\documentclass[11pt,notitlepage]{report}

\frenchspacing % aktivuje použití některých českých typografických pravidel

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} % nastavuje použité kódování, uživatelé Windows zamění utf8 za cp1250
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,amscd,mathrsfs,enumerate,multicol,color,tikz,pgfplots,url}%,showkeys,layout}
\usepackage{verbatim} %pro vynechavani comment
\usepackage[top=1cm, left=1cm, right=1cm]{geometry} % nastavení dané velikosti okrajů
\pagestyle{empty}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defin}{Definice}

\newcommand\lne[1]{\mathcal L(#1)}
\newcommand\sg{\sigma}
\newcommand\spp[1]{\sigma_{\mathrm p}(#1)}
\def\ce{\mathbb C} 
\def\en{\mathbb N}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\qe{\mathbb Q} 
\def\er{\mathbb R}
\def\teleso{\mathbb K}
\def\R{\er}
\def\N{\en}
\newcommand\Z{{\mathbb Z}}
\newcommand\Q{{\mathbb Q}}
%\newcommand\C{{\mathbb C}}
\newcommand\K{{\mathbb K}}
\newcommand\M{{\mathcal M}}
\def\setsep{:\;}
\def\C{\mathcal C}
\def\nec{Nech\v t\ }
\def\eqdef{\stackrel{\text{\tiny def}}{=}}
\def\Mod{\operatorname{mod}}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\newcommand\lx[1][0]{\displaystyle\lim_{x\to #1}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \tg {\operatorname{tg}}
\def \sgn {\operatorname{sgn}}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def \arccotg {\operatorname{arccotg}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\def \sumad {\sum_{n=2}^\infty}
\def \d {\, \mathrm{d}}
\def \P {\mathcal{P}}
\newcommand\pdx[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial x}}
\newcommand\pdy[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial y}}
\newcommand\pdz[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial z}}
\def\x{\mathbf{x}}
\def\m{\mathbf{m}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\newcommand\dgx[1]{\, \mathrm{d} #1}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator{\Int}{Int}
\DeclareMathOperator{\ess}{ess}
\def\vysledky{\begin{center}----------V\'YSLEDKY----------\end{center}}

\newtheorem{theorem*}{Věta}
\newtheorem{example*}{Příklad}


\newcounter{Priklad}
\addtocounter{Priklad}{1}
\newcommand{\pr}{\quad\alph{Priklad})\;\addtocounter{Priklad}{1}}
\newcommand{\resetpr}{\setcounter{Priklad}{1}}

\newcommand{\diam}{\operatorname{diam}}

\title{Cvi\v{c}en\'i - Vybrané partie z funkcionální analýzy, MFF}  % tyto dvě položky jsou zde v podstatě formálně, ve skutečnosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}\pgfplotsset{width=7cm, compat=1.13}
\textbf{Podmínky k získání zápočtu:}\\
Jsou určeny centrálně - viz. stránky přednášejícího Luboše Picka:\\
\url{https://www.karlin.mff.cuni.cz/~pick/2023-2024-ZS-pozadavky.pdf}\\[50pt]

\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 1}}\ \\
\textbf{1. Řeště soustavu $y'=\mathbb{A}y$.}\\ \resetpr
\pr $\mathbb{A} = \left(\begin{array}{cc}
	2 &  -4 \\
	1 & -3
\end{array}\right)$;
\pr $\mathbb{A} = \left(\begin{array}{cc}
	2 &  -3 \\
	1 & -2
\end{array}\right)$;
\pr $\mathbb{A} = \left(\begin{array}{cc}
	-7 &  9 \\
	-1 & -1
\end{array}\right)$;
\pr $\mathbb{A} = \left(\begin{array}{cc}
	1 &  -4 \\
	2 & -3
\end{array}\right)$;\\
\pr $\mathbb{A} = \left(\begin{array}{ccc}
	2 & 1 & -1\\
	7 & 4 & -1\\
	13 & 7 & -3
\end{array}\right)$;
\pr $\mathbb{A} = \left(\begin{array}{ccc}
	1 & -6 & 3\\
	0 & -8 & 6\\
	3 & -12 & 7
\end{array}\right)$;\\[5pt]
\textbf{2. Naleznete maximální řešení soustavy splnující počáteční podmínku $y(0) = (1,1,1)$.}
\[
y' = \left(\begin{array}{ccc}
	3 & -2 & -1\\
	1 & 0 & -1\\
	1 & -1 & 1
\end{array}\right)y
\]
\textbf{3. Naleznete všechna maximální řešení soustavy
	\[
	y' = \left(\begin{array}{ccc}
		6 & 5 & 13\\
		-8 & -7 & -21\\
		2 & 2 & 6
	\end{array}\right)y
	\]
	a určete všechna řešení soustavy, která mají v $+\infty$ limitu $(0,0,0)$.}\\[20pt]
Další užitečné zdroje příkladů:\\
- Zkouškové písemky z minulých let na webu prof. Spurného:\\ \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~spurny/pages/ma3.php#}\\
- Sbírka úloh a řešených příkladů ODR od T. Bárty a D. Pražáka:\\ \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~barta/pcODR/index.html}\\
- Příklady od cvičící Kristýny Kuncové:\\
\url{https://www.karlin.mff.cuni.cz/~kuncova/vyukaMA3.php}\\
- Příklady od přednášejícího, Luboše Picka:\\
\url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pick/2023-2024-ZS-cviceni.pdf}
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 2}}\ \\
\textbf{1. Řeště soustavu $y'=\mathbb{A}y + b$ a nalezněte řešení splňující zadanou počáteční podmínku.}\\[5pt] \resetpr
\pr $\mathbb{A} = \left(\begin{array}{ccc}
	2 &  1 & 0 \\
	0 & 2 & 4\\
	1 & 0 & -1\\
\end{array}\right),\quad 
b = \left(\begin{array}{c}
	e^{2t} \\
	-4e^{-t}\\
	0\\
\end{array}\right)$,
počáteční podmínka $y(0) = (0,-1,1)$;\\[5pt]
\pr $\mathbb{A} = \left(\begin{array}{ccc}
	1 &  2 \\
	2 & 1
\end{array}\right),\quad 
b = \left(\begin{array}{c}
	e^{t} \\
	e^{t}
\end{array}\right)$,
počáteční podmínka $y(0) = (0,0)$;\\[5pt]
\pr $\mathbb{A} = \left(\begin{array}{ccc}
	1 &  1 \\
	-2 & 4
\end{array}\right),\quad 
b = \left(\begin{array}{c}
	\tfrac{1}{2}t^2 \\
	5t^2
\end{array}\right)$,
počáteční podmínka $y(0) = (2,2)$;\\[5pt]
\pr $\mathbb{A} = \left(\begin{array}{ccc}
	-4 &  0 & 6 \\
	-7 & 2 & 8\\
	-3 & 0 & 5\\
\end{array}\right),\quad 
b = \left(\begin{array}{c}
	2e^{t} \\
	0\\
	0\\
\end{array}\right)$,
počáteční podmínka $y(0) = (4,5,0)$;\\[5pt]
\pr $\mathbb{A} = \left(\begin{array}{ccc}
	2 &  2 & 4 \\
	2 & 2 & 1\\
	-2 & -2 & -2\\
\end{array}\right),\quad 
b = \left(\begin{array}{c}
	0 \\
	0\\
	0\\
\end{array}\right)$,
počáteční podmínka $y(0) = (1,2,3)$.\\[10pt]
\vysledky
\resetpr \pr $y(t) = (0,-e^{2t},e^{-t})$ \pr $y(t) = (\tfrac{1}{2}e^{3t} - \tfrac{1}{2}e^{t},\tfrac{1}{2}e^{3t} - \tfrac{1}{2}e^{t})$ \pr $y(t) = (\tfrac{1}{3}e^{3t} + e^{2t} + \tfrac{2}{3} + t + \tfrac{t^2}{2}, \tfrac{2}{3}e^{3t} + e^{2t} + \tfrac{1}{3}-t^2)$\\ \pr $y(t) = \big(4e^t + 6e^{-t} -6 e^{2t},4e^t + 6e^{-t} - (5+6t)e^{2t},3e^t + 3e^{-t} - 6e^{2t}\big)$\\ \pr $y(t) = \big(-14 + e^t(3\sin t + 15\cos t),-14 + e^t(21\sin t - 12\cos t),e^t(-15\sin t + 3\cos t)\big)$
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 3}}\ \\
Ve cvičeních níže na $\mathbb{R}^2$ uvažujeme Euklidovskou metriku $\rho_2$ a na $C([0,1])$ supremovou metriku $\rho_{sup}$.\\[5pt]
\textbf{1. Pro zadané metrické prostory $M$ a jejich podmnožiny $A\subset M$ rozhodněte, zda $A$ je otevřená (resp. uzavřená). Zjistěte vnitřek, uzávěr a hranici množiny $A$.}\\ \resetpr \pr $M=\R$, $A = \{\tfrac{1}{n}\colon n\in\N\}$ \pr $M=\R$, $A=\Q$
\pr $M=\R^2$, $A=\{(x,y)\colon x>0, y\leq 0\}$\\
\pr Nechť $f:\R\to\R$ je spojitá funkce, uvažujme pak $M=\R$ a $A = \{t\colon f(t)>0\}$ (u této úlohy nezjišťujte hranici a uzávěr)\\
\pr $M=[0,1]$, $A = \text{Cantorovo diskontinuum}$
\pr $M=\R^2$, $A = \{(0,0)\}\cup\{(x,\sin \tfrac{1}{x})\colon x\in\R\setminus\{0\}\}$\\
\pr $M=C([0,1])$, $A = \{f\in M\colon f(\tfrac{1}{2})=2\}$
\pr $M=C([0,1])$, $A = \{f\in M\colon f(\tfrac{1}{2})\in (0,2)\}$\\[5pt]
\textbf{2.  Platí v metrických prostorech následující rovnosti? Platí alespoň jedna inkluze?}\\ \resetpr
\pr $\overline{A\cup B} = \overline{A}\cup \overline{B}$ \pr $\Int(A\setminus B) = \Int(A)\setminus\Int(B)$\\[5pt]
\textbf{3.Uva\v{z}ujme na $\er^2$ libovolnou metriku $\rho$. Kter\'a z n\'asleduj\'ic\'ich tvrzen\'i jsou pravdiv\'a? Kter\'a jsou pravdiv\'a, pokud $\rho(x,y) = \|x-y\|$ pro n\v{e}jakou normu na $\er^2$?}\\ \resetpr \pr $5B(0,1) = B(0,5)$ ($0$ zna\v{c}\'i nulov\'y vektor, $5A$ definujeme jako mnozinu $\{5a:\;a\in A\}$ pro $A\subset\er^2$)\\ \pr $5B(x,1) = x + B(0,5),\;x\in\er^2$ \pr $\overline{B(0,1)} = \{x\in\R^2\colon \rho(x,0)\leq 1\}$
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 4}}\ \\
\textbf{1. A\v{t} $\rho_1,\rho_2$ jsou metriky na mno\v{z}in\v{e} $P$. Mus\'i b\'yt i funkce $\rho$ definovan\'a n\'i\v{z}e metrikou na $P$?}\\ \resetpr \pr $\rho = \max\{\rho_1,\rho_2\}$ \pr $\rho = \min\{\rho_1,\rho_2\}$ \pr $\rho = \min\{\rho_1,1\}$\\[10pt]
\textbf{2. Rozhodněte, zda jsou následující množiny $A$ kompaktní v metrickém prostoru $P$.}\\ \resetpr 
\pr Ať $x_n\to x$ je konvergentní posloupnost. Položme $A = \{x_n\colon n\in\N\}\cup\{x\}$.\\
\pr $A = $Cantorovo diskontinuum, $P = [0,1]$\\
\pr $A = \{(x,y)\in\R^2\colon \sin(xy)\leq \tfrac{1}{2},\, x\leq 1,\, y\geq -3\}$, $P = \R^2$\\
\pr $A=\{\arctg(n)\colon n\in\N\}$, $P=\R$ \pr $A = \{(x,y)\in\R^2\colon \exp(x^2+y^2)\leq 10\}$, $P=\R^2$\\
\pr $A = \{(x,f(x))\colon x\in \R\}$, kde $f:\R\to\R$ je spojitá funkce; $P=\R^2$ 
\\[10pt]
\textbf{3. Rozhodn\v{e}te o platnosti následujících tvrzení v $\R^n$ (své tvrzení dokažte).}\\ \resetpr 
\pr Kompaktní množiny mají neprázdný vnitřek
\pr Pro každou $A\subset \R^n$ s neprázdným vnitřkem platí $\overline{\Int A} = \overline{A}$\\
\pr $A\subset \R^n\Rightarrow \Int \overline{A} = \Int A$
\pr Pokud je $A$ omezená, pak $\overline{A}$ je kompaktní.\\[10pt]
\textbf{4. Ať $(P, \rho)$ je metrický prostor, $f:[0,\infty)\to [0,\infty)$ je funkce splňující
	\begin{itemize}
		\item $f(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$,
		\item $r \leq s + t \Rightarrow f(r) \leq f(s) + f(t)$.
	\end{itemize}
	Položme $\sigma(x, y) := f(\rho(x, y))$.}\begin{itemize}
	\item[(i)] Dokažte, že $\sigma$ je potom metrika na $P$.
	\item[(ii)] Pomocí tohoto tvrzení dokažte, že $\sigma(x, y) = \tfrac{\rho(x,y)}{1+\rho(x,y)}$ definuje omezenou metriku na $P$.
	\item[(iii)] Ať $\sigma(x,y):=\tfrac{|x-y|}{1+|x-y|}$ je metrika na $\R$. Jsou pak množiny $F_n=[n,\infty)\subset (\R,\sigma)$ uzavřené, omezené a kompaktní?
\end{itemize}
\textbf{5. Na prostoru $\C([0,1])$ uva\v{z}ujme supremovou metriku, tj. $\rho_s(f,g) = \max\{|f(t) - g(t)|:\;t\in[0,1]\}$}.\\ \resetpr \pr Spo\v{c}\'itejte $\rho_s(x,x^2)$.\\
\pr Pro $n\in\mathbb{N}$ a $x\in[0,1]$ definujme $f_n(x) = \tfrac{\sin(nx + 3)}{\sqrt{n + 1}}$ a $g_n(x) = \tfrac{nx}{1 + n^2x^2}$. Je posloupnost funkc\'i $(f_n)_{n=1}^{\infty}$ konvergentn\'i v metrice $\rho_s$ k funkci $f(x)=0$, $x\in[0,1]$? Plat\'i analogick\'e tvrzen\'i pro posloupnost $(g_n)_{n=1}^{\infty}$?\\
\pr Zjistěte vnitřek, uzávěr a hranici množiny $\{f\in\C[0,1]:\; \int_0^1f(x) \mathrm{d}x=0\}$. Je tato množina kompaktní?\\
\pr Rozhodněte, zda je množina všech $1$-lipschitzovských funkcí $f$ na $[0, 1]$ splňujících $\|f\|\leq 1$ kompaktní v $C([0, 1]$.\\[10pt]
\textbf{6. Definujme metriku $\rho$ na $\R$ následujícím předpisem}
\[
\rho(x,y) = \begin{cases}
	\tfrac{1}{|x|} & x\neq 0,y=0,\\
	\tfrac{1}{|y|} & x= 0,y\neq 0,\\
	\tfrac{1}{|x|} + \tfrac{1}{|y|} & x\neq 0\neq y, x\neq y,\\
	0 & x=y.
\end{cases}
\]
Dokažte, že $(\R,\rho)$ je metrický prostor a charakterizujte jeho kompaktní podmnožiny. Je $(\R,\rho)$ kompaktní?\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 5}}\ \\
\textbf{1.P\v{r}i\v{r}a\v{d}te grafy funkc\'i k p\v{r}edpis\r{u}m:}\\[5pt]
a)\hspace{170pt}b)\hspace{170pt}c)\\
\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[colormap/blackwhite, hide axis]
		\addplot3[surf, shader=interp] {x^2 - y^2};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}\hspace{30pt}
\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[colormap/blackwhite, hide axis]
		\addplot3[surf, shader=interp] {x^2 + y^2};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}\hspace{30pt}
\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[colormap/blackwhite, hide axis]
		\addplot3[surf, shader=interp] {x^4 + y};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}\\
d)\hspace{170pt}e)\hspace{170pt}f)\\
\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[colormap/blackwhite, hide axis]
		\addplot3[surf, shader=interp] {exp(x) + y};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}\hspace{30pt}
\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[colormap/blackwhite, hide axis]
		\addplot3[surf, shader=interp] {-x^2-y^2};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}\hspace{30pt}
\begin{tikzpicture}
	\begin{axis}[colormap/blackwhite, hide axis]
		\addplot3[surf, shader=interp] {x + y};
	\end{axis}
\end{tikzpicture}\\
i) $x^2 + y^2$\quad ii) $exp(x) + y$\quad iii) $-x^2 - y^2$\quad iv) $x +y$\quad v) $x^2 - y^2$\quad vi) $x^4 + y$\\[10pt]
\textbf{2. Zjist\v{e}te, zda existuj\'i limity a pokud ano, spo\v{c}t\v{e}te je:}\\ \resetpr
%Ja udelam tyhle:
\pr $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sqrt{x^2y^2+1}-1}{x^2+y^2}$
\pr $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}$
\pr $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin(x^3+y^3)}{x^2+y^2}$
\pr $\lim\limits_{(x,y)\to(0,3)} \frac{\sin(xy)}{x}$\\
%Oni samostatne mohou zkouset tyhle (mozna jeden na mocninu bych mohl udelat take .. uvidi se podle casu):
\pr $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}$
\pr $\lim\limits_{\substack{(x,y)\to(0,0)\\ x+y\neq 0}} \frac{x-y}{x+y}$
\pr $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} (1 + x^2y^2)^{\frac{1}{x^2 + y^2}}$
\pr $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \frac{1 - \cos(x^2 + y^2)}{(x^2+y^2)x^2y^2}$ \\
\pr $\lim\limits_{\substack{(x,y)\to(0,0)\\ xy\neq 0}} (x+y)\sin\frac 1x\sin\frac 1y$
\pr $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \frac{yx^2}{x^4 + y^2}$
\pr $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} (x^2 + y^2)^{x^2y^2}$
\pr $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^6}{x^3 + y^3}$\\[10pt]
%\pr $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x+y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$\\
%\pr $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x(x^2 + y^2)^2}{1 - \cos(x^2+y^2)}$
%\pr	$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \frac{e^{-\frac{1}{x^2+y^2}}}{x^4+y^4}$\\[10pt]
\textbf{3. Nechť $\delta>0$ a $f:[-\delta,\delta]^2\to \R$ je funkce. Označme následující limity:}
\[
L:=\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y),\quad L_{xy}:=\lim_{x\to 0}\Big(\lim_{y\to 0} f(x,y)\Big),\quad L_{yx} := \lim_{y\to 0}\Big(\lim_{x\to 0} f(x,y)\Big).
\]
\begin{itemize}
	\item[(i)] Dokažte, že pokud existují limity $L, L_{xy}, L_{yx}$, pak jsou si všechny rovny.
	\item[(ii)] Uvažujte funkci $f$ z Příkladu 2f výše. Ukažte, že $L_{xy}\neq L_{yx}$ a s pomocí (i) odvoďte že $L$ neexistuje.
	\item[(iii)] Uvažujte funkci $f$ z Příkladu 2b výše. Ukažte, že $L_{xy} = L_{yx}$, ale přesto limita $L$ neexistuje.
	\item[(iv)] Uvažujte funkci $f$ z Příkladu 2i výše. Ukažte, že limita $L$ existuje, ale neexistují limity $L_{xy}$ a $L_{yx}$.
\end{itemize}
\vysledky
\textbf{1.} a)-v), b)-i), c)-vi), d)-ii), e)-iii), f)-iv)\\[5pt]
\textbf{2.}\resetpr \pr 0 \pr Limita neexistuje \pr 0 \pr Limita neexistuje, proto\v{z}e funkce nen\'i definov\'ana na prstencov\'em okol\'i bodu $(0,3)$, limita p\v{r}es mno\v{z}inu $\{(x,y)\in\er^2:\; x\neq 0\}$ je 3. \pr 2 \pr Limita neexistuje \pr 1 \pr Limita neexistuje, proto\v{z}e funkce nen\'i definov\'ana na prstencov\'em okol\'i bodu $(0,0)$, limita p\v{r}es mno\v{z}inu $\{(x,y)\in\er^2:\; xy\neq 0\}$ je $+\infty$. \pr 0 \pr Limita neexistuje \pr 1 \pr Limita neexistuje, proto\v{z}e funkce nen\'i definov\'ana na prstencov\'em okol\'i bodu $(0,0)$, limita p\v{r}es mno\v{z}inu $\{(x,y)\in\er^2:\; x\neq -y\}$ tak\'e neexistuje.\\[5pt]
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 6}}\ \\
\textbf{1. Spo\v{c}t\v{e}te parci\'aln\'i derivace funkc\'i v\v{s}ude, kde existuj\'i}\ \\[3pt] \resetpr
\pr $x^my^n$
\pr $e^{xy}$
\pr $|x|\cdot|y|$
\pr $|\sin y-\sin x|$
\pr $\sqrt{x+y^2}$
\pr $xy+yz+zx$
\pr $x^{\frac yz}$
\pr $|y|\sin x$\\
\pr $|y+\cos x|$
\pr $f(x,y)=e^{-\pi\over x^2+3xy+3y^2}$ pro $(x,y)\neq (0,0)$ , $f(0,0)=0$\\[5pt]
\textbf{2. Ur\v{c}ete a nakreslete defini\v{c}n\'i obor a vy\v{s}et\v{r}ete parci\'aln\'i derivace funkc\'i\\ (ze zkou\v{s}kov\'ych p\'isemek na FSV)}\ \\[3pt] \resetpr
\pr $\sqrt{e^{xy} - e}$
\pr $\sqrt{x^2 - y^2}$
\pr $\log \frac{1-\sqrt[3]{x}}{|y|+\sqrt[3]{x}}$
\pr $\arcsin \frac{y+x}{x^2+x+1}$
\\[20pt]
Další užitečné zdroje příkladů:\\
- Zkouškové písemky z minulých let na FSV na webu prof. Kalendy:\\ \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/edu.php?edutype=archpis}\\
\vysledky
\textbf{1.}\resetpr \pr $\pdx=m x^{m-1} y^n$, $\pdy=n x^m y^{n-1}$ pro $(x,y)\in\er^2$ \pr $\pdx=y e^{xy}$, $\pdy=x e^{xy}$ pro $(x,y)\in\er^2$ \pr $\pdx(x,y)= |y|\sgn x$ pro $x\ne 0$. $\pdy(x,y)=|x|\sgn y$ pro $y\ne 0$. $\pdx(0,0)=\pdy(0,0)=0$. $\pdx(0,y)$ pro $y\ne 0$ a $\pdy(x,0)$ pro $x\ne0$ neexistuj\'{\i} \pr $\pdx(x,y)=\cos x\sgn(\sin x-\sin y)$, $\pdy(x,y)=-\cos y\sgn(\sin x-\sin y)$, pokud $\sin x\ne\sin y$. $\pdx(\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi + 2l\pi)=\pdy(\frac\pi2+k\pi + 2l\pi,\frac\pi2+k\pi)=0$. V ostatn\'{\i}ch bodech parci\'aln\'{\i} derivace neexistuj\'{\i} \pr Pokud $x>-y^2$, pak $\pdx(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x+y^2}}$; $\pdy(x,y)=\frac{y}{\sqrt{x+y^2}}$ a $\pdy(0,0)$ neexistuje. Jinak parci\'aln\'i derivace nemaj\'i smysl. \pr $\pdx(x,y,z)=y+z$, $\pdy(x,y,z)=x+z$, $\pdz(x,y,z)=x+y$ pro $(x,y,z)\in\er^3$ \pr Pokud $x>0$ a $z\ne 0$, pak $\pdx(x,y,z)=\frac yz \cdot x^{\frac yz-1}$; $\pdy(x,y,z)=x^{\frac yz}\cdot\log x\cdot \frac1z$;
$\pdz(x,y,z)=-x^{\frac yz}\cdot\log x\cdot \frac y{z^2}$. \pr $\pdx(x,y)=|y|\cos x$ pro $(x,y)\in \er^2$, $\pdy(x,y)=\sgn(y)\sin x$ pro $y\neq 0$, $\pdy(k\pi,0)=0$ pro $k\in\zet$ a $\pdy(x,0)$ pro $x\neq k\pi$ neexistuje \pr $\pdx(x,y)=-\sgn(y+\cos x)\cdot\sin x$, $\pdy(x,y)=\sgn(y+\cos x)$, pokud $y\neq -\cos x$. $\pdy(x,-\cos x)$ neexistuje pro $x\in\er$. $\pdx(k\pi,(-1)^{k+1})=0$ pro $k\in\zet$. $\pdx(x,-\cos x)$ neexistuje pro $x\neq k\pi$. \pr $\pdx=e^{-\frac{\pi}{x^2+3xy+3y^2}} \cdot \frac{\pi(2x+3y)}{(x^2+3xy+3y^2)^2}$, $\pdy=e^{-\frac{\pi}{x^2+3xy+3y^2}} \cdot \frac{\pi(3x+6y)}{(x^2+3xy+3y^2)^2}$ pro $(x,y)\ne(0,0)$; v bod\v{e} $(0,0)$ jsou ob\v{e} parci\'aln\'{\i} derivace nulov\'e.\\[5pt]
\textbf{2.} viz. v\'ysledky zkou\v{s}kov\'ych p\'isemek z Matematiky II zde:\\ \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/edu.php?edutype=archpis}

\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 7}}\ \\
\noindent\textbf{1. Pro zadanou funkci $f(x,y)$ a body $a,h \in \er^2$ určete, zda existuje $f'(a)(h)$ a pokud ano, spočtěte tuto hodnotu (tj. určete, zda existuje totální diferenciál v bodě $a$ a pokud ano, určete jeho hodnotu v bodě $h$).}\\ \resetpr 
\pr $f(x,y)=\arctg \frac{x-y}{x+y}$,\; $a = (1,1)$,\; $h = (-2,2)$
\pr $f(x,y)=xy\log(x+y)$,\; $a = (2,2)$,\; $h = (3,-3)$\\[5pt]
\noindent \textbf{2. Maj\'i n\'asleduj\'ic\'i funkce tot\'aln\'i diferenci\'al v bod\v{e} $[0,0]$?}\\ \resetpr
\pr $\sqrt{x^2 + y^2}$
\pr $|xy|$
\pr $f(x,y) = \begin{cases}(x^2 + y^2)\sin\frac 1{x^2 + y^2} & (x,y)\neq (0,0),\\
	0 & (x,y) = (0,0).\end{cases}$\\
\pr $\sqrt[3]{x + y^2}$  
\pr $|x|\log(1+y)$
\pr $f(x,y) = \begin{cases}e^{-\frac 1{x^2 + y^2}} & (x,y)\neq (0,0)\\
	0 & (x,y) = (0,0).\end{cases}$
\pr $f(x,y) = \begin{cases}\frac {x^3-2y^3}{4x^2 + y^2} & (x,y)\neq (0,0)\\
	0 & (x,y) = (0,0).\end{cases}$
\\[5pt]
\textbf{3. Následující úlohy slouží k dokreslení teorie (jako varování, že některé varianty používaných vět neplatí).}\\ \resetpr \pr Dokažte, že funkce $f(x,y) = \sqrt[3]{xy}$ je spojitá, $\pdx (0,0) = \pdx (0,0) = 0$, ale $f'(0,0)$ neexistuje.\\
\pr Dokažte, že funkce $f(x,y) = \begin{cases}\tfrac{xy}{x^2 + y^2} & (x,y)\neq (0,0),\\
	0 & (x,y) = (0,0).\end{cases}$
není spojitá, ale $\pdx$ a $\pdy$ existují ve všech bodech.\\[5pt]
\textbf{4.  Vyšetřete, ve kterých bodech má funkce $f(x,y) = \max\{x^3,y^3\}$ totální diferenciál a spočtěte jej.}\\[5pt]
\textbf{5. Nechť $F = (F_1,F_2):\er^2\to\er^2$ je zobrazení definované předpisem
	\[
	F(x,y) = \Big((|x|+|y|)\log(1+x^2+y^2),\sgn(x+y)\sqrt{x^2+y^2}\Big)
	\]
}
Zjistěte, zda existují $F'(1,1)$, $F_1' (0,0)$, $\pdy[F_2](0,0)$ a pokud ano, spočtěte je.
\\
\vysledky
\textbf{1.}\resetpr \pr $-2$ \pr $0$ \; \textbf{2.}\resetpr \pr ne \pr ano \pr ano \pr ne \pr ano \pr ano \pr ne \; \textbf{4.} $f'(x,y) = (3x^2,0)$ pro $x>y$, $f'(x,y) = (0,3y^2)$ pro $x<y$, $f'(0,0)=(0,0)$, v ostatn\'ich bodech totální diferenciál neexistuje. \textbf{5.} viz. \url{https://www.karlin.mff.cuni.cz/~spurny/doc/ma3/jirka/24.1/pisemka-01-24-2023.pdf}\\[100pt]
------------------\\
\MakeUppercase{Cvičení 8 a 9 byla suplována}
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 10}}\ \\
\textbf{1.} Ukažte, že vztahy
\[\begin{split}
	u & = \arctg(\pi x) + y^2z\\
	v & = e^{-x} + 2\frac{y}{z},\\
	w & = \cos(2xy) + 2\sqrt{z}
\end{split}\]
definují na okolí bodu $[u, v, w] = [4,3/2,5]$ hladké funkce $x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)$, pro které
platí $x(4,3/2,5) = 0$, $y(4,3/2,5) = 1$, $z(4,3/2,5) = 4$. Rozhodněte, zda má funkce $y(u, v, w)$ totální diferenciál v bodě $(4,3/2,5)$, a pokud ano, spočtěte jej.\\[5pt]
\textbf{2.} Ukažte, že vztah $xy^3 = y-z$ definuje implicitně zadanou funkci $x = x(y,z)$ na okolí bodu $(1,2)$. Vypočítejte $\pdy[x](1,2)$.\\[5pt]
\textbf{3. } Ukažte, že vztahy
\[\begin{split}
	x^4 + xu + yv + u^4 + v^4 = 1\\
	y^3 + uv + yxu = 1
\end{split}\]
definují na okolí bodu $[x,y] = [1,1]$ hladké funkce $u(x,y), v(x,y)$, pro které
platí $u(1,1) = 0$, $v(1,1) = 0$. Spočtěte Jacobiho matici zobrazení $\phi(x,y):=(u(x,y),v(x,y))$ v bodě $(1,1)$ a rozhodněte, zda je toto zobrazení difeomorfismus na okolí $(1,1)$.\\
(\emph{Hint: }$\phi$ je na okolí $(1,1)$ difeomorfismus iff jakobián $\phi$ v bodě $(1,1)$ je nenulový)\\[5pt]
\textbf{4. } Dokažte, že na určitém okolí bodu $(x,y,z) = (1,0,1)$ existují funkce $y(x)$ a $z(x)$ takové, že
\[
x^2y^2 = \log z,\qquad x + y + z = 2.
\]
Spočtěte $y'(1)$, $z'(1)$, $y''(1)$ a $z''(1)$.\\
\vysledky
\textbf{1.} $\nabla y = (\tfrac{2}{\pi + 16},\tfrac{2\pi}{\pi + 16},\tfrac{\pi-8}{2(\pi + 16)})$ \textbf{2.} $\pdy[x](1,2) = 4$ \textbf{3.} $J_\phi(1,1) = \left(\begin{smallmatrix}0&-3\\-4&3\end{smallmatrix}\right)$, $\phi$ je difeomorfismus na okolí $(1,2)$ \textbf{4.} $y'(1)=-1$, $z'(1)=0$, $y''(1)=-2$, $z''(1) = 2$
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 11}}\ \\
\textbf{1. U n\'asleduj\'ic\'ich funkc\'i nalezn\v{e}te lok\'aln\'i extr\'emy.}\\ \resetpr
\pr $f(x,y) = x^2 + (y-1)^2$
\pr $f(x,y) = e^{x^2 - y}(5-2x+y)$\\
\pr $f(x,y) = xy\sqrt{1-x^2-y^2}$, $(x,y)\in\{(x,y)\in\er^2\setsep x^2 + y^2 < 1\}$
\pr $f(x,y) = xy\log(x^2+y^2)$\\[5pt]
\textbf{2. Zjist\v{e}te $\sup$ a $\inf$ funkce $f$ na mno\v{z}in\v{e} $M$ a vy\v{s}et\v{r}ete, zda t\v{e}chto hodnot funce $f$ na $M$ nab\'yv\'a (bez Lagrangeov\'ych multiplik\'ator\r{u}).}\resetpr\\[5pt]
\pr $f(x,y) = x-2y-3$; $M = \{[x,y];0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1, x+y\leq 1\}$\\
\pr $f(x,y,z) = (x+y)^2 + (x-y)^2 + z$; $M = \langle-1,1\rangle\times\langle-1,1\rangle\times\langle-1,1\rangle$\\
\pr $f(x,y) = x^2 + 4x + 5 - 3y^2 - 3y$; $M = \er^2$	
\pr $f(x,y) = x^2 - xy + y^2$; $M = \{[x,y];|x| + |y| \leq 1\}$	\\
\pr $f(x,y) = x^2 + y^2;M = \{[x,y];x^2 + 4y^2 = 1\}$	
\pr $f(x,y) = xy;M = \{[x,y];x + y = 5\}$\\[10pt]
Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i lze nal\'ezt nap\v{r}\'iklad zde:\\
\url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~zeleny/mff/MA_3/Extremy.pdf}\\[20pt]
\vysledky
\textbf{1.}\resetpr \pr $[0,1]$ - ostr\'e lok\'aln\'i minimum \pr $[1,-2]$ - nen\'i extr\'em (sedlov\'y bod) \pr $[\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}]$ a $[-\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}]$ jsou ostr\'a lok\'aln\'i maxima, $[\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}]$ a $[-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}]$ jsou ostr\'a lok\'aln\'i minima, ve stacion\'arn\'im bod\v{e} $[0,0]$ nen\'i lok\'aln\'i extr\'em \pr $[\tfrac{1}{\sqrt{2e}},\tfrac{1}{\sqrt{2e}}]$ a $[-\tfrac{1}{\sqrt{2e}},-\tfrac{1}{\sqrt{2e}}]$ jsou ostr\'a lok\'aln\'i minima, $[\tfrac{1}{\sqrt{2e}},-\tfrac{1}{\sqrt{2e}}]$ a $[-\tfrac{1}{\sqrt{2e}},\tfrac{1}{\sqrt{2e}}]$ jsou ostr\'a lok\'aln\'i maxima, ve stacion\'arn\'ich bodech $[0,\pm 1]$, $[\pm 1,0]$ nen\'i lok\'aln\'i extr\'em\\
\textbf{2.}\resetpr \pr max $-2$ v bod\v{e} $[1,0]$, min $-5$ v bod\v{e} $[0,1]$
\pr max $5$ v bodech $[\pm1,\pm1,1]$, min $-1$ v bod\v{e} $[0,0,-1]$
\pr $\sup$ neexistuje, $\inf$ neexistuje	
\pr max $1$ v bodech $[\pm 1,0]$, $[0,\pm 1]$, min $0$ v bod\v{e} $[0,0]$	
\pr max $1$ v bodech $[\pm 1,0]$, min $\frac 14$ v bodech $[0,\pm \frac 12]$
\pr max $\frac {25}4$ v bod\v{e} $[\frac 52,\frac 52]$, $\inf$ neexistuje
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 12}}\ \\
\textbf{1. U n\'asleduj\'ic\'ich funkc\'i nalezn\v{e}te glob\'aln\'i extr\'emy funkce $f$ na množině $M$.}\\ \resetpr
\pr $f(x,y) = 5x-3y$, $M=\{(x,y)\in \R^2\colon x^2 + y^2 = 136\}$\\
\pr $f(x,y,z) = x^2 + 2xz + y^2 + z$, $M=\{(x,y,z)\in \R^3\colon x^2+y^2+z^2=1,x=y^2+z^2\}$\\
\pr $f(x,y) = x^4y$, $M=\{(x,y)\in \R^2\colon x^4 + y^4\leq 16, x\geq -1\}$\\
\pr $f(x,y) = xy$, $M=\{(x,y)\in \R^2\colon 3x^2 + y^2 = 6\}$\\
\pr $f(x,y,z) = x - y^2$, $M=\{(x,y,z)\in \R^3\colon x^2+y^2\leq 5, (x+z)^2 + 2y^2 = 2\}$\\
\pr $f(x,y,z) = x - y - z$, $M=\{(x,y,z)\in \R^3\colon x^2+y^2\leq z,x+y+z\leq 1\}$\\[20pt]
\vysledky
\textbf{1.}\resetpr \pr max $68$ v $[10,-6]$, min $-68$ v $[-10,6]$ \pr max v bod\v{e} $[\tfrac{\sqrt{5}-1}{2},0,\sqrt{\tfrac{\sqrt{5}-1}{2}}]$, min v bod\v{e} $[\tfrac{\sqrt{5}-1}{2},0,-\sqrt{\tfrac{\sqrt{5}-1}{2}}]$\\
\pr max v bod\v{e} $[\tfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt[4]{5}},\tfrac{2}{\sqrt[4]{5}}]$, min v bod\v{e} $[\tfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt[4]{5}},-\tfrac{2}{\sqrt[4]{5}}]$
\pr max $\sqrt{3}$ v $[1,\sqrt{3}]$ a $[-1,-\sqrt{3}]$, min $-\sqrt{3}$ v $[1,-\sqrt{3}]$ a $[-1,\sqrt{3}]$\\
\pr max $\sqrt{5}$ v bodech $[-\sqrt{5},0,\sqrt{5}\pm \sqrt{2}]$, min $-3$ v bodech $[-2,\pm 1,2]$\\
\pr max $\tfrac{1}{2}$ v $[\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}]$, min $-2-\sqrt{6}$ v $[\tfrac{-1-\sqrt{6}}{2},-\tfrac{1}{2},2 + \tfrac{\sqrt{6}}{2}]$\\[150pt]
\centerline{\MakeUppercase{Cvičení 12}}\ \\
\textbf{1. U n\'asleduj\'ic\'ich funkc\'i nalezn\v{e}te glob\'aln\'i extr\'emy funkce $f$ na množině $M$.}\\ \resetpr
\pr $f(x,y) = 5x-3y$, $M=\{(x,y)\in \R^2\colon x^2 + y^2 = 136\}$\\
\pr $f(x,y,z) = x^2 + 2xz + y^2 + z$, $M=\{(x,y,z)\in \R^3\colon x^2+y^2+z^2=1,x=y^2+z^2\}$\\
\pr $f(x,y) = x^4y$, $M=\{(x,y)\in \R^2\colon x^4 + y^4\leq 16, x\geq -1\}$\\
\pr $f(x,y) = xy$, $M=\{(x,y)\in \R^2\colon 3x^2 + y^2 = 6\}$\\
\pr $f(x,y,z) = x - y^2$, $M=\{(x,y,z)\in \R^3\colon x^2+y^2\leq 5, (x+z)^2 + 2y^2 = 2\}$\\
\pr $f(x,y,z) = x - y - z$, $M=\{(x,y,z)\in \R^3\colon x^2+y^2\leq z,x+y+z\leq 1\}$\\[20pt]
\vysledky
\textbf{1.}\resetpr \pr max $68$ v $[10,-6]$, min $-68$ v $[-10,6]$ \pr max v bod\v{e} $[\tfrac{\sqrt{5}-1}{2},0,\sqrt{\tfrac{\sqrt{5}-1}{2}}]$, min v bod\v{e} $[\tfrac{\sqrt{5}-1}{2},0,-\sqrt{\tfrac{\sqrt{5}-1}{2}}]$\\
\pr max v bod\v{e} $[\tfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt[4]{5}},\tfrac{2}{\sqrt[4]{5}}]$, min v bod\v{e} $[\tfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt[4]{5}},-\tfrac{2}{\sqrt[4]{5}}]$
\pr max $\sqrt{3}$ v $[1,\sqrt{3}]$ a $[-1,-\sqrt{3}]$, min $-\sqrt{3}$ v $[1,-\sqrt{3}]$ a $[-1,\sqrt{3}]$\\
\pr max $\sqrt{5}$ v bodech $[-\sqrt{5},0,\sqrt{5}\pm \sqrt{2}]$, min $-3$ v bodech $[-2,\pm 1,2]$\\
\pr max $\tfrac{1}{2}$ v $[\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}]$, min $-2-\sqrt{6}$ v $[\tfrac{-1-\sqrt{6}}{2},-\tfrac{1}{2},2 + \tfrac{\sqrt{6}}{2}]$
\end{document}