\documentclass[10pt,notitlepage]{report}

\frenchspacing % aktivuje pou?it? n?kter?ch ?esk?ch typografick?ch pravidel

\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage[cp1250]{inputenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,enumerate,mathabx,multicol}
\usepackage[top=1cm]{geometry} % nastaven? dan? velikosti okraj?
%\pagestyle{empty}
\newtheorem{theorem}{V\v{e}ta}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{fact}[theorem]{Fakt}
\newtheorem{prop}[theorem]{Tvrzen\'i}
\newtheorem{corollary}[theorem]{D\r{u}sledek}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defin}{Definice}
\newtheorem*{cviko}{Cvi\v{c}en\'i}
\newtheorem*{pozn}{Pozn\'amka}
\newtheorem*{pozns}{Pozn\'amky}
\newtheorem*{notation}{Zna\v{c}en\'i}
\newtheorem*{convention}{\'Umluva}
\newtheorem*{example}{P\v{r}\'iklad}
\newtheorem*{examples}{P\v{r}\'iklady}
\newtheorem*{exercise}{Cvi\v{c}en\'i}

\def\ce{\mathbb C} 
\def\en{\mathbb N}
\def\qe{\mathbb Q}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\er{\mathbb R}
\def\A{\mathcal{A}}
\def\B{\mathcal{B}}
\def\P{\mathcal{P}}
\def\M{\mathfrak{M}}
\def\m{\mathfrak{m}}
\def\dom{D}
\def\rng{H}
\def\Rr{\er^*}
\def\R{\er}
\def\N{\en}
\def\nec{Nech\v t\ }
\def\ov{\overline}
\newcommand\eqc{\overset c=}
\def\st{\operatorname{st}}
\def\period{\mathcal{P}([0,2\pi])}
\def\eqdef{\stackrel{\text{\tiny def}}{=}}
\def\Mod{\operatorname{mod}}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\def\sgn{\operatorname{sgn}}
\newcommand\lx[1][0]{\displaystyle\lim_{x\to #1}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \tg {\operatorname{tg}}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def \arg {\operatorname{arg}}
\def \Arg {\operatorname{Arg}}
\def \Log {\operatorname{Log}}
\def\arccotg{\operatorname{arccotg}}
\def\ind{\operatorname{ind}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\def \sumad {\sum_{k=2}^\infty}
\def \dx {\, \mathrm{d} x}
\def \dt {\, \mathrm{d} t}
\def \dz {\, \mathrm{d} z}
\def \dw {\, \mathrm{d} w}
\def \dmu {\, \mathrm{d} \mu}
\def \dnu {\, \mathrm{d} \nu}
\newcommand\dgx[1]{\, \mathrm{d} #1}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\def\C{\mathcal{C}}
\def\ov{\overline}
\def\x{\mathbf{x}}
\def\a{\mathbf{a}}
\def\o{\mathbf{o}}
\def\y{\mathbf{y}}
\def\f{\mathbf{f}}
\def\dist{\operatorname{dist}}
\def\setsep{;\;}
\def\at{A\v{t} }
\def\ve{\varepsilon}
\def\de{\delta}
\def\Int{\operatorname{Int}}
\def\Re{\operatorname{Re}}
\def\Im{\operatorname{Im}}
\def\res{\operatorname{res}}
\newcommand\nint{(N)\int}
\newcommand\rint{(R)\int}
\newcommand\rsint{(RS)\int}
\newcommand\dl[1]{\, \mathrm{d} \lambda^{#1}}
\newcommand\ser[2]{\sum_{#1=#2}^\infty}
\newcommand\abs[1]{\left|#1\right|}
\newcommand\cbl[1]{\textbf{#1}}
\newcommand\emphdef[1]{\emph{#1}}
%minus s teckou
\makeatletter
\newcommand{\dotminus}{\mathbin{\text{\@dotminus}}}

\newcommand{\@dotminus}{%
  \ooalign{\hidewidth\raise1ex\hbox{.}\hidewidth\cr$\m@th-$\cr}%
}
\makeatother
%formatovani kapitol a sekci
\titleformat{\chapter}
   {\normalfont\LARGE\bfseries}{\thechapter.}{1em}{}
\titlespacing*{\chapter}
  {0pt}{20pt}{20pt}
  \titleformat{\section}
   {\normalfont\large\bfseries}{\thesection.}{1em}{}


\newcounter{Priklad}
\addtocounter{Priklad}{1}
\newcommand{\pr}{\quad\alph{Priklad})\;\addtocounter{Priklad}{1}}
\newcommand{\resetpr}{\setcounter{Priklad}{1}}

\newcounter{prednaska}
\newcommand{\cisloPrednasky}{\addtocounter{prednaska}{1}\arabic{prednaska}}
\newcommand\konecPrednasky[1]{\bigskip
	\hfill\textbf{konec \cisloPrednasky.~p\v{r}edn\'a\v{s}ky (#1)}
	\bigskip}

\title{P\v{r}edn\'a\v{s}ka - Kalkulus 2, MFF}  % tyto dv? polo?ky jsou zde v podstat? form?ln?, ve skute?nosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document}
\chapter{Funkce více proměnných}

\section{Spojitost funkcí a parciálních derivací, věta o implicitní funkci}

\begin{defin}
Nechť $f$ je reálná funkce $n$ proměnných, $a \in \R^n$ a $1 \leq i \leq n$.
Pak \emphdef{parciální derivaci funkce $f$ v bodě $a$ podle $i$-té proměnné} definujeme jako limitu
\[\begin{split}
\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) & = \lim_{t \to 0} \frac{f(a+te^i) - f(a)}{t}\\
& = \lim_{t \to 0} \frac{f(a_1,\ldots,a_{i-1}, a_i + t, a_{i+1},\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots,a_n)}{t},
\end{split}\]
pokud tato limita existuje vlastní. Symbolem $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ označujeme \textbf{parciální derivaci funkce $f$ podle $i$-té proměnné}, tj. funkci definovanou předpisem
\[
\frac{\partial f}{\partial x_i}\colon x \mapsto \frac{\partial f}{\partial x_i}(x).
\]
\end{defin}

\begin{convention}V dalším textu bude výrok\uv{parciální derivace existuje} znamenat, že parciální derivace existuje \emph{vlastní}.
\end{convention}

\konecPrednasky{30.9.2020}

\begin{theorem}[o nabývání mezihodnot]Nechť $I\subset \er^n$ je interval, $f:I\to\er$ spojit\'a funkce a ať jsou dány body $a, b\in I$ takové, že $f(a) < f(b)$. Pak pro libovolné $\zeta\in(f(a),f(b))$ existuje $c\in I$ takové, že $f(c) = \zeta$.
\end{theorem}

%\begin{theorem}[o st\v{r}edn\'i hodnot\v{e}]
%Nechť $f$ je reálná funkce $n$ proměnných, $I = (\alpha_1,\beta_1) \times \dots \times (\alpha_n,\beta_n) \subset \R^n$, $a,b \in I$.
%Nechť v každém bodě $I$ existují parciální derivace $f$ podle všech proměnných. Potom existují body $\xi^1, \dots, \xi^n \in I$ takové, že
%\[
%f(b) - f(a) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(\xi^i)(b_i-a_i).
%\]
%\end{theorem}

\begin{theorem}[vztah parciálních derivací a spojitosti]Nechť $f$ je reálná funkce $n$ proměnných, $a \in \R^n$ a $\frac{\partial f}{\partial x_1}$, \dots, $\frac{\partial f}{\partial x_n}$ jsou spojité funkce v bodě $a$. Pak $f$ je spojit\'a v bodě $a$.
\end{theorem}

\begin{pozn}Existence parciálních derivací nestačí (viz. příklad z přednášky).
\end{pozn}

%\begin{defin}\nec $G\subset \er^n$ je nepr\'azdn\'a a otev\v{r}ená. Nechť funkce $f:G\to\er$ má v každém bodě množiny $G$ spojité všechny parciální derivace. Pak říkáme, že funkce $f$ je třídy $\C^1$ na $G$. Množinu všech takových funkcí značíme $\C^1(G)$.
%\end{defin}

\begin{defin}\nec $G\subset \er^n$ je neprázdná otev\v{r}ená množina, $i, j\in \{1,\ldots,n\}$, funkce $f:G\to \er$ má v každém bodě $G$ vlastní $i$-tou parciální derivaci a $\a\in G$. Parciální derivaci funkce $\x\mapsto \frac{\partial f}{\partial x_i}(\x)$ podle proměnné $x_j$ v bodě $\a$ značíme
\[
	\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(\a)=\frac{\partial\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)}{\partial x_j}(\a)
\]
a nazýváme ji \emphdef{parciální derivací druhého řádu} funkce $f$. Je-li $i=j$, pak používáme značení $\frac{\partial^2 f}{\partial^2 x_i}(\a)$.\\

Analogicky se definují parciální derivace vyšších řádů.
\end{defin}

\begin{defin}Nechť $G\subset \er^n$ je otev\v{r}en\'a množina a $k\in\en$. Nechť funkce $f:G\to\er$ má v každém bodě množiny $G$ spojité všechny parciální derivace až do řádu $k$. Pak říkáme, že funkce $f$ je třídy $\C^k$ na $G$. Množinu všech takových funkcí značíme $\C^k(G)$.
\end{defin}

\begin{theorem}[o implicitní funkci]\nec $k\in\en$, $G\subset \er^2$ je otevřená, $F:G\to\er$, $(x_0,y_0)\in G$ a nechť platí
  \begin{enumerate}[(i)]
   \item $F\in\C^k(G)$,
   \item $F(x_0,y_0) = 0$,
   \item $\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0$.
  \end{enumerate}
Pak existují $\varepsilon > 0$ a $\delta>0$ taková, že pro každé $x\in (x_0-\varepsilon,x_0 + \varepsilon)$ existuje právě jedno $y\in (y_0-\delta,y_0 + \delta)$ s vlastností $F(x,y)=0$. Označíme-li toto $y$ symbolem $\varphi(x)$, pak $\varphi\in\C^k((x_0-\varepsilon,x_0 + \varepsilon))$ a
\[
  \varphi'(x) = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}(x,\varphi(x))}{\frac{\partial F}{\partial y}(x,\varphi(x))},\qquad x\in(x_0-\varepsilon,x_0 + \varepsilon).
\]
\end{theorem}
\begin{proof}Na přednášce byla dokázána existence $\varepsilon > 0$ a $\delta>0$ takového, že pro každé $x\in (x_0-\varepsilon,x_0 + \varepsilon)$ existuje právě jedno $y\in (y_0-\delta,y_0 + \delta)$ s vlastností $F(x,y)=0$. Zbytek důkazu byl vynechán.
\end{proof}

\konecPrednasky{5.10.2020}

\konecPrednasky{7.10.2020}

\section{Extrémy funkcí více proměnných}

\begin{defin}\nec $M\subset\er^n$, $\x\in M$ a $f$ je reálná funkce definovan\'a alespo\v{n} na $M$ (tj. $M\subset \dom(f)$ a $\rng(f)\subset \er$). Řekneme, že $f$ nabývá v bodě $x$
	\begin{itemize}
		\item \emphdef{maxima} na $M$, jestliže platí $\forall \y\in M:\; f(\y)\leq f(\x)$,
		\item \emphdef{lokálního maxima vzhledem k $M$}, jestliže existuje $\delta > 0$ takové, že $\forall \y\in B(\x,\delta)\cap M:\; f(\y)\leq f(\x)$,
		\item \emphdef{ostrého maxima na $M$}, jestliže platí $\forall \y\in M\setminus\{\x\}:\; f(\y) < f(\x)$,
		\item \emphdef{ostrého lokálního maxima vzhledem k $M$}, jestliže existuje $\delta > 0$ takové, že $\forall \y\in (B(\x,\delta)\setminus\{\x\})\cap M:\; f(\y) < f(\x)$
	\end{itemize}
	Analogicky definujeme \emphdef{minimum} a \emphdef{ostré minimum na $M$}, \emphdef{lokální minimum} a \emphdef{ostré lokální minimum vzhledem k $M$}.
\end{defin}

\subsubsection{Extrémy na otevřené množině}

\begin{theorem}[nutná podmínka lokálního extrému]Nech\v{t} $G\subset \er^n$ je otevřená množina, $\a\in G$ a funkce $f:G\to \er$ má v bod\v{e} $\a$ lokální extrém. Pak pro každé $j\in \{1,\ldots,n\}$ platí:
	\[\text{Parciální derivace} \frac{\partial f}{\partial x_j}(\a)
\text{buď neexistuje, nebo je rovna nule.}
\]
\end{theorem}
\begin{proof}Důkaz byl předveden na přednášce.
\end{proof}

\begin{defin}\nec $G\subset \er^n$ je otev\v{r}en\'a množina, $\a\in G$ a $f\in\C^1(G)$. \emphdef{Gradientem funkce $f$ v bodě $\a$} rozumíme vektor
\[\nabla f(\a):=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(\a),\frac{\partial f}{\partial x_2}(\a),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(\a)\right).\]
Pokud $\nabla f(\a) = \o$, pak bod $\a$ nazýváme \emphdef{stacionárním bodem} funkce $f$.
\end{defin}

\begin{defin}Nechť $G\subset \er^2$ je neprázdná otev\v{r}ená množina, $\a\in G$ a $f\in\C^2(G)$. Pak \emphdef{Hessova matice} je matice
 \[\left(\begin{array}{cc}
	 \frac{\partial^2 f}{\partial^2 x}(\a) & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(\a) \\
	\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(\a) & \frac{\partial^2 f}{\partial^2 y}(\a)\\
 \end{array}\right)\]
Značíme ji symbolem $\nabla^2 f(\a)$.
\end{defin}

\begin{theorem}\nec $G\subset \er^2$ je neprázdná otev\v{r}ená množina, $f\in\C^2(G)$ a $\a\in G$ je stacionárním bodem funkce $f$. Potom platí:
\begin{enumerate}[(a)]
	\item Je--li matice $\nabla^2 f(\a)$ negativně definitní, nabývá $f$ v bodě $\a$ ostrého lokálního maxima.
	\item Je--li matice $\nabla^2 f(\a)$ pozitivně definitní, nabývá $f$ v bodě $\a$ ostrého lokálního minima.
	\item Je--li matice $\nabla^2 f(\a)$ indefinitní, nenabývá $f$ v bodě $\a$ ani lokálního minima, ani lokálního maxima, tj. $\a$ je sedlový bod funkce $f$.
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{pozn}Pojem pozitivní/negativní definitnosti byl definován v předmětu Lineární algebra. Připomeňme, že symetrická matice $\left(\begin{array}{cc}
	 a & c \\
	 c & b \\
	\end{array}\right)$
	je
	\begin{itemize}
		\item pozitivně definitní, právě když $a > 0$ a $ab > c^2$,
		\item negativně definitní, právě když $a < 0$ a $ab > c^2$,
		\item indefinitní, právě když $ab < c^2$.
	\end{itemize}
\end{pozn}

\begin{theorem}[záměnnost parciálních derivací]\label{v:zamenost}Nech\v{t} $G\subset \er^n$ je otevřená množina a $f\in\C^2(G)$. Pak pro každé $a\in G$ plat\'i $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(\a)=\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}(\a)$
\end{theorem}

\begin{pozn}Bez předpokladu $f\in\C^2(G)$ Věta~\ref{v:zamenost} neplatí (viz. příklad z přednášky).
\end{pozn}

\konecPrednasky{12.10.2020}

\subsubsection{Extrémy na uzavřené množině - Lagrangeova věta o multiplikátoru}

\begin{defin}
Množina $A\subset \er^n$ je \emphdef{omezená}, pokud je omezená množina $\{\rho(x,0)\setsep x\in A\}$.

Množina $A\subset \er^n$ je \emphdef{kompaktní}, pokud je uzavřená a omezená.
\end{defin}

\begin{theorem}[o nabývání extrémů]Nechť $A\subset \er^n$ je kompaktní množina, $f:A\to \er$ spojitá funkce. Pak existují body $c, d\in A$ takové, že
\[
	f(c) = \inf \{f(x)\setsep x\in A\},\qquad f(d) = \sup \{f(x)\setsep x\in A\}.
\]
\end{theorem}

\konecPrednasky{14.10.2020}

\begin{theorem}[Lagrangeova věta o multiplikátoru]\nec $G\subset \er^2$ je otev\v{r}ená množina, $f, g\in\C^2(G)$, $M = \{(x,y)\in G\setsep g(x,y) = 0\}$ a $(x_0,y_0)\in M$ je bodem lokálního extrému funkce $f$ vzhledem k množině $M$. Potom je splněna alespoň jedna z následujících podmínek:
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item $\nabla g(x_0,y_0) = (0,0)$,
		\item existuje číslo $\lambda\in\er$ splňující
		\[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) + \lambda\frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0) = 0,\]
		\[\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) + \lambda\frac{\partial g}{\partial y}(x_0,y_0) = 0.\]
	\end{enumerate}
\end{theorem}

\konecPrednasky{19.10.2020}

\chapter{Posloupnosti a řady funkcí}

\section{Stejnoměrná konvergence posloupností a řad funkcí}

\begin{defin}
 Nechť $E$ je množina, $f:E\to\er$ je funkce a pro $n\in\en$ je $f_n:E\to\er$ funkce. Řekneme, že posloupnost $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ \emphdef{konverguje bodově na $E$} k funkci $f$, pokud pro každé $x\in E$ platí $f(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(x)$. Značíme $f_n\to f$.
 
 Řekneme, že posloupnost $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ \emphdef{konverguje stejnoměrně na $E$} k funkci $f$, pokud
 \[\forall\varepsilon > 0\;\exists k\in\en\;\forall x\in E\; \forall n\geq k:\quad |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon.\]
 Značíme $f_n\rightrightarrows f$.
\end{defin}

\begin{defin}
  Nechť $E$ je množina, $f:E\to\er$ je funkce a pro $n\in\en$ je $f_n:E\to\er$ funkce. Řekneme, že \emphdef{$\sum_{j=1}^\infty f_j$ konverguje bodově na $E$} k funkci $f$, pokud posloupnost částečných součtů $\{\sum_{j=1}^N f_j\}_{N=1}^\infty$ konverguje bodově na $E$ k funkci $f$.
  
  Řekneme, že \emphdef{řada $\sum_{n=1}^\infty f_n$ konverguje stejnoměrně na $E$} k funkci $f$, pokud posloupnost částečných součtů $\{\sum_{n=1}^N f_n\}_{N=1}^\infty$ konverguje stejnoměrně k $f$. Značíme $\sum_{n=1}^\infty f_n\rightrightarrows f$.
\end{defin}

\begin{fact}
 Stejnoměrně konvergentní posloupnost (resp. řada) funkcí je bodově konvergentní.
\end{fact}
\begin{proof}Důkaz byl předveden na přednášce.
\end{proof}

\begin{prop}[Kritérium stejnoměrné konvergence]
 Nechť $E$ je množina, $f:E\to\er$ funkce a pro $n\in\en$ je $f_n:E\to\er$ funkce. Pro každé $x\in E$ označme $\sigma_n:=\sup_{x\in E}|f_n(x)-f(x)|$. Pak $f_n\rightrightarrows f$ právě když $\lim_{n\to\infty} \sigma_n = 0$.
\end{prop}
\begin{proof}Důkaz byl předveden na přednášce.
\end{proof}

\begin{prop}[Weierstrassovo kritérium, M-test]
  Nechť $\sum_{n=1}^\infty f_n$ je řada reálných funkcí definovaných na neprázdné množině $E$. Označme $\sigma_n:=\sup_{x\in E} |f_n(x)|$. Jestliže $\sum_{n=1}^\infty \sigma_n < \infty$, pak $\sum_{n=1}^\infty f_n\rightrightarrows $ na $E$. 
\end{prop}
\begin{proof}Důkaz byl předveden na přednášce.
\end{proof}

\konecPrednasky{21.10.2020}

\begin{prop}[Zachování spojitosti]
 Nechť $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ je posloupnost reálných spojitých funkcí definovaných na neprázdné podmnožině $E\subset \er$ a $f:E\to\er$ je funkce.
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item Pokud $f_n\rightrightarrows f$ na $E$, pak $f$ je spojitá.
  \item Pokud $\sum_{n=1}^\infty f_n \rightrightarrows f$ na $E$, pak $f$ je spojitá.
 \end{enumerate}
\end{prop}

\begin{prop}[Prohození limit]
 Je--li $\sum_{n=1}^\infty f_n$ je řada spojitých reálných funkcí definovaných na neprázdném omezeném intervalu $(a,b)\subset \er$, která stejnoměrně konverguje na $(a,b)$ a pro každé $n\in\en$ existuje  vlastní $\lim_{x\to a^+} f_n(x)$, pak
 \[\sum_{n=1}^\infty \lim_{x\to a^+} f_n(x) = \lim_{x\to a^+} \sum_{n=1}^\infty f_n(x).\]
\end{prop}

\begin{prop}[Záměna sumy a derivace]
 Nechť $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ je posloupnost reálných spojitých funkcí definovaných na neprázdném omezeném intervalu $(a,b)\subset \er$ splňující
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item $f_n$ má vlastní derivaci na $(a,b)$, $n\in\en$,
  \item existuje $x_0\in (a,b)$ takové, že číselná řada $\sum_{n=1}^\infty f_n(x_0)$ je konvergentní,
  \item $\sum_{n=1}^\infty f_n'\rightrightarrows $ na $(a,b)$.
 \end{enumerate}
  Pak $\sum_{n=1}^\infty f_n \rightrightarrows$ na $(a,b)$ a pro každé $x\in (a,b)$ platí
  \[\left(\sum_{n=1}^\infty f_n\right)'(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n'(x).\]
\end{prop}

\begin{prop}[Záměna sumy a integrálu]
 Nechť $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ je posloupnost reálných spojitých funkcí definovaných na neprázdném omezeném intervalu $(a,b)\subset \er$ splňující
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item $f_n$ má na $(a,b)$ konvergentní Newtonův integrál, $n\in\en$;
  \item řada $\sum_{n=1}^\infty f_n$ konverguje stejnoměrně k funkci $f$ na $(a,b)$.
 \end{enumerate}
  Pak $f$ má na $(a,b)$ konvergentní Newtonův integrál a platí
  \[\sum_{n=1}^\infty \nint_a^b f_n = \nint_a^b \sum_{n=1}^\infty f_n.\]
\end{prop}

\konecPrednasky{26.10.2020}

\section{Mocninné řady}

\begin{defin}\label{7:D:moc1}
\emphdef{Mocninnou řadou o středu $a\in\er$} rozumíme řadu
\[
\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n,
\]
kde $a_n\in\er$ pro každé $n\in \N\cup\{0\}$ a $x\in\R$.
\end{defin}

\begin{theorem}[o poloměru konvergence mocninné řady]\label{7:T:polomer}
Nechť $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$ je mocninná řada. Pak existuje právě jeden nezáporný prvek $\varrho\in\R\cup\{\infty\}$ takový, že
\begin{itemize}
\item pro každé $x\in \er$, $|x-a|<\varrho$, je uvedená řada absolutně konvergentní,
\item pro každé $x\in \er$, $|x-a|>\varrho$, je uvedená řada divergentní.
\end{itemize}
Prvek $\varrho$ splňuje
\[
\varrho=
\frac1{\limsup_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}},
\]
kde výrazem $\frac10$ rozumíme $\infty$ a výrazem $\frac 1{\infty}$ rozumíme $0$. Prvek $\varrho$ nazýváme \emphdef{poloměrem konvergence} uvedené řady.
\end{theorem}

\begin{theorem}Nechť $(a_n)_{n=1}^\infty$ je posloupnost nezáporných čísel a nechť existuje $\lim_{n\to\infty}\tfrac{a_{n+1}}{a_{n}}$. Potom existuje také $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}$ a limity se rovnají. 
\end{theorem}


\begin{theorem}[derivace a integrace mocninné řady]\label{7:T:derivace-mocninne-rady}
Nechť $\varrho$ je poloměr konvergence mocninné řady $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$. Potom poloměr konvergence řad $\sum_{n=1}^\infty na_n (x-a)^{n-1}$ a $\sum_{n=0}^\infty \tfrac{a_n}{n+1} (x-a)^{n+1}$ je také roven $\varrho$. Pro $x\in\er$ splňující $|x-a|<\varrho$ označme $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n$. Potom
\begin{enumerate}[(i)]
 \item funkce $f$ má v každém takovém bodě vlastní derivaci a platí $f'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_n (x-a)^{n-1}$;
 \item $\sum_{n=0}^\infty \tfrac{a_n}{n+1} (x-a)^{n+1}$ je primitivní funkce k $f$ na $(a-\varrho,a+\varrho)$.
 \end{enumerate} 
 Speciálně, dostáváme následující vzorec pro výpočet $n$-té derivace funkce $f$: $f^{(n)}(a) = n!a_n$, $n\geq 0$.
\end{theorem}
\begin{proof}D\r{u}kaz byl předveden na přenášce (důkaz toho, že poloměr konvergence řad $\sum_{n=1}^\infty na_n (x-a)^{n-1}$ a $\sum_{n=0}^\infty \tfrac{a_n}{n+1} (x-a)^{n+1}$ je roven $\varrho$ byl vynechán).
\end{proof}

\konecPrednasky{2.11.2020}

\begin{theorem}[Abelova]\label{7:T:abel-konvergence}
Nechť $\varrho$ je poloměr konvergence mocninné řady $\sum_{n=0}\sp{\infty} a_n(x-a)^n$ a $\varrho\in (0,\infty)$.

\textup{(a)} Jestliže je řada $\sum_{n=0}\sp{\infty} a_n\varrho^n$ konvergentní, potom
\[
\lim_{x\to(a+\varrho)_{-}} \sum_{n=0}\sp{\infty} a_n(x-a)^n = \sum_{n=0}\sp{\infty} a_n\varrho^n.
\]

\textup{(b)} Jestliže je řada $\sum_{n=0}\sp{\infty} a_n(-\varrho)^n$ konvergentní, potom
\[
\lim_{x\to(a-\varrho)_{+}} \sum_{n=0}\sp{\infty} a_n(x-a)^n = \sum_{n=0}\sp{\infty} a_n(-\varrho)^n.
\]
\end{theorem}

\konecPrednasky{4.11.2020}

\chapter{Teorie m\'iry a integr\'alu}
\section{Pojem m\'iry, abstraktn\'i Lebesgue\r{u}v integr\'al}

\subsection{Základní pojmy}

\begin{defin}Nech\v{t} $I\subset\er$ je interval s krajn\'imi body $a, b\in\R$. Pak \emphdef{d\'elkou} intervalu $I$ rozum\'ime \v{c}\'islo $|b-a|$. Zna\v{c}\'ime $\ell(I) := |b-a|$. D\'ale definujeme $\ell(J) := \infty$, pokud $J$ je neomezen\'y interval.

Nech\v{t} $I_1,\ldots,I_n\subset\er$ jsou intervaly a $Q = I_1\times\ldots\times I_n\subset\er^n$. Pak \emphdef{objemem} $n$-rozměrného intervalu $Q$ rozum\'ime \v{c}\'islo $\ell(I_1)\cdots\ell(I_n)$. Zna\v{c}\'ime $\ell^n(Q):=\ell(I_1)\cdots\ell(I_n)$.
\end{defin}
\begin{defin}Nech\v{t} $X$ je mno\v{z}ina. Systém $\A$ podmno\v{z}in $X$ se naz\'yv\'a \emph{algebra}, pokud
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\emptyset\in \A$, $X\in \A$;
		\item $E\in\A\implies X\setminus E\in\A$;
		\item $E_1, E_2\in\A\implies E_1\cup E_2\in\A$.		
	\end{enumerate}
	Pokud nav\'ic $\A$ spl\v{n}uje
	\begin{enumerate}[(iv)]
		\item $E_n\in A$, $n=1,2,\ldots\implies \bigcup_{n=1}^\infty E_n\in \A$,
	\end{enumerate}
	pak \v{r}\'ik\'ame, \v{z}e $\A$ je \emph{$\sigma$-algebra}. Je--li $\A$ $\sigma$-algebra, dvojice $(X,\A)$ se naz\'yv\'a \emph{měřitelný prostor} a prvky $\A$ se nazývají \emph{měřitelné množiny}.
\end{defin}
\begin{fact}Každá algebra (resp. $\sigma$-algebra) je uzavřená i na konečné (resp. spočetné) průniky.
\end{fact}
\begin{proof}Důkaz byl předveden na přednášce.
\end{proof}
\begin{defin}Definujeme $\B(\er^n)$ jako nejmen\v{s}\'i $\sigma$-algebru obsahuj\'ic\'i otev\v{r}en\'e mno\v{z}iny v $\er^n$. $\B(\er^n)$ se nazývá \emph{borelovská $\sigma$-albebra} a jejím prvk\r{u}m se \v{r}\'ik\'a \emph{borelovsk\'e mno\v{z}iny}.
\end{defin}

\begin{lemma}Nechť $A\subset \er^n$ a $B\subset \er^m$ jsou borelovské množiny. Pak $A\times B$ je borelovská množina.
\end{lemma}
\begin{proof}Důkaz byl na přednášce pouze naznačen.
\end{proof}

\begin{defin}Nechť $(X,\A)$ je měřitelný prostor. Funkce $\mu:\A\to [0,\infty]$ se nazývá \emph{míra}, pokud splňuje
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\mu(\emptyset) = 0$,
		\item jestliže $E_n\in A$, $n=1,2,\ldots$ jsou po dvou disjunktní, pak
			\[\mu(\bigcup_{n=1}^\infty E_n) = \sum_{n=1}^\infty \mu(E_n).\]
			Trojice $(X,\A,\mu)$ se nazývá \emph{prostor s mírou}.
	\end{enumerate}
\end{defin}

\begin{pozn}Příkladem míry je například tzv. \emph{počítací míra}, která každé množině $A\subset X$ přiřadí počet jejích prvků.
\end{pozn}

\konecPrednasky{9.11.2020}

 \begin{prop}[Vlastnosti míry]Nechť $(X,\A,\mu)$ je prostor s mírou.
  \begin{enumerate}[(i)]
   \item Je-li $A,B\in\A$ a $A\subset B$, je $\mu(A)\le \mu(B)$. Navíc, pokud $\mu(B\setminus A)<\infty$, pak $\mu(A)=\mu(B)-\mu(B\setminus A)$.
   \item Je-li $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ posloupnost z $\A$, je
   $\mu\big( \bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n\big)\le\sum\limits_{n=1}^\infty
   \mu(A_n)$
   \item Je-li $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ rostoucí posloupnost z $\A$, je
   $\mu\big( \bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n\big)=\lim\limits_{n}\mu(A_n)$.
   \item Je-li $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ klesající posloupnost z $\A$ a $\mu(A_1)<\infty$, je
   $\mu\big( \bigcap\limits_{n=1}^\infty A_n\big)=\lim\limits_{n}\mu(A_n)$.
   \end{enumerate}
 \end{prop}
\begin{proof}Důkaz byl předveden na přednášce.
\end{proof}

\begin{defin}Nechť $(X,\A,\mu)$ je prostor s mírou. Řekneme, že míra $\mu$ je \emphdef{úplná}, pokud každá podmnožina množiny míry nula je měřitelná.
\end{defin}

\subsection{Konstrukce úplných měr, Lebesgueova míra}

  \begin{defin}
 \emphdef{Vnější míra} na množině $X$ je zobrazení $\nu:\P(X)\to [0,\infty]$ splňující
 \begin{enumerate}
   \item $\nu(\emptyset)=0$;
   \item $A\subset B\implies \nu(A)\le \nu(B)$;
   \item Je-li $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ posloupnost podmnožin  $X$, pak $\nu\Big( \bigcup\limits_{n=1}^\infty
A_n\Big)\le\sum\limits_{n=1}^\infty
   \nu(A_n)$.
 \end{enumerate}
 \end{defin}

\begin{example}Definujme funkci $\lambda^*:\P(\er^n)\to [0,\infty]$ předpisem
\[
	\lambda^*(A):=\inf \{\sum_{j=1}^\infty \ell^n(Q_j)\setsep Q_j\text{ jsou $n$-rozměrné intervaly }, \bigcup_{j=1}^\infty Q_j\supset A\}.
\]
Pak $\lambda^*$ je vnější míra na $\er^n$, které říkáme \emph{Lebesgueova vnější míra na $\er^n$}.
\end{example}

\begin{defin}Nechť $\nu$ je vnější míra na množině $X$. Množinu $M \subset X$ nazveme
\emphdef{$\nu$-měřitelnou (podle Carathéodoryho)}, jestliže pro každou ``testovací'' množinu $T\subset X$ platí
\[\nu(T) = \nu(T\cap M) + \nu(T\setminus M).\]
Systém všech (carathéodoryovsky) měřitelných množin značíme $\M(\nu)$.
\end{defin}

\begin{theorem}Nechť $\nu$ je vnější míra na množině $X$. Pak $\M(\nu)$ je $\sigma$-algebra a funkce $\M(\nu)\ni A\mapsto \nu(A)$ je \'upln\'a m\'ira.
\end{theorem}

\begin{defin}Nechť $\lambda^*$ je Lebesgueova vnější míra na $\er^n$. Funkci $\M(\lambda^*)\ni A\mapsto \lambda^*(A)$ říkáme \emphdef{Lebesgueova míra na $\er^n$} a značíme ji $\lambda^n$. Množiny z $\M(\lambda^*)$ se nazývají \emphdef{Lebesgueovsky měřitelné}.
\end{defin}

\begin{prop}Každá borelovská množina je Lebesgueovsky měřitelná, Lebesgueova míra je úplná a pro každý $n$-rozměrný interval $Q\subset \er^n$ platí $\ell^n(Q) = \lambda^n(Q)$. Navíc, Lebesgueova míra je translačně invariantní, tj. pro každou měřitelnou množinu $A$ a každý vektor $c\in\er^n$ máme $\lambda^n(A + c) = \lambda^n(A)$, kde $A+c = \{a+c:\; a\in A\}$.
\end{prop}

\subsection{Měřitelná zobrazení}

\begin{notation}Je--li $X$ množina a $A\subset X$, pak \emph{charakteristická funkce množiny $A$} je funkce $\chi_A:X\to \er$ definovaná předpisem
\[\chi_A(x):=\begin{cases}1,\quad&  x\in A\\ 0,& x\notin A\end{cases}\]

\noindent Symbolem $\overline{\er}$ značíme $\er\cup\{\pm \infty\}$. Je--li $f:D\to\overline{\er}$ funkce a $M\subset \er$, značíme 
\[\{f\in M\}:=\{x\in D\setsep f(x)\in M\},\]
podobně zavádíme značení jako $\{f>a\}$, $\{f=a\}$.
\end{notation}

V celé této subsekci je $(X,\A)$ měřitelný prostor.

\begin{defin}Nechť $D\in\A$, pak zobrazení $f:D\to \overline{\er}$ je \emphdef{$\A$-měřitelné}, pokud pro každý otevřený interval $I\subset \overline{\er}$ je $\{f\in I\}\in\A$.
\end{defin}

\begin{convention}Pokud je z kontextu jasn\'e co je $\A$, pak \v{r}\'ik\'ame, \v{z}e funkce je ``m\v{e}\v{r}itelná'' m\'isto ``$\A$-měřitelná''. Často říkáme, že funkce je Lebesgueovsky (resp. borelovsky) měřitelná a myslíme tím, že je měřitelná vzhledem k $\sigma$-algebře Lebesgueovských (resp. borelovských) množin.
\end{convention}


%\begin{fact}Zobrazení $f:X\to \er\cup\{\pm\infty\}$ je \emphdef{měřitelné}, pokud pro každý otev\v{r}en\'y interval $I\subset \er\cup\{\pm\infty\}$ máme $f^{-1}(I)\in\A$.
%\end{fact}

\begin{prop}[Měřitelnost vzoru]Nechť $D\in\A$, $f:D\to\overline{\er}$ je měřitelná funkce a $A\subset \er$ je borelovská množina. Pak $\{f\in A\}\in \A$.
\end{prop}
\begin{proof}Důkaz pro $f:D\to\er$ byl předveden na přednášce (důkaz že každá otevrřená množina v $\er$ je spočetným sjednocením otevřených intervalů byl pouze naznačen).
\end{proof}

\begin{prop}[Měřitelnost složené funkce]\label{t:sloz}Nechť $D\in\A$, $f:D\to\er$ je měřitelná funkce, $G\subset \er$ je otevřená množina a $\varphi:G\to\er$ je spojitá funkce. Pak $\varphi\circ f$ je měřitelná funkce.
\end{prop}

\begin{pozn}Pozor! Budeme-li skládat spojitou a měřitelnou funkci v opačném pořadí, výsledek nemusí být měřitelný. 
\end{pozn}

\begin{notation}Je--li $f:E\to\overline{\er}$ funkce, definujeme $f^+:=\max\{f,0\}$ a $f^-:=\max\{-f,0\}$. (Maximum/minimum funkcí definujeme bodově.) Tedy $f = f^+ - f^-$ a $|f| = f^+ + f^-$.
\end{notation}

\begin{prop}
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Kdykoliv $G\subset \er^n$ je otevřená množina a $f:G\to\er$ je spojit\'a funkce, pak $f$ je borelovsky měřitelná.
		\item Každá monotónní funkce $f:\er\to\er$ je borelovsky měřitelná.
		\item Funkce $\chi_A:X\to\er$ je měřitelná pro každou $A\in\A$.
		\item Kdykoliv $D\in\A$ a $f:D\to\er$ je měřitelná, pak $|f|$, $f^+$, $f^-$, $f^2$ jsou měřitelné na $D$ a $\tfrac{1}{f}$ je měřitelná na $\{f\neq 0\}$.
		\item Součet, součin, podíl, maximum a minimum konečně mnoha reálných měřitelných funkcí jsou op\v{e}t měřitelné funkce.
		\item Je-li $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ posloupnost měřitelných funkcí, jsou i $\sup f_n,\inf f_n, \limsup
 f_n, \liminf f_n$ (a tedy i $\lim f_n$, existuje-li) měřitelné funkce.
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}Důkaz (iii) byl předveden na přednášce, ostatní důkazy byly vynechány.
\end{proof}


\konecPrednasky{11.11.2020}

\subsection{Lebesgueův integrál}
V celé této subsekci je $(X,\A,\mu)$ prostor s mírou.

\begin{defin}Konečný soubor množin $\{A_1,\ldots,A_m\}\subset\A$ nazveme \emphdef{rozkladem} množiny $E\in\A$, jestliže množiny $A_j$ jsou po dvou disjunktní a $\bigcup_{j=1}^m A_j = E$.
\end{defin}

Fráze \emph{skoro všude} nebo \emph{$\mu$-skoro v\v{s}ude} se používá ve spojení s vlastností bodů množiny X. Řekneme-li, že taková vlastnost platí skoro všude (nebo ve skoro všech bodech), znamená to, že je splněna až na množinu míry nula, neboli, že existuje množina $N\in\A$ míry nula tak, že vlastnost je splněna ve všech bodech množiny $X\setminus N$.

\begin{defin}
	Nechť $f$ je měřitelná funkce (s hodnotami v $\overline{\er}$).
	\begin{enumerate}[1.]
		\item Je--li $f\geq 0$, definujeme
			\[\int_X f \dmu:=\sup\left\{\sum_{j=1}^m a_j\mu(A_j)\setsep \{A_j\}_{j=1}^m \text{ je rozklad }X, 0\leq a_j\leq f \text{ na }A_j,\, j=1,\ldots,m\right\},\]
			kde pou\v{z}\'iv\'ame konvenci \v{z}e $0\cdot \infty = 0$.
		\item V obecn\'em p\v{r}\'ipad\v{e} definujeme
		\[\int_X f \dmu:= \int_X f^+ \dmu - \int_X f^- \dmu,\]
		pokud má tento rozdíl smysl.
		\item Je--li $E\subset X$, $E\in\A$ a funkce $f$ je definovaná skoro všude na $E$, pak definujeme
		\[\int_E f \dmu:= \int_X f \cdot \chi_{E\cap \dom(f)} \dmu.\]
	\end{enumerate}
	
	Je-li integrál $\int_E f \dmu$ defiován, říkáme též, že \emph{má smysl}, nebo že funkce $f$ \emph{má integrál}. Je-li navíc tento integrál konečné číslo, říkáme, že $\int_E f \dmu$ \emph{konverguje}, nebo že $f$ je \emph{integrovatelná} a tento fakt zna\v{c}\'ime symbolem $f\in L^1(E,\A,\mu)$, nebo zkráceně $f\in L^1(E)$.
\end{defin}

\begin{theorem}[Základní vlastnosti Lebesgueova integrálu]Nechť $f$ a $g$ jsou měřitelné funkce, $\alpha\in\er$ a $E\in \A$. Pak
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\int_X \chi_E \dmu = \mu(E)$;
		\item $\int_E f \dmu = 0$, pokud $\mu(E)=0$ nebo pokud $f=0$ skoro všude na $E$;
		\item Pokud $\int_E |f| \dmu$ konverguje, pak $|f|<\infty$ skoro všude na $E$;		
		\item Pokud je $\mu(E) < \infty$ a $f$ je omezen\'a, pak $\int_E f \dmu$ konverguje a $\int_E |f| \dmu\leq \sup_{x\in E}|f(x)|\cdot\mu(E)$;
		\item Je--li $\{D_1,D_2\}\subset \A$ rozklad množiny $E$, pak
		\[\int_E f \dmu = \int_{D_1} f \dmu + \int_{D_2} f \dmu;\]	
		\item \[\int_E \alpha f + g\dmu = \alpha \int_E f \dmu + \int_E g \dmu,\]má--li pravá strana smysl;
		\item $\int_E f \dmu$ konverguje právě tehdy, když $\int_E |f| \dmu$ konverguje;
		\item Jestliže $f, g$ mají integrál a $f\leq g$ skoro všude na $E$, pak 
		\[\int_E f \dmu \leq \int_E g \dmu;\]			
		\item \[\left|\int_E f \dmu\right|\leq \int_E |f| \dmu.\]				
	\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}Na přednášce byl předveden důkaz (i), (ii), (iv) a (vii), ostatní důkazy vynechány.
\end{proof}

\subsection{Vztah Lebesgueova integrálu k Newtonovu integrálu a Riemannovu integrálu}

V moderní matematické literatuře se integrálem bez přívlastku rozumí vždy integrál Lebesgueův. Význam Newtonova a Riemannova integrálu zůstává ve sféře didaktiky.

\begin{theorem}[Vztah mezi Newtonovým a Lebesgueovým integrálem]Nechť $f$ je nezáporná spojitá funkce na intervalu $(a,b)$. Potom $(N)-\int_a^b f(x) \dx$ konverguje, právě když konverguje Lebesgueův integrál funkce
$f$. V tom případě mají oba integrály společnou hodnotu.
\end{theorem}

\begin{theorem}[Vztah mezi Riemannovým a Lebesgueovým integrálem]Nechť $f$ je Riemannovsky integrovatelná funkce na $[a,b]$. Potom Lebesgueův integrál funkce $f$ od $a$ do $b$ konverguje a je roven integrálu
Riemannovu.
\end{theorem}

\konecPrednasky{16.11.2020}

\section{Fubiniova věta}

\begin{lemma}Nechť $n,m\in\en$ a $E\subset \er^n$, $F\subset \er^m$ jsou Lebesgueovsky měřitelné množiny. Pak $E\times F$ je Lebesgueovsky měřitelná množina a $\lambda^{n+m}(E\times F) = \lambda^n(E)\cdot \lambda^m(F)$, kde definujeme $0\cdot\infty = 0$.
\end{lemma}

\begin{defin}Nechť $E\subset X\times Y$. Značíme
	\[\begin{split}
		E^{x,*} & := \{y\in Y\setsep (x,y)\in E\},\qquad  x\in X,\\
		E^{*,y} & := \{x\in X\setsep (x,y)\in E\},\qquad  y\in Y.
	\end{split}\]
Tyto množiny se nazývají \emph{řezy}.
\end{defin}

\begin{theorem}[Fubiniova věta]Nechť $n,m\in\en$, $E\subset \er^{n+m}$ je Lebesgueovsky měřitelná množina a $f:E\to\er$ je Lebesgueovsky měřitelná funkce. Předpokládejme, že integrál 
\[\int_E f(x,y) \dl{n+m}\]
má smysl. Potom všechny integrály níže mají smysl a platí
\begin{equation}\label{eq:fubini}
\int_E f \dl{n+m} = \int_{\er^n}\left(\int_{E^{x,*}} f(x,y) \dl{m}(y)\right)\dl{n}(x) = \int_{\er^m}\left(\int_{E^{*,y}} f(x,y) \dl{n}(x)\right)\dl{m}(y).
\end{equation}
Speciálně, je--li $f\geq 0$ nebo je jeden z integrálů 
\[
\int_E |f| \dl{n+m},\quad \int_{\er^n}\left(\int_{E^{x,*}} |f(x,y)| \dl{m}(y)\right)\dl{n}(x),\quad \int_{\er^m}\left(\int_{E^{*,y}} |f(x,y)| \dl{n}(x)\right)\dl{m}(y)
\]
konečný, pak platí \eqref{eq:fubini}.
\end{theorem}
\begin{proof}Na přednášce byla podrobně vysvětlena pouze část ``Speciálně''.
\end{proof}

\konecPrednasky{18.11.2020}

\section{V\v{e}ta o substituci}

\begin{defin}Nech\v{t} $G\subset \er^n$ je otev\v{r}en\'a mno\v{z}ina a $\varphi_i\in\C^1(G)$, $i = 1,\ldots,n$. Uvažujme funkci $\varphi = (\varphi_1,\ldots,\varphi_n):G\to\er^n$. Pak \emphdef{Jacobiho matice zobrazení $\varphi$ v bodě $t$} je matice
\[\left(\frac{\partial \varphi_i}{\partial x_j}(t)\right)_{i,j=1}^n.\]
Pokud má Jacobiho matice zobrazení $\varphi$ v každém bodě $t\in G$ hodnost $n$, pak řekneme, že $\varphi$ je \emph{regulární} a determinant Jacobiho matice nazýváme \emph{jakobiánem} zobrazení $\varphi$ v bodě $t$ a značíme jej $J_\varphi(t)$.
\end{defin}

\begin{theorem}[O substituci]Nech\v{t} $G\subset \er^n$ je otev\v{r}en\'a mno\v{z}ina a $\varphi:G\to\er^n$ je prosté regulární zobrazení. Nechť $f$ je funkce na $E\subset \varphi(G)$. Potom
	\[\int_E f(x) \dl{n}(x) = \int_{\varphi^{-1}(E)} f(\varphi(t)) |J_\varphi(t)| \dl{n}(t),\]
pokud alespoň jedna strana má smysl.
\end{theorem}

\begin{theorem}[o zobecněných polárních souřadnicích]Nechť $a,b>0$, $G = \{(r,\alpha)\in\er^2\setsep r>0, \alpha\in(-\pi,\pi)\}$ a zobrazení $\varphi:G\to\er^2$ je dáno předpisem $\varphi(r,\alpha):=(ar\cos \alpha, br\sin\alpha)$, $(r,\alpha)\in G$. Pak $\varphi$ je prosté regulární zobrazení a $|J_\varphi(r,\alpha)| = abr$ pro $(r,\alpha)\in G$. Je--li $E\subset\er^2$ a $f$ funkce na $E$, pak
\[\int_E f(x,y) \dl{2}(x,y) = \int_{G\cap \varphi^{-1}(E)} abr\cdot f(ar\cos \alpha, br\sin\alpha) \dl{2}(r,\alpha),\]
má--li alespoň jedna strana rovnosti smysl.
\end{theorem}
\begin{proof}D\r{u}kaz pro $a=b=1$ byl předveden na přednášce.
\end{proof}

\begin{pozn}Někdy je vhodné zobecněné polární souřadnice zřejmým způsobem posunout, tj. pro $(x_0,y_0)\in\er^2$ uvažovat transformaci $\varphi:G\to\er^2$ danou předpisem $\varphi(r,\alpha):=(ar\cos \alpha + x_0, br\sin\alpha + y_0)$.
\end{pozn}

\konecPrednasky{23.11.2020}

\begin{theorem}[o zobecněných válcových souřadnicích]Nechť $a,b>0$, $G = \{(r,\alpha,z)\in\er^3\setsep r>0, \alpha\in(-\pi,\pi)\}$ a zobrazení $\varphi:G\to\er^3$ je dáno předpisem $\varphi(r,\alpha,z):=(ar\cos \alpha, br\sin\alpha, z)$, $(r,\alpha,z)\in G$. Pak $\varphi$ je prosté regulární zobrazení a $|J_\varphi(r,\alpha,z)| = abr$ pro $(r,\alpha,z)\in G$. Je--li $E\subset\er^3$ a $f$ funkce na $E$, pak
\[\int_E f(x,y,z) \dl{3}(x,y,z) = \int_{G\cap \varphi^{-1}(E)} abr\cdot f(ar\cos \alpha, br\sin\alpha, z) \dl{3}(r,\alpha,z),\]
má--li alespoň jedna strana rovnosti smysl.
\end{theorem}

\begin{theorem}[o zobecněných sférických souřadnicích]Nechť $a,b,c>0$, $G = \{(r,\alpha,\beta)\in\er^3\setsep r>0, \alpha\in(-\pi,\pi), \beta\in(-\pi/2,\pi/2)\}$ a zobrazení $\varphi:G\to\er^3$ je dáno předpisem \[\varphi(r,\alpha,\beta):=(ar\cos \alpha\cos\beta, br\sin\alpha\cos\beta, cr\sin\beta),\quad (r,\alpha,\beta)\in G.\] Pak $\varphi$ je prosté regulární zobrazení a $|J_\varphi(r,\alpha,\beta)| = abcr^2\cos\beta$ pro $(r,\alpha,\beta)\in G$. Je--li $E\subset\er^3$ a $f$ funkce na $E$, pak
\[\int_E f(x,y,z) \dl{3}(x,y,z) = \int_{G\cap \varphi^{-1}(E)} abcr^2\cos\beta\cdot f(ar\cos \alpha\cos\beta, br\sin\alpha\cos\beta, cr\sin\beta) \dl{3}(r,\alpha,\beta),\]
má--li alespoň jedna strana rovnosti smysl.
\end{theorem}

\begin{pozn}Podobně jako v případě zobecněných polárních souřadnic, i zobecněné válcové/sférické souřadnice je někdy vhodné zřejmým způsobem posunout.
\end{pozn}

\konecPrednasky{25.11.2020}

\section{Lebesgue\r{u}v-Stieltjes\r{u}v integr\'al}

\begin{defin}Symbolem $\mathcal{I}$ budeme zna\v{c}it syst\'em v\v{s}ech zprava polouzavřených omezených intervalů v $\er$, tedy interval\r{u} tvaru $(a,b]$, $-\infty < a \leq b < +\infty$. Interval $(a, a]$ je samozřejmě prázdná množina. Řekneme, že $\m : \mathcal{I}\to[0,\infty)$ je Lebsgueova-Stieltjesova funkce intervalu (zkratka LSFI), jestliže
	\begin{itemize}
		\item pro každou uspořádanou trojici reálných čísel $(a,b,c)$ platí
	\[ a\leq b\leq c\implies \m(a,c]) = \m((a,b]) +\m((b,c]).\]
	\item funkce $b\mapsto \m((a,b])$ je zprava spojit\'a na $[a,\infty)$.
	\end{itemize}
\end{defin}

\begin{prop}$\m : \mathcal{I}\to[0,\infty)$ je Lebsgueova-Stieltjesova funkce intervalu právě tehdy, když existuje zprava spojitá neklesající funkce $\varphi:\er\to\er$ spl\v{n}uj\'ic\'i
\[\m((a,b]) = \varphi(b) - \varphi(a),\quad (a,b]\in\mathcal{I}.\]
\end{prop}

\begin{defin}
Nechť $\m$ je LSFI. Pro $A\subset \er$ polo\v{z}me
\[
	\m^*(A):=\inf \{\sum_{j=1}^\infty \m(I_j)\setsep I_j\in \mathcal{I}, \bigcup_{j=1}^\infty I_j\supset A\}.
\]
O funkci $\m^*:\P(\er)\to [0,\infty)$ \v{r}\'ik\'ame, \v{z}e to je \emphdef{Lebesgueova-Stieltjesova vn\v{e}j\v{s}\'i m\'ira generovan\'a $\m$}.
\end{defin}

\begin{lemma}Nech\v{t} $\m$ je LSFI a $\m^*$ je Lebesgueova-Stieltjesova vn\v{e}j\v{s}\'i m\'ira generovan\'a $\m$. Pak $\m^*$ je vn\v{e}j\v{s}\'i m\'ira.
\end{lemma}

\begin{defin}
Nech\v{t} $\m$ je LSFI a $\m^*$ je Lebesgueova-Stieltjesova vn\v{e}j\v{s}\'i m\'ira generovan\'a $\m$. Funkci $\M(\m^*)\ni A\mapsto \m^*(A)$ říkáme \emphdef{Lebesgueova-Stieltjesova míra na $\er$} (generovan\'a $\m$).

Je--li $\varphi:\er\to\er$ zprava spojitá neklesající funkce a $\m$ je LSFI definovaná předpisem $(a,b]\mapsto \varphi(b)-\varphi(a)$, pak Lebesgueovu-Stieltjesovu míru na $\er$ generovanou $\m$ značíme jako $\mu_\varphi$ a říkáme, že $\mu_\varphi$ je \emphdef{Lebesgueova-Stieltjesova míra na $\er$ generovan\'a $\varphi$}. 
\end{defin}

\begin{pozn}Je--li $\varphi$ identita (tj. $\varphi(x)=x$) pak $\mu_\varphi$ je Lebesgueova m\'ira na $\er$.
\end{pozn}

\begin{theorem}Nech\v{t} $\m$ je LSFI a $\mu$ je Lebesgueova-Stieltjesova míra na $\er$ generovaná $\m$. Pak $\mu$ je \'upln\'a m\'ira, ka\v{z}d\'a borelovsk\'a mno\v{z}ina je $\mu$-m\v{e}\v{r}iteln\'a a pro ka\v{z}d\'e $A\in\mathcal{I}$ m\'ame $\m(A) = \mu(A)$.
\end{theorem}

\begin{defin}[Lebesgue\r{u}v-Stieltjes\r{u}v integr\'al]
Nech\v{t} $\varphi:\er\to\er$ zprava spojitá neklesající funkce a $f$ je $\mu_\varphi$-m\v{e}\v{r}iteln\'a funkce na $\mu_\varphi$-m\v{e}\v{r}iteln\'e množině $E\subset \er$. Integr\'al
\[\int_E f \dmu_\varphi\]
se nazývá Lebesgue-Stieltjesův integrál funkce $f$ podle $\mu_\varphi$. Je--li $E=(a,b]$, pou\v{z}\'iv\'a se t\'e\v{z} ozna\v{c}en\'i \[(LS)\int_a^b f \dgx{\varphi(x)} = \int_{(a,b]} f \dmu_{\varphi(x)}.\]
Je--li $a,b\in\er$ a $g:[a,b]\to\er$ neklesaj\'ic\'i, zprava spojit\'a funkce, pak pou\v{z}\'iv\'ame zna\v{c}en\'i
 \[(LS)\int_a^b f \dgx{g(x)} = \int_{(a,b]} f \dmu_{\widetilde{g}(x)},\]
kde $\widetilde g:\er\to\er$ je definov\'ana p\v{r}edpisem
\[
\widetilde{g}(x):=\begin{cases}g(a) & x < a,\\ g(x) & x\in [a,b],\\ g(b) & x > b.
\end{cases}
\] 
Nem\r{u}\v{z}e-li doj\'it ke zmaten\'i, p\'i\v{s}eme $\int_a^b f \dgx{g(x)}$ m\'isto $(LS)\int_a\sp b f(x)\dgx{g(x)}$.
\end{defin}

\konecPrednasky{30.11.2020}

\begin{theorem}[Vztah Lebesgueova-Stieltjesova a Riemannova-Stieltjesova integr\'alu] Nech\v{t} $g:[a,b]\to\er$ je zprava spojit\'a a neklesaj\'ic\'i funkce. Má--li funkce $f:[a,b]\to \er$ Riemann\r{u}v-Stieltjes\r{u}v integr\'al od $a$ do $b$ vzhledem k funkci $g$, pak má také Lebesgue\r{u}v-Stieltjes\r{u}v integr\'al podle $\mu_g$ přes množinu $(a,b]$ a hodnoty těchto integrálů se rovnají.
\end{theorem}

\begin{pozn}Ne každá funkce, která má Lebesgue\r{u}v-Stieltjes\r{u}v integr\'al má také Riemann\r{u}v-Stieltjes\r{u}v integr\'al. Například pro funkci $f:[0,1]\to\er$ definovanou předpisem
\[
f(x) = \begin{cases}1 & x=1,\\ 0 & x\in[0,1),
\end{cases}
\]
máme $(LS)\int_0^1 f(x) \dgx{f(x)} = 1$, ale $(RS)\int_0^1 f(x) \dgx{f(x)}$ neexistuje.
\end{pozn}

\begin{notation}Pro reálnou funkci $f$ definovanou na pravém (resp. levém) okolí bodu $x$ označujeme symbolem $f(x+)$ (resp. $f(x-)$) limitu $\lim_{y\to x^+} f(y)$ (resp. $\lim_{y\to x^-} f(y)$).
\end{notation}

\begin{theorem}[per partes pro LS integrál] Nech\v{t} $f,g:[a,b]\to\er$ jsou zprava spojit\'e a neklesaj\'ic\'i funkce. Pak
\[\int_a\sp b f(x)\dgx{g(x)} = [f(x)g(x)]_a^b - \int_a\sp b g(x-)\dgx{f(x)},\]
kde $[f(x)g(x)]_a^b = f(b)g(b)-f(a)g(a)$.\\
(Součástí tvrzení je i existence integrálů)
\end{theorem}

\subsection{LS integrál pro obecnější funkce a jeho výpočet}

\begin{defin}Pokud je $\varphi:\er\to\er$ neklesající funkce, uvažujme zprava spojitou neklesající funkci $\widetilde{\varphi}:\er\to\er$ danou předpisem $\widetilde{\varphi}(x)=\varphi(x+)$. Míru $\mu_{\widetilde{\varphi}}$ pak označujeme jako $\mu_\varphi$ a říkáme, že $\mu_\varphi$ je \emphdef{Lebesgueova-Stieltjesova míra na $\er$ generovan\'a $\varphi$}. Analogicky jako výše pak píšeme $(LS)\int_a^b f(x) \dgx{\varphi(x)}$ (nebo dokonce jen $\int_a^b f(x) \dgx{\varphi(x)}$, nemůže-li dojít ke zmatení) místo $\int_{(a,b]} f(x) \dgx{\mu_\varphi(x)}$.
\end{defin}

\begin{fact}Nech\v{t} $\varphi:\er\to\er$ je neklesající funkce, a $-\infty<a<b<\infty$. Pak \begin{multicols}{2}\begin{enumerate}
	\item $\mu_\varphi((a,b]) = \varphi(b+)-\varphi(a+)$
	\item $\mu_\varphi(\{b\}) = \varphi(b+)-\varphi(b-)$
	\item $\mu_\varphi([a,b]) = \varphi(b+)-\varphi(a-)$
	\item $\mu_\varphi([a,b)) = \varphi(b-)-\varphi(a-)$
	\item $\mu_\varphi((a,b)) = \varphi(b-)-\varphi(a+)$
\end{enumerate}\end{multicols}
\end{fact}

\begin{defin}Nech\v{t} $\varphi,f:\er\to\er$ jsou borelovsky měřitelné funkce a nech\v{t} $\varphi = \varphi_1-\varphi_2$, kde $\varphi_1,\varphi_2:\er\to\er$ jsou omezené neklesající funkce. Pak pro $E\in\B(\er)$ definujeme
\[(LS)\int_E f(x) \dgx{\varphi(x)}:=\int_E f(x) \dgx{\varphi_1(x)} - \int_E f(x) \dgx{\varphi_2(x)},\]
má--li pravá strana rovnosti smysl (tj. není--li na pravé straně výraz typu $\infty-\infty$). Nemůže-li dojít ke zmatení, píšeme $\int_a^b f(x) \dgx{\varphi(x)}$ místo $(LS)\int_{(a,b]} f(x) \dgx{\varphi(x)}$ (kde $-\infty<a\leq b<\infty$).

Podobně jako výše také definujeme $\int_a^b f(x) \dgx{\varphi(x)}$ pro $f:[a,b]\to\er$ borelovsky měřitelnou a $\varphi=\varphi_1-\varphi_2$, kde $\varphi_1,\varphi_2:[a,b]\to\er$ jsou omezené neklesající funkce.
\end{defin}

\begin{pozn}Platí, že hodnota integrálu $\int_E f(x) \dgx{\varphi(x)}$ nezávisí na volbě funkcí $\varphi_1,\varphi_2$ a definice tak dává dobrý smysl. Funkce, které lze zapsat jako rozdíl dvou neklesajících funkcí se nazývají funkce s \emph{omezenou variací}.
\end{pozn}

\begin{theorem}[Pravidla pro počítání LS integrálu]Nech\v{t} $\varphi:\er\to\er$ je rozdílem omezených neklesajících funkcí a nech\v{t} $f:\er\to \er$ je omezená borelovsky měřitelná funkce. Pak 
\begin{enumerate}
	\item Pokud interval $I$ je disjunktním sjednocením intervalů $(I_j)_{j=1}^n$, pak
		\[\int_I f(x) \dgx{\varphi(x)} = \sum_{j=1}^n \int_{I_j} f(x) \dgx{\varphi(x)}.\]
	\item Pokud $\varphi = \sum_{j=1}^n c_j g_j$, kde $c_j\in\er$ a $g_j:\er\to\er$ jsou rozdílem omezených neklesajících funkcí pro každé $j=1,\ldots,n$, pak
	\[\int_a^b f(x) \dgx{\varphi(x)} = \sum_{j=1}^n c_j\int_a^b f(x) \dgx{g_j(x)}.\]
	\item Pokud $\varphi$ je spojitá v bodě $c\in\er$, pak pro $-\infty\leq a<c<b\leq \infty$ platí
		\[\int_a^c f(x) \dgx{\varphi(x)} = \int_{(a,c)} f(x) \dgx{\varphi(x)},\quad\text{a}\quad\int_c^b f(x) \dgx{\varphi(x)} = \int_{[c,b]} f(x) \dgx{\varphi(x)}.\]
	 \item Pokud je $\varphi$ konstantní na otevřeném intervalu $I$, pak
	\[\int_I f(x) \dgx{\varphi(x)} = 0.\]
		\item Pro každé $c\in\er$ máme
		\[\int_{[c,c]} f(x) \dgx{\varphi(x)} = f(c)\big(\varphi(c+)-\varphi(c-)\big).\]
		\item Pokud $I\subset \er$ je otevřený interval, $f\in\C(I)$ a $\varphi\in\C^1(I)$, pak platí
		\[\int_I f(x) \dgx{\varphi(x)} = \int_I f(x)\varphi'(x) \dgx{x}.\]
\end{enumerate}
\end{theorem}

\konecPrednasky{2.12.2020}

\konecPrednasky{7.12.2020}

\section{Prohození integrálu a limity, integrálu a řady}\label{section:limitaAIntegral}

V celé této sekci je $(X,\A,\mu)$ prostor s mírou.

\begin{defin}
 Nechť $E$ je množina a pro $j\in\en$ je $f_j:E\to\er$ funkce. Řekneme, že posloupnost $\{f_j\}_{j=1}^\infty$ \emphdef{konverguje skoro všude na $E$} k funkci $f:E\to\er$, pokud $E\in \A$ a existuje $F\subset E$ taková, že $f_j|_F\to f|_F$ a $\lambda^n(E\setminus F) = 0$.
 
 Řekneme, že \emphdef{$\sum_{j=1}^\infty f_j$ konverguje skoro všude na $E$}, pokud posloupnost částečných součtů $\{\sum_{j=1}^N f_j\}_{N=1}^\infty$ konverguje skoro všude na $E$.
\end{defin}

\begin{prop}Nechť $E\in\A$ a pro $j\in\en$ je $f_j:E\to\er$ měřitelná funkce. Nechť $f_j\rightrightarrows f$, $\mu(E)<\infty$ a $\int_E f \dmu$ existuje. Pak
\[\lim_{j\to\infty} \int_E f_j \dmu = \int_E f \dmu.\]
\end{prop}
\begin{proof}D\r{u}kaz byl p\v{r}edveden na p\v{r}edn\'a\v{s}ce.
\end{proof}

\begin{theorem}[Leviho věta]
  Nechť $E\in\A$ a pro $j\in\en$ je $f_j:E\to\er$ měřitelná funkce. Nechť $\int_E f_1 \dmu > -\infty$ a $f_1\leq f_2\leq\ldots$. Pak \[\int_E \lim_{j\to\infty} f_j \dmu = \lim_{j\to\infty} \int_E f_j \dmu.\]
\end{theorem}

\begin{theorem}[Lebesgueova věta]Nechť $E\in\A$ a pro $j\in\en$ je $f_j:E\to\er$ měřitelná funkce. Nechť posloupnost funkcí $\{f_j\}_{j=1}^\infty$ konverguje bodově skoro všude na $E$. Nechť existuje integrovatelná funkce $g:E\to\er$ (takzvaná \emph{majoranta}) taková, že
\[|f_j(x)|\leq g(x),\quad j\in\en,\; x\in E.\]
Pak \[\int_E \lim_{j\to\infty} f_j \dmu = \lim_{j\to\infty} \int_E f_j \dmu.\]
\end{theorem}

\konecPrednasky{9.12.2020}

\begin{corollary}[Lebesgueova věta pro řady]Nechť $E\in\A$ a pro $j\in\en$ je $f_j:E\to\er$ měřitelná funkce. Nechť $\sum_{j=1}^\infty f_j$ konverguje skoro všude na $E$. Nechť existuje integrovatelná funkce $g:E\to\er$ (takzvaná \emph{majoranta}) taková, že
 \[\left|\sum_{j=1}^Nf_j(x)\right|\leq g(x),\quad N\in\en,\; x\in E.\]
Pak
 \[\int_E \sum_{j=1}^\infty f_j \dmu = \sum_{j=1}^\infty \int_E f_j \dmu.\]
\end{corollary}
\begin{proof}D\r{u}kaz byl p\v{r}edveden na p\v{r}edn\'a\v{s}ce.
\end{proof}

\begin{corollary}
 Nechť $E\in\A$ a pro $j\in\en$ je $f_j:E\to\er$ měřitelná funkce. Nechť je splněna jedna z následujících podmínek
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item $f_j = aq^j$, kde $a$, $q$ jsou měřitelné funkce, $|q| < 1$ a $\int_E \frac{a}{1-q} \dmu$ konverguje
  \item $\sum_j \int_E |f_j| \dmu < \infty$ nebo $\int_E \sum_j |f_j| \dmu <\infty$,
  \item $f_j = (-1)^jh_j$, $h_j\to 0$, $h_1\geq h_2\geq h_3\geq \ldots \geq 0$ a $\int_E h_1 \dmu <\infty$
 \end{enumerate}
Pak řada $\sum_{j=1}^\infty f_j$ konverguje skoro všude a platí
\[\int_E \sum_{j=1}^\infty f_j \dmu = \sum_{j=1}^\infty \int_E f_j \dmu.\]
\end{corollary}
\begin{proof}D\r{u}kaz byl p\v{r}edveden na p\v{r}edn\'a\v{s}ce.
\end{proof}

\konecPrednasky{14.12.2020}


\section{Integrály závislé na parametru}

V celé této sekci je $(X,\A,\mu)$ prostor s mírou.


\begin{theorem}[Spojitost integrálu závislého na parametru]
 Nechť $E\in \A$, $a\in \er^n$ a nechť $U$ je otevřená množina obsahující bod $a$. Nechť funkce $f : U\times E\to \er$ má následující vlastnosti:
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item Pro skoro všechna $x\in E$ je funkce $U\ni t\mapsto f(t,x)$ spojitá v $a$, 
  \item pro všechna $t\in U$ je funkce $E\ni x\mapsto f(t,x)$ měřitelná,
  \item existuje integrovatelná funkce $g$ na $E$ tak, že pro všechna $t\in U$ a $x\in E$ je $|f(t, x)|\leq g(x)$. 
 \end{enumerate}
Potom pro všechna $t\in U$ je $E\ni x\mapsto f(t,x)$ integrovatelná a funkce
\[F(t):=\int_E f(t,x) \dmu(x),\quad t\in U\]
je spojitá v bodě $a$.
\end{theorem}
\begin{proof}D\r{u}kaz byl p\v{r}edveden na p\v{r}edn\'a\v{s}ce.
\end{proof}


\begin{theorem}[Derivace integrálu závislého na parametru]Nechť $E\in \A$ a $I\subset\er$ je otevřený interval. Nechť funkce $f : I\times E\to \er$ má následující vlastnosti:
 \begin{enumerate}[(i)]
  \item Pro skoro všechna $x\in E$ má funkce $I\ni t\mapsto f(t,x)$ vlastní derivaci na celém intervalu $I$, 
  \item pro všechna $t\in I$ je funkce $E\ni x\mapsto f(t,x)$ měřitelná,
  \item existuje integrovatelná funkce $g$ na $E$ tak, že pro všechna $t\in I$ a $x\in E$ je $\left|\frac{\partial f}{\partial t}(t, x)\right|\leq g(x)$,
  \item existuje $t_0\in I$ tak, že funkce $E\ni x\mapsto f(t_0,x)$ je integrovatelná.
 \end{enumerate}
 Pak pro všechna $t\in I$ je funkce $E\ni x\mapsto f(t,x)$ integrovatelná, funkce
 \[F(t):=\int_E f(t,x) \dmu(x),\quad t\in I\]
 má vlastní derivaci na celém intervalu $I$ a platí
 \[F'(t) = \int_E \frac{\partial f}{\partial t}(t, x) \dmu(x),\quad t\in I.\]
\end{theorem}

\begin{defin}
 Funkci \emph{Gamma} definujeme na intervalu $(0,\infty)$ předpisem
 \[\Gamma(s):=\int_0^\infty e^{-x}x^{s-1} \dx,\quad s\in (0,\infty).\]
\end{defin}

\begin{prop}[Vlastnosti funkce Gamma]
\begin{enumerate}[(i)]
 \item $\Gamma(s)\in (0,\infty)$, $s\in (0,\infty)$;
 \item $\Gamma(1)=1$ a pro každé $s\in(0,\infty)$ platí $\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$. Speciálně, $\Gamma(n+1) = n!$ pro každé $n\in\en$;
 \item $\Gamma\in\C^k(0,\infty)$, $k\in\en$;

\konecPrednasky{16.12.2020}

 \item $\Gamma$ je ryze konvexní na $(0,\infty)$;
 \item $\lim_{s\to 0^+} \Gamma(s) = \lim_{s\to\infty}\Gamma(s) = + \infty$;
 \item $\Gamma(\tfrac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$.
\end{enumerate}
%Jako zdroj alternativnich zajimavych dukazu se da pouzit take nasledujici odkaz a reference v nem: https://web.archive.org/web/20140514090620/http://warwickmaths.org/files/gamma.pdf

\end{prop}
\begin{proof}D\r{u}kaz byl p\v{r}edveden na p\v{r}edn\'a\v{s}ce.
\end{proof}


\begin{defin}
 Funkci \emph{Beta} definujeme na $(0,\infty)\times(0,\infty)$ předpisem
 \[B(p,q):=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}\dx,\quad (p,q)\in (0,\infty).\]
\end{defin}

\begin{prop}[Vlastnosti funkce Beta]
\begin{enumerate}[(i)]
 \item Pro každé $p,q\in (0,\infty)$ máme $B(p,q)\in (0,\infty)$;
 \item pro každé $p,q\in (0,\infty)$ máme $pB(p,q+1) = qB(p+1,q)$;
 \item pro každé $p,q\in (0,\infty)$ máme $B(p,q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$ (speciálně $B(p,q)=B(q,p)$);
 \item $B\in \C^k((0,\infty)\times (0,\infty))$, $k\in\en$; 
 \item $B(1-s,s) = \Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin \pi s}$, $s\in(0,1)$. 
\end{enumerate}
\end{prop}
\begin{proof}D\r{u}kaz byl p\v{r}edveden na p\v{r}edn\'a\v{s}ce (krom\v{e} d\r{u}kazu, \v{z}e $B(1-s,s) = \frac{\pi}{\sin \pi s}$ pro $s\in(0,1)$).
\end{proof}

\konecPrednasky{21.12.2020}

\begin{prop}[objem $n$-rozmerne koule]
  Nechť je dána $n$-rozměrná koule $B(0,R)\subset \er^n$. Pak $\lambda^n(B(0,R)) = \tfrac{\pi^{n/2}}{\Gamma(1+n/2)}R^n$.
\end{prop}
\begin{proof}D\r{u}kaz byl p\v{r}edveden na p\v{r}edn\'a\v{s}ce.
\end{proof}

\konecPrednasky{4.1.2021}

\begin{prop}[Stirlingův vzorec]
 \[\lim_{s\to\infty} \frac{1}{\sqrt{s}}\left(\frac{e}{s}\right)^s\Gamma(s+1) = \sqrt{2\pi}.\]
\end{prop}

\section{Radon-Nikod\'ymova v\v{e}ta}

V celé této sekci je $(X,\A,\mu)$ prostor s mírou.

\begin{defin}\v{R}ekneme, \v{z}e míra $\mu$ je \emph{$\sigma$-konečná}, pokud existují měřitelné množiny $A_n$, $n\in\en$ takové, že $\mu(A_n)<\infty$ pro každé $n\in\en$ a $\bigcup_{n\in\en} A_n = X$.
\end{defin}

\begin{defin}Nechť $\mu,\nu$ jsou míry na $(X,\A)$. Řekneme, že \emph{$\nu$ je absolutně spojitá vzhledem k $\mu$} (značíme $\nu<<\mu$), jestliže pro každou $E\in\A$ platí
\[\mu(E) = 0 \Rightarrow \nu(E) = 0.\]
\end{defin}

\begin{defin}Nechť $f$ je nezáporná $\mu$-měřitelná funkce. Pak míra $\nu:\A\to [0,\infty]$ definovaná předpisem
\[\nu(E):=\int_E f \dmu\]
se nazývá \emph{míra s hustotou $f$ (vzhledem k $\mu$)}. Naopak $f$ se v této situaci nazývá \emph{hustota} nebo \emph{Radon-Nikod\'ymova derivace} míry $\nu$ (vzhledem k $\nu$) a značí $\tfrac{\dnu}{\dmu}$.
\end{defin}

\begin{theorem}[Radon-Nikodýmova věta]
Nechť $\mu$ je $\sigma$-konečná a nechť $\nu$ je $\sigma$-konečná míra na $(X,\A)$ splňující $\nu<<\mu$. Pak existuje právě jedna (až na modifikace na množinách $\mu$-míry nula) $\mu$-měřitelná funkce $f$ taková, že $f=\tfrac{\dnu}{\dmu}$, tj.
\[\nu(E) = \int_E f \dmu,\qquad E\in\A.\]
Nav\'ic, pokud je $\nu$ kone\v{c}n\'a, pak $f$ je $\mu$-integrovatelná.
\end{theorem}

\begin{prop}[O integraci vzhledem k hustotě]Nechť $\mu$ je $\sigma$-konečná a nechť $\nu$ je konečná míra na $(X,\A)$ splňující $\nu<<\mu$ a nechť $f = \tfrac{\dnu}{\dmu}$. Pak pro každou $E\in\A$ a každou $\A$-měřitelnou funkci $g:E\to\er$ platí
\[\int_E g(x) \dnu = \int_E gf \dmu,\]
má--li alespoň jedna strana rovnosti smysl.
\end{prop}

\konecPrednasky{6.1.2021}

\end{document}





