\documentclass[a4paper]{amsart}

\frenchspacing

\usepackage{a4wide}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[cp1250]{inputenc}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,color}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}{P\v{r}\'iklad}

\def\er{\mathbb R}
\def\en{\mathbb N}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \dx {\, \mathrm{d} x}
\newcommand\dl[1]{\, \mathrm{d} \lambda^{#1}}

\title{Kalkulus 4, 2018--2019\\ zkou\v{s}kov\'e p\'isemky}  % tyto dv� polo�ky jsou zde v podstat� form�ln�, ve skute�nosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}
 \noindent\begin{center}\textbf{Kalkulus 4, LS 2018-2019\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - Varianta A}\end{center}
 
 \bigskip
 
\begin{example}Pro funkci
	\[
		f(z)=\frac{\sin z}{e^z - 1}
	\]
	najd\v{e}te v\v{s}echny ko\v{r}eny a izolovan\'e singularity. Pro ko\v{r}eny ur\v{c}ete jejich n\'asobnost, pro izolovan\'e singularity jejich typ.\\
	$\textup{(8 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}Spo\v{c}t\v{e}te integr\'al
\[
	\int_0^\infty \frac{x^{2/3}}{x^3+1} \dx.
\]
\emph{Hint}: v z\'av\v{e}ru v\'ypo\v{c}tu je t\v{r}eba uk\'azat n\'asleduj\'ic\'i rovnost
\[-\frac{2}{3}\pi i \frac{e^{i\pi 5/9} + e^{i\pi 5/3} + e^{i\pi 25/9}}{1-e^{i\pi 10/3}} = (2\cos\tfrac{\pi}{9} - 1)\tfrac{2\pi}{3\sqrt{3}}.\]
		$\textup{(18 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}
	\begin{itemize}
		\item[(i)] Nalezn\v{e}te alespo\v{n} jednu funkci z $\mathcal{L}^{-1}(g(s))$, kde
			\[g(s) = \frac{s+7}{s^2+4s+3},\quad s > 1.\]
		\item[(ii)] Pomoc\'i v\'ysledku z (i) \v{r}e\v{s}te diferenci\'aln\'i rovnici pro $t\geq 0$:
		\[y'(t) + 4y(t) + 3\int_0^t y(x) \dx = 7,\quad y(0)=1.\]
	\end{itemize}
	$\textup{(8 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}
	\begin{itemize}
		\item[(i)] Spo\v{c}t\v{e}te Fourierovu transformaci funkce
			\[f(x) = \begin{cases}|x|\sqrt{2\pi} & x\in [-1,1],\\ 0 & x\in\er\setminus[-1,1].\end{cases}\]
		\item[(ii)] Pomoc\'i v\'ysledku z (i) ur\v{c}ete Fourierovu transformaci funkce $g(x):=f(4x+6)$.
	\end{itemize}
	\noindent$\textup{(6 bod\r{u})}$
\end{example}
\newpage
%%%%Varianta B%%%%%%
\noindent\begin{center}\textbf{Kalkulus 3, ZS 2018-2019\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - Varianta B}\end{center}
 
 \bigskip
 
\begin{example}\begin{itemize}
		\item[(i)] Nalezn\v{e}te v\v{s}echna komplexn\'i \v{c}\'isla $z$, pro kter\'a plat\'i $\cos z + i\sin z = \tfrac{e}{\sqrt{2}}(1+i)$.
		\item[(ii)] Pomoc\'i v\'ysledku z (i) najd\v{e}te v\v{s}echny izolovan\'e singularity funkce \[f(z) = \frac{1}{\cos z + i\sin z - \tfrac{e}{\sqrt{2}}(1+i)}\] a ur\v{c}ete jejich typ.\\
	\end{itemize}
	$\textup{(10 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}Spo\v{c}t\v{e}te integr\'al
\[
	\int_0^{2\pi} \frac{1}{(13+5\cos x)(5-4\cos x)} \dx.
\]
\emph{Hint}: m\r{u}\v{z}e se hodit znalost, \v{z}e $\sqrt{576}=24$.\\
		$\textup{(11 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}
	\begin{itemize}
		\item[(i)] Spo\v{c}t\v{e}te Fourierovu transformaci funkce
			\[f(x) = \frac{1}{(x^2+1)(x^2+9)}\]
		\item[(ii)] Pomoc\'i v\'ysledku z (i) ur\v{c}ete Fourierovu transformaci funkce $g(x):=\cos(x)f(x)$.
	\end{itemize}
	\noindent$\textup{(11 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}Uva\v{z}ujme $M:=\{y\in\mathcal{C}^1([1,2])\colon y(1)=\tfrac{3}{8}, y(2)=\tfrac{1}{2}\}$ a zobrazen\'i $F:M\to \er$ dan\'e p\v{r}edpisem
\[F(y):=\int_1^2 -3xy'(x) + 2(y'(x))^2 \dx,\quad y\in M.\]
Nalezn\v{e}te funkci $y_0\in M$, kter\'a je bodem glob\'aln\'iho minima zobrazen\'i $F$.\\
	\noindent$\textup{(8 bod\r{u})}$
\end{example}
\newpage
%%%%Varianta C%%%%%%
\noindent\begin{center}\textbf{Kalkulus 4, LS 2018-2019\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - Varianta C}\end{center}
 
 \bigskip
 
\begin{example}
	\begin{itemize}
		\item[(i)] Nalezn\v{e}te v\v{s}echna komplexn\'i \v{c}\'isla $z$, pro kter\'a plat\'i $\cos z  + \tfrac{5}{8}e^{-iz}= -2i$.
		\item[(ii)] Pomoc\'i v\'ysledku z (i) najd\v{e}te v\v{s}echny izolovan\'e singularity funkce \[f(z) = \frac{z}{\cos z + \tfrac{5}{8}e^{-iz} + 2i}\] a ur\v{c}ete typ izolovan\'e singularity alespo\v{n} v jednom bod\v{e}.\\
	\end{itemize}
	$\textup{(12 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}Spo\v{c}t\v{e}te integr\'al
\[
	\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos(x)}{(4x^2-\pi^2)(x^2+1)^2} \dx.
\]
$\textup{(14 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}S pou\v{z}it\'im Laplaceovy transformace \v{r}e\v{s}te diferenci\'aln\'i rovnici pro $t\geq 0$:
		\[y''(t) + 6y'(t) + 9y(t) = t^2e^{-3t},\quad y(0)=y'(0)=0.\]
	$\textup{(7 bod\r{u})}$
\end{example}

\begin{example}Uva\v{z}ujme $M:=\{y\in\mathcal{C}^1([0,1])\colon y(0)=0, y(1)=0\}$ a zobrazen\'i $F:M\to \mathbb{R}$ dan\'e p\v{r}edpisem
\[F(y):=\int_{0}^{1} 3(y'(x))^2 - 5y(x)y'(x) + 12 y(x) \dx,\quad y\in M.\]
Pomoc\'i Euler-Lagrangeovy rovnice nalezn\v{e}te jedinou funkci $y_0\in M$, kter\'a m\r{u}\v{z}e b\'yt bodem lok\'aln\'iho extr\'emu zobrazen\'i $F$. Spo\v{c}t\v{e}te $F(y_0)$ a ur\v{c}ete, zda se jedn\'a o glob\'aln\'i minimum.\\
	\noindent$\textup{(7 bod\r{u})}$
\end{example} 
\end{document}
