\documentclass[11pt,notitlepage]{report}

\frenchspacing % aktivuje použití některých českých typografických pravidel

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} % nastavuje použité kódování, uživatelé Windows zamění utf8 za cp1250
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,amscd,mathrsfs,enumerate,multicol,color,url}%,showkeys,layout}
\usepackage{verbatim} %pro vynechavani comment
\usepackage[top=1cm, left=1cm, right=1cm]{geometry} % nastavení dané velikosti okrajů
\pagestyle{empty}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defin}{Definice}

\def\ce{\mathbb C} 
\def\en{\mathbb N}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\qe{\mathbb Q} 
\def\er{\mathbb R}
\def\R{\er}
\def\N{\en}
\def\C{\mathcal C}
\def \sumaO {\sum_{n=0}^\infty}
\def\setsep{:\;}
\def\nec{Nech\v t\ }
\def\eqdef{\stackrel{\text{\tiny def}}{=}}
\def\Mod{\operatorname{mod}}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\newcommand\lx[1][0]{\displaystyle\lim_{x\to #1}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \tg {\operatorname{tg}}
\def \sgn {\operatorname{sgn}}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def \arccotg {\operatorname{arccotg}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\def \sumad {\sum_{n=2}^\infty}
\def \dx {\, \mathrm{d} x}
\def \dy {\, \mathrm{d} y}
\def \P {\mathcal{P}}
\newcommand\pdx[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial x}}
\newcommand\pdy[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial y}}
\newcommand\pdz[1][f]{\frac{\partial #1}{\partial z}}
\newcommand\dl[1]{\, \mathrm{d} \lambda^{#1}}
\def\x{\mathbf{x}}
\def\m{\mathbf{m}}
\newcommand\dgx[1]{\, \mathrm{d} #1}

\newtheorem*{thm}{V\v{e}ta}

\newcounter{Priklad}
\addtocounter{Priklad}{1}
\newcommand{\pr}{\quad\alph{Priklad})\;\addtocounter{Priklad}{1}}
\newcommand{\resetpr}{\setcounter{Priklad}{1}}

\newcounter{prednaska}
\newcommand{\cisloPrednasky}{\addtocounter{prednaska}{1}\arabic{prednaska}}
\newcommand\konecPrednasky[1]{\bigskip
	\hfill\textbf{konec \cisloPrednasky.~p\v{r}edn\'a\v{s}ky (#1)}
	\bigskip}

\title{Kalkulus 2, MFF - p\v{r}'iklady}  % tyto dvě položky jsou zde v podstatě formálně, ve skutečnosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}
\centerline{\MakeUppercase{i. opakování - otevřené a uzavřené množiny, parciální derivace}}\ \\
\textbf{1. Rozhodn\v{e}te, zda n\'asleduj\'ic\'i mno\v{z}iny jsou otev\v{r}en\'e ev. uzav\v{r}en\'e a ur\v{c}ete vnit\v{r}ek.}\\ \resetpr
	\pr  $\{[x,y]\in\er^2\setsep x < 0,\,y\geq 0\}$
	\pr $\{[x,y]\in\er^2\setsep \arctg(x+y)>\tfrac{1}{2}\}$
	\pr $\{[x,y]\in\er^2\setsep \arctg(x+y)>\tfrac{1}{2}, x\geq 0\}$\\[5pt]
	\textbf{2. Spočtěte parciální derivace funkcí všude, kde existují}\\[3pt] \resetpr
\pr $\arctg(x^2y^3+2^x)$\\[5pt]
\textbf{3. Ur\v{c}ete a nakreslete defini\v{c}n\'i obor funkce $f$ a vy\v{s}et\v{r}ete její parci\'aln\'i derivace}\\ \resetpr
\pr $f(x,y) = \sqrt{x^2 + \sqrt[3]{y}}$
%\pr $f(x,y) = \arcsin\big(\tfrac{1}{|x|+|y|}\big)$
\\[20pt]
	
	Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i:
	\begin{itemize}
		\item \textbf{leh\v{c}\'i: }[1, příklady I.3.e-g; II.1.a-c] (u příkladů I.3 bez určování hranice a uzávěru)
 		\item \textbf{normální: }[1, příklady I.3.h-k; II.1.d,h,i,j] (u příkladů I.3 bez určování hranice a uzávěru) 
		\item \textbf{složitější: }[1, příklady I.3.l; II.1.e-g,k; II.2.a-f] (u příkladů I.3 bez určování hranice a uzávěru, u příkladů II.2 bez určování tečné nadroviny)
	\end{itemize}
	[1] materiály ke cvičení z Matematiky 2 (2015/16), umístěny na webu zde: \url{https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/examples.html}\\[20pt]
\centerline{\MakeUppercase{i. opakování - otevřené a uzavřené množiny, parciální derivace - v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr Mno\v{z}ina nen\'{\i} uzav\v{r}en\'a ani otev\v{r}en\'a. Vnit\v{r}ek je $\{[x,y]\in\er^2\setsep x<0,\,y> 0\}$
\pr Mno\v{z}ina nen\'{\i} uzav\v{r}en\'a, je otevřená
\pr Mno\v{z}ina nen\'{\i} uzav\v{r}en\'a ani otevřená, vnit\v{r}ek $\{[x,y]\setsep \arctg(x+y)>\tfrac{1}{2}, x > 0\}$\\
\textbf{2.}\resetpr \pr $\pdx (x,y)=\tfrac{2xy^3 + \log 2\cdot 2^x}{(x^2y^3+2^x)^2 + 1}$, $\pdy (x,y)=\tfrac{3x^2y^2}{(x^2y^3+2^x)^2 + 1}$ pro $(x,y)\in\er^2$.\\
\textbf{3.} \resetpr \pr $D_f=\{(x,y)\in\er^2\colon y\geq -x^6\}$, pro $(x,y)\in D_f$ splňující $y\neq x^6$ máme $\pdx (x,y) = \tfrac{x}{\sqrt{x^2 + \sqrt[3]{y}}}$ a $\pdy (x,y) = \tfrac{1}{6\sqrt{x^2 + \sqrt[3]{y}}\sqrt[3]{y^2}}$ pro $y\neq 0$, $\pdx (0,0)$ neexistuje, $\pdy (x,0)$ pro $x\neq 0$ neexistuje a v ostatních bodech definičního oboru nemá smysl zbývající parciální derivace počítat\\
%\pr $D_f=\{(x,y)\in\er^2\colon |y|\geq 1-|x|\}$, pro $(x,y)\in D_f$ splňující $|x|+|y|>1$ máme $\pdx (x,y) = \tfrac{-\sgn(x)}{(|x|+|y|)^2\cdot \sqrt{1-\big(\tfrac{1}{|x|+|y|}\big)^2}}$ a $\pdy (x,y) = \tfrac{-\sgn(y)}{(|x|+|y|)^2\cdot \sqrt{1-\big(\tfrac{1}{|x|+|y|}\big)^2}}$, $\pdx (0,\pm 1)$ a $\pdy (\pm 1,0)$ neexistují, v ostatních bodech definičního oboru nemá smysl zbývající parciální derivace počítat\\
\konecPrednasky{30.9.2020}
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{ii. implicitn\'i funkce}}\ \\
\textbf{1.} Je d\'an vztah $x^2 + 2xy^2 + y^4 - y^5 = 0$ a bod $[0,1].$ Doka\v{z}te, \v{z}e:	
	\begin{itemize}
		\item[i)] t\'{\i}mto vztahem je definov\'ana hladk\'a funkce $y = f(x)$ v jist\'em okol\'{\i} bodu $0$, pro kterou plat\'{\i} $f(0) = 1$;
		\item[ii)] spo\v{c}t\v{e}te $f'(0)$;
		\item[iii)] spo\v{c}t\v{e}te $f''(0)$;		
		\item[iv)] zjist\v{e}te, zda je $f$ na okol\'i bodu $0$ konk\'avn\'i/konvexn\'i.
	\end{itemize}
		
	\konecPrednasky{5.10.2020}
	
\noindent\textbf{2. Uka\v{z}te, \v{z}e dan\'a rovnice ur\v{c}uje v jist\'e okol\'i bodu $M = [m_1,m_2]$ implicitn\v{e} zadanou funkci $y=f(x)$. Spo\v{c}t\v{e}te $f'(m_1)$ a $f''(m_1)$.}\\[5pt] \resetpr
	\pr $e^{xy^2-1} + \log\tfrac{x}{y} = 1$, $M = [1,1]$
	\pr $\cos(x+y^2) + \sin(x^2 + y) = 1$, $M = [-1,-1]$\\
	\pr $\log(x+y^3) + \exp(x+2y) = 1$, $M = [2,-1]$
	\\[20pt]
	
	Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i:
	\begin{itemize}
		\item příklady z oddílu III.2 ke cvičení z Matematiky 2 (2015/16) umístěny na webu zde: \url{https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/examples.html}
		\item příklady 1-10 z materiálů doc. Zeleného dostupné na odkazu zde: \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~zeleny/mff/MA_3/Implicitni_funkce.pdf}\\[20pt]
		\end{itemize}
\centerline{\MakeUppercase{ii. implicitn\'i funkce - v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.} $f'(0) = 2$, $f''(0) = -14$, funkce je na okol\'i bodu $0$ konk\'avn\'i\\[10pt]
\textbf{2.} viz. v\'ysledky zkou\v{s}kov\'ych p\'isemek zde: \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kalenda/edu.php?edutype=archpis}\\[10pt]

\konecPrednasky{7.10.2020}
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{iii. extr\'emy funkc\'i v\'ice prom\v{e}nn\'ych}}\ \\
	\textbf{1. U n\'asleduj\'ic\'ich funkc\'i nalezn\v{e}te lok\'aln\'i extr\'emy.}\\ \resetpr
	\pr $f(x,y) = x^2 + (y-1)^2$
	\pr $f(x,y)=|x^2+y^2 - 1|$
	\pr $f(x,y) = e^{x^2 - y}(5-2x+y)$\\
	\pr $f(x,y) = xy\sqrt{1-x^2-y^2}$, $(x,y)\in\{(x,y)\in\er^2\setsep x^2 + y^2 < 1\}$	
	\konecPrednasky{12.10.2020}
	
	\textbf{2. Zjist\v{e}te $\sup$ a $\inf$ funkce $f$ na mno\v{z}in\v{e} $M$ a vy\v{s}et\v{r}ete, zda t\v{e}chto hodnot funce $f$ na $M$ nab\'yv\'a (bez Lagrangeov\'ych multiplik\'ator\r{u}).}\resetpr\\[5pt]
	\pr $f(x,y) = x-2y-3$; $M = \{[x,y];0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1, x+y\leq 1\}$\\
	\pr $f(x,y,z) = (x+y)^2 + (x-y)^2 + z$; $M = \langle-1,1\rangle\times\langle-1,1\rangle\times\langle-1,1\rangle$\\
	\pr $f(x,y) = \arctg x + \arctg y$, $M = \{[x,y], x^2 + y^2 \leq 1, x\geq 0, y\geq 0\}$	\\
	\pr $f(x,y) = x^2 - xy + y^2$; $M = \{[x,y];|x| + |y| \leq 1\}$ (příklad se na přednášce nestihl, můžete jej spočítat jako užitečné cvičení samostatně)	
	\konecPrednasky{14.10.2020}
	
\textbf{3. Nalezn\v{e}te maxima a minima funkce $f$ na mno\v{z}in\v{e} $M$ (s Lagrangeov\'ymi multiplik\'atory).}\resetpr\\[5pt]
	\pr $f(x,y) = 5x - 3y$, $M = \{[x,y], x^2 + y^2 = 136\}$
	\pr $f(x,y) = \arctg x + \arctg y$, $M = \{[x,y], x^2 + y^2 \leq 1, x\geq 0, y\geq 0\}$\\
	\pr $f(x,y)=xy$, $M = \{[x,y], 3x^2 + y^2 = 6\}$ (příklad se na přednášce nestihl, můžete jej spočítat jako užitečné cvičení samostatně)\\[5pt]
	\textbf{4.} P\v{r}i jak\'ych rozm\v{e}rech bude m\'it otev\v{r}en\'a n\'adoba tvaru kv\'adru dan\'eho objemu $V$ minim\'aln\'i povrch?\\[5pt]
	\textbf{5.} Dan\'e kladn\'e \v{c}\'islo $a$ rozlo\v{z}te na sou\v{c}et dvou \v{c}\'isel $x$ a $y$ tak, \v{z}e sou\v{c}et jejich druh\'ych mocnin je minim\'aln\'i.\\[5pt]
	\textbf{6.} Doka\v{z}te nerovnost $\frac{x^n+y^n}{2}\geq \left(\frac{x+y}{2}\right)^n$ pro $n\geq 1$, $x\geq 0$ a $y\geq 0$.\\[5pt]
	\textbf{7.} Pro $M\subset \er^2$ a $x\in \er^2$ je vzd\'alenost bodu $\x$ od $M$ definov\'ana jako $\inf\{\rho(\x,\m), \m\in M\}$. Ur\v{c}ete vzd\'alenost bodu $[a,\tfrac{1}{2}]$ od paraboly $y=x^2$. (příklad se na přednášce nestihl, můžete jej spočítat jako užitečné cvičení samostatně)\\
	
	\konecPrednasky{19.10.2020}
		
	Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i:
	\begin{itemize} 
	\item příklady z oddílu IV.1 ke cvičení z Matematiky 2 (2015/16) umístěny na webu zde: \url{https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/examples.html}
	\item příklady 1-10, 11, 17-20, 22, 24, 28-37 z materiálů doc. Zeleného dostupné na odkazu zde:
\url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~zeleny/mff/MA_3/Extremy.pdf}
\end{itemize}

\bigskip
\centerline{\MakeUppercase{iii. extr\'emy funkc\'i v\'ice prom\v{e}nn\'ych - v\'ysledky}}\ \\
	\textbf{1.}\resetpr \pr $[0,1]$ - ostr\'e lok\'aln\'i minimum \pr $[0,0]$ - ostr\'e lok\'aln\'i maximum, $\{[x,y]\in\er^2\colon x^2+y^2=1\}$ jsou body lok\'aln\'iho minima (ale ne ostr\'eho) \pr $[1,-2]$ - nen\'i extr\'em (sedlov\'y bod) \pr $[\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}]$ a $[-\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}]$ jsou ostr\'a lok\'aln\'i maxima, $[\tfrac{1}{\sqrt{3}},-\tfrac{1}{\sqrt{3}}]$ a $[-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}]$ jsou ostr\'a lok\'aln\'i minima, ve stacion\'arn\'im bod\v{e} $[0,0]$ nen\'i lok\'aln\'i extr\'em\\
	\textbf{2.}\resetpr \pr max $-2$ v bod\v{e} $[1,0]$, min $-5$ v bod\v{e} $[0,1]$
	\pr max $5$ v bodech $[\pm1,\pm1,1]$, min $-1$ v bod\v{e} $[0,0,-1]$
	\pr max v $[\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}]$, min v $[0,0]$
	\pr max $1$ v bodech $[\pm 1,0]$, $[0,\pm 1]$, min $0$ v bod\v{e} $[0,0]$	\\
	\textbf{3.}\resetpr 
	\pr max $68$ v $[10,-6]$, min $-68$ v $[-10,6]$
	\pr max v $[\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}]$, min v $[0,0]$
	\pr max $\sqrt{3}$ v $[1,\sqrt{3}]$ a $[-1,-\sqrt{3}]$, min $-\sqrt{3}$ v $[1,-\sqrt{3}]$ a $[-1,\sqrt{3}]$\\
	\textbf{4.} Rozm\v{e}ry n\'adoby jsou $\sqrt[3]{2V}$, $\sqrt[3]{2V}$, $\sqrt[3]{\tfrac{V}{4}}$\quad
	\textbf{5.} $x=y=\tfrac{a}{2}$\\
	\textbf{6.} Hint: najd\v{e}te minimum funkce $f(x,y) = \frac{x^n+y^n}{2}$ za podm\'inky $x+y=c$.\quad
	\textbf{7.} $\sqrt{a^2 -\tfrac{3}{4}\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{a} + \tfrac{1}{4}}$	
\newpage

\centerline{\MakeUppercase{iv. stejnoměrná konvergence posloupností a řad funkcí}}\ \\
\textbf{1.} Vyšetřete bodovou a stejnoměrnou konvergenci posloupnosti funkcí $(f_n)_{n=1}^\infty$, kde $f_n(x) = x^n$, $x\in[0,1]$\\
\smallskip

\noindent\textbf{2.} Vyšetřete bodovou a stejnoměrnou konvergenci následujících řady funkcí $\suma f_n$, kde $f_n(x) = \frac{nx}{1+n^5x^2}$, $x\in\er$.\\
\smallskip

\konecPrednasky{21.10.2020}

\noindent\textbf{3.} Dokažte, že funkce $f$ daná předpisem \[f(x):=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(1+\frac{x}{n})}{\sqrt{n}}, \quad x\in\er\]
je spojitá na svém definičním oboru a spočtěte $f'(0)$.\\
\smallskip

\noindent\textbf{4.} Dokažte, že pro funkci $f(x):=\suma \frac{1}{n^x}$, $x\in(1,\infty)$ platí $f\in \C^1((1,\infty))$.\\
\smallskip

\noindent\textbf{5.} Dokažte, že pro funkci $f$ danou předpisem \[f(x):=\suma \frac{|x|}{n^2+x^2}, \quad x\in[-1,1]\]
platí $f\in \C([-1,1])$. Spočtěte $f'(\tfrac{1}{2})$ a $f'(0)$.\\
\smallskip

\noindent\textbf{6.} Nech\v{t} je funkce $f$ d\'ana p\v{r}edpisem
\[f(x):=\sum_{n=1}^\infty (-x^2+6x-8)^n.\]
	Nalezn\v{e}te defini\v{c}n\'i obor funkce $f$ (tj. ur\v{c}ete pro kter\'a $x\in \er$ je $f(x)\in\er$). Doka\v{z}te, \v{z}e funkce $f$ je spojit\'a v bod\v{e} $7/2$. Doka\v{z}te, \v{z}e funkce $f$ m\'a vlastn\'i derivaci v bod\v{e} $7/2$ a vyj\'ad\v{r}ete $f'(7/2)$ jako sou\v{c}et \v{c}\'iseln\'e \v{r}ady.\\
\smallskip
	
\noindent\textbf{7. (\textit{Příklad se na přednášce nestihl, můžete jej spočítat jako užitečné cvičení samostatně})} Nech\v{t} je d\'ana posloupnost funkc\'i $(f_n)_{n=1}^\infty$ p\v{r}edpisem
	\[f_n(x) = \frac{1}{n^2}\cdot\frac{|x+\tfrac{1}{n^2}| - |x-\tfrac{1}{n^2}|}{|x+\tfrac{1}{n^2}| + |x-\tfrac{1}{n^2}|},\quad x\in\er,n\in\en.\]	
Rozhodn\v{e}te, zda \v{r}ada funkc\'i $\sum_{n=1}^\infty f_n$ stejnom\v{e}rn\v{e} konverguje na $\er$\\ \emph{(Hint: rozepi\v{s}te si p\v{r}edpis funkce bez absolutn\'ich hodnot pro $x<-1/n^2$, $x\in [-1/n^2,1/n^2]$ a pro $x>1/n^2$)}.\\
Doka\v{z}te, \v{z}e funkce $f(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ je spojit\'a v bod\v{e} $3$. 
Doka\v{z}te, \v{z}e funkce $f(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ je klesaj\'ic\'i na intervalu $(2,\infty)$.\\
\bigskip

Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i:
\begin{itemize}
	\item příklady 13.61 - 13.70 ze sbírky Ilja Černý: Inteligentní kalkulus. Online zde: \url{http://matematika.cuni.cz/ikalkulus.html}
\end{itemize}

\bigskip
\centerline{\MakeUppercase{iv. stejnoměrná konvergence posloupností a řad funkcí - výsledky}}\ \\
	\textbf{1.} posloupnost bodově konverguje k funkci $f(x) = 0$ pro $x\in [0,1)$ a $f(x) = 1$ pro $x=1$, posloupnost není stejnoměrně konvergentní\qquad
	\textbf{2.} řada funkcí je stejnoměrně konvergentní\\
	\textbf{3.} $f'(0)=\suma (-1)^n\tfrac{\cos 1}{n^{3/2}}$\quad
	\textbf{5.} $f'(1/2) = \suma \tfrac{16n^2 - 4}{(4n^2 + 1)^2}$, $f'(0)$ neexistuje\\
	\textbf{6.} definiční obor je $(3-\sqrt{2},3)\cup(3,3+\sqrt{2})$, $f'(7/2) = 5\sum_{n=1}^\infty n\cdot(3/4)^{n-1}$\\
	\textbf{7.} řada je stejnoměrně konvergentní na $\er$.
	
	\konecPrednasky{26.10.2020}
\newpage

\centerline{\MakeUppercase{v. mocninné řady}}\ \\

\noindent\textbf{1. Nalezn\v{e}te polom\v{e}r konvergence n\'asleduj\'ic\'ich mocninn\'ych \v{r}ad. Ur\v{c}ete oblasti absolutn\'i
konvergence, neabsolutn\'i konvergence a divergence.}\resetpr \pr $\suma \tfrac{n^7}{n+20} x^n$ \pr $\suma \frac{1}{n^p}x^n$ ($p\in\er$)\\ \pr $\suma \frac{3^n+(-2)^n}{n} (x+1)^n$
 \pr $\suma \frac{(3+(-1)^n)^n}{n}x^n$\\ \pr $\suma \frac{x^n}{a^n + b^n}\;(a,b>0)$ (\textit{Příklad se na přednášce nestihl, můžete jej spočítat jako užitečné cvičení samostatně})\\
\smallskip

\noindent\textbf{2. Vyj\'ad\v{r}ete n\'asleduj\'ic\'i funkce jako mocninnou \v{r}adu o st\v{r}edu 0:}\\ \resetpr
	\pr $e^{-x^2}$
	\pr $(1+x)\log(1+x)$\\
	\pr $\arctg\left(\frac{2 - 2x}{1 + 4x}\right)$ (\textit{Příklad se na přednášce nestihl, můžete jej spočítat jako užitečné cvičení samostatně})\\

\konecPrednasky{2.11.2020}

\noindent\textbf{3. Se\v{c}t\v{e}te \v{r}ady v\v{s}ude na intervalu konvergence:}\\ \resetpr \pr $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{4n+5}}{n!}$
\pr $\suma nx^n$
\pr $\suma \frac{x^n}{n(n+1)}$\\
\smallskip

\noindent\textbf{4. Se\v{c}t\v{e}te \v{r}ady:}\\ \resetpr
\pr $\suma \frac{(-1)^n}{n}$
\pr $\suma \frac{n}{2^n}$
\pr $\suma (-1)^n\frac{2n+3}{(n+1)2^n}$\\
\smallskip

\noindent\textbf{5. Nalezněte maximální řešení následujících diferenciálních rovnic s počáteční podmínkou:}\\ \resetpr \pr $y'(x)=3y(x/2)$, $y(0)=1$\\

\konecPrednasky{4.11.2020}

Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i:
	\begin{itemize}
		\item příklady II.1.c,d,g,h; II.5; VI.1. a VI.2. ke cvičení z Matematické analýzy 2 (2016/17) umístěny na webu zde: \url{https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/examples.html}
		\end{itemize}
	\bigskip
	
	\centerline{\MakeUppercase{v. mocninné řady - výsledky}}\ \\
	\textbf{1.}\resetpr \pr $R=1$, AK pro $|x|<1$ a D jinak \pr R=1; pokud $p > 1$ pak AK pro $|x|\leq 1$ a D jinak; pokud $p\in(0,1]$ pak AK pro $|x| < 1$, K pro $x = -1$ a D pro $x=1$; pokud $p\leq 0$, pak AK pro $|x| < 1$ a D jinak \pr R=$1/3$, AK pro $|x+1| < R$, K pro $x = -4/3$, D pro $x = -2/3$ \pr R = 1/4, AK pro $|x| < R$, jinak D \pr R=$\max\{a,b\}$, AK pro $|x|<R$, jinak D\\
	\textbf{2.}\resetpr
	\pr $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{n!},\;x\in\er$
	\pr $x + \suma (-1)^{n+1}\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$
	\pr $\arctg 2 + \suma \frac{(-1)^n 2^{2n-1}}{2n-1}x^{2n-1},\; |x| < 1/2$\\
\textbf{3.}\resetpr \pr $x^5e^{x^4},\;x\in\er$ \pr $\frac{x}{(x-1)^2},\;x\in(-1,1)$ \pr $\log(\frac{1-x}{x}) - \log(1-x) + 1,\;x\in[-1,1]\setminus\{0\}$, sou\v{c}et je $0$ pro $x = 0$\\
\textbf{4.}\resetpr \pr $-\log 2$ \pr $2$ \pr $-2\log(\frac 23) - \frac 53$\\
\textbf{5.}\resetpr \pr $y(x) = \sum_{n=0}^\infty \tfrac{3^n}{n!2^{1+\ldots+n}}x^n$, $x\in\er$

\konecPrednasky{9.11.2020}
\konecPrednasky{11.11.2020}\\
\konecPrednasky{16.11.2020}

\newpage

\centerline{\MakeUppercase{teorie m\'iry}}\ \\

\noindent Doporučený zdroj informací a příkladů (i řešených) k teorii míry je především

\medskip

\noindent [1] Sbírka příkladů (i řešených) z teorie míry: Lukeš - Příklady k teorii Lebesgueova integrálu.\\ Online zde: \url{http://matematika.cuni.cz/lukes-pli.html}

\medskip

\noindent Další zdroje příkladů (často obsahují výběr příkladů ze sbírky výše):

\smallskip

\noindent [2] Materiály ke cvičením z teorie míry a integrálu (2013/14) na MFF.\\ K nalezení zde: \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~cuth/examples.html}
\smallskip

\noindent[3] Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové.\\ K nalezení zde: \url{http://www.karlin.mff.cuni.cz/~kuncova/historie08.php}

\noindent[4] Materiály ke cvičením z Teorie míry od Kristýny Kuncové.\\ K nalezení zde: \url{https://www.karlin.mff.cuni.cz/~kuncova/historie12.php}


\medskip

\noindent Níže specifikuji vždy nějaký výběr příkladů ze zdrojů výše, který považuji za vhodný pro další domácí počítání.

\bigskip

\centerline{\MakeUppercase{v. vícerozměrná integrace}}\ \\
\textbf{1. Pomocí Fubiniovy věty spočtěte míru $\lambda^2(M)$ mno\v{z}iny $M$:}\resetpr
\pr $M$ je omezená křivkami $x=2$, $y=x$, $xy=1$\\
\pr $M$ je omezen\'a k\v{r}ivkami: $2x-y = 0,\quad 2x-y-7=0,\quad x-4y+7=0,\quad x-4y+14=0$\\
\pr $M = \{[x,y]\in\er^2\setsep x>2,\;0 < y < 1/x\}$
\smallskip

\noindent\textbf{2. Pomocí Fubiniovy věty spo\v{c}t\v{e}te $\int_{[3,4]\times [1,2]}\tfrac{1}{(x+y)^2} \dl{2}$}
\smallskip

\noindent\textbf{3. Popište množinu $M\subset\er^2$ jejíž obsah je dán vzorcem $\int_0^2\int_{y^2}^4\dx\dy$, vyjádřete obsah množiny jako integrál kde $x$ je vnější proměnná a výpočtem ověřte platnost Fubiniovy věty}
\smallskip

\noindent\textbf{4. Spočtěte integrál $\int_0^3\int_y^3 e^{x^2} \dx \dy$}
\smallskip

\noindent\textbf{5. Spočtěte míru $\lambda^3(M)$ množiny $M$:}\resetpr \pr $M$ je omezená plochou $z=e^{-x^2}$ a rovinami $y=0$, $y=x$, $x=1$\\
\pr $M$ je omezená plochami $z=6x^2-2xy$, $y=3x-x^2$ a $y=x$\\
\smallskip

\noindent \textbf{Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i}: [1, úlohy 5.26, 5.28-5.30, 5.32-5.38, 5.42, 5.43] případně užší výběr příkladů z [2, úlohy IV.1-2 (pozor - IV.2e a IV.2f jsou technicky náročnější)]; další vhodný zdroj příkladů je [4, příklady 2. a 3. z odkazu ``10. Fubinka'']

\konecPrednasky{18.11.2020}

\noindent\textbf{6. Spo\v{c}t\v{e}te $\int\int_{M}f(x,y) \dl{2}$:}\resetpr 
\pr $M = \{[x,y]\in\er^2\setsep x^2 + y^2\leq 1\}$;\qquad $f(x,y) = \tfrac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}$\\
\pr $M = \{[x,y]\in\er^2\setsep \tfrac{x}{\sqrt{3}}\leq y\leq 2x, x\leq x^2 + y^2\leq 3x\}$;\qquad $f(x,y)=\tfrac{1}{(x^2+y^2)^2}$\\
\pr $M = \{[x,y]\in\er^2\setsep \tfrac{x^2}{9} + \tfrac{y^2}{4} \leq 1\}$;\qquad $f(x,y)=x^2+y^2$ (\textit{Příklad se na přednášce nestihl, můžete jej spočítat jako užitečné cvičení samostatně})\\
\smallskip

\noindent\textbf{7. Spo\v{c}t\v{e}te m\'iru $\lambda^2(M)$ mno\v{z}iny $M$:}\ \\ \resetpr 
\pr $M = \{[x,y]\in\er^2\setsep \tfrac{x^2}{a^2} + \tfrac{y^2}{b^2}\leq 1\}$\quad($a,b>0$, jedná se o obsah elipsy)\\
\pr $M = \{[x,y]\in\er^2\setsep (x^2 + y^2)^2\leq 2a^2(x^2 - y^2)\}$\quad($a>0$, jedná se o obsah plochy ohrani\v{c}en\'e lemnisk\'atou)\\

\konecPrednasky{23.11.2020}

\noindent \textbf{Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i}: [1, úlohy 5.26, 5.28-5.30, 5.32-5.38, 5.42, 5.43] případně užší výběr příkladů z [2, úlohy IV.1-2 (pozor - IV.2e a IV.2f jsou technicky náročnější)]; další vhodné zdroje příkladů jsou [3, příklady na 2D integrál kromě příkladu 7] a [4, přiklady z odkazu ``11. Substituce'' kromě příkladů 4,6,11,12]

\medskip

\noindent\textbf{8. Spo\v{c}t\v{e}te m\'iru $\lambda^3(M)$ mno\v{z}iny $M$:}\quad(v \'uloh\'ach uva\v{z}ujte v\v{s}echny parametry kladn\'e)\\ \resetpr
\pr $M = \{[x,y,z]\in\er^3\setsep \sqrt{x^2+y^2+z^2}\leq R\}$\quad($R>0$, objem koule)\\
\pr $M = \{[x,y,z]\in\er^3\setsep x^2+y^2+z^2\leq 2az, x^2 + y^2\leq z^2\}$\\
\pr $M = \{[x,y,z]\in\er^3\setsep x^2 + y^2 + z^2\leq R^2,\;x^2 + y^2\leq Rx\}$\quad(objem Vivianiho ok\'enka)\\
\pr $M = \{[x,y,z]\in\er^3\setsep (R - \sqrt{x^2 + y^2})^2 + z^2\leq a^2\}$, $R>a$\quad(objem anuloidu)\\

\konecPrednasky{25.11.2020}

\pr $M = \{[x,y,z]\in\er^3\setsep \tfrac{y^2}{2} + \tfrac{z^2}{3}\leq \tfrac{1}{x^2+2x+3}\}$\\
\smallskip

\noindent\textbf{9. Spo\v{c}t\v{e}te $\int\int\int_{M} z^2 \dl{3}$, kde $M = \{[x,y,z]\in\er^3\setsep x^2 + y^2 + z^2\leq R^2,\;x^2 + y^2 + z^2\leq 2Rz\}$ ($R>0$)}\\
\smallskip

\noindent\textbf{10. Dokažte, že $\int_0^\infty e^{-x^2} \dx = \sqrt{\pi}/2$} (tzv. Laplace\r{u}v integ\'al, dále jej budeme považovat za ,,zn\'amý integrál)\\%pomoci polarnich souradnic - viz. LM 5.84

\medskip

\noindent \textbf{Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i}: [2, úlohy IV.6 e,f (pozor - IV.6e je technicky náročnější) a IV.7.b,c,d]; další vhodné zdroje příkladů jsou [3, příklady 4-12 z odkazu ``3. 3D integrál'']

\bigskip

\centerline{\MakeUppercase{v. vícerozměrná integrace - v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr $3/2 - \log 2$ \pr $7$ \pr $+\infty$\quad
\textbf{2.}\resetpr \pr $\log \tfrac{25}{24}$\\
\textbf{3.} $M$ je ohraničena křivkami $x=4$, $y=0$ a $y^2=x$, máme $\int_0^2\int_{y^2}^4\dx\dy = \int_0^4\int_0^{\sqrt{x}}\dy\dx = \tfrac{16}{3}$\\
\textbf{4.} $\tfrac{1}{2}(e^9 - 1)$
\textbf{5.}\resetpr \pr $\tfrac{1}{2}(1 - \tfrac{1}{e})$ \pr $\tfrac{16}{3}$
\textbf{6.}\resetpr \pr $2\pi$ \pr $\tfrac{4}{9}\left(2 - \tfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ \pr $\tfrac{39}{2}\pi$
\textbf{7.}\resetpr \pr $ab\pi$ \pr $2a^2$ \\
\textbf{8.}\resetpr \pr $\tfrac{4}{3}\pi R^3$ \pr $a^3\pi$ \pr $\tfrac{2}{3}R^3(\pi - \tfrac{4}{3})$ \pr $2\pi^2Ra^2$ \pr $\pi^2\sqrt{3}$\\
\textbf{9.} $\pi R^5 \tfrac{59}{480}$

\konecPrednasky{30.11.2020}

\newpage
\centerline{\MakeUppercase{vi. Lebesgue\r{u}v-Stieltjes\r{u}v integr\'al}}\ \\
\textbf{1. Spočítejte hodnotu Lebesgueova-Stieltjesova integr\'alu $\int_M f(x) \dgx{g(x)}$ pro zadané funkce $f,g:M\to\er$ a množiny $M$:}\resetpr \\
\pr $M = [2,3]$, $f(x) = x^2, g(x) = \chi_{[2,\infty)}(x)$
\pr $M=[0,\infty)$, $f(x) = e^x$, $g(x) = (3-e^{-2x})\chi_{[0,\infty)}(x)$\\
\pr $M=[1,3]$, $f(x) = \begin{cases}x & x\neq 2\\ 1 & x=2\end{cases}$, $g(x) = \begin{cases}x & x < 0\\ x+1 & x\geq 0\end{cases}$\\
\pr $M=[-1,1]$, $f(x) = \begin{cases}x & x\neq 0\\ 1 & x=0\end{cases}$, $g(x) = \begin{cases}x & x < 0\\ x+1 & x\geq 0\end{cases}$\\
\pr $M=[0,3)$, $f(x) = x^2$, $g(x) = \begin{cases}0 & x<1\\ x^2-2x+2 & x\in[1,2)\\ 3 & x=2\\ x+2 & x>2\end{cases}$\\
\pr $f(x) = \begin{cases}e^{-2x} & x\leq 1\\ x & x>1\end{cases}$, $g(x) = \begin{cases}e^{3x} & x\leq 0\\ 2 & x\in (0,1)\\ 2x+1 & x\geq 1\end{cases}$, za $M$ uvažujte postupně následující množiny\\ (i) $M=(-1,0)$, (ii) $M=[-1,0]$ (iii) $M=(-1,1)$ (iv) $M=(-1,1]$ (v) $M=[1,3]$ (vi) $M=(-\infty,0)$\\

\konecPrednasky{2.12.2020}

\pr $M=[0,5]$, $f(x) = x^2+1$, $g(x) = [x]$ (celá část)\\
Následující příklady se nestihly spočítat na přednášce a jsou doporučeny studentům k procvičení:\\
\pr $M=[0,5]$, $f(x) = e^x$, $g(x) = x + [x]$\\
\pr $M=[\tfrac{1}{4},\tfrac{5}{4}]$, $f(x) = [x]$, $g(x) = [2x]$
\pr $M=[\tfrac{1}{4},\tfrac{5}{4}]$, $f(x) = [2x]$, $g(x) = [x]$

\bigskip

\centerline{\MakeUppercase{vi. Lebesgue\r{u}v-Stieltjes\r{u}v integr\'al - v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr $4$ \pr $4$ \pr $4$ \pr $1$ \pr $\tfrac{109}{6}$\\ \pr (i) $3(1-e^{-1})$ (ii) $4-3e^{-1}$ (iii) $4-3e^{-1}$ (iv) $4-3e^{-1} + e^{-2}$ (v) $e^{-2} + 8$ (vi) $3$\\ \pr $61$ \pr $e+e^2+e^3+e^4+2e^5$ \pr $1$ \pr $2$ 

\newpage
\centerline{\MakeUppercase{vii. konvergence integrálu}}\ \\
\textbf{1. Ur\v{c}ete, zda Lebesgueovy integr\'aly existuj\'i a zda jsou konvergentn\'i (s parametry $p,q,s\in\er$, $k\in\en\cup\{0\}$)}\resetpr
\pr $\int_0^\infty \tfrac{1}{1+x^2} \dx$
\pr $\int_0^\infty e^{-x^2} \dx$
\pr $\int_0^1 \tfrac{1}{\sin x} \dx$
\pr $\int_{1/2}^1 \sqrt{\tfrac{1}{|\log x|}} \dx$\\
výsledky následujících příkladů budeme dále považovat za ,,zn\'amé integrály''\\
\pr $\int_2^\infty \tfrac{1}{x^p(\log x)^q} \dx$
\pr $\int_0^{1/2} \tfrac{1}{x^p|\log x|^q} \dx$
\pr $\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1}(\log x)^k \dx$

\konecPrednasky{7.12.2020}

\pr $\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\dx$\\
další příklady na konvergenci integrálů\\
\pr $\int_0^1 \tfrac{\log(1-p^2x^2)}{x^2\sqrt{1-x^2}} \dx$
\pr $\int_0^{\tfrac{\pi}{2}} (\tan x)^p \dx$

\medskip

\noindent \textbf{Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i}: [1, úlohy III.3.33-3.36] případně užší výběr příkladů z [2, úlohy I.1 a I.2 (některé spočítané na přednášce - viz. výše)]; další vhodný zdroj příkladů je [4, příklady z odkazů ``1. Opakování AK'' a ``2. Opakování AK II'']

\bigskip

\noindent\centerline{\MakeUppercase{vii. konvergence integrálu - výsledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr K \pr K \pr existuje, ale nekonverguje \pr K \pr existuje vždy, konverguje pokud $p>1$ a $q\in\er$, nebo $p=1$ a $q>1$ \pr existuje vždy, konverguje pokud $p<1$ a $q\in\er$, nebo $p=1$ a $q>1$ \pr existuje vždy, konverguje pokud $s\in(0,\infty)$ a $k\in\en\cup\{0\}$ jinak diverguje \pr existuje vždy, konverguje pokud $p>0$ a $q>0$ \pr konverguje pokud $p\in[-1,1]$, jinak neexistuje \pr existuje vždy, konverguje pokud $p\in (-1,1)$\\


\newpage

\centerline{\MakeUppercase{viii. integrace posloupnost\'i a \v{r}ad funkc\'i}}\ \\
\textbf{1. Spo\v{c}t\v{e}te n\'asleduj\'ic\'i limity: }\resetpr
\pr $\lp \int_0^1 \tfrac{x^n}{n} \dx$
\pr $\lp \int_0^1 \tfrac{nx}{1+n^2x^2} \dx$
\pr $\lp \int_0^1 \frac{n^{3/2}x}{1 + n^2x^2}$\\
\pr $\displaystyle\lim_{a\to \infty}\int_0^\infty e^{-ax^2} \dx$\\

\konecPrednasky{9.12.2020}

\noindent \textbf{Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i}: [2, úlohy II.1 a II.2 (některé spočítané na přednášce - viz. výše)]; další vhodný zdroj příkladů je [4, příklady z odkazů ``3. Limita a integrál'' a ``4. Limita a integrál'']

\medskip

\noindent\textbf{2. V n\'asleduj\'ic\'ich p\v{r}\'ikladech rozvi\v{n}te integrovanou funkci v \v{r}adu, ov\v{e}\v{r}te mo\v{z}nost z\'am\v{e}ny \v{r}ady a integr\'alu a vyj\'ad\v{r}ete integr\'al jako \v{c}\'iselnou \v{r}adu.}\\ \resetpr
\pr $\int_0^1 \tfrac{\log(1-x)}{x} \dx$
\pr $\int_0^1 \tfrac{\log(1+x)}{x} \dx$
\pr $\int_0^\infty \tfrac{x}{e^x-1} \dx$
\pr $\int_0^\infty e^{-x}\cos\sqrt{x} \dx$
\pr $\int_0^1 \tfrac{x^{p-1}}{1 + x^q} \dx\;\; (p,q > 0)$
\pr $\int_0^\infty \tfrac{1}{e^{8x} + 1} \dx$\\
\medskip

\noindent \textbf{Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady k procvi\v{c}en\'i}: [2, úlohy II.3 (některé spočítané na přednášce - viz. výše)]; další vhodný zdroj příkladů je [4, příklady z odkazů ``5. Řada a integrál'']\\

\bigskip

\centerline{\MakeUppercase{viii. integrace posloupnost\'i a \v{r}ad funkc\'i - v\'ysledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr 0 \pr 0\pr 0 \pr 0\\
\textbf{2.}\resetpr \pr $- \sumaO \tfrac{1}{(n+1)^2}$ \pr $\sumaO \tfrac{(-1)^n}{(n+1)^2}$ \pr $\sumaO \tfrac{1}{(n+1)^2}$ \pr $\sumaO (-1)^n\tfrac{n!}{(2n)!}$ \pr $\sumaO \tfrac{(-1)^n}{p+nq}$ \pr $\sumaO (-1)^n \tfrac{1}{8(n+1)} \stackrel{(e)}{=} \tfrac{\log 2}{8}$

\konecPrednasky{14.12.2020}

\newpage

\centerline{\MakeUppercase{viii. integr\'aly z\'avisl\'e na parametru}}\ \\
\textbf{1. Ur\v{c}ete defini\v{c}n\'i obor n\'asleduj\'ic\'ich re\'aln\'ych funkc\'i (= mno\v{z}inu v\v{s}ech $a\in\er$, \v{z}e $F(a)\in\er$) a doka\v{z}te, \v{z}e jsou na sv\'em defini\v{c}n\' im oboru spojit\'e.}\\[5pt] \resetpr
\pr $F(a) = \int_0^\infty \tfrac{e^{-ax}}{1+x^2} \dx$
\pr $F(a) = \int_0^\infty e^{-ax} \dx$
\pr $F(a) = \int_{-1}^1 \sqrt{x^2 + a^2} \dx$ (tento p\v{r}\'iklad se na p\v{r}edn\'ašce nestihl)\\
\pr $F(a) = \int_0^1 \log(x^2 + a^2) \dx$ (spojitost v nule se na přednášce nestihla)\\

\konecPrednasky{16.12.2020}

\noindent\textbf{2. Načrtněte grafy funkce $F(a) = \int_0^\infty \tfrac{e^{-ax^2}}{1+x^2}$ (tj. spočtěte první a druhou derivaci, určete monotonii a konvexitu-konkávitu + limity v krajních bodech definičního oboru)}\\
\smallskip

\noindent\textbf{3.} Rozhodn\v{e}te, pro kter\'e hodnoty parametr\r{u} konverguje Lebesgue\r{u}v
integr\'al $\displaystyle\int_0^\infty \frac{1 - e^{-ax}}{xe^x} \dx$.

\konecPrednasky{21.12.2020}

Spo\v{c}t\v{e}te jeho hodnotu pomoc\'i v\v{e}ty o derivov\'an\'i integr\'al\r{u} z\'avisl\'ych na parametru.\\
	
	\smallskip
	
\noindent Dal\v{s}\'i p\v{r}\'iklady z t\'eto sekce se na p\v{r}edn\'a\v{s}ce nestihly (doporučuji ale studentům si je spočítat - buď v rámci cvičení, nebo samostatně).

\medskip
	
\noindent\textbf{4.} Uva\v{z}ujme funkci $F$ zadanou p\v{r}edpisem
	\[F(a):=\int_1^\infty \frac{\cos(\tfrac{x}{a})}{\sqrt{x^7}} \dx,\qquad a\in\er\setminus\{0\}.\]
    \begin{itemize}
    	\item Doka\v{z}te, \v{z}e $F(a)\in\er$ pro $a\in\er\setminus\{0\}$.
        \item Doka\v{z}te, \v{z}e funkce $F$ je spojit\'a na sv\'em defini\v{c}n\'im oboru.
        \item Vyj\'ad\v{r}ete $F'(a)$ pro $a\in\er\setminus\{0\}$.
		%\item Vyj\'ad\v{r}ete $F''(a)$ pro $a\in (0,\infty)$.
        \item Spo\v{c}t\v{e}te $\lim_{a\to +\infty} F(a)$.
    \end{itemize}\ \\
		
		\smallskip
	
\noindent\textbf{5.} Uva\v{z}ujme funkci $F$ zadanou p\v{r}edpisem
	\[F(a):=\int_0^\infty e^{-8x}\frac{1 - \cos ax}{x} \dx,\qquad a\in\er.\]
	\begin{itemize}
    	\item Doka\v{z}te, \v{z}e $F(a)\in\er$ pro $a\in\er$.        
        \item Vyj\'ad\v{r}ete $F'(a)$ pro $a\in \er$ pomoc\'i integr\'alu a p\v{r}\'islu\v{s}n\'y integr\'al spo\v{c}t\v{e}te. Dostanete tak hodnotu $F'(a)$ pro $a\in\er$.
        \item Nalezn\v{e}te primitivn\'i funkci k $F'(a)$ a ur\v{c}ete hodnotu integr\'alu $F(a)$ pro $a\in\er$.
    \end{itemize}\ \\
		
		\smallskip
	
\noindent\textbf{6.}  Uva\v{z}ujme funkci $F$ zadanou p\v{r}edpisem
	\[F(a):=\int_0^\infty \frac{\exp(-a(x+1))}{x+1}(2x+1) \dx,\qquad a\in (0,\infty).\]
    \begin{itemize}
    	\item Doka\v{z}te, \v{z}e $F(a)\in\er$ pro $a\in (0,\infty)$.        
        \item Vyj\'ad\v{r}ete $F'(a)$ pro $a\in (0,\infty)$ pomoc\'i integr\'alu a vy\v{s}et\v{r}ete monotonii funkce $F$ na $(0,\infty)$.
        \item Vyj\'ad\v{r}ete $F''(a)$ pro $a\in (0,\infty)$ pomoc\'i integr\'alu, vy\v{s}et\v{r}ete konvexitu/konk\'avitu funkce $F$ na $(0,\infty)$.
    \end{itemize}
    \emph{Pozn: M\r{u}\v{z}ete bez d\r{u}kazu pou\v{z}\'ivat, \v{z}e pro ka\v{z}d\'y polynom $P$ a ka\v{z}d\'e $C>0$ je integr\'al $\int_0^\infty P(x)\exp(-Cx) \dx$ konvergentn\'i}\\
		
		\smallskip
	
\noindent\textbf{7.} Uva\v{z}ujme funkci $F$ zadanou p\v{r}edpisem
	\[F(a):=\int_0^\infty \frac{\sin ax}{e^x - 1} \dx,\qquad a\in \er.\]
    \begin{itemize}
    	\item Doka\v{z}te, \v{z}e $F(a)\in\er$ pro $a\in \er$.
			\item Vyj\'ad\v{r}ete $F'(a)$ pro $a\in (0,\infty)$ pomoc\'i integr\'alu.
			\item Uka\v{z}te, \v{z}e pro ka\v{z}d\'e $x\in (0,\infty)$ a $a\in\er$ plat\'i $\frac{\sin ax}{e^x - 1} = \sin(ax)e^{-x}\sum_{n=0}^\infty e^{-nx}$.
      \item Ov\v{e}\v{r}te mo\v{z}nost z\'am\v{e}ny \v{r}ady a integr\'alu a vyj\'ad\v{r}ete pro ka\v{z}d\'e $a\in\er$ integr\'al $F(a)$ jako \v{c}\'iselnou \v{r}adu.        
    \end{itemize}

\medskip

\centerline{\MakeUppercase{viii. integr\'aly z\'avisl\'e na parametru - výsledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr defini\v{c}n\'i obory: \pr $[0,\infty)$ \pr $(0,\infty)$ \pr $\er$ \pr $\er$\\
\textbf{2.} bude ukázáno na přednášce\\
\textbf{3.}	$\log(a + 1),\;a\in(-1,\infty)$\\
\textbf{4.} $F'(a) = \int_1^\infty \frac{\sin(\tfrac{x}{a})}{\sqrt{x^5}a^2} \dx$, $\lim_{a\to\infty} F(a) = \tfrac{2}{5}$.\\
\textbf{5.} $F'(a) = \tfrac{a}{64 + a^2}$, $F(a) = \tfrac{1}{2}(\log(64+a^2) - \log 64)$.\\
\textbf{6.} $F'(a) = - \int_0^\infty (2x+1)\exp(-a(x+1)) \dx$, $F$ kles\'a na $(0,\infty)$, $F''(a) = \int_0^\infty (2x+1)(x+1)\exp(-a(x+1)) \dx$, $F$ je konvexn\'i na $(0,\infty)$.\\
\textbf{7.} $F'(a) = \int_0^\infty \frac{x\cos(ax)}{e^x - 1} \dx$, $F(0)=0$, $F(a) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a}{a^2 + (n+1)^2}$ pro $a\neq 0$.

\newpage

\centerline{\MakeUppercase{ix. počítání integrálů pomocí funkcí $\Gamma$ a $B$}}\ \\
\textbf{1.Dokažte platnost následujících vzorců:} (tyto vzorce můžete používat v dalších příkladech)\resetpr \\ \pr $B(p,q) = 2\int_0^{\pi/2} \cos^{2p-1}x\sin^{2q-1}x \dx$ \pr $B(p,q) = \int_0^\infty \frac{x^{p-1}}{(1+x)^{p+q}} \dx$
\smallskip

\noindent\textbf{2. Spočtěte hodnotu následujících integrálů:}\resetpr
\pr $\int_0^\infty x^4 e^{-x^2} \dx$
\pr $\int_0^{\pi/2} \sin^4x \cos^6 x \dx$\\
\pr $\int_0^\infty \tfrac{x^{p-1}}{1+x^n} \dx$ ($0<p<n$, $n\in\en$)
\pr $\int_0^1 \tfrac{1}{\sqrt{1-x^4}} \dx$
\pr $\int_{-\infty}^\infty \tfrac{e^{px}}{1 + e^{nx}}$ ($0<p<n$, $n\in\en$)\\
\smallskip

%\noindent\textbf{3. Spočtěte hodnotu následujících limit (s použitím Stirlingova vzorce):}\resetpr \\
%\pr $\lp \sqrt[n]{\frac{(2n)!}{(n!)^2}}$
%\pr $\lp \tfrac{n!}{\sqrt{n}\Gamma(n+1/2)}$\\
%\medskip

\centerline{\MakeUppercase{ix. počítání integrálů pomocí funkcí $\Gamma$ a $B$ - výsledky}}\ \\
\textbf{2.}\resetpr \pr $\tfrac{3}{8}\sqrt{\pi}$ \pr $\tfrac{3}{2^9}\pi$ \pr $\tfrac{\pi}{n\sin \tfrac{\pi p}{n}}$ \pr $\tfrac{(\Gamma(1/4))^2}{4\sqrt{2\pi}}$ \pr $\tfrac{\pi}{n\sin \tfrac{\pi p}{n}}$ \\
%\textbf{3.}\resetpr \pr $4$ \pr $2\pi$

\centerline{\MakeUppercase{x. Aplikace Stirlingova vzorce}}\ \\
\textbf{1. Spo\v{c}\'itejte limity}\resetpr \pr $\lp \sqrt[n]{\frac{(2n)!}{(n!)^2}}$ 

\konecPrednasky{4.1.2021}

\pr $\lp \lambda^n(B(0,1))$

\medskip

\centerline{\MakeUppercase{x. Aplikace Stirlingova vzorce - výsledky}}\ \\
\textbf{1.}\resetpr \pr $4$ \pr $0$

\konecPrednasky{6.1.2021}
\end{document}