktifikace označuje pouze samotný prostor $Y$ a zobrazení $j$ se chápe jako inkluze.
Řekneme, že kompaktifikace $(j_1, Y_1)$  \emph{je větší} než kompaktifikace $(j_2, Y_2)$, pokud existuje spojité zobrazení $f\colon Y_1\to Y_2$, že $f\circ j_1=j_2$.
Kompaktifikace $(j_1, Y_1)$ a $(j_2, Y_2)$ prostoru $X$ nazýváme \emph{ekvivalentní}, pokud existuje homeomorfismus $h\colon Y_1\to Y_2$, který rozšiřuje $id_X$ (formálněji, rozšiřuje $i_2\circ i_1^{-1}$).
\end{defin}

\begin{example}
Uzavřený interval $Y_1=[0,1]$ je kompaktifikací otevřeného intervalu $X=(0,1)$ přičemž $j_1\colon (0,1)\to [0,1]$ je vnoření.
Kružnici $Y_2$ lze přirozeným způsobem chápat jako kompaktifikaci $X$. Formálně $j_2(x)=\exp(2\pi i x)$ a $Y_2$ je jednotková kružnice v komplexní rovině.
Kompaktifikace $(j_1,Y_1)$ je větší než kompaktifikace $(j_2,Y_2)$.
\end{example}

\begin{pozn}Kompaktifikace Hausdorffova kompaktního prostoru $X$ je homeomorfní s $X$.
Je-li jedna kompaktifikace větší než druhá a druhá větší než první, pak jsou již ekvivalentní.
\end{pozn}

\begin{defin}
Topologický prostor $X$ se nazývá \emph{lokálně kompaktní}, pokud každý bod má kompaktní okolí.
\end{defin}

\begin{prop}[Alexandrovova kompaktifikace]
Nechť $(X,\tau)$ je Hausdorffův lokálně kompaktní prostor, který není kompaktní a $\infty\notin X$. Na prostoru $X\cup\{\infty\}$ uvažujme topologii $\sigma$ generovanou bází topologie
\[
\B:=\tau\cup \{\{\infty\}\cup(X\setminus K)\colon K\subseteq X \text{ je kompaktní}\}.
\]
Pak $(X\cup\{\infty\},\sigma)$ je kompaktifikace prostoru $X$.
\end{prop}
\sDukazem

\konecPrednasky{24. 11. 2025}

\begin{examples}\begin{itemize}
    \item Každý kompaktní Hausdorffův prostor je lokálně kompaktní.
    \item Euklidovské prostory jsou lokálně kompaktní.
    \item Diskrétní prostor je lokálně kompaktní.
    \item Prostor $[0,\omega_1)$ je lokálně kompaktní.
\end{itemize}
\end{examples}

\begin{lemma}Nechť $X$ je Hausdorffův lokálně kompaktní prostor. Pak 
\begin{enumerate}[(a)]
    \item každý bod $x\in X$ má bázi okolí sestávající z kompaktních množin,
    \item pokud je $A\subset X$ otevřený nebo uzavřený podprostor, pak je $A$ lokálně kompaktní,
    \item $X$ je otevřená množina v každé své kompaktifikaci.
\end{enumerate}
Navíc, Hausdorffův topologický prostor je lokálně kompaktní právě když je homeomorfní otevřené podmnožině nějakého Hausdorffova kompaktu.
\end{lemma}
\sDukazem

\begin{defin}Říkáme, že kompaktifikace $(j, bX)$ prostoru $X$ je jednobodová, jestliže $|bX\setminus X| = 1$.
\end{defin}

\begin{lemma}Hausdorffův topologický prostor má jednobodovou kompaktifikaci právě když je lokálně kompaktní a není kompaktní. Ať dále $X$ je lokálně kompaktní prostor, který není kompaktní. Pak jednobodová kompaktifikace $X$ je určena jednoznačně, až na ekvivalenci kompaktifikací a jednobodová kompaktifikace je nejmenší kompaktifikace $X$.
\end{lemma}
\dukazLehky

\begin{defin}Nechť $X$ a $Y$ jsou topologické prostory a $\mathcal F$ systém funkcí zobrazujících $X$ do $Y$. Řekneme, že $\mathcal F$ \emph{odděluje body a uzavřené množiny}, pokud pro každou uzavřenou $F\subseteq X$ a $x\in X\setminus F$ existuje $f\in\mathcal F$, že $f(x)\notin \cl{f(F)}$.

\end{defin}

\begin{lemma}[Tichonovovo vnoření]
Ať $X$ je topologický prostor a $\mathcal{F}=\{f_i\colon X\to Y_i$, $i\in I\}$ soubor spojitých zobrazení a uvažujme diagonální zobrazení $\Delta\mathcal{F}:=\Delta_I f_i\colon X\to\prod_{i\in I} Y_i$.
Pokud $\mathcal F$ odděluje body, pak $\Delta\mathcal{F}$ je prosté.
Pokud navíc $\mathcal F$ odděluje body a uzavřené množiny, pak $\Delta\mathcal{F}$ je vnoření.
\end{lemma}
\sDukazem

\begin{prop}[Tichonovova krychle]
Nechť $X$ je $T_{3\frac{1}{2}}$ topologický prostor. Pak existuje množina $I$ taková, že $X$ se vnoří do $[0,1]^I$.
\end{prop}
\sDukazem

\begin{corollary}
Každý $T_{3\frac{1}{2}}$ topologický prostor má nějakou kompaktifikaci.
\end{corollary}
\sDukazem

\begin{defin}
Ať $X$ je $T_{3\frac{1}{2}}$ topologický prostor. Označme $\mathcal{F}:=\C(X,[0,1])$ a $\triangle \mathcal{F}:X\to [0,1]^{\mathcal{F}}$ příslušné diagonální vnoření. Pak kompaktifikace $(\triangle \mathcal{F},\overline{\triangle \mathcal{F}(X)})$ (nebo kterákoli s ní ekvivalentní) se nazývá \emph{Čechova-Stoneova} (nebo beta obal) a značí se $\beta X$.
\end{defin}

\begin{theorem}[Charakterizace beta obalu]
Ať $X$ je $T_{3\frac{1}{2}}$ topologický prostor a $(j,Y)$ kompaktifikace $X$. Pak jsou následující podmínky ekvivalentní.
\begin{itemize}
\item[(a)] $Y$ je Čechova-Stoneova kompaktifikace $X$.
\item[(b)] Každou spojitou funkci $f\colon X\to [0,1]$ lze spojitě rozšířit na celé $Y$, tj. existuje spojitá $\widetilde{f}\colon Y\to [0,1]$ splňující $\widetilde{f}\circ j = f$.
\item[(c)] Každou spojitou funkci $f\colon X\to Z$ do kompaktního Hausdorffova prostoru $Z$ lze spojitě rozšířit na celé $Y$, tj. existuje spojitá $\widetilde{f}\colon Y\to Z$ splňující $\widetilde{f}\circ j = f$.
\item[(d)] $Y$ je největší kompaktifikace $X$.
\end{itemize}
\end{theorem}
\sDukazem

\begin{pozn}
Každou spojitou omezenou funkci $T_{3\frac{1}{2}}$ prostoru $X$ lze spojitě rozšířit na (omezenou) spojitou funkci $\beta X\to\mathbb R$. Tedy je možné ztotožnit Banachovy prostory $\ell_\infty$ a $C(\beta\mathbb N)$.

Beta obal jednoduchých topologických prostorů může být velice komplikovaný. Příkladem je prostor $\beta\mathbb N$, který lze například popsat jako prostor všech ultrafiltrů na $\mathbb N$ s vhodnou topologií. Blíže viz. cvičení.
\end{pozn}

\chapter{Metrizovatelnost a čechovská úplnost}

\section{Metrizovatelnost}

\begin{lemma}
    Topologický prostor se spočetnou bází je Lindelöfův.
\end{lemma}
\sDukazem

\konecPrednasky{1. 12. 2025}

Je-li $(X,\rho)$ metrický prostor a $\sigma=\min\{\rho,1\}$, pak $\sigma$ je opět metrika na $X$, která navíc generuje stejnou topologii na $X$ jako metrika $\rho$.

\begin{prop}
    Spočetný součin metrických prostorů $(X_n,\rho_n)$, $n\in\en$ je metrizovatelný metrikou
\[
\rho(x,y):=\sum_{n=1}^\infty \frac{\min\{\rho_n(x_n,y_n),1\}}{2^n},\qquad x,y\in \prod X_n.
\]
\end{prop}
\sDukazem

\begin{theorem}[Urysohnova metrizační věta]
Každý $T_3$ topologický prostor se spočetnou bází je metrizovatelný.
\end{theorem}
\sDukazem

\begin{pozn}
Z důkazu předchozí věty plyne, že 
každý separabilní metrizovatelný prostor má metrizovatelnou kompaktifikaci a lze ho vnořit do Hilbertovy kostky $[0,1]^{\mathbb N}$.
\end{pozn}

\begin{corollary}
Kompaktní Hausdorffův prostor je metrizovatelný právě když má spočetnou váhu.
\end{corollary}
\dukazNaznak

\begin{corollary}
Spojitý obraz metrizovatelného kompaktu je metrizovatelný kompakt, pokud je obraz Hausdorffův.
\end{corollary}
\sDukazem

\section{Úplnost v metrických prostorech}

Připomeňme, že metrický prostor je \emph{úplný}, pokud každá cauchyovská posloupnost je konvergentní.

Nechť $I$ je množina. Připomeňme, že na $\ell_\infty(I):=\{f:I\to\er\colon f\text{ omezená}\}$ definujeme metriku předpisem $\rho(f,g):=\|f-g\|_\infty=\sup_{i\in I} |f(i)-g(i)|$. Pak $(\ell_\infty(I),\rho)$ je úplný metrický prostor.

\begin{theorem}[Univerzalita $\ell_\infty(I)$] 
    Nechť $(M,d)$ je metrický prostor, pak existuje izometrické vnoření $\varphi:M\to \ell_\infty(M)$.
\end{theorem}
\dukazNaznak

\begin{corollary}[O zúplnění]
Každý metrický prostor $(X,\rho)$ má zúplnění, tj. existuje úplný metrický prostor $(Y,\sigma)$ a izometrické vnoření $j\colon X\to Y$ splňující, že $j(X)$ je hustá v $Y$.
\end{corollary}
\dukazNaznak

\begin{prop}
    Každé stejnoměrně spojité zobrazení z podprostoru $A$ metrického prostoru $(X, \rho)$ do úplného metrického
prostoru $(Y, \sigma)$ lze rozšířit na stejnoměrně spojité zobrazení z $\overline{A}$ do $Y$.
\end{prop}
\dukazNaznak

\begin{corollary}[Jednoznačnost zúplnění]
     Nechť $(X,\rho)$ je metrický prostor, $(Y_1,\sigma_1),(Y_2,\sigma_2)$ úplné metrické prostory a $e_1\colon X\to Y_1$, $e_2\colon X\to Y_2$ dvě izometrická zobrazení splňující $\cl{e_1(X)}^{Y_1}=Y_1$ a $\cl{e_2(X)}^{Y_2}=Y_2$. Pak existuje izometrické surjektivní zobrazení $e\colon Y_1\to Y_2$ splňující $e_2=e\circ e_1$.
\end{corollary}
\dukazNaznak

Závěrem zopakujme dvě známá tvrzení z Matematické analýzy o úplných metrických prostorech.

\begin{theorem}[Cantor]
Metrický prostor $(X,\rho)$ je úplný, právě když pro každou posloupnost $(F_n)$ neprázdných uzavřených podmnožin $X$ splňující $F_n\subset F_{n+1}$ pro každé $n\in\en$ a $\lim_{n\to\infty}\operatorname{diam} F_n = 0$ je $\bigcap_{n\in\en} F_n$ jednobodová množina.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Baireova věta]
	V úplném metrickém prostoru je průnik spočetně mnoha hustých otevřených množin opět hustá množina.
\end{theorem}

\begin{defin}Řekneme, že topologický prostor je \emph{Baireův} pokud je průnik spočetně mnoha hustých otevřených množin opět hustá množina.
\end{defin}

\section{Úplná metrizovatelnost}

\begin{defin}
Topologický prostor se nazývá \emph{úplně metrizovatelný}, pokud na něm existuje úplná metrika generující jeho topologii.
\end{defin}

\begin{prop}Spočetný součin úplně metrizovatelných prostorů je úplně metrizovatelný.
\end{prop}
\sDukazem

\begin{theorem}[Úplně metrizovatelné prostory]
Nechť $(X,\rho)$ je metrický prostor. Pak jsou následující tvrzení ekvivalentní.
\begin{enumerate}[(i)]
\item $X$ je $G_\delta$-podmnožinou nějakého svého zúplnění.
\item $X$ je $G_\delta$-podmnožinou každého svého zúplnění.
\item Kdykoliv se $X$ vnoří do úplného metrického prostoru, pak se tam vnoří jakožto $G_\delta$-podmnožina.
\item Prostor $X$ je úplně metrizovatelný.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\sDukazem

\konecPrednasky{8. 12. 2025}

\begin{defin}
Tichonovův prostor $X$ se nazývá \emph{čechovsky úplný}, pokud je $G_\delta$ v $\beta X$.
\end{defin}

\begin{lemma}[O přírůstku kompaktifikací]
Jsou-li $(j_1, Y_1)$ a $(j_2,Y_2)$ kompaktifikace topologického prostoru $X$ a $f\colon Y_1\to Y_2$ splňuje $f\circ j_1 = j_2$, pak $f(Y_1\setminus j_1(X))=Y_2\setminus j_2(X)$.
\end{lemma}
\sDukazem

\begin{prop}[Charakterizace čechovsky úplných prostorů]
Pro Tichonovův prostor $X$ jsou následující podmínky ekvivalentní.
\begin{itemize}
\item[(a)] $X$ je čechovsky úplný.
\item[(b)] $X$ je $G_\delta$ v každé kompaktifikaci.
\item[(c)] $X$ je $G_\delta$ v nějaké kompaktifikaci.
\end{itemize}
\end{prop}
\sDukazem

\begin{pozn}
V předchozí větě nelze ekvivalentně říci $G_\delta$ v každém kompaktu. Například prostor $[0,1]^{\omega_1}$ není $G_\delta$ v $[0,2]^{\omega_1}$.\\
(Důkaz bude na cvičení.)
\end{pozn}

\begin{theorem}[Frolíkova vnitřní charakterizace čechovské úplnosti]
Nechť $X$ je Tichonovův topologický prostor. Pak jsou následující podmínky ekvivalentní.
\begin{enumerate}[(i)]
\item $X$ je čechovsky úplný.
\item Existuje posloupnost otevřených pokrytí $\{\mathcal U_n\}$ prostoru $X$ s vlastností, že pro každý centrovaný systém uzavřených množin $\mathcal F$ takový, že pro každé $n\in\mathbb N$ existuje $F\in\mathcal F$ a $U\in\mathcal U_n$, že $F\subset U$, je $\bigcap \mathcal F\neq\emptyset$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\sDukazem

\begin{corollary}[Čech]
Metrizovatelný prostor $X$ je úplně metrizovatelný, právě když je čechovsky úplný.
\end{corollary}
\sDukazem

\konecPrednasky{15. 12. 2025}

\begin{examples}\begin{itemize}
    \item Každý lokálně kompaktní Hausdorffův prostor je čechovsky úplný.
    \item Prostor iracionálních čísel je čechovsky úplný, prostor racionálních čísel není čechovsky úplný.
\end{itemize}
\end{examples}

\begin{theorem}[Baireova věta v čechovsky úplných prostorech]
Každý čechovsky úplný prostor je Baireův.
\end{theorem}
\sDukazem

\begin{prop}[Zachovávání čechovské úplnosti operacemi]
Čechovská úplnost se zachovává \begin{enumerate}[(i)]
    \item topologickou sumou,
    \item spočetným součinem,
    \item uzavřeným podprostorem.
\end{enumerate}
\end{prop}
\sDukazem

\begin{theorem}
    Součin libovolně mnoha čechovsky úplných prostorů je Baireův.
\end{theorem}
\bezDukazu

\begin{pozn}
    Čechovská úplnost se nezachová na libovolné součiny a existují tak prostory, které jsou Bairovy a nejsou čechovsky úplné.
\end{pozn}

\chapter{Topologické grupy}

Tato část sylabu se nestihla přednést. Pro přehled je možné se podívat do připravovaných skript. Podrobněji tato látka bude přednesena v kurzu Obecná topologie 2.

\konecPrednasky{5. 1. 2026}

\end{document}