\documentclass[11pt,notitlepage]{report}

\frenchspacing % aktivuje použití některých českých typografických pravidel

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} % nastavuje použité kódování, uživatelé Windows zamění utf8 za cp1250
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,amscd,mathrsfs,enumerate,multicol,color,url}%,showkeys,layout}
\usepackage{verbatim} %pro vynechavani comment
\usepackage[top=1cm, left=1cm, right=1cm]{geometry} % nastavení dané velikosti okrajů
\pagestyle{empty}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defin}{Definice}

\def\ce{\mathbb C} 
\def\en{\mathbb N}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\qe{\mathbb Q} 
\def\er{\mathbb R}
\def\R{\er}
\def\N{\en}
\def\setsep{:\;}
\def\nec{Nech\v t\ }
\def\eqdef{\stackrel{\text{\tiny def}}{=}}
\def\Mod{\operatorname{mod}}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\newcommand\lx[1][0]{\displaystyle\lim_{x\to #1}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \tg {\operatorname{tg}}
\def \sgn {\operatorname{sgn}}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def \arccotg {\operatorname{arccotg}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\def \sumad {\sum_{n=2}^\infty}
\def \dx {\, \mathrm{d} x}
\def \P {\mathcal{P}}
\newcommand\pdx[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial x}}
\newcommand\pdy[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial y}}
\newcommand\pdz[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial z}}
\def\x{\mathbf{x}}
\def\m{\mathbf{m}}

\newtheorem*{thm}{V\v{e}ta}

\newcounter{Priklad}
\addtocounter{Priklad}{1}
\newcommand{\pr}{\quad\alph{Priklad})\;\addtocounter{Priklad}{1}}
\newcommand{\resetpr}{\setcounter{Priklad}{1}}

\title{Cvi\v{c}en\'i - Matematick\'a anal\'yza 1, MFF}  % tyto dvě položky jsou zde v podstatě formálně, ve skutečnosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}	
\centerline{\MakeUppercase{i. hled\'an\'i primitivn\'i funkce, \'uvod}}\ \\
\textbf{Vyj\'ad\v{r}ete primitivn\'i funkce na maxim\'aln\'ich intervalech existence} \\[10pt]
\textbf{1. P\v{r}\'iklady na integrov\'an\'i "p\v{r}\'imo":}\\
a) $\int x^9 + \frac{1}{x} - 5e^x + x^{-3} - \cos{x} \dx$ \quad
b) $\int 2e^{3x} - \sqrt[5]{5-x} \dx$ \quad
c) $\int \frac{x^2 + 3x + 6}{x^4} \dx$\quad
d) $\int x(1-x)^{10} \dx$\\[10pt]
\textbf{2. P\v{r}\'iklady na integrov\'an\'i pomoc\'i substituce:}\\ \resetpr
\pr $\int \tg{x} \dx$ \quad
\pr $\int \frac{x^2}{\cos^2{x^3}} \dx$ \quad
\pr $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+5}} \dx$ \quad
\pr $\int \frac{1}{x\log{x}\log(\log{x})} \dx$ \\[10pt]
\textbf{3. Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i:}\\
a) $\int (2^x + 3^x)^2 \dx$\quad
b) $\int \frac{1}{\sqrt{2 - 5x}} \dx$\quad
c) $\int \frac{x^3}{x^8 + 1} \dx$\\[10pt]
\textbf{4. P\v{r}\'iklady na integrov\'an\'i "per partes":}\\
a) $\int x^3 \sin{x} \dx$ \quad
b) $\int e^x \cos{x} \dx$ \quad
c) $\int \log{x} \dx$ \\[10pt]
\textbf{5. P\v{r}\'iklady, kde se mus\'i funkce "lepit":}\\
a) $\int |x| \dx$ \quad
b) $\int |\cos{x}| \dx$ \quad
f) $\int \max\{x,x^2\} \dx$\\[10pt]
\textbf{6. Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i:}\\
a) $\int \frac{2^{2x}}{9^x - 4^x} \dx$\quad
b) $\int \left(\frac{\log{x}}{x}\right)^2 \dx$\quad
c) $\int x\sin{\sqrt{x}} \dx$\\[30pt]

Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i lze nal\'ezt nap\v{r}\'iklad v sekci III zde:\\ \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/archiv/MFF/MA/ma2-2016-17.pdf}\\[30pt]

\centerline{\MakeUppercase{ii. hled\'an\'i primitivn\'i funkce, \'uvod - v\'ysledky}}\ \\
V\'ysledky jsou uvedeny v\v{z}dy "a\v{z} na konstantu", defini\v{c}n\'im oborem primitivn\'i funkce jsou v\v{z}dy maxim\'aln\'i otev\v{r}en\'e intervaly defini\v{c}n\'iho oboru:\\
  \textbf{1.}
  	a) $\frac{x^{10}}{10} + \log{|x|} - 5e^x - \frac{1}{2x^2} - \sin{x}$ na $(-\infty,0)$ a $(0,\infty)$\quad
  	b) $\frac 23 e^{3x} + \frac{5(5-x)^{\frac 65}}{6},\; x\in\er$\\
  	c) $-\frac{1}{x} - \frac{3}{2x^2} - \frac{2}{x^3}$ na $(-\infty,0)$ a $(0,\infty)$\quad
		d) $-\frac{(1-x)^{11}}{11} + \frac{(1-x)^{12}}{12}$\\[10pt]  
  \textbf{2.}\resetpr
  	\pr $-\log|\cos{x}|$ na ka\v{z}d\'em z interval\r{u} $(-\frac \pi2 + k\pi, \frac \pi2 + k\pi), k\in\zet$\\
  	\pr $\frac 13 \tg{x^3}$ na ka\v{z}d\'em z interval\r{u} $(\sqrt[3]{- \frac \pi2 + k\pi}, \sqrt[3]{\frac \pi2 + k\pi}), k\in\zet$\quad
  	\pr $\sqrt{x^2 + 5},\; x\in\er$\quad  	
  	\pr $\log|\log(\log{x})|$ na $(1,e)$ a $(e,\infty)$\\[10pt]
	\textbf{3.}	
		a) $\frac{4^x}{\log{4}} + 2\frac{6^x}{\log{6}} + \frac{9^x}{\log{9}},\; D_f = \er$
		b) $ -\frac{2}{5}\sqrt{2 - 5x},\; D_f = (-\infty,\frac 25)$\quad
		c) $\frac 14\arctg(x^4),\; D_f = \er$\\[10pt]
	\textbf{4.}
  	a) $-x^3\cos{x} + 3x^2\sin{x} + 6x\cos{x} - 6\sin{x},\; x\in\er$\quad
  	b) $\frac 12(e^x\sin{x} + e^x\cos{x}),\; x\in\er$\quad
		c) $x\log{x} - x,\; x\in(0,\infty)$\\[10pt]
		\textbf{5.}
  	a) $\frac 12 |x|x,\; x\in\er$\\  	
  	b) $F(x) = \left\{
  		\begin{array}{ll} \sin{x} + 4k & x\in[-\frac \pi2 + 2k\pi, \frac \pi2 + 2k\pi], k\in\zet\\
  		
			-\sin{x}+4k+2 & x\in(\frac \pi2 + 2k\pi, 3\frac \pi2 + 2k\pi), k\in\zet\\ \end{array} \right.$\qquad
		f) $F(x) = \left\{ 
  		\begin{array}{ll} \frac {x^3}{3} & x\in(-\infty,0)\\
			 \frac {x^2}{2}& x\in[0,1]\\
			 \frac {x^3}{3} + \frac 16& x\in(1,\infty) \end{array} \right.$\\[10pt]
  \textbf{6.}  	
		a) $-\frac{1}{2\log{\frac 23}}\log|1 - (\frac 23)^{2x}|,\; D_f = \er\setminus\{0\}$\quad
		b) $-\frac 1x(\log^2x + 2\log{x} + 2),\; D_f = (0,\infty)$\quad
		c) $2(6-x)\sqrt{x}\cos{\sqrt{x}} - 6(2-x)\sin{\sqrt{x}},\; D_f = (0,\infty)$\\[10pt]
		\newpage
		\centerline{\MakeUppercase{ii. hled\'an\'i primitivn\'i funkce, pokra\v{c}ov\'an\'i}}\ \\
\textbf{Vyj\'ad\v{r}ete primitivn\'i funkce na maxim\'aln\'ich intervalech existence} \\[10pt]
\textbf{1.}\resetpr
\pr $\int \frac{5x^3 + 3x^2 - x - 1}{x^2 + 2x + 1} \dx$
\pr $\int \frac{1}{(2x+3)(3x+2)(x+1)} \dx$
\pr $\int \frac{x^2 + 3x - 2}{(x-1)(x^2+x+1)^2} \dx$\\[5pt]
\textbf{2.}\resetpr
\pr $\int \frac{1}{e^{2x} + e^x - 2} \dx$
%\pr $\int \frac{1}{1+e^{x/2} + e^{x/3} + e^{x/6}} \dx$
\pr $\int \frac{2\log^2(x) + 3}{x\log^4(x) - x\log^2(x) - 6x} \dx$\\[5pt]
\textbf{3.}\resetpr
\pr $\int \frac{1}{\sin{x} + \tg{x}} \dx$
\pr $\int \frac{\tg^2x + 1}{\sin^2x + \sin{x}\cos{x}} \dx$\\[5pt]
\textbf{4.}\resetpr
\pr $\int \frac{1}{1 + \sqrt{x}} \dx$
\pr $\int \frac{1}{1+\sqrt{x^2+2x+2}} \dx$
\pr $\int \frac{1}{(x-1)\sqrt{x^2-3x+2}} \dx$\\[5pt]
\textbf{5. P\v{r}eve\v{d}te ``$\int \sqrt{x^2 - 3x + 1} \dx$'' na integr\'al z racion\'aln\'i funkce pomoc\'i n\'asleduj\'ic\'ich substituc\'i:}\resetpr \pr $t = \sqrt{x^2 - 3x + 1} - x$ \pr ``$t = \sqrt{\frac{x-x_1}{x-x_2}}$''\\[5pt]
\textbf{6. Uk\'azkov\'e p\v{r}\'iklady k prvn\'imu z\'apo\v{c}tov\'emu testu:}\resetpr
\pr $\int \frac{e^{5x}}{e^{2x}+1} \dx$
\pr $\int (\cos x)(\log \sin x) \dx$
\pr $\int \frac{1}{\cos x} \dx$\\
\pr P\v{r}eve\v{d}te ``$\int \frac{1}{x}\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \dx$'' na integr\'al z racion\'aln\'i funkce
\pr P\v{r}eve\v{d}te ``$\int \frac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{x^2} \dx$'' na integr\'al z racion\'aln\'i funkce\\[20pt]

Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i lze nal\'ezt nap\v{r}\'iklad v sekci IV zde:\\ \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/archiv/MFF/MA/ma2-2015-16.pdf}\\
a tak\'e v sekc\'ich V, VI, VIII zde:\\
\url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/data/ma215-cv.pdf}\\[20pt]

		\centerline{\MakeUppercase{ii. hled\'an\'i primitivn\'i funkce, pokra\v{c}ov\'an\'i - v\'ysledky}}\ \\
V\'ysledky jsou uvedeny v\v{z}dy "a\v{z} na konstantu", defini\v{c}n\'im oborem primitivn\'i funkce jsou v\v{z}dy maxim\'aln\'i otev\v{r}en\'e intervaly defini\v{c}n\'iho oboru:\\
		\textbf{1.}\resetpr 
		\pr $5\frac{x^2}{2} - 7x + 8\log{|x + 1|} + 2\frac{1}{x+1},\; D_f = \er\setminus\{-1\}$\\
		\pr $\frac{1}{6}\left(\frac {12}{5}\log{|x + \frac 32|} + \frac {18}{5}\log{|x + \frac 23|} - 6\log{|x + 1|}\right),\; D_f = \er\setminus\{-\frac{3}{2}, -1, -\frac{2}{3}\}$\\
		\pr $\frac{5x+2}{3(x^2 + x + 1)} + \frac{2}{9}\log{|x-1|} - \frac{1}{9}\log{(x^2 + x + 1)} + \frac{8}{9\sqrt{3}}\arctg{(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})},\; D_f = \er\setminus\{1\}$\\[5pt]	
	\textbf{2.}\resetpr		
		\pr $-\frac x2 + \frac 13\log{|e^x-1|} + \frac 16\log(e^x+2),\;D_f = \er\setminus\{0\}$		
		\pr $\frac{1}{5\sqrt{2}}\arctg(\log(x)/\sqrt{2}) + \frac{9}{10\sqrt{3}}\log\left|\frac{\log(x) - \sqrt{3}}{\log(x) + \sqrt{3}}\right|,\;D_f = (0,\infty)\setminus\{e^{\sqrt{3}},e^{-\sqrt{3}}\}$\\[5pt]
	\textbf{3.}\resetpr
		\pr $\frac{1}{4}\log{\left|\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}\right|} - \frac{1}{2(\cos{x} + 1)},\; D_f = \er\setminus\bigcup_{k\in\zet}\{k\pi,\frac \pi2 + k\pi\}$ \texttt{[d\'a se \v{r}e\v{s}it substituc\'i $t = \cos{x}$]}\\
		\pr $\tg{x} + \log{\left|\frac{\tg{x}}{(\tg{x} + 1)^2}\right|},\; D_f = \er\setminus\bigcup_{k\in\zet}\{k\pi,\frac \pi2 + k\pi,3\frac \pi4 + k\pi\}$ \texttt{[d\'a se \v{r}e\v{s}it substituc\'i $t = \tg{x}$]}\\
			\textbf{4.}\resetpr
		\pr $2\sqrt{x} - 2\log(1 + \sqrt{x}),\; D_f = (0,\infty)$
		\pr $\frac{2}{x-\sqrt{x^2+2x+2}} - \log(\sqrt{x^2+2x+2} - x - 1),\;D_f = \er$\\
		\pr $2\sgn(x-1)\sqrt{\frac{x-2}{x+1}},\;D_f = (-\infty,1) \cup (2,\infty)$\\[5pt]
			\textbf{5.}\resetpr \pr $\frac{-2(t^2+3t+1)^2}{(2t+3)^3}$ \pr $x_1 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$. Pak na intervalu $(-\infty,x_2)$ vede na integr\'al z $\frac{2t^2(x_1-x_2)^2}{(t^2-1)^3}$; na intervalu $(x_1,\infty)$ vede na integr\'al z $-\frac{2t^2(x_1-x_2)^2}{(t^2-1)^3}$.\\[5pt]
		\textbf{6.}\resetpr
		\pr $\frac{1}{3}e^{3x} - e^x + \arctg e^x$ na $\er$
		\pr $\sin x(\log(\sin x) - 1)$ na ka\v{z}d\'em z interval\r{u} $(0,\pi)+2k\pi$
		\pr $\frac{1}{2}\log\left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|$ na ka\v{z}d\'em z interval\r{u} $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})+k\pi$
		\pr nap\v{r}\'iklad po substituci ``$t=\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$'' vede na intervalech $(0,1)$ a $(1,\infty)$ na integr\'al z $\frac{-4t^2}{(1+t^2)(t^2-1)}$
		\pr nap\v{r}\'iklad po substituci ``$t=\sqrt{x^2+x+1}-x$'' vede na intervalech $(\frac{1}{2},1)$ a $(1,\infty)$ na integr\'al z $\frac{-2(t^2-t+1)^2}{(2t-1)(1-t^2)^2}$
		\newpage
		\centerline{\MakeUppercase{iii. hled\'an\'i primitivn\'i funkce, slo\v{z}it\v{e}j\v{s}\'i p\v{r}\'iklady}}\ \\
		\textbf{Vyj\'ad\v{r}ete primitivn\'i funkce na maxim\'aln\'ich intervalech existence} \\[10pt]
	\textbf{1.}\resetpr
		\pr $\int \frac{1}{1+\sin^2 x} \dx\;\text{na intervalu $(0,\pi)$}$
		\pr $\int \frac{1}{\sin^2x + \sin x\cos x + \cos^2x} \dx$
		\pr $\int x\sqrt[3]{2x+3} \dx$\\[20pt]
		\centerline{\MakeUppercase{iii. hled\'an\'i primitivn\'i funkce, slo\v{z}it\v{e}j\v{s}\'i p\v{r}\'iklady - v\'ysledky}}\ \\
		V\'ysledky jsou uvedeny v\v{z}dy "a\v{z} na konstantu", defini\v{c}n\'im oborem primitivn\'i funkce jsou v\v{z}dy maxim\'aln\'i otev\v{r}en\'e intervaly defini\v{c}n\'iho oboru:\\
	\textbf{1.}\resetpr
	 \pr $F(x) = \begin{cases} \frac{\arctg(\sqrt{2}\tg x)}{\sqrt{2}}, \quad x\in (0,\frac{\pi}{2}),\\
		\frac{\arctg(\sqrt{2}\tg x)}{\sqrt{2}} + 2\frac{\pi}{2\sqrt{2}}, \quad x\in (\frac{\pi}{2},\pi).
		\end{cases}$\\
	 \pr $F(x) = \begin{cases} \frac{2}{\sqrt{3}}\arctg\frac{2\tg x + 1}{\sqrt{3}} + \frac{2k\pi}{\sqrt{3}}, \quad x\in (-\frac{\pi}{2} + k\pi,\frac{\pi}{2} + k\pi), k\in\zet,\\
	\frac{(2k+1)\pi}{\sqrt{3}},\quad,x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k\in\zet.
		\end{cases}$
		\pr $\frac{3}{28}(2x+3)^{7/3} - \frac{9}{16}(2x+3)^{4/3}, x\in \er$\\[20pt]
		\centerline{\MakeUppercase{iv. newton\r{u}v integr\'al}}\ \\
\textbf{Vypo\v{c}t\v{e}te n\'asleduj\'ic\'i integr\'aly}\\ \resetpr
	\textbf{1.}
	\pr $\int_0^2 |1-x| \dx$
	\pr $\int_0^\infty \frac{1}{x^2 + 3x + 2} \dx$
	\pr $\int_0^{100\pi}\sqrt{1-\cos 2x} \dx$
	\pr $\int_0^{\log 2} xe^{-x} \dx$
	\pr $\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{(x+1)^3}}$\\
	\pr $\int_0^{5\pi} \frac{1}{\sin^2x + 2\cos^2x} \dx$
	\pr $\int_0^{6\pi} x\frac{\sin(x^2)}{2+\sin(x^2)} \dx$\\[20pt]
	
	Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i lze nal\'ezt nap\v{r}\'iklad v sekci V zde:\\ \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/archiv/MFF/MA/ma2-2016-17.pdf}\\
a tak\'e v sekc\'ich VII, IX zde:\\
\url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/data/ma215-cv.pdf}\\[20pt]

		\centerline{\MakeUppercase{iv. newton\r{u}v integr\'al - v\'ysledky}}\ \\ \resetpr
	\textbf{1.}
	\pr $1$
	\pr $\log 2$
	\pr $200\sqrt{2}$
	\pr $\frac{1-\log 2}{2}$
	\pr $\pi$
	\pr $5\frac{\sqrt{2}}{2}\pi$\\
	\pr $57\pi(1 - 2\frac{\sqrt{3}}{3}) + \frac{\sqrt{3}\pi}{9} + \arctg(\tg(18\pi^2)) - \frac{2\sqrt{3}}{3}\arctg\left(\frac{2\tg(18\pi^2) + 1}{\sqrt{3}}\right)$
	\newpage
\centerline{\MakeUppercase{v. konvergence newtonova integr\'alu}}\ \\
\textbf{1. Vy\v{s}et\v{r}ete konvergenci n\'asleduj\'ic\'ich integr\'al\r{u}}\\ \resetpr
	\pr $\int_0^1 \frac{x^2}{\sqrt[3]{(1-x^2)^5}} \dx$
	\pr $\int_0^1 \frac{\sqrt{x}}{e^{\sin x}-1} \dx$
	\pr $\int_0^{\frac\pi2} \frac{\log\sin x}{\sqrt x} \dx$
	\pr $\int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{x}\log(1+e^x)} \dx$\\[5pt]
\textbf{2. Vy\v{s}et\v{r}ete konvergenci (absolutn\'i i neabsolutn\'i) n\'asleduj\'ic\'ich integr\'al\r{u} v z\'avislosti na parametru $\alpha\in\er$ (d\'ale lze v\'ysledky tohoto cvi\v{c}en\'i pova\v{z}ovat za ``zn\'am\'e fakty''):}\\ \resetpr
	\pr $\int_1^\infty \frac{\sin x}{x^\alpha} \dx$
	\pr $\int_1^\infty \frac{\cos x}{x^\alpha} \dx$\\[5pt]
\textbf{3. Vy\v{s}et\v{r}ete konvergenci (absolutn\'i i neabsolutn\'i) n\'asleduj\'ic\'ich integr\'al\r{u}:}\\ \resetpr
	\pr $\int_0^\infty 2x\cos\left(x^4\right)\dx$
	\pr $\int_1^\infty \frac{\sqrt[4]{e^{1/x^2} - e^{-1/x^2}}}{x+1}\log(x+1) \dx$\\[5pt]
	\textbf{4. Uka\v{z}te, \v{z}e integr\'al $\int_\pi^\infty \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \dx$ je konvergentn\'i, ale integr\'al $\int_\pi^\infty \frac{\sin x}{\sqrt{x} + \sin x} \dx$ je divergentn\'i.}\\[5pt]
	\textbf{5. Uk\'azkov\'e p\v{r}\'iklady k druh\'emu z\'apo\v{c}tov\'emu testu:}\resetpr
	\pr $\int_0^\infty \tfrac{e^{\sin x} - 1}{x^2} \dx$
	\pr $\int_1^{10} \tfrac{1 - \cos(10-x)}{\sqrt{(10-x)^5}\sqrt{x-1}} \dx$\\
	\pr $\int_0^5 \tfrac{\sin x\log x}{x^{3/2}} \dx$
	\pr $\int_{\pi/4}^{\pi/2} \tfrac{\sin(\tg x)}{(\cos^2 x)\tg x} \dx$
	\pr $\int_1^\infty \tfrac{\log(1 + \tfrac{1}{x})}{e^x}$
	\\[20pt]
	
	Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i lze nal\'ezt nap\v{r}\'iklad v sekci VII zde:\\ \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/archiv/MFF/MA/ma2-2016-17.pdf}\\
a tak\'e v sekci X zde:\\
\url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/data/ma215-cv.pdf}\\[20pt]
\centerline{\MakeUppercase{v. konvergence newtonova integr\'alu - v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr diverguje \pr konverguje \pr konverguje \pr konverguje\\
\textbf{2.}\resetpr \pr absolutn\v{e} konverguje $\Leftrightarrow \alpha > 1$, konverguje $\Leftrightarrow \alpha > 0$ \pr absolutn\v{e} konverguje $\Leftrightarrow \alpha > 1$, konverguje $\Leftrightarrow \alpha > 0$\\
\textbf{3.}\resetpr \pr konverguje (neabsolutn\v{e}) \pr absolutn\v{e} konverguje\\
\textbf{5.}\resetpr \pr diverguje \pr konverguje \pr konverguje \pr konverguje (neabsolutn\v{e}) \pr konverguje
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{vi. oby\v{c}ejn\'e diferenci\'aln\'i rovnice prvn\'iho \v{r}\'adu}}\ \\
\textbf{Najd\v{e}te v\v{s}echna maxim\'aln\'i \v{r}e\v{s}en\'i n\'asleduj\'ic\'ich diferenci\'aln\'ich rovnic}\\[5pt]
\textbf{1.}\resetpr
	\pr $y'=\frac{1}{x}\sqrt{1-y^2}$
	\pr $y'=|y|$
	\pr $y'=-\frac{(1+y^2)x}{1+x^2}$
	\pr $xy'=y-x$
	\pr $y' = e^{\tfrac{y}{x}} + \tfrac{y}{x}$\\[5pt]
\textbf{2.}\resetpr
	\pr $y' = \tfrac{2y}{x}$
	\pr $y' - \tfrac{2y}{x}=2x^3$
	\pr $x^3y' - xy = 1$, s po\v{c}\'ate\v{c}n\'i podmn\'inkou $y(1)=e$
	\\[20pt]
	
	Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i lze nal\'ezt nap\v{r}\'iklad zde:\\ \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~barta/pcODR/} a tak\'e v sekc\'ich II, III, V zde:\\
\url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/archiv/s21314l.pdf}\\[20pt]\\[20pt]
\centerline{\MakeUppercase{vi. oby\v{c}ejn\'e diferenci\'aln\'i rovnice prvn\'iho \v{r}\'adu - v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr
\pr Stacion\'arn\'i \v{r}e\v{s}en\'i jsou $y_{s_1}(x)=1$, $x\in(-\infty,0)$; $y_{s_2}(x)=-1$, $x\in(-\infty,0)$; $y_{s_3}(x)=1$, $x\in(0,\infty)$; $y_{s_4}(x)=-1$, $x\in(0,\infty)$. Pro ka\v{z}d\'e $c\in\er$ jsou maxim\'aln\'imi \v{r}e\v{s}en\'imi funkce 
\[
y^1_{c}(x)=\begin{cases} -1 & \qquad x\in(0,e^{-\pi/2-c}]\\
\sin(\log x + c) & \qquad x\in (e^{-\pi/2-c},e^{\pi/2-c})\\
1 & \qquad x \geq e^{\pi/2-c}.\end{cases}
\qquad
y^2_{c}(x)=\begin{cases} -1 & \qquad x\in[-e^{-\pi/2-c},0)\\
\sin(\log x + c) & \qquad x\in (-e^{\pi/2-c},-e^{-\pi/2-c})\\
1 & \qquad x \leq -e^{\pi/2-c}.\end{cases}
\]
\pr Pro ka\v{z}d\'e $K\in\er$ je $y_K(x) = K\exp(\sgn(K)x)$, $x\in \er$ maxim\'aln\'i \v{r}e\v{s}en\'i.
\pr Pro ka\v{z}d\'e $c\geq \pi/2$ jsou maxim\'aln\'im \v{r}e\v{s}en\'im funkce $y^1_c(x) = \tg(c-1/2\log(1+x^2))$, $x\in(\sqrt{\exp(2c-\pi)-1},\sqrt{\exp(2c+\pi)-1})$ a $y^2_c(x) = \tg(c-1/2\log(1+x^2))$, $x\in(-\sqrt{\exp(2c+\pi)-1},-\sqrt{\exp(2c-\pi)-1})$. Pro $c\in(-\pi/2,\pi/2)$ je maxim\'aln\'im \v{r}e\v{s}en\'im funkce $y_c(x) = \tg(c-1/2\log(1+x^2))$, $x\in(-\sqrt{\exp(2c+\pi)-1},\sqrt{\exp(2c+\pi)-1})$.
\pr Pro ka\v{z}d\'e $c\in\er$ jsou maxim\'aln\'im \v{r}e\v{s}en\'i funkce $y^1_c(x)=-x\log|x| + cx$, $x\in(-\infty,0)$ a $y^2_c(x)=-x\log|x| + cx$, $x\in(0,\infty)$
\pr $y(x)=-x\log(-\log|x|+c)$, $x\in(-e^c,0)$ nebo $x\in(0,e^c)$ pro $c\in\er$\\[5pt]
\textbf{2.}\resetpr \pr $y(x)=Kx^2$, $x\in(-\infty,0)$ nebo $x\in(0,\infty)$ ($K\in\er$)
\pr $y(x)=x^4 + Kx^2$, $x\in(-\infty,0)$ nebo $x\in(0,\infty)$ ($K\in\er$)
\pr $y(x)=1-\tfrac{1}{x} + e^2\exp(-\tfrac{1}{x})$, $x\in (0,\infty)$\newpage
\centerline{\MakeUppercase{vi. oby\v{c}ejn\'e diferenci\'aln\'i rovnice druh\'eho \v{r}\'adu}}\ \\
\textbf{1. Vy\v{s}et\v{r}ete line\'arn\'i (ne)z\'avislost funkc\'i}\resetpr
\pr $e^{-x}$ a $e^{-2x}$ \pr $\sin x$ a $\cos x$\\[5pt]
\textbf{2. Ov\v{e}\v{r}te, \v{z}e funkce $x$ a $x^2$ tvo\v{r}\'i fundament\'aln\'i syst\'em \v{r}e\v{s}en\'i rovnice $y'' - \tfrac{2}{x}y' + \tfrac{2}{x^2}y = 0$.}\\[5pt]
\textbf{3. Uva\v{z}ujte rovnici $y'' + y = \tg x$.}
\resetpr \pr Doka\v{z}te, \v{z}e $\{\sin x, \cos x\}$ tvo\v{r}\'i fundament\'aln\'i syst\'em \v{r}e\v{s}en\'i homogenn\'i rovnice na intervalu $(-\pi/2,\pi/2)$ \pr Nalezn\v{e}te obecn\'e \v{r}e\v{s}en\'i rovnice na intervalu $(-\pi/2,\pi/2)$ \pr Nalez\v{e}te \v{r}e\v{s}en\'i spl\v{n}uj\'ic\'i po\v{c}\'ate\v{c}n\'i podm\'inku $y(0)=1$, $\lim_{x\to(\pi/2)^-} y(x) = 0$.\\[5pt]
%\textbf{4. Uva\v{z}ujte rovnici $y'' -2y' + y = \tfrac{e^x}{x}$.}
%\resetpr \pr Doka\v{z}te, \v{z}e $\{e^x, xe^x\}$ tvo\v{r}\'i fundament\'aln\'i syst\'em \v{r}e\v{s}en\'i homogenn\'i rovnice na intervalu $(0,\infty)$ \pr Nalezn\v{e}te obecn\'e \v{r}e\v{s}en\'i rovnice na intervalu $(0,\infty)$ \pr Nalez\v{e}te \v{r}e\v{s}en\'i spl\v{n}uj\'ic\'i po\v{c}\'ate\v{c}n\'i podm\'inku $y(e)=e^e$, $y'(e) = e^e$.\\[5pt]
\textbf{4. Nalezn\v{e}te obecn\'e \v{r}e\v{s}en\'i rovnic}\resetpr 
\pr $y'' - 3y' + 2y = 0$ 
\pr $y'' - 2y' + y = 0$
\pr $y'' - y' + y = 0$
\pr $y'' - 3y' + 2y = 4e^{2x}$
\pr $y'' - 2y' + y = 4e^{2x}$
\\[5pt]
\textbf{5. Nalezn\v{e}te maxim\'aln\'i \v{r}e\v{s}en\'i diferenci\'aln\'ich rovnic s po\v{c}\'ate\v{c}n\'i podm\'inkou}\resetpr
\pr $y'' - y' + y = \cos x - \sin x$, $y(0) = -1$, $y(1)= -\sin(1) - \cos(1)$
\pr $y'' - 4y' = x^2$, $y(0)=2$, $y'(0)=4-\tfrac{1}{32}$
\pr $y'' -2y' + y = \tfrac{e^x}{x}$, $y(e)=e^e$, $y'(e)=e^e$\\[5pt]
\textbf{6. Uk\'azkov\'e p\v{r}\'iklady ke t\v{r}et\'imu z\'apo\v{c}tov\'emu testu:}\resetpr \pr Nalezn\v{e}te obecn\'e \v{r}e\v{s}en\'i rovnice $y'=3x^2(1+y^2)$ \pr Nalezn\v{e}te alespo\v{n} jedno maxim\'aln\'i \v{r}e\v{s}en\'i rovnice $y' + (\sin x) y = -\sin x \cos x$ \pr Nalezn\v{e}te maxim\'aln\'i \v{r}e\v{s}en\'i rovnice $y''-8y'+7y=7x-8$ s po\v{c}\'ate\v{c}n\'i podm\'inkou $y(0)=0$, $y'(0)=7$ \pr Nalezn\v{e}te  obecn\'e \v{r}e\v{s}en\'i rovnice $y''-5y' + 6y = -\tfrac{2e^{4x}}{1+e^{2x}}$.
	\\[20pt]
	
	Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i lze nal\'ezt nap\v{r}\'iklad zde:\\ \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~barta/pcODR/} a tak\'e v sekci VI zde:\\
\url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/archiv/s21314l.pdf}\\[20pt]
	\centerline{\MakeUppercase{vi. oby\v{c}ejn\'e diferenci\'aln\'i rovnice druh\'eho \v{r}\'adu - v\'ysledky}}\ \\
	\textbf{1.}\resetpr \pr jsou line\'arn\v{e} nez\'avisl\'e \pr jsou line\'arn\v{e} nez\'avisl\'e\\
	\textbf{3.}\resetpr \pr \pr $\left\{a\sin x + b\cos x + (-\cos x)\sin x + \left(\sin x + \log\sqrt{\tfrac{1-\sin x}{1+\sin x}}\right)\cos x:\; a,b\in\er\right\}$\\ \pr $y(x) = \cos x + (-\cos x)\sin x + \left(\sin x + \log\sqrt{\tfrac{1-\sin x}{1+\sin x}}\right)\cos x$, $x\in(-\pi/2,\pi/2)$.\\
	%\textbf{4.}\resetpr \pr \pr $\left\{ae^x + bxe^x + (-x)e^x + (\log x)xe^x:\; a,b\in\er\right\}$ \pr $y(x) = (e+1)e^x - xe^x + (-x)e^x + (\log x)xe^x$, $x\in (0,\infty)$\\
	\textbf{4.}\resetpr \pr $\{ae^{2x} + be^x:\; a,b\in\er\}$, $x\in\er$ \pr $\{ae^{x} + bxe^x:\; a,b\in\er\}$, $x\in\er$ \pr $\{ae^{\tfrac{x}{2}}\sin(\tfrac{\sqrt{3}x}{2}) + be^{\tfrac{x}{2}}\cos(\tfrac{\sqrt{3}x}{2}):\; a,b\in\er\}$, $x\in\er$ \pr $\{ae^{2x} + be^x + 4xe^{2x}:\; a,b\in\er\}$, $x\in\er$ \pr $\{ae^{x} + bxe^x + 4e^{2x}:\; a,b\in\er\}$, $x\in\er$\\
	\textbf{5.}\resetpr \pr $y(x) = -\sin x-\cos x$, $x\in\er$ \pr $y(x) = 1 + e^{4x} - \tfrac{1}{12}x^3 - \tfrac{1}{16}x^2-\tfrac{1}{32}x$, $x\in\er$ \pr $y(x) = (e+1)e^x - xe^x + (-x)e^x + (\log x)xe^x$, $x\in (0,\infty)$\\
	\textbf{6.}\resetpr \pr Pro ka\v{z}d\'e $c\in\er$ je maxim\'aln\'im \v{r}e\v{s}en\'im funkce $y_c(x) = \tg(x^3 + c)$, $x\in(\sqrt[3]{-\tfrac{\pi}{2}-c}, \sqrt[3]{\tfrac{\pi}{2}-c})$ \pr Nap\v{r}\'iklad $y(x) = -1-\cos x$, $x\in\er$ je maxim\'aln\'im \v{r}e\v{s}en\'im \pr $y(x) = -e^x+e^{7x}+x$, $x\in\er$ \pr $\{ae^{3x}+be^{2x}-2e^{3x}\arctg(e^x)+e^{2x}\log(e^{2x}+1):\; a,b\in\er\}$, $x\in\er$ 
	\newpage
\centerline{\MakeUppercase{vii. otevřené a uzavřené množiny, spojitost, parciální derivace}}\ \\
\textbf{1. Rozhodn\v{e}te, zda n\'asleduj\'ic\'i mno\v{z}iny jsou otev\v{r}en\'e ev. uzav\v{r}en\'e a ur\v{c}ete vnit\v{r}ek.}\\ \resetpr
	\pr $\en$
	\pr $\{\tfrac{1}{n}\setsep n\in\en\}\cup\{0\}$
	\pr  $\{[x,y]\in\er^2\setsep x > 0,\,y\leq 0\}$
	\pr $\{[x,y]\in\er^2\setsep x^2+y^2<1\}$\\
	\pr $\{[x,y]\in\er^2\setsep x^2+e^y>17\}$
	\pr $\{[x,y]\in\er^2\setsep |x-y|=x-y\}$
	\pr $\{[x,y,z]\in\er^3\setsep x\geq 0,y>0,x+y=2,z\leq 0\}$\\[5pt]
\textbf{2. Zjist\v{e}te, zda existuj\'i limity a pokud ano, spo\v{c}t\v{e}te je:}\\ \resetpr
	%Ja udelam tyhle:	
	\pr $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sqrt{x^2y^2+1}-1}{x^2+y^2}$
	\pr $\lim\limits_{\substack{(x,y)\to(0,0)\\ x+y\neq 0}} \frac{x-y}{x+y}$
	\pr $\lim\limits_{\substack{(x,y)\to(0,0)\\ xy\neq 0}} (x+y)\sin\frac 1x\sin\frac 1y$	\\[5pt]
	\textbf{3. Spočtěte parciální derivace funkcí všude, kde existují}\\[3pt] \resetpr
\pr $e^{xy}$
\pr $xy+yz+zx$
\pr $|x|\cdot|y|$
\pr $|y+\cos x|$
\pr $f(x,y)=\begin{cases}e^{-\pi\over x^2+3xy+3y^2} & (x,y)\neq 0,\\
0 & (x,y)=(0,0)\end{cases}$\\[5pt]
\textbf{4. Ur\v{c}ete a nakreslete defini\v{c}n\'i obor funkce $f$ a vy\v{s}et\v{r}ete její parci\'aln\'i derivace}\\ \resetpr
\pr $f(x,y) = \sqrt{e^{xy} - e}$
\pr $f(x,y) = (1+|x|)^{|y|}$
\\[20pt]
	
	Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i lze nal\'ezt nap\v{r}\'iklad v sekci II zde:\\ \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/archiv/FSV/m2-2015-16.pdf} a tak\'e v sekci IX zde:\\
\url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/archiv/MFF/MA/ma2-2016-17.pdf}\\[20pt]
\centerline{\MakeUppercase{vii. otevřené a uzavřené množiny, spojitost, parciální derivace - v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr Mno\v{z}ina je uzav\v{r}en\'a s prázdným vnitřkem
\pr Mno\v{z}ina je uzav\v{r}en\'a s prázdným vnitřkem
\pr Mno\v{z}ina nen\'{\i} uzav\v{r}en\'a ani otev\v{r}en\'a. Vnit\v{r}ek je $\{[x,y]\in\er^2\setsep x>0,\,y< 0\}$
\pr Mno\v{z}ina nen\'{\i} uzav\v{r}en\'a, je otevřená
\pr Mno\v{z}ina nen\'{\i} uzav\v{r}en\'a, je otevřená
\pr Mno\v{z}ina je uzav\v{r}en\'a, není otevřená, vnit\v{r}ek $\{[x,y]\setsep x > y\}$
\pr Ani uzav\v{r}en\'a ani otev\v{r}en\'a, vnit\v{r}ek pr\'azdn\'y\\
\textbf{2.}\resetpr \pr limita existuje, je rovna $0$ \pr limita neexistuje \pr limita existuje, je rovna $0$\\
\textbf{3.}\resetpr \pr $\pdx=y e^{xy}$, $\pdy=x e^{xy}$ pro $(x,y)\in\er^2$.
\pr $\pdx=y+z$, $\pdy=x+y$, $\pdz=x+y$ pro $(x,y,z)\in\er^3$.\\
\pr $\pdx(x,y)= |y|\sgn x$ pro $x\ne 0$. $\pdy(x,y)=|x|\sgn y$ pro $y\ne 0$. $\pdx(0,0)=\pdy(0,0)=0$. $\pdx(0,y)$ pro $y\ne 0$ a $\pdy(x,0)$ pro $x\ne0$ neexistuj\'{\i}.
\pr $\pdx(x,y)=-\sgn(y+\cos x)\cdot\sin x$, $\pdy(x,y)=\sgn(y+\cos x)$, pokud $y\neq -\cos x$. $\pdy(x,-\cos x)$ neexistuje pro $x\in\er$. $\pdx(k\pi,(-1)^{k+1})=0$ pro $k\in\zet$. $\pdx(x,-\cos x)$ neexistuje pro $x\neq k\pi$.
\pr $\pdx=e^{-\frac{\pi}{x^2+3xy+3y^2}} \cdot \frac{\pi(2x+3y)}{(x^2+3xy+3y^2)^2}$, $\pdy=e^{-\frac{\pi}{x^2+3xy+3y^2}} \cdot \frac{\pi(3x+6y)}{(x^2+3xy+3y^2)^2}$ pro $(x,y)\ne(0,0)$; v bod\v{e} $(0,0)$ jsou ob\v{e} parci\'aln\'{\i} derivace nulov\'e.\\
\textbf{4.} viz. v\'ysledky zkou\v{s}kov\'ych p\'isemek z FSV zde: \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/edu.php?edutype=archpis}\\[10pt]
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{viii. implicitn\'i funkce}}\ \\
\textbf{1.} Je d\'an vztah $x^2 + 2xy^2 + y^4 - y^5 = 0$ a bod $[0,1].$ Doka\v{z}te, \v{z}e:	
	\begin{itemize}
		\item[i)] t\'{\i}mto vztahem je definov\'ana hladk\'a funkce $y = f(x)$ v jist\'em okol\'{\i} bodu $0$, pro kterou plat\'{\i} $f(0) = 1$;
		\item[ii)] spo\v{c}t\v{e}te $f'(0)$;
		\item[iii)] spo\v{c}t\v{e}te $f''(0)$;		
		\item[iv)] zjist\v{e}te, zda je $f$ na okol\'i bodu $0$ konk\'avn\'i/konvexn\'i.
	\end{itemize}	
\textbf{2. Uka\v{z}te, \v{z}e dan\'a rovnice ur\v{c}uje v jist\'e okol\'i bodu $M = [m_1,m_2]$ implicitn\v{e} zadanou funkci $y=f(x)$. Spo\v{c}t\v{e}te $f'(m_1)$ a $f''(m_1)$.}\\[5pt] \resetpr
	\pr $\arctg{\frac{x+2y}{3}} + \arctg{\frac{2x+y}{3}} = \frac \pi2$, $M = [1,1]$
	\pr $x^y + y^x = 3$, $M = [1,2]$\\
	\pr $\cos(y+xe^x) + \sin(y-xe^x) = -1$, $M = [0,\pi]$
	\pr $e^{(x^2 + y - 2)} + e^{(y^2 - x)} = 2$, $M = [1,1]$	
	\\[20pt]
	
	Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i lze nal\'ezt nap\v{r}\'iklad v sekci III zde:\\ \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/archiv/FSV/m2-2015-16.pdf} a tak\'e zde:\\
\url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~zeleny/mff/MA_3/Implicitni_funkce.pdf}\\[20pt]
\centerline{\MakeUppercase{viii. implicitn\'i funkce - v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.} $f'(0) = 2$, $f''(0) = -14$, rovnice te\v{c}ny je $y = -4x$, funkce je na okol\'i bodu $0$ konk\'avn\'i\\[10pt]
\textbf{2.} viz. v\'ysledky zkou\v{s}kov\'ych p\'isemek zde: \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/edu.php?edutype=archpis}\\[10pt]
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{ix. extr\'emy funkc\'i v\'ice prom\v{e}nn\'ych}}\ \\
	\textbf{1. U n\'asleduj\'ic\'ich funkc\'i nalezn\v{e}te lok\'aln\'i extr\'emy.}\\ \resetpr
	\pr $f(x,y) = x^2 + (y-1)^2$
	\pr $f(x,y) = e^{x^2 - y}(5-2x+y)$\\
	\pr $f(x,y) = xy\sqrt{1-x^2-y^2}$, $(x,y)\in\{(x,y)\in\er^2\setsep x^2 + y^2 < 1\}$
	\pr $f(x,y) = xy\log(x^2+y^2)$\\[5pt]
	\textbf{2. Zjist\v{e}te $\sup$ a $\inf$ funkce $f$ na mno\v{z}in\v{e} $M$ a vy\v{s}et\v{r}ete, zda t\v{e}chto hodnot funce $f$ na $M$ nab\'yv\'a (bez Lagrangeov\'ych multiplik\'ator\r{u}).}\resetpr\\[5pt]
	\pr $f(x,y) = x-2y-3$; $M = \{[x,y];0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1, x+y\leq 1\}$\\
	\pr $f(x,y,z) = (x+y)^2 + (x-y)^2 + z$; $M = \langle-1,1\rangle\times\langle-1,1\rangle\times\langle-1,1\rangle$\\
	\pr $f(x,y,z) = x^2 + 4x + 5 - 3y^2 - 3y$; $M = \er^2$	
	\pr $f(x,y) = x^2 - xy + y^2$; $M = \{[x,y];|x| + |y| \leq 1\}$	
	\pr $f(x,y) = x^2 + y^2;M = \{[x,y];x^2 + 4y^2 = 1\}$	
	\pr $f(x,y) = xy;M = \{[x,y];x + y = 5\}$\\[10pt]
\textbf{3. Nalezn\v{e}te maxima a minima funkce $f$ na mno\v{z}in\v{e} $M$ (s Lagrangeov\'ymi multiplik\'atory).}\resetpr\\[5pt]
	\pr $f(x,y) = 5x - 3y$, $M = \{[x,y], x^2 + y^2 = 136\}$
	\pr $f(x,y)=xy$, $M = \{[x,y], 3x^2 + y^2 = 6\}$\\
	\pr $f(x,y) = x + y$, $M = \{[x,y], x^3 + y^3 - 2xy = 0, x\geq 0, y\geq 0 \}$\\
	\pr $f(x,y) = \arctg x + \arctg y$, $M = \{[x,y], x^2 + y^2 \leq 1, x\geq 0, y\geq 0\}$\\[10pt]
	\textbf{4.} Doka\v{z}te nerovnost $\frac{x^n+y^n}{2}\geq \left(\frac{x+y}{2}\right)^n$ pro $n\geq 1$, $x\geq 0$ a $y\geq 0$.\\[5pt]
	\textbf{5.} Pro $M\subset \er^2$ a $x\in \er^2$ je vzd\'alenost bodu $\x$ od $M$ definov\'ana jako $\inf\{\rho(\x,\m), \m\in M\}$. Ur\v{c}ete vzd\'alenost bodu $[a,\tfrac{1}{2}]$ od paraboly $y=x^2$.\\[5pt]
	\textbf{6.} Dan\'e kladn\'e \v{c}\'islo $a$ rozlo\v{z}te na sou\v{c}et dvou \v{c}\'isel $x$ a $y$ tak, \v{z}e sou\v{c}et jejich druh\'ych mocnin je minim\'aln\'i.\\[5pt]
	\textbf{7.} P\v{r}i jak\'ych rozm\v{e}rech bude m\'it otev\v{r}en\'a n\'adoba tvaru kv\'adru dan\'eho objemu $V$ minim\'aln\'i povrch?
	\\[20pt]
		
	Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i lze nal\'ezt nap\v{r}\'iklad v sekci IV zde:\\ \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/archiv/FSV/m2-2015-16.pdf} a tak\'e zde:\\
\url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~zeleny/mff/MA_3/Extremy.pdf}\\[20pt]
\centerline{\MakeUppercase{ix. extr\'emy funkc\'i v\'ice prom\v{e}nn\'ych - v\'ysledky}}\ \\
	\textbf{1.}\resetpr \pr $[0,1]$ - ostr\'e lok\'aln\'i minimum \pr $[1,-2]$ - nen\'i extr\'em (sedlov\'y bod) \pr $[\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}]$ a $[-\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}]$ jsou ostr\'a lok\'aln\'i maxima, $[\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}]$ a $[-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}]$ jsou ostr\'a lok\'aln\'i minima, ve stacion\'arn\'im bod\v{e} $[0,0]$ nen\'i lok\'aln\'i extr\'em \pr $[\tfrac{1}{\sqrt{2e}},\tfrac{1}{\sqrt{2e}}]$ a $[-\tfrac{1}{\sqrt{2e}},-\tfrac{1}{\sqrt{2e}}]$ jsou ostr\'a lok\'aln\'i minima, $[\tfrac{1}{\sqrt{2e}},-\tfrac{1}{\sqrt{2e}}]$ a $[-\tfrac{1}{\sqrt{2e}},\tfrac{1}{\sqrt{2e}}]$ jsou ostr\'a lok\'aln\'i maxima, ve stacion\'arn\'ich bodech $[0,\pm 1]$, $[\pm 1,0]$ nen\'i lok\'aln\'i extr\'em\\
	\textbf{2.}\resetpr \pr max $-2$ v bod\v{e} $[1,0]$, min $-5$ v bod\v{e} $[0,1]$
	\pr max $5$ v bodech $[\pm1,\pm1,1]$, min $-1$ v bod\v{e} $[0,0,-1]$
	\pr $\sup$ neexistuje, $\inf$ neexistuje	
	\pr max $1$ v bodech $[\pm 1,0]$, $[0,\pm 1]$, min $0$ v bod\v{e} $[0,0]$	
	\pr max $1$ v bodech $[\pm 1,0]$, min $\frac 14$ v bodech $[0,\pm \frac 12]$
	\pr max $\frac {25}4$ v bod\v{e} $[\frac 52,\frac 52]$, $\inf$ neexistuje	\\
	\textbf{3.}\resetpr 
	\pr max $68$ v $[10,-6]$, min $-68$ v $[-10,6]$
	\pr max $\sqrt{3}$ v $[1,\sqrt{3}]$ a $[-1,-\sqrt{3}]$, min $-\sqrt{3}$ v $[1,-\sqrt{3}]$ a $[-1,\sqrt{3}]$
	\pr max $2$ v $[1, 1]$, min $0$ v $[0, 0]$
	\pr max v $[\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}]$, min v $[0,0]$\\
	\textbf{4.} Hint: najd\v{e}te minimum funkce $f(x,y) = \frac{x^n+y^n}{2}$ za podm\'inky $x+y=c$.	\\
	\textbf{5.} $\sqrt{a^2 -\tfrac{3}{4}\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{a} + \tfrac{1}{4}}$\\
	\textbf{6.} $x=y=\tfrac{a}{2}$\\
	\textbf{7.} Rozm\v{e}ry n\'adoby jsou $\sqrt[3]{2V}$, $\sqrt[3]{2V}$, $\sqrt[3]{\tfrac{V}{4}}$
\end{document}