\documentclass[a4paper]{amsart}

\frenchspacing

\usepackage{a4wide}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,scalerel,color}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}{Příklad}

\def\er{\mathbb R}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def \tg {\operatorname{tg}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\newcommand\dx{\, \mathrm{d} x}
\newcommand\dgx[1]{\, \mathrm{d} #1}

\begin{document}

\begin{center}\textbf{Kalkulus 2, ZS 2024-2025\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - term\'in 8.1.}\end{center}

 \bigskip
 
\begin{example}[16 bod\r{u}] Je dána funkce
\[
f(x,y):=(x+2y)^2+(x+y)^2
\]
na množině $M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon\; x^2+y^2 = 1\}$. Vypočtěte globální extrémy $f$ na $M$.\\[3pt]
(\emph{Při porovnávání kandidátů na extrém můžete použít, že \[f\Bigg(a\sqrt{\frac{5-b\sqrt{5}}{10}},c\sqrt{\frac{5+b\sqrt{5}}{10}}\Bigg) = \frac{35+\sqrt{5}(3b+12ac)}{10}\] kdykoliv $a,b,c\in \{\pm 1\}$.})
\end{example}

 \bigskip

\begin{example}[11 bod\r{u}] Zjistěte, pro která $x\in\mathbb{R}$ konverguje mocninná řada
         \[
        \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n+3}}{2n}
        \]
a řadu sečtěte pro všechna $x$, pro která konverguje.
\end{example}

 \bigskip

\begin{example}[11 bod\r{u}] Nechť je dána množina
    \[
            M:=\{(x,y,z)\in\er^3\colon x^2+y^2 < 2x,\; x < z < 4,\; y>0\}.
    \]
    Spočtěte integrál $\int_M y \; \mathrm{d}\lambda^3$. \qquad  (\emph{Hint: použijte válcové souřadnice.})
\end{example}

 \bigskip

\begin{example}[12 bod\r{u}] Uvažujme funkci
    \[
    F(a):=\int_0^1 \frac{\log(1+x)}{x^a} \; \mathrm{d}x,\qquad a<2.
    \]
\begin{itemize}
    \item Dokažte, že $F(a)\in\mathbb{R}$ pro $a<2$.
    \item Dokažte, že funkce $F$ je spojitá na $(-\infty,2)$.
    \item Vyjádřete pro každé $a<2$ funkci $\frac{\log(1+x)}{x^a}$ na intervalu $(0,1)$ jako součet nekonečné řady (můžete bez důkazu použít fakt dokázaný na přednášce, že $\log(1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n$ pro $x\in (0,1)$).
    \item Ověřte možnost záměny řady a integrálu a vyjádřete pro každé $a<2$ integrál $F(a)$ jako číselnou řadu.
\end{itemize}
\end{example}
\newpage

\begin{center}\textbf{Kalkulus 2, ZS 2024-2025\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - term\'in 20.1.}\end{center}

 \bigskip
 
\begin{example}[12 bod\r{u}] Ukažte, že rovnice
\[
\frac{1}{\sin(x+y)} + \arctg(xy) = 1
\]
určuje v jistém okolí bodu $[\tfrac{\pi}{2},0]$ implicitně zadanou funkci $y = f(x)$. Spočtěte $f'(\frac{\pi}{2})$ a $f''(\frac{\pi}{2})$. Nakonec určete, zda je funkce $f$ na okolí bodu $\frac{\pi}{2}$ konkávní/konvexní.
\end{example}

 \bigskip

\begin{example}[11 bod\r{u}] Nechť je funkce $f$ dána předpisem
          \[f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\Big(1 + \log(1+\tfrac{x}{n}) - \tfrac{x}{n}\Big).\]
Dokažte, že takto definovaná funkce je spojitá v bodě $0$. Dále dokažte, že funkce $f$ má vlastní derivaci v bodě $\frac{1}{2}$ a vyjádřete $f'(\frac{1}{2})$ jako součet číselné řady.\\
(\emph{Hint: použijte Větu o záměně sumy a derivace, spojitost v bodě $0$ odvoďte z existence vlastní derivace.})
\end{example}

 \bigskip

\begin{example}[15 bod\r{u}] Nechť je dána množina
    \[
        M = \{(x,y,z)\in\er^3\colon 2x^2+y^2 +z^2 \leq 25,\; z>1,\; y<0\}
    \]
    Spočtěte míru množiny $\lambda^3(M)$.\\  (\emph{Hint: použijte zobecněné sférické souřadnice tak, aby bylo $2x^2+y^2 +z^2 = r^2$. Při přepočtu mezí se nezalekněte funkce $\arcsin$.})
\end{example}

 \bigskip

\begin{example}[12 bod\r{u}] Spočítejte následující Lebesgueův-Stieltjesův integrál ($[\cdot]$ značí celou část)
		\[\int_{[3,5]} [2x] \dgx{g(x)},\qquad\text{ kde } g(x) = \begin{cases} x^2 - 6, & x\in[3,4)\\ 11, & x= 4\\ 8+x, & x\in (4,5)\\ 15 & x=5.\end{cases}\]
\end{example}
\newpage

\begin{center}\textbf{Kalkulus 2, ZS 2024-2025\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - term\'in 27.1.}\end{center}

 \bigskip
 
\begin{example}[15 bod\r{u}] Je dána funkce
\[
f(x,y):=\log(1+x) + \log(2y)
\]
na množině $M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon\; x\geq 0,y\geq \frac{1}{3}, x^2 + 2y^2 = 1\}$. Vypočtěte globální extrémy $f$ na $M$.\\[3pt]
(\emph{Při porovnávání kandidátů na extrém můžete použít následující přibližné hodnoty:\\ $f(0,\frac{1}{\sqrt{2}})\approx 0.3$, $f(\sqrt{\frac{7}{9}},\frac{1}{3})\approx 0.2$ a $f(\frac{1}{2},\sqrt{\frac{3}{8}})\approx 0.6$.})
\end{example}

 \bigskip

\begin{example}[10 bod\r{u}] Nalezněte součet řady
\[
        \sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^2}{3^n}.
        \]
        (Pečlivě odůvodňujte jednotlivé kroky výpočtu. Součet řady $\sum_{n=1}^\infty nx^n$ z přednášky nelze použít jako ``známý'', budete--li něco takového potřebovat, dokažte/spočtěte to.)
\end{example}

 \bigskip

\begin{example}[11 bod\r{u}] Nechť je dána množina
    \[
            M:=\Big\{(x,y)\in\er^2\colon \frac{x^2}{3}+(y-2)^2\leq 9,\; \sqrt{3\Big(\frac{x^2}{3}+(y-2)^2\Big)}\cdot x\leq 9(y-2),\; x>0,\; y>2\Big\}.
    \]
    Spočtěte míru množiny $\lambda^2(M)$.\\[3pt]   (\emph{Hint: použijte posunuté zobecněné polární souřadnice tak, aby $\frac{x^2}{3}+(y-2)^2=r^2$.})
\end{example}

 \bigskip

\begin{example}[14 bod\r{u}] Uvažujme funkci
    \[
    F(a):=\int_0^\infty \frac{\log(ax)}{1+x^2} \; \mathrm{d}x,\qquad a>0.
    \]
\begin{itemize}
    \item S pomocí věty o integrálu závislém na parametru dokažte, že $F(a)\in\mathbb{R}$ pro $a>0$ a vyjádřete $F'(a)$ pro $a>0$ pomocí integrálu.
    \item Výpočtem ověřte, že $F(1)=0$\\
    (\emph{Hint: s pomocí substituce $x=\frac{1}{t}$ ukažte, že $\int_0^1 \frac{\log x}{1+x^2} \dx = - \int_1^\infty \frac{\log x}{1+x^2} \dx$ a z toho pak rovnost $F(1)=0$ odvoďte.})
    \item Spočtěte hodnotu integrálu $F'(a)$ pro $a >0$ z prvního kroku. Dále nalezněte primitivní funkci k $F'(a)$ a určete hodnotu integrálu $F(a)$ pro $a > 0$.
\end{itemize}
\end{example}
\newpage
\begin{center}\textbf{Kalkulus 2, ZS 2024-2025\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - term\'in 3.2.}\end{center}

 \bigskip

 \begin{example}[14 bod\r{u}] Nalezněte lokální extrémy funkce
\[
f(x,y):=\frac{1}{\sqrt{-x^4-2y^4+2xy^2}}.
\]
\end{example}

 \bigskip

\begin{example}[14 bod\r{u}] Nechť je funkce $f$ dána předpisem
\[f(x) := \sum_{n=1}^\infty \Big(\tfrac{1}{2} + \cos x\Big)^n.\]
\begin{itemize}
    \item Zjistěte, pro která $x\in [0,2\pi]$ je $f(x)\in \mathbb{R}$.
    \item Dokažte, že funkce $f$ má vlastní derivaci v bodě $\tfrac{3}{2}\pi$ a vyjádřete $f'(\tfrac{3}{2}\pi)$ jako součet číselné řady.
    \item Dokažte, že funkce $f$ má vlastní derivaci v v intervalu $(\tfrac{4}{3}\pi,\tfrac{3}{2}\pi)$ a rozhodněte, zda je funkce $f$ na intervalu $(\tfrac{4}{3}\pi,\tfrac{3}{2}\pi)$ rostoucí, nebo klesající.
\end{itemize}
\end{example}

 \bigskip

\begin{example}[10 bod\r{u}] Nechť je dána množina
    \[
            M:=\{(x,y,z)\in\er^3\colon \tfrac{x^2}{4}+(y-1)^2 \leq 1,\; 0\leq z < 1- \tfrac{x^2}{4} - (y-1)^2,\; x>0,\; y<1\}.
    \]
    Spočtěte integrál
    \[
    \int_M \exp\Big(-(\tfrac{x^2}{4}+(y-1)^2)-z\Big) \; \mathrm{d}\lambda^3.
    \]
    (\emph{Hint: použijte zobecněné válcové souřadnice tak, aby bylo $\frac{x^2}{4}+(y-1)^2 = r^2$.})
\end{example}

 \bigskip

\begin{example}[12 bod\r{u}] Uvažujme funkci
    \[
    F(a):=\int_0^\infty \frac{\exp(-\tfrac{x^2}{a})}{(x+1)^4} \; \mathrm{d}x,\qquad a>0.
    \]
\begin{itemize}
    \item Dokažte, že $F(a)\in\mathbb{R}$ pro $a>0$.
    \item Dokažte, že funkce $F$ je spojitá na $(0,\infty)$.
    \item Vyjádřete $F'(a)$ pro $a>0$ a určete, zda je funkce rostoucí/klesající na $(0,\infty)$.
    %\item Nalezněte hodnotu $\sup_{a>0} F(a)$. \qquad (\emph{Hint: k tomu je užitečné spočítat například $\lim_{n\to\infty} F(n)$.})
\end{itemize}
\end{example}
\newpage

\begin{center}\textbf{Kalkulus 2, ZS 2024-2025\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - term\'in 10.2.}\end{center}

 \bigskip
 
\begin{example}[13 bod\r{u}] Je dána funkce
\[
f(x,y):=\exp\Big(xy + x^2 - 2y +3\Big)
\]
na množině $M=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon\; x\in [0,4],\; y\in [-5,0],\;y\leq -\tfrac{5}{4}x\}$.\\
Vypočtěte globální extrémy $f$ na $M$.\\[3pt]
(\emph{Při porovnávání kandidátů na extrém můžete použít následující hodnoty:\\ $f(2,-4) = \exp(7)$, $f(4,-5) = \exp(9)$, $f(\tfrac{5}{2},-5) = \exp(\tfrac{27}{4})$.})
\end{example}

 \bigskip

\begin{example}[12 bod\r{u}] Nechť jsou funkce $f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{N}$ definované předpisem
\[
        f_n(x) = \frac{(nx+2)^2}{n^2x^2+4} - 1,\quad x\in\mathbb{R}.
        \]
\begin{itemize}
    \item Je pravda, že $f_n\rightrightarrows 0$ na intervalu $[0,1]$?
    \item Dokažte, že funkce $f(x) := \sum_{n=1}^\infty \frac{f_n(x)}{n}$ je spojitá v bodě $5$.
\end{itemize}
\end{example}

 \bigskip

\begin{example}[13 bod\r{u}] Nechť je dána množina
    \[
            M:=\Big\{(x,y)\colon y>0,\; (x^2+y^2)^2\leq 2xy < \frac{x^2+y^2}{\sqrt{2}}\Big\}.
    \]
    Spočtěte integrál $\int_M (x^2-y^2) \; \mathrm{d}\lambda^2(x,y)$.\\
    (\emph{Hint: použijte polární souřadnice. Při přepočtu mezí nezapomeňte, že podmínka $r^4\leq 2r^2\sin \alpha\cos \alpha$ implikuje, že $\sin \alpha\cos \alpha \geq 0$. Příklad je jednodušší spočítat, pokud budete integrovat $\int \int \ldots dr\;d\alpha$ a ne $\int \int \ldots d\alpha\; dr$, tj. pro přepočet mezí je vhodné nejprve určit jaké jsou přípustné hodnoty $\alpha$ a pak až určit interval (závislý na hodnotě $\alpha$) odkud je $r$.})
\end{example}

 \bigskip

\begin{example}[12 bod\r{u}] Spočítejte následující Lebesgueův-Stieltjesův integrál ($[\cdot]$ značí celou část)
        \[\int_{[2\pi,3\pi]} f(x) \dgx{([2\sin x]x)},\qquad\text{ kde } f(x) = \begin{cases} 0, & x=2\pi\\ 2, & x\in (2\pi,3\pi)\\ 100, & x = 3\pi.\end{cases}\]
        (\emph{Hint: nejprve je pot\v{r}eba zjistit, pro kter\'a $x\in [2\pi,3\pi]$ je $2\sin x$ cel\'e \v{c}\'islo a následně v těchto bodech integrál roztrhnout. Můžete bez důkazu použít fakt, že $[2\sin x]x$ je rozdílem omezených neklesajících funkcí a tedy lze použít vzorce z Věty ``Pravidla pro počítání LS integrálu'' z přednášky.})
\end{example}
\end{document}
