\documentclass[11pt,notitlepage]{report}

\frenchspacing % aktivuje použití některých českých typografických pravidel

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} % nastavuje použité kódování, uživatelé Windows zamění utf8 za cp1250
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,amscd,mathrsfs,enumerate,multicol,color,url}%,showkeys,layout}
\usepackage{verbatim} %pro vynechavani comment
\usepackage[top=1cm, left=1cm, right=1cm]{geometry} % nastavení dané velikosti okrajů
\pagestyle{empty}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defin}{Definice}

\def\ce{\mathbb C} 
\def\en{\mathbb N}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\qe{\mathbb Q} 
\def\er{\mathbb R}
\def\R{\er}
\def\N{\en}
\def\C{\mathcal C}
\def \sumaO {\sum_{n=0}^\infty}
\def\setsep{:\;}
\def\nec{Nech\v t\ }
\def\eqdef{\stackrel{\text{\tiny def}}{=}}
\def\Mod{\operatorname{mod}}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\newcommand\lx[1][0]{\displaystyle\lim_{x\to #1}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \tg {\operatorname{tg}}
\def \sgn {\operatorname{sgn}}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def \arccotg {\operatorname{arccotg}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\def \sumad {\sum_{n=2}^\infty}
\def \dx {\, \mathrm{d} x}
\def \dy {\, \mathrm{d} y}
\def \P {\mathcal{P}}
\newcommand\pdx[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial x}}
\newcommand\pdy[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial y}}
\newcommand\pdz[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial z}}
\newcommand\dl[1]{\, \mathrm{d} \lambda^{#1}}
\def\x{\mathbf{x}}
\def\m{\mathbf{m}}

\newtheorem*{thm}{V\v{e}ta}

\newcounter{Priklad}
\addtocounter{Priklad}{1}
\newcommand{\pr}{\quad\alph{Priklad})\;\addtocounter{Priklad}{1}}
\newcommand{\resetpr}{\setcounter{Priklad}{1}}

\title{Kalkulus 3, MFF - p\v{r}'iklady}  % tyto dvě položky jsou zde v podstatě formálně, ve skutečnosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}
U\v{z}itečné zdroje příkladů jsou:

\begin{itemize}
  \item Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové: \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kuncova/historie08.php}
  \item \textbf{K posloupnostem řad a funkcí}\begin{itemize}
                                              \item Ilja Černý: Inteligentní kalkulus. Online zde: \url{http://matematika.cuni.cz/ikalkulus.html}
                                              \item K mocninným řadám se dají použít materiály ke cvičením z Matematické analýzy 2 (2016/17). K nalezení zde: \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/examples.html}                                              
                                             \end{itemize}
  \item \textbf{K teorii míry a integrálu}\begin{itemize}
                                          \item Materiály ke cvičením z teorie míry a integrálu (2013/14) na MFF. K nalezení zde: \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/examples.html}
                                          \item Sbírka příkladů (i řešených) z teorie míry: Lukeš - Příklady k teorii Lebesgueova integrálu. Online zde: \url{http://matematika.cuni.cz/lukes-pli.html}
                                         \end{itemize}
  \item \textbf{K Fourierovým řadám}\begin{itemize}
                                          \item Stránky docenta Zeleného, například příklady zde: \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~zeleny/mff/MA_4/Fourierovy_rady.pdf}
                                          \item Ilja Černý: Inteligentní kalkulus. Online zde: \url{http://matematika.cuni.cz/ikalkulus.html}
                                         \end{itemize}
\end{itemize}
\newpage

\centerline{\MakeUppercase{i. stejnoměrná konvergence posloupností a řad funkcí}}\ \\
\textbf{1. Vyšetřete bodovou a stejnoměrnou konvergenci následujících posloupností funkcí $(f_n)_{n=1}^\infty$:}\\
\resetpr \pr $f_n(x) = x^n$, $x\in[0,1]$
\pr $f_n(x) = \frac{2nx}{1+n^2x^2}$, $x\in\er$
\pr $f_n(x) = \frac{2nx}{1+n^2x^2}$, $x\in[1,\infty)$\\
\pr $f_n(x) = n\cdot\left(\sqrt{x + 1/n} - \sqrt{x}\right)$, $x\in (0,\infty)$
\pr $f_n(x) = \sqrt[n]{x^n + 3^n}$, $x\in [0,\infty)$\\
\smallskip

\noindent\textbf{2. Vyšetřete bodovou a stejnoměrnou konvergenci následujících řad funkcí $\suma f_n$:}\\
\resetpr \pr $f_n(x) = \tfrac{nx}{1+n^5x^2}$, $x\in\er$
\pr $f_n(x) = \exp(-(n+x)^2)$, $x\in[-10,\infty)$
\pr $f_n(x) = \log(1+\tfrac{x^2}{n^2})$, $x\in\er$\\
\smallskip

\noindent\textbf{3. Nechť $f(x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \tfrac{\sin(1+\tfrac{x}{n})}{\sqrt{n}}$, $x\in[-1,1]$. Zjistěte, zda je tato funkce spojitá a spočtěte $f'(0)$.}\\
\smallskip

\noindent\textbf{4. Nechť $f(x) = \suma \tfrac{1}{n^x}$, $x\in (1,\infty)$. Ukažte, že $f\in\C^1(1,\infty)$.}\\
\smallskip

\noindent\textbf{5. Nechť $f(x) = \suma \tfrac{|x|}{n^2 + x^2}$, $x\in[-1,1]$. Je funkce spojitá? Spočtěte $f'(1/2)$ a $f'(0)$.}\\
\smallskip

\noindent\textbf{6. Nalezn\v{e}te polom\v{e}r konvergence n\'asleduj\'ic\'ich mocninn\'ych \v{r}ad. Ur\v{c}ete oblasti absolutn\'i
konvergence, neabsolutn\'i konvergence a divergence.}\resetpr \pr $\suma \frac{1}{n^p}x^n$ ($p\in\er$) \pr $\suma \frac{(3+(-1)^n)^n}{n}x^n$ \pr $\suma \frac{x^n}{a^n + b^n}\;(a,b>0)$\\
\smallskip

\noindent\textbf{7. Se\v{c}t\v{e}te \v{r}ady v\v{s}ude na intervalu konvergence:}\\ \resetpr \pr $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{4n+5}}{n!}$
\pr $\suma nx^n$
\pr $\suma \frac{x^n}{n(n+1)}$\\
\smallskip

\noindent\textbf{8. Se\v{c}t\v{e}te \v{r}ady:}\\ \resetpr
\pr $\suma \frac{(-1)^n}{n}$
\pr $\suma \frac{n}{2^n}$\\
\smallskip

\noindent\textbf{9. Nalezněte maximální řešení následujících diferenciálních rovnic s počáteční podmínkou:}\\ \resetpr \pr $y'(x)=3y(x/2)$, $y(0)=1$
\pr $y''-xy=0$, $y(0)=y'(0)=1$\\
\medskip

\noindent\centerline{\MakeUppercase{i. stejnoměrná konvergence posloupností a řad funkcí - výsledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr posloupnost bodově konverguje k funkci $f(x) = 0$ pro $x\in [0,1)$ a $f(x) = 1$ pro $x=1$, posloupnost není stejnoměrně konvergentní \pr $f_n\to 0$, posloupnost není stejnoměrně konvergentní \pr $f_n\rightrightarrows 0$
\pr $f_n\to \tfrac{1}{2\sqrt{x}}$, posloupnost není stejnoměrně konvergentní \pr $f_n\rightrightarrows f$, kde $f(x) = 3$ pro $x\in[0,3]$ a $f(x)=x$ pro $x > 3$\\
\textbf{2.}\resetpr \pr řada funkcí je stejnoměrně konvergentní \pr řada funkcí je stejnoměrně konvergentní \pr řada je bodově konvergentní a není stejnoměrně konvergentní\\
\textbf{3.} funkce je spojitá a $f'(0)=\suma (-1)^n\tfrac{\cos 1}{n^{3/2}}$\\
\textbf{5.} funkce je spojitá, $f'(1/2) = \suma \tfrac{16n^2 - 4}{(4n^2 + 1)^2}$, $f'(0)$ neexistuje\\
\textbf{6.}\resetpr \pr R=1; pokud $p > 1$ pak AK pro $|x|\leq 1$ a D jinak; pokud $p\in(0,1]$ pak AK pro $|x| < 1$, K pro $x = -1$ a D pro $x=1$; pokud $p\leq 0$, pak AK pro $|x| < 1$ a D jinak \pr R = 1/4, AK pro $|x| < R$, jinak D \pr R=$\max\{a,b\}$, AK pro $|x|<R$, jinak D\\
\textbf{7.}\resetpr \pr $x^5e^{x^4},\;x\in\er$ \pr $\frac{x}{(x-1)^2},\;x\in(-1,1)$ \pr $\log(\frac{1-x}{x}) - \log(1-x) + 1,\;x\in[-1,1]\setminus\{0\}$, sou\v{c}et je $0$ pro $x = 0$\\
\textbf{8.}\resetpr \pr $-\log 2$ \pr $2$\\
\textbf{9.}\resetpr \pr $y(x) = \sum_{n=0}^\infty \tfrac{3^n}{n!2^{1+\ldots+n}}x^n$, $x\in\er$
\pr $y(x) = 1 + x + \sum_{n=1}^\infty \left(a_{3n}x^{3n} + a_{3n+1}x^{3n+1}\right)$, $x\in\er$ kde $a_{3n} = \tfrac{1}{3.2}\cdots\tfrac{1}{3n(3n-1)}$, $a_{3n+1} = \tfrac{1}{4.3}\cdots\tfrac{1}{(3n+1)3n}$ ($n\in\en$)
\newpage

\centerline{\MakeUppercase{ii. konvergence integrálu}}\ \\
\textbf{1. Ur\v{c}ete, zda Lebesgueovy integr\'aly existuj\'i a zda jsou konvergentn\'i (s parametry $p,q,s\in\er$, $k\in\zet$)}\resetpr
\pr $\int_0^\infty \tfrac{1}{1+x^2} \dx$
\pr $\int_0^\infty e^{-x^2} \dx$
\pr $\int_0^1 \tfrac{1}{\sin x} \dx$
\pr $\int_{1/2}^1 \sqrt{\tfrac{1}{\log x}} \dx$\\
výsledky následujících příkladů budeme dále považovat za ,,zn\'amé integrály\\
\pr $\int_2^\infty \tfrac{1}{x^p(\log x)^q} \dx$
\pr $\int_0^{1/2} \tfrac{1}{x^p(\log 1/x)^q} \dx$
\pr $\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}(\log x)^k \dx$
\pr $\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\dx$\\
\medskip

\noindent\centerline{\MakeUppercase{ii. konvergence integrálu - výsledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr K \pr K \pr existuje, ale nekonverguje \pr K \pr existuje vždy, konverguje pokud $p>1$ a $q\in\er$, nebo $p=1$ a $q>1$ \pr existuje vždy, konverguje pokud $p<1$ a $q\in\er$, nebo $p=1$ a $q>1$ \pr existuje vždy, konverguje pokud $s\in(0,\infty)$ a $k\in\zet$, nebo $s=0$ a $k<-1$ \pr existuje vždy, konverguje pokud $p>0$ a $q>0$

\newpage
\centerline{\MakeUppercase{iii. vícerozměrná integrace}}\ \\
\textbf{1. Pomocí Fubiniovy věty spočtěte míru $\lambda^2(M)$ mno\v{z}iny $M$:}\resetpr
\pr $M$ je omezená křivkami $x=2$, $y=x$, $xy=1$\\
\pr $M$ je omezen\'a k\v{r}ivkami: $2x-y = 0,\quad 2x-y-7=0,\quad x-4y+7=0,\quad x-4y+14=0$\\
\pr $M = \{[x,y]\in\er^2\setsep x>2,\;0 < y < 1/x\}$
\smallskip

\noindent\textbf{2. Pomocí Fubiniovy věty spo\v{c}t\v{e}te $\int_{[3,4]\times [1,2]}\tfrac{1}{(x+y)^2} \dl{2}$}
\smallskip

\noindent\textbf{3. Popište množinu $M\subset\er^2$ jejíž obsah je dán vzorcem $\int_0^2\int_{y^2}^4\dx\dy$, vyjádřete obsah množiny jako integrál kde $x$ je vnější proměnná a výpočtem ověřte platnost Fubiniovy věty}
\smallskip

\noindent\textbf{4. Spočtěte integrál $\int_0^3\int_y^3 e^{x^2} \dx \dy$}
\smallskip

\noindent\textbf{5. Spočtěte míru $\lambda^3(M)$ množiny $M$:}\resetpr \pr $M$ je omezená plochou $z=e^{-x^2}$ a rovinami $y=0$, $y=x$, $x=1$\\
\pr $M$ je omezená plochami $z=6x^2-2xy$, $y=3x-x^2$ a $y=x$\\
\smallskip

\noindent\textbf{6. Spo\v{c}t\v{e}te $\int\int_{M}f(x,y) \dl{2}$:}\resetpr 
\pr $M = \{[x,y]\in\er^2\setsep x^2 + y^2\leq 1\}$;\qquad $f(x,y) = \tfrac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$\\
\pr $M = \{[x,y]\in\er^2\setsep \tfrac{x}{\sqrt{3}}\leq y\leq 2x, x\leq x^2 + y^2\leq 3x\}$;\qquad $f(x,y)=\tfrac{1}{(x^2+y^2)^2}$\\
\smallskip

\noindent\textbf{7. Spo\v{c}t\v{e}te m\'iru $\lambda^2(M)$ mno\v{z}iny $M$:}\ \\ \resetpr 
\pr $M = \{[x,y]\in\er^2\setsep (x^2 + y^2)^2\leq 2a^2(x^2 - y^2)\}$\quad(obsah plochy ohrani\v{c}en\'e lemnisk\'atou)\\
%dale na jine substituce ve 2D
\pr $M = \{[x,y]\in\er^2\setsep 2 < x+y < 3,\;x < y < 3x\}$\\
\pr $M = \{[x,y]\in\er^2\setsep (x+y)^3 < axy,\;x>0,\;y>0\}$ ($a>0$)\\
\smallskip

\noindent\textbf{8. Spo\v{c}t\v{e}te m\'iru $\lambda^3(M)$ mno\v{z}iny $M$:}\quad(v \'uloh\'ach uva\v{z}ujte v\v{s}echny parametry kladn\'e)\\ \resetpr
\pr $M = \{[x,y,z]\in\er^3\setsep \sqrt{x^2+y^2+z^2}\leq r\}$\quad(objem koule)\\
\pr $M = \{[x,y,z]\in\er^3\setsep x^2+y^2+z^2\leq 2az, x^2 + y^2\leq z^2\}$\\
\pr $M = \{[x,y,z]\in\er^3\setsep x^2 + y^2 + z^2\leq R^2,\;x^2 + y^2\leq Rx\}$\quad(objem Vivianiho ok\'enka)\\
\pr $M = \{[x,y,z]\in\er^3\setsep (R - \sqrt{x^2 + y^2})^2 + z^2\leq a^2\}$, $R>a$\quad(objem anuloidu)\\
\pr $M = \{[x,y,z]\in\er^3\setsep \tfrac{y^2}{2} + \tfrac{z^2}{3}\leq \tfrac{1}{x^2+2x+3}\}$\\
\smallskip

\noindent\textbf{9. Spo\v{c}t\v{e}te $\int\int\int_{M} z^2 \dl{3}$, kde $M = \{[x,y,z]\in\er^3\setsep x^2 + y^2 + z^2\leq R^2,\;x^2 + y^2 + z^2\leq 2Rz\}$ ($R>0$)}\\
\smallskip

\noindent\textbf{10. Dokažte, že $\int_0^\infty e^{-x^2} \dx = \sqrt{\pi}/2$} (tzv. Laplace\r{u}v integ\'al, dále jej budeme považovat za ,,zn\'amý integrál)\\%pomoci polarnich souradnic - viz. LM 5.84
\smallskip

\noindent\textbf{11. Pomoc\'i Fubiniovy v\v{e}ty spo\v{c}t\v{e}te hodnoty n\'asleduj\'ic\'ich Lebesgueov\'ych integr\'al\r{u}}\\ \resetpr
\pr $\displaystyle\int_0^\infty \frac{\arctg(ax) - \arctg(bx)}{x} \dx$\quad($ab > 0$)
\pr $\displaystyle\int_0^\infty \frac{e^{-ax^2} - e^{-bx^2}}{x^2} \dx$\quad($a\geq0$,\;$b\geq0$)\\
\pr $\displaystyle\int_0^\infty \frac{\log(1+a^2x^2) - \log(1+b^2x^2)}{x^2} \dx$\quad($a,b\in\er$)\\
\medskip

\centerline{\MakeUppercase{iii. vícerozměrná integrace - v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr $3/2 - \log 2$ \pr $7$ \pr $+\infty$\quad
\textbf{2.}\resetpr \pr $\log \tfrac{25}{24}$\\
\textbf{3.} $M$ je ohraničena křivkami $x=4$, $y=0$ a $y^2=x$, máme $\int_0^2\int_{y^2}^4\dx\dy = \int_0^4\int_0^{\sqrt{x}}\dy\dx = \tfrac{16}{3}$\\
\textbf{4.} $\tfrac{1}{2}(e^9 - 1)$
\textbf{5.}\resetpr \pr $\tfrac{1}{2}(1 - \tfrac{1}{e})$ \pr $\tfrac{16}{3}$
\textbf{6.}\resetpr \pr $2\pi$ \pr $\tfrac{4}{9}\left(2 - \tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$
\textbf{7.}\resetpr \pr $2a^2$ \pr $5/8$ \pr $a^2/60$\\
\textbf{8.}\resetpr \pr $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ \pr $a^3\pi$ \pr $\tfrac{2}{3}R^3(\pi - \tfrac{4}{3})$ \pr $2\pi^2Ra^2$ \pr $\pi^2\sqrt{3}$\\
\textbf{9.} $\pi R^5 \tfrac{59}{480}$\quad
\textbf{11.}\resetpr \pr $\sgn a\cdot\tfrac{\pi}{2}\log(a/b)$ \pr $\sqrt{\pi b} - \sqrt{\pi a}$ \pr $\pi(|a|-|b|)$

\newpage

\centerline{\MakeUppercase{iv. integrace posloupnost\'i a \v{r}ad funkc\'i}}\ \\
\textbf{1. Spo\v{c}t\v{e}te n\'asleduj\'ic\'i limity: }\resetpr
\pr $\lp \int_0^1 \tfrac{x^n}{n} \dx$
\pr $\lp \int_0^1 \tfrac{nx}{1+n^2x^2} \dx$
\pr $\lp \int_0^1 \frac{n^{3/2}x}{1 + n^2x^2}$\\
\pr $\lp \int_0^\infty \frac{x^n}{1 + x^{2n}} \dx$
\pr $\displaystyle\lim_{a\to \infty}\int_0^\infty e^{-ax^2} \dx$
\pr $\displaystyle\lim_{a\to 0^+}\int_0^\infty e^{-ax^2} \dx$\\
\smallskip

\noindent\textbf{2. V n\'asleduj\'ic\'ich p\v{r}\'ikladech rozvi\v{n}te integrovanou funkci v \v{r}adu, ov\v{e}\v{r}te mo\v{z}nost z\'am\v{e}ny \v{r}ady a integr\'alu a vyj\'ad\v{r}ete integr\'al jako \v{c}\'iselnou \v{r}adu.}\\ \resetpr
\pr $\int_0^1 \tfrac{\log(1-x)}{x} \dx$
\pr $\int_0^1 \tfrac{\log(1+x)}{x} \dx$
\pr $\int_0^\infty \tfrac{x}{e^x-1} \dx$
\pr $\int_0^\infty e^{-x}\cos\sqrt{x} \dx$
\pr $\int_0^1 \tfrac{x^{p-1}}{1 + x^q} \dx\;\; (p,q > 0)$
\pr $\int_0^\infty \tfrac{1}{e^{8x} + 1} \dx$\\
\medskip

\centerline{\MakeUppercase{iv. integrace posloupnost\'i a \v{r}ad funkc\'i}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr 0 \pr 0\pr 0 \pr 0 \pr 0 \pr $\infty$\\
\textbf{2.}\resetpr \pr $- \sumaO \tfrac{1}{(n+1)^2}$ \pr $\sumaO \tfrac{(-1)^n}{(n+1)^2}$ \pr $\sumaO \tfrac{1}{(n+1)^2}$ \pr $\sumaO (-1)^n\tfrac{n!}{(2n)!}$ \pr $\sumaO \tfrac{(-1)^n}{p+nq}$ \pr $\sumaO (-1)^n \tfrac{1}{8(n+1)} \stackrel{(e)}{=} \tfrac{\log 2}{8}$\\
\bigskip

\bigskip

\centerline{\MakeUppercase{v. integr\'aly z\'avisl\'e na parametru}}\ \\
\textbf{1. Ur\v{c}ete defini\v{c}n\'i obor n\'asleduj\'ic\'ich re\'aln\'ych funkc\'i (= mno\v{z}inu v\v{s}ech $a\in\er$, \v{z}e $F(a)\in\er$) a doka\v{z}te, \v{z}e jsou na sv\'em defini\v{c}n\' im oboru spojit\'e.}\\[5pt] \resetpr
\pr $F(a) = \int_0^\infty \tfrac{e^{-ax}}{1+x^2} \dx$
\pr $F(a) = \int_0^\infty e^{-ax} \dx$
\pr $F(a) = \int_0^1 \log(x^2 + a^2) \dx$\\
\smallskip

\noindent\textbf{2. Rozhodn\v{e}te, pro kter\'e hodnoty parametr\r{u} konverguj\'i n\'asleduj\'ic\'i Lebesgueovy
integr\'aly a spo\v{c}t\v{e}te jejich hodnoty pomoc\'i v\v{e}ty o derivov\'an\'i integr\'al\r{u}
z\'avisl\'ych na parametru.}\\[5pt] \resetpr
	%\pr $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{\arctg(a\tg x)}{\tg x} \dx$
	\pr $\displaystyle\int_0^\infty \frac{1 - e^{-ax}}{xe^x} \dx$
	\pr $\displaystyle\int_0^\infty e^{-ax}\frac{\sin bx}{x} \dx$
	%\pr $\displaystyle\int_0^\pi \frac{\log(1+a\cos x)}{\cos x} \dx$\\
	%\pr $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \frac{\arctg(a\sin x)}{\sin x} \dx$
	%\pr $\displaystyle\int_0^\infty e^{-ax^2}\cos(2x)$
	%pripadne jeste zaradit priklad 8.5 z prednasky z miry (soubor tmi13a.pdf)
\smallskip

\noindent\textbf{3. Načrtněte grafy funkce $F(a) = \int_0^\infty \tfrac{e^{-ax^2}}{1+x^2}$ (tj. spočtěte první a druhou derivaci, určete monotonii a konvexitu-konkávitu + limity v krajních bodech definičního oboru)}\\
\medskip

\centerline{\MakeUppercase{v. integr\'aly z\'avisl\'e na parametru - výsledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr defini\v{c}n\'i obory: \pr $[0,\infty)$ \pr $(0,\infty)$ \pr $\er$\\
\textbf{2.}\resetpr %\pr $\sgn a\cdot \tfrac \pi2\cdot \log(1 + |a|),\; a\in\er$
	\pr $\log(a + 1),\;a\in(-1,\infty)$
	\pr $\arctg \tfrac ba,\; a>0$, $b\in\er$. Lze tak\'e zapsat: $-\arctg \tfrac ab + \tfrac \pi2$ pro $a,b>0$; $-\arctg \tfrac ab - \tfrac \pi2$ pro $a>0$, $b<0$; $0$ pro $a>0$, $b=0$ %\pr $\pi\arcsin a,\; a\in[-1,1]$ \pr $\tfrac \pi2 \log(a + \sqrt{1+a^2}),\; a\in\er$ \pr $\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-a^2}$
	\\
\textbf{3.} bude ukázáno na přednášce

\newpage

\centerline{\MakeUppercase{vi. počítání integrálů pomocí funkcí $\Gamma$ a $B$}}\ \\
\textbf{1.Dokažte platnost následujících vzorců:} (tyto vzorce můžete používat v dalších příkladech)\resetpr \\ \pr $B(p,q) = 2\int_0^{\pi/2} \cos^{2p-1}x\sin^{2q-1}x \dx$ \pr $B(p,q) = \int_0^\infty \frac{x^{p-1}}{(1+x)^{p+q}} \dx$
\smallskip

\noindent\textbf{2. Spočtěte hodnotu následujících integrálů:}\resetpr
\pr $\int_0^\infty x^4 e^{-x^2} \dx$
\pr $\int_0^{\pi/2} \sin^4x \cos^6 x \dx$\\
\pr $\int_0^\infty \tfrac{x^{p-1}}{1+x^n} \dx$ ($0<p<n$, $n\in\en$)
\pr $\int_0^1 \tfrac{1}{\sqrt{1-x^4}} \dx$
\pr $\int_{-\infty}^\infty \tfrac{e^{px}}{1 + e^{nx}}$ ($0<p<n$, $n\in\en$)\\
\smallskip

\noindent\textbf{3. Spočtěte hodnotu následujících limit (s použitím Stirlingova vzorce):}\resetpr \\
\pr $\lp \sqrt[n]{\frac{(2n)!}{(n!)^2}}$
\pr $\lp \tfrac{n!}{\sqrt{n}\Gamma(n+1/2)}$\\
\medskip

\centerline{\MakeUppercase{vi. počítání integrálů pomocí funkcí $\Gamma$ a $B$ - výsledky}}\ \\
\textbf{2.}\resetpr \pr $\tfrac{3}{8}\sqrt{\pi}$ \pr $\tfrac{3}{2^9}\pi$ \pr $\tfrac{\pi}{n\sin \tfrac{\pi p}{n}}$ \pr $\tfrac{(\Gamma(1/4))^2}{4\sqrt{2\pi}}$ \pr $\tfrac{\pi}{n\sin \tfrac{\pi p}{n}}$ \\
\textbf{3.}\resetpr \pr $4$ \pr $2\pi$

\newpage

\centerline{\MakeUppercase{fourierovy \v{r}ady}}\ \\
\textbf{1. Rozložte ve Fourierovy řady periodické prodloužení následujících funkcí a určete jejich součet}\\
\resetpr \pr $f(x)=x,\quad x\in(-\pi,\pi)$
\pr $f(x)=x^2,\quad x\in(0,2\pi)$ (jako důsledek zkuste odvodit, že $\suma \tfrac{1}{n^2} = \tfrac{\pi^2}{6}$)\\
\pr $f(x) = \begin{cases}0& x\in (-5,0]\\ 3& x\in (0,5)\end{cases}$
\pr $f(x) = |x|,\quad x\in[-2,2]$\\
\smallskip

\noindent\textbf{2. Pomocí Parsevalovy rovnosti a Fourierovy řady funkce $f(x) = |x|,\quad x\in[-2,2]$ (viz. jeden z příkladů výše) určete součet řady $\suma \tfrac{1}{(2n-1)^4} = \tfrac{1}{1^4} + \tfrac{1}{3^4} + \tfrac{1}{5^4}+\ldots$}\\
\smallskip

\noindent\textbf{3. Pomocí Parsevalovy rovnosti a Fourierovy řady funkce $f(x) = x^2,\quad x\in[-\pi,\pi]$ určete součet řady $\suma \tfrac{1}{n^4}$}\\
\smallskip

\noindent\textbf{4. Napište Fourierovu řadu funkce $f(x) = \begin{cases} 0& x\in [-\pi,-\tfrac{\pi}{6}]\cup[\tfrac{\pi}{6},\pi]\\ \cos(3x)& x\in(-\tfrac{\pi}{6},-\tfrac{\pi}{6})\end{cases}$, určete její součet a pomocí Parsevalovy rovnosti odvoďte součet řady $\sum_{n=1,n\neq 3}^\infty \frac{\cos^2 \tfrac{n\pi}{6}}{(9-n^2)^2}$.}\\
\smallskip

\noindent\textbf{5. Pomocí věty o integraci Fourierovy řady nalezněte Fourierovu řadu funkce $g(x)=x^2,\quad x\in(-\pi,\pi)$ pomocí Fourierovy řady funkce $f(x) = x,\quad x\in(-\pi,\pi)$ (viz. jeden z příkladů výše) a pokuste se odvodit součet řady $\sum_{n=1}^\infty \tfrac{(-1)^{n+1}}{n^2}$.}\\
\smallskip

%\noindent\textbf{6. Pomocí Fourierových řad nalezněte maximální řešení následujících ODR:}
%\resetpr \pr 
\bigskip

\noindent\centerline{\MakeUppercase{fourierovy \v{r}ady - v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr $\sum_{n=1}^\infty \tfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$, řada konverguje k funkci $f$
\pr $\tfrac{4\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty(\tfrac{4}{n^2}\cos(nx) - \tfrac{4\pi}{n}\sin(nx))$, na intervalu $(0,2\pi)$ řada konverguje k funkci $f$, v bodě $x=0$ má řada součet $2\pi^2$
\pr $\tfrac{3}{2} + \suma \tfrac{3(1-(-1)^n)}{n\pi}\sin\tfrac{n\pi x}{5}$, na intervalech $(-5,0)$ a $(0,5)$ řada konverguje k funkci $f$, v bodech $x=-5$, $x=0$ a $x=5$ má součet $3/2$
\pr $1 + \suma \tfrac{4}{n^2\pi^2}((-1)^n-1)\cos\tfrac{n\pi x}{2}$, řada konverguje k funkci $f$\\
\smallskip

\noindent\textbf{2.} $\suma \tfrac{1}{(2n-1)^4} = \tfrac{\pi^4}{96}$\\
\textbf{3.} $\tfrac{\pi^4}{90}$\\
\textbf{4.} $\tfrac{1}{3\pi} + \tfrac{1}{6}\cos(3x) + \sum_{n=1,n\neq 3}\tfrac{6\cos(n\pi/6)}{(9-n^2)\pi}\cos(nx)$, řada konverguje k funkci $f$, $\sum_{n=1,n\neq 3}^\infty \frac{\cos^2 \tfrac{n\pi}{6}}{(9-n^2)^2} = \tfrac{5\pi^2}{(36)^2} - \tfrac{1}{18\cdot 9}$\\
\textbf{5.} $\tfrac{\pi^2}{3} + \suma \tfrac{4(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$, $\sum_{n=1}^\infty \tfrac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \tfrac{\pi^2}{12}$

\end{document}