\documentclass[a4paper]{amsart}

\frenchspacing % aktivuje pou�it� n�kter�ch �esk�ch typografick�ch pravidel

\usepackage{a4wide}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
%\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}{Příklad}

\def\er{\mathbb R}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}

\title{Kalkulus 1, 2017--2018\\ zkou\v{s}kov\'e p\'isemky}  % tyto dv� polo�ky jsou zde v podstat� form�ln�, ve skute�nosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}
 \noindent\begin{center}\textbf{Kalkulus 1, ZS 2017-2018\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - Varianta A}\end{center}
 
 \bigskip
 
\begin{example}Spo\v{c}t\v{e}te
\[\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n+\cos\left(\tfrac{1}{\sqrt[4]{n^5}}\right)}}{\sqrt[3]{n^3+3n} - \sqrt{n^2+2}}.\qquad\text{(10 bod\r{u})}\]
\end{example}

\begin{example}Vy\v{s}et\v{r}ete pr\r{u}b\v{e}h funkce $f$ zadan\'e p\v{r}edpisem\\(\emph{Hint:} p\v{r}i vy\v{s}et\v{r}ov\'an\'i defini\v{c}n\'iho oboru vyu\v{z}ijte fakt \v{z}e $4x^3-27x+27=(x+3)(2x-3)^2$ a $4x^3-27x-27=(x-3)(2x+3)^2$)
	\[f(x):=\arcsin\left(x-\frac{4x^3}{27}\right).\qquad\text{(20 bod\r{u})}\]
	V tomto p\v{r}\'ikladu m\r{u}\v{z}ete pou\v{z}\'it fakt, \v{z}e pro $x\in D(f')$ je $f''(x) = \frac{-3x(4x^2-9)}{(9-x^2)\sqrt{(9-x^2)(9-4x^2)^2}}$ (nemus\'ite po\v{c}\'itat druhou derivaci).
\end{example}

\begin{example}Vy\v{s}et\v{r}ete zda konverguje a zda absolutn\v{e} konverguje \v{c}\'iseln\'a \v{r}ada
\[\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\sin\left(\frac{n+3}{n^2+2n}\right).\qquad \text{(10 bod\r{u})}\]
\end{example}

\begin{example}Napi\v{s}te definici pojmu ,,supremum mno\v{z}iny $A$``, kde $A\subset\er$.\qquad(10 bod\r{u})
\end{example}

\begin{example}Doka\v{z}te n\'asleduj\'ic\'i tvrzen\'i:\\[5pt]
	Nechť $a\in\er$ a funkce $f$ a $g$ maj\'i v bod\v{e} $a$ vlastn\'i derivace. Potom plat\'i 
	\[(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a).\qquad \text{(10 bod\r{u})}\]		
\end{example}
\newpage
%%%%%Varianta B%%%%%%
\noindent\begin{center}\textbf{Kalkulus 1, ZS 2017-2018\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - Varianta B}\end{center}
 
 \bigskip
 
\begin{example}Spo\v{c}t\v{e}te
\[\lim_{x\to \infty} \sqrt{x}\log\left(\sqrt{4+\tfrac{1}{x}} - 1\right)\sqrt{\log(3^x + 4x^5)}.\qquad\text{(10 bod\r{u})}\]
\end{example}

\begin{example}Vy\v{s}et\v{r}ete pr\r{u}b\v{e}h funkce $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ zadan\'e p\v{r}edpisem\\ (pozor: v p\v{r}edpisu funkce se vyskytuje jedna absolutn\'i hodnota)
	\[f(x):=|x-3| + \arctg(5-10x).\qquad\text{(20 bod\r{u})}\]
\end{example}

\begin{example}Vy\v{s}et\v{r}ete zda konverguje a zda absolutn\v{e} konverguje \v{c}\'iseln\'a \v{r}ada
\[\sum_{n=1}^\infty \sin\left(\frac{(n+3)!}{(n+2)^n}\right).\qquad \text{(10 bod\r{u})}\]
\end{example}

\begin{example}Napi\v{s}te definici pojmu ,,posloupnost $\{a_n\}$ m\'a limitu rovnou \v{c}\'islu $A$``, kde $A\in\er$.\qquad(10 bod\r{u})
\end{example}

\begin{example}Doka\v{z}te n\'asleduj\'ic\'i tvrzen\'i:\\[5pt]
	Nechť $a,b \in \er, a < b$, a $f$ je spojitá funkce na intervalu $[a, b]$. Potom $f$ nabývá na $[a, b]$ svého maxima i minima.$\qquad \text{(10 bod\r{u})}$
\end{example}
\newpage
%%%%Varianta C%%%%%%
\noindent\begin{center}\textbf{Kalkulus 1, ZS 2017-2018\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - Varianta C}\end{center}
 
 \bigskip
 
\begin{example}Spo\v{c}t\v{e}te
\[\lim_{x\to 1} \left(\frac{2x+\tfrac{1}{x}}{3}\right)^{\tfrac{1}{x-1}}.\qquad\text{(10 bod\r{u})}\]
\end{example}

\begin{example}Vy\v{s}et\v{r}ete pr\r{u}b\v{e}h funkce $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ zadan\'e p\v{r}edpisem\\ (pozor: v p\v{r}edpisu funkce se vyskytuje jedna absolutn\'i hodnota)
	\[f(x):=\left|x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right|\exp(x^2+\sqrt{2}x).\qquad\text{(20 bod\r{u})}\]
\end{example}

\begin{example}Vy\v{s}et\v{r}ete zda konverguje a zda absolutn\v{e} konverguje \v{c}\'iseln\'a \v{r}ada
\[\sum_{n=1}^\infty (-1)^n(\sqrt{n^2 + 3} - n)\log\left(1 - \frac{1}{n}\right).\qquad \text{(10 bod\r{u})}\]
\end{example}

\begin{example}Napi\v{s}te definici pojmu ,,derivace funkce $f$ v bod\v{e} $a$``, kde $a\in\er$.\qquad(10 bod\r{u})
\end{example}

\begin{example}Doka\v{z}te n\'asleduj\'ic\'i tvrzen\'i:\\[5pt]
	Nechť $\lim{a_n} = 0$ a nechť posloupnost  $\{b_n\}$ je omezená. Potom $\lim a_n  b_n = 0$.$\qquad \text{(10 bod\r{u})}$
\end{example}
\newpage
%%%%Varianta D%%%%%%
\noindent\begin{center}\textbf{Kalkulus 1, ZS 2017-2018\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - Varianta D}\end{center}
 
 \bigskip
 
\begin{example}Spo\v{c}t\v{e}te
\[\lim_{x\to 0} \left(\sqrt{\sin(1 - \cos x)} + 1\right)^{1/\sin x}.\qquad\text{(10 bod\r{u})}\]
\end{example}

\begin{example}Vy\v{s}et\v{r}ete pr\r{u}b\v{e}h funkce $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ zadan\'e p\v{r}edpisem
	\[f(x):=\sqrt[3]{x^3-x}.\qquad\text{(20 bod\r{u})}\]
\end{example}

\begin{example}Vy\v{s}et\v{r}ete zda konverguje a zda absolutn\v{e} konverguje \v{c}\'iseln\'a \v{r}ada
\[\sum_{n=1}^\infty \sin\left(\frac{n+2}{n^2+4n}\right)\left(1-\cos(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\right).\qquad \text{(10 bod\r{u})}\]
\end{example}

\begin{example}Napi\v{s}te definici pojmu ,,Taylor\r{u}v polynom \v{r}\'adu $n$ funkce $f$ v bod\v{e} $a$``, kde $a\in\er$ a $n\in\mathbb{N}$.\qquad(10 bod\r{u})
\end{example}

\begin{example}Doka\v{z}te n\'asleduj\'ic\'i tvrzen\'i:\\[5pt]
	Nechť $\{a_{n}\}$ a $\{b_{n}\}$ jsou posloupnosti reálných čísel, $\lim a_n = +\infty$ a $\lim b_n\in\er$.\\Potom $\lim{(a_n + b_n)} = +\infty$.$\qquad \text{(10 bod\r{u})}$
\end{example}
\newpage
%%%Varianta E%%%%%%
\noindent\begin{center}\textbf{Kalkulus 1, ZS 2017-2018\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - Varianta E}\end{center}
 
 \bigskip

 \begin{example}Spo\v{c}t\v{e}te
 \[\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\Big(\sqrt{n^2+1} - \sqrt[3]{n^3+2}\Big)\sqrt[4]{(n^2+4)^3 - (n^3+2)^2}}.\qquad\text{(10 bod\r{u})}\]
\end{example}

\begin{example}Vy\v{s}et\v{r}ete pr\r{u}b\v{e}h funkce $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ zadan\'e p\v{r}edpisem\\ (pozor: v p\v{r}edpisu funkce se vyskytuje jedna absolutn\'i hodnota)
	\[f(x):=\log\left(\frac{(x-1)^2}{|x+3|}\right).\qquad\text{(20 bod\r{u})}\]
\end{example}

\begin{example}Vy\v{s}et\v{r}ete zda konverguje a zda absolutn\v{e} konverguje \v{c}\'iseln\'a \v{r}ada
\[\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\left(\cos\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{n^2}.\qquad \text{(10 bod\r{u})}\]
\end{example}

\begin{example}Napi\v{s}te definici pojmu ,,funkce $f$ je konvexn\'i na intervalu $[3,4]$``.\qquad(10 bod\r{u})
\end{example}

\begin{example}Doka\v{z}te n\'asleduj\'ic\'i tvrzen\'i:\\[5pt]
	Nechť $\lim{a_n} = A \in \er$ a $\lim{b_n} = B \in \er$. Nechť $A < B$. Potom existuje $n_0\in\mathbb{N}$ takov\'e \v{z}e pro ka\v{z}d\'e $n\in\mathbb{N}$, $n\geq n_0$ plat\'i $a_n < b_n$.$\qquad \text{(10 bod\r{u})}$
\end{example}
 
\end{document}
