\documentclass[a4paper]{amsart}

\frenchspacing % aktivuje pou�it� n�kter�ch �esk�ch typografick�ch pravidel

\usepackage{a4wide}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,color}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}{Příklad}

\def\er{\mathbb R}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def \tg {\operatorname{tg}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\newcommand\dl[1]{\, \mathrm{d} \lambda^{#1}}
\newcommand\dx{\, \mathrm{d} x}
\newcommand\dgx[1]{\, \mathrm{d} #1}

\title{Kalkulus 2, 2020--2021\\ zkou\v{s}kov\'e p\'isemky}  % tyto dv� polo�ky jsou zde v podstat� form�ln�, ve skute�nosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}\noindent\begin{center}\textbf{Kalkulus 2, ZS 2020-2021\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - term\'in 7.1.}\end{center}

 \bigskip
 
\begin{example}[15 bod\r{u}] Je d\'ana funkce
\[f(x, y) = \arctg(x) - x + \arctg(y) - y\]
na množině $M = \{(x,y)\in\er^2\colon x\in [-1,2], y\in[-1,2], y+x\leq 1\}$. Vypočtěte globální extrémy $f$ na $M$.\\
(Hint: $\arctg(-1)=-\arctg(1)=-\tfrac{\pi}{4}\doteq 0.79$, $\arctg(0.5)\doteq 0.46$, $\arctg(2)\doteq 1.11$)
\end{example}

\begin{example}[10 bod\r{u}] Uka\v{z}te, \v{z}e funkce $f$ zadaná předpisem
\[f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \cdot \exp(\tfrac{x-1}{n}+1)\]
je spojitá v bodě $1$ (\emph{hint: použijte k tomu Tvrzení z přednášky o záměně sumy a derivace}).
\end{example}

\begin{example}[13 bod\r{u}] Nech\v{t} je d\'ana mno\v{z}ina
		\[M := \{(x,y,z)\in\er^3\colon 0<z<1,\, \sqrt{(x-1)^2 + 4y^2}\leq 1,\; -1 < \tfrac{2y}{x-1} < 0, x > 1\}\]
		\begin{itemize}
		\item Pro\v{c} je mno\v{z}ina $M$ m\v{e}\v{r}iteln\'a?
		\item Pro\v{c} je funkce $f(x,y,z) = \frac{x}{\sqrt{(x-1)^2 + 4y^2}}$, $(x,y,z)\in M$ m\v{e}\v{r}iteln\'a?
		\item Spo\v{c}t\v{e}te integr\'al $\int_{M} f(x,y,z) \dl{z}$ (hint: použijte posunuté zobecněné válcové souřadnice tak, aby bylo $r = \sqrt{(x-1)^2 + 4y^2}$).
		\end{itemize}
\end{example}

\begin{example}[12 bod\r{u}] Spočítejte následující Lebesgueův-Stieltjesův integrál ($[\cdot]$ značí celou část)
		\[\int_{[1,5]} [x]x \dgx{g(x)},\qquad\text{ kde } g(x) = \begin{cases} 3x^2 + 4x - 2, & x\in[1,2)\\ 1, & x= 2\\ x-2, & x\in (2,3]\\ -2x & x\in (3,5].\end{cases}\]
\end{example}
\newpage

\noindent\begin{center}\textbf{Kalkulus 2, ZS 2020-2021\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - term\'in 14.1.}\end{center}

 \bigskip
 
\begin{example}[15 bod\r{u}] Uka\v{z}te, \v{z}e rovnice
\[\cos(x-y) + x - y + \log(y^2) = 1\]
ur\v{c}uje v jist\'e okol\'i bodu $[1,1]$ implicitn\v{e} zadanou funkci $y=f(x)$. Spo\v{c}t\v{e}te $f'(1)$ a $f''(1)$.
\end{example}

\begin{example}[12 bod\r{u}] Nech\v{t} je funkce $f$ d\'ana p\v{r}edpisem
\[f(x) = \sum_{n=1}^\infty\Big(1+\log(\tfrac{3}{4}+\tfrac{x}{2})\Big)^n.\]
\begin{itemize}
	\item Nalezn\v{e}te defini\v{c}n\'i obor funkce $f$ (tj. ur\v{c}ete pro kter\'a $x\in \er$ je $f(x)\in\er$, \emph{hint: uvědomte si, že $\log(\tfrac{1}{e^2}) = -2$}).
	\item Doka\v{z}te, \v{z}e funkce $f$ je spojit\'a v bod\v{e} $0$.
\end{itemize}
\end{example}

\begin{example}[11 bod\r{u}] Nech\v{t} je d\'ana mno\v{z}ina
\[M:=\{(x,y,z)\in\er^3\colon x>0, y<0,\, 0<\tfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}<\sin((x^2+y^2+z^2)^{3/2}),\, x^2+y^2+z^2\leq (\tfrac{\pi}{3})^{2/3}\}.\]
\begin{itemize}
		\item Pro\v{c} je mno\v{z}ina $M$ m\v{e}\v{r}iteln\'a?
		\item Spo\v{c}t\v{e}te m\'iru $\lambda^3(M)$ (hint: použijte sférické souřadnice).
		\end{itemize}
\end{example}

\begin{example}[12 bod\r{u}] Nechť je dána funkce $F$ předpisem
	\[F(a) = \int_0^\infty \frac{e^{ax^2}-1}{x^2} \dx.\]
	\begin{itemize}
    	\item Doka\v{z}te, \v{z}e $F(a)\in\er$ pro $a < 0$.
			\item Vyj\'ad\v{r}ete $F'(a)$ pro $a\in (-\infty,-\tfrac{1}{2})$ pomoc\'i integr\'alu a p\v{r}\'islu\v{s}n\'y integr\'al spo\v{c}t\v{e}te (Hint: pou\v{z}ijte ``Laplaceův integrál $\int_0^\infty e^{-x^2} \dx$'' počítaný na přednášce). Dostanete tak hodnotu $F'(a)$ pro $a\in (-\infty,-\tfrac{1}{2})$.			
		\item Nalezn\v{e}te primitivn\'i funkci k $F'(a)$. Bez důkazu použijte fakt, že $F(-1) = -\sqrt{\pi}$ a ur\v{c}ete hodnotu integr\'alu $F(a)$ pro $a\in (-\infty,-\tfrac{1}{2})$.
		\end{itemize}
\end{example}

\newpage

\noindent\begin{center}\textbf{Kalkulus 2, ZS 2020-2021\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - term\'in 20.1.}\end{center}

 \bigskip
 
\begin{example}[14 bod\r{u}] Nalezn\v{e}te lok\'aln\'i extr\'emy funkce
	\[f(x,y) = \log(-x^3-y^2+6xy).\]
\end{example}

\begin{example}[11 bod\r{u}] Uka\v{z}te, \v{z}e funkce $f$ zadaná předpisem
\[f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \cdot \cos(\tfrac{x-1}{n^2}+\tfrac{\pi}{4})\]
je spojitá v bodě $1$ (\emph{hint: použijte k tomu Tvrzení z přednášky o záměně sumy a derivace}).

\noindent Dále dokažte, že funkce $f$ má vlastní derivaci v bodě $2$ a vyjádřete $f'(2)$ jako součet číselné řady.
\end{example}

\begin{example}[13 bod\r{u}] Nech\v{t} je d\'ana mno\v{z}ina
		\[M := \{(x,y)\in\er^2\colon \sqrt{\tfrac{x^2}{9} + (y+1)^2}\leq 1,\; 0 < \tfrac{3y+3}{x} < 1, x > 0\}\]
		\begin{itemize}
		\item Pro\v{c} je mno\v{z}ina $M$ m\v{e}\v{r}iteln\'a?
		\item Pro\v{c} je funkce $f(x,y) = (x-2)\cdot \cos\Big(2\sqrt{\tfrac{x^2}{9} + (y+1)^2}\Big)$, $(x,y)\in M$ m\v{e}\v{r}iteln\'a?
		\item Spo\v{c}t\v{e}te integr\'al $\int_{M} f(x,y) \dl{2}$ (hint: použijte posunuté zobecněné polární souřadnice tak, aby bylo $r = \sqrt{\tfrac{x^2}{9} + (y+1)^2}$).
		\end{itemize}
\end{example}

\begin{example}[12 bod\r{u}] Nechť je dána funkce $F$ předpisem
	\[F(a) = \int_1^\infty \frac{1}{x^4}\cdot \arctg\Big(\tfrac{x}{a-1}\Big) \dx.\]
	\begin{itemize}
    	\item Doka\v{z}te, \v{z}e $F(a)\in\er$ pro $a\in \er\setminus\{1\}$.
			\item Vyj\'ad\v{r}ete $F'(a)$ pro $a\in (0,1)$ pomoc\'i integr\'alu.
		\item Zjistěte, zda je funkce $F$ na intervalu $(0,1)$ rostoucí/klesající.
			\item Spo\v{c}t\v{e}te $\lim_{n\to \infty} F(n)$.
    \end{itemize}
\end{example}

\newpage

\noindent\begin{center}\textbf{Kalkulus 2, ZS 2020-2021\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - term\'in 3.2.}\end{center}

 \bigskip
 
\begin{example}[14 bod\r{u}] Je d\'ana funkce
\[f(x, y) = \log(x) + \log(y)\] 
na množině $M = \{(x,y)\in\er^2\colon x\geq 1, y\geq 1, x^2+4y^2 = 25\}$. Vypočtěte globální extrémy $f$ na $M$.
\end{example}

\begin{example}[11 bod\r{u}] Nech\v{t} je funkce $f$ d\'ana p\v{r}edpisem
\[f(x) = \sum_{n=1}^\infty\Big(\frac{4}{\pi}\arctg(x-3)\Big)^n.\]
\begin{itemize}
	\item Nalezn\v{e}te defini\v{c}n\'i obor funkce $f$ (tj. ur\v{c}ete pro kter\'a $x\in \er$ je $f(x)\in\er$).
	\item Doka\v{z}te, \v{z}e funkce $f$ je spojit\'a v bod\v{e} $3$.
\end{itemize}
\end{example}

\begin{example}[14 bod\r{u}] Nech\v{t} je d\'ana mno\v{z}ina
	\[M:=\{(x,y,z)\in\er^3\colon \big((x-2)^2 + \tfrac{y^2}{9} + z^2\big)^4 < (x-2)^2 + \tfrac{y^2}{9} - z^2, z>0\}.\]
	\begin{itemize}
		\item Pro\v{c} je mno\v{z}ina $M$ m\v{e}\v{r}iteln\'a?
		\item Pro\v{c} je funkce $f(x,y,z) = \big((x-2)^2 + \tfrac{y^2}{9} - z^2\big)^{-3/8}$, $(x,y,z)\in M$ m\v{e}\v{r}iteln\'a?
		\item Spo\v{c}t\v{e}te integr\'al $\int_{M} f(x,y,z) \dl{z}$ (hint: použijte posunuté zobecněné sf\'erick\'e souřadnice tak, aby bylo $r = \sqrt{(x-2)^2 + \tfrac{y^2}{9} + z^2}$).
		\end{itemize}
\end{example}

\begin{example}[11 bod\r{u}] Spočítejte následující Lebesgueův-Stieltjesův integrál ($[\cdot]$ značí celou část)
	\[\int_{[-2,2]} f(x) \dgx{([2x]-2x)},\qquad\text{ kde } f(x) = \begin{cases} x+2, & x\in[-2,-1]\\ 1, & x\in (-1,0)\\ 100, & x = 0\\-x^2 + 7, & x\in (0,2].\end{cases}\]
\end{example}
\newpage
\noindent\begin{center}\textbf{Kalkulus 2, ZS 2020-2021\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - term\'in 10.2.}\end{center}

 \bigskip

\begin{example}[14 bod\r{u}] Uka\v{z}te, \v{z}e rovnice
\[2\exp(x-\tfrac{1}{4}y) - x + \frac{y}{4} + \sqrt{3x+y^2} = \frac{5}{2}\]
ur\v{c}uje v jist\'e okol\'i bodu $[\tfrac{1}{16},\tfrac{1}{4}]$ implicitn\v{e} zadanou funkci $y=f(x)$. Spo\v{c}t\v{e}te $f'(\tfrac{1}{16})$ a $f''(\tfrac{1}{16})$.
\end{example}

\begin{example}[11 bod\r{u}] Uka\v{z}te, \v{z}e funkce $f$ zadaná předpisem
\[f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \cdot \log\Big(3 + \cos\Big(\frac{x-2}{n}\Big)\Big)\]
je spojitá v každém bodě $x \in\er$ (\emph{hint: použijte k tomu Tvrzení z přednášky o záměně sumy a derivace}).
\end{example}

\begin{example}[11 bod\r{u}] Nech\v{t} je d\'ana mno\v{z}ina
\[M:=\{(x,y,z)\in\er^3\colon z\sqrt{x^2 + y^2}\leq 3,\, z>\sqrt{x^2 + y^2} + 2,\, y>0\}.\]
\begin{itemize}
		\item Pro\v{c} je mno\v{z}ina $M$ m\v{e}\v{r}iteln\'a?
		\item Spo\v{c}t\v{e}te m\'iru $\lambda^3(M)$ (hint: použijte válcové souřadnice).
		\end{itemize}
\end{example}

\begin{example}[14 bod\r{u}] Nechť je dána funkce $F$ předpisem
	\[F(a) = \int_0^\infty \frac{(x^a - 1)e^{-x^2}}{\log x} \dx.\]
	\begin{itemize}
    	\item Pomocí věty o derivaci integrálu závislém na parametru dokažte, že $F(a)\in \er$ pro $a > -\tfrac{1}{2}$ a vyj\'ad\v{r}ete $F'(a)$ pro $a > -\tfrac{1}{2}$ pomoc\'i integr\'alu (Hint: integrovatelnou majorantu hledejte na intervalech tvaru $(-\tfrac{1}{2},p)$ pro $p>1$).
			\item Vyjádřete $F'(a)$ pro $a > -\tfrac{1}{2}$ pomocí funkce $\Gamma$ a zjistěte, zda platí $F'(4) > \tfrac{\sqrt{\pi}}{2}$.
			\item Spočtěte \[\lim_{n\to \infty} \frac{F'(n+1)\cdot (2e)^{n/2}}{\sqrt{n\cdot n^n}}\] (Hint: použijte Stirlingův vzorec).
		\end{itemize}
\end{example}
\newpage
\noindent\begin{center}\textbf{Kalkulus 2, ZS 2020-2021\\Zad\'an\'i p\'isemn\'e \v{c}\'asti zkou\v{s}ky - term\'in 25.2.}\end{center}

 \bigskip

\begin{example}[13 bod\r{u}] Je d\'ana funkce
\[f(x, y) = \exp(xy - y - 2x + 2)\]
na množině $M = \{(x,y)\in\er^2\colon x\in [0,3], y\in[1,4], y+x\leq 4\}$. Vypočtěte globální extrémy $f$ na $M$.
\end{example}

\begin{example}[12 bod\r{u}] Nech\v{t} je funkce $f$ d\'ana p\v{r}edpisem
\[f(x) = \sum_{n=1}^\infty \exp(\tfrac{n}{8}\cdot (1-2x)).\]
\begin{itemize}
	\item Nalezn\v{e}te defini\v{c}n\'i obor funkce $f$ (tj. ur\v{c}ete pro kter\'a $x\in \er$ je $f(x)\in\er$, \emph{hint: uvědomte si, že $\exp(n.a) = \exp(a)^n$}).
	\item Doka\v{z}te, \v{z}e funkce $f$ je spojit\'a v bod\v{e} $1$.
	\item Dokažte, že funkce $f$ má vlastní derivaci v bodě $2$ a vyjádřete $f'(2)$ jako součet číselné řady.
\end{itemize}
\end{example}

\begin{example}[11 bod\r{u}] Nech\v{t} je d\'ana mno\v{z}ina
\[M:=\{(x,y,z)\in\er^3\colon z\geq 1,\, x>0,\, 0<y<2x\tg\big(\sqrt{4x^2 + y^2 +(z-1)^2}\big), \sqrt{4x^2 + y^2 +(z-1)^2} < \tfrac{\pi}{2}\}.\]
\begin{itemize}
		\item Pro\v{c} je mno\v{z}ina $M$ m\v{e}\v{r}iteln\'a?
		\item Spo\v{c}t\v{e}te m\'iru $\lambda^3(M)$ (hint: použijte posunuté zobecněné sférické souřadnice tak, aby bylo $r = \sqrt{4x^2 + y^2 +(z-1)^2}$).
		\end{itemize}
\end{example}

\begin{example}[14 bod\r{u}] Nechť je dána funkce $F$ předpisem
	\[F(a) = \int_0^\infty \frac{1-\cos(ax)}{x^2}\cdot e^{-x} \dx.\]
	\begin{itemize}
    	\item Doka\v{z}te, \v{z}e $F(a)\in\er$ pro $a\in \er$.
			\item Uka\v{z}te, \v{z}e pro ka\v{z}d\'e $x\in (0,\infty)$ a $a\in\er$ plat\'i $\frac{1-\cos(ax)}{x^2}\cdot e^{-x} = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{(ax)^{2k}}{x^2}e^{-x}$.
		\item Ov\v{e}\v{r}te mo\v{z}nost z\'am\v{e}ny \v{r}ady a integr\'alu a vyj\'ad\v{r}ete integr\'al $F(1)$ jako \v{c}\'iselnou \v{r}adu (Hint: můžete s výhodou použít znalosti o funkci $\Gamma$ z přednášky).
    \end{itemize}
\end{example}

\end{document}
