\documentclass[12pt,notitlepage]{report}

\frenchspacing % aktivuje použití některých českých typografických pravidel

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{amsthm,amsmath,amssymb,mathrsfs}
\usepackage[top=1cm, left=1cm, right=1cm]{geometry} % nastavení dané velikosti okrajů
\pagestyle{empty}
\newtheorem*{thm}{V\v{e}ta}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defin}{Definice}

\def\ce{\mathbb C} 
\def\en{\mathbb N}
\def\zet{\mathbb Z}
\def\er{\mathbb R}
\def\Rr{\mathbb R^*}
\def\C{\mathcal{C}}
\def\R{\er}
\def\N{\en}
\def\nec{Nech\v t\ }
\def\ov{\overline}
\def\Int{\operatorname{Int}}
\def\eqdef{\stackrel{\text{\tiny def}}{=}}
\def\Mod{\operatorname{mod}}
\def\dist{\operatorname{dist}}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}
\newcommand\lx[1][0]{\displaystyle\lim_{x\to #1}}
\def \cotg {\operatorname{cotg}}
\def \tg {\operatorname{tg}}
\def \arctg {\operatorname{arctg}}
\def \suma {\sum_{n=1}^\infty}
\def \sumaO {\sum_{n=0}^\infty}
\def \sumad {\sum_{k=2}^\infty}
\def \dx {\, \mathrm{d} x}
\def\lp{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}

\newcounter{Priklad}
\addtocounter{Priklad}{1}
\newcommand{\pr}{\quad\alph{Priklad})\;\addtocounter{Priklad}{1}}
\newcommand{\resetpr}{\setcounter{Priklad}{1}}

\title{Cvi\v{c}en\'i - Teorie m\'iry a integr\'alu, MFF}  % tyto dvě položky jsou zde v podstatě formálně, ve skutečnosti nejsou nikde 
\author{Marek C\'uth}

\begin{document} 
%\centerline{\MakeUppercase{logick\'e h\'adanky}}\ \\
%\textbf{1. Poctivci a padou\v{s}i}: Jsme na ostrov\v{e}, kde jedni jeho obyvatel\'e, naz\'yvan\'i poctivci, v\v{z}dycky
%mluv\'i pravdu, a ostatn\'i, naz\'yvan\'i padouchy, v\v{z}dycky l\v{z}ou.
%P\v{r}edpokl\'ad\'a se, \v{z}e ka\v{z}d\'y obyvatel ostrova je bu\v{d} poctivec, nebo padouch.\\[3pt]
%\pr Na zahrad\v{e} jsou A, B a C. Jde kolem cizinec a zept\'a se A: ,,Jste padouch, nebo poctivec? `` A odpov\'i, ale nez\v{r}eteln\v{e}, tak\v{z}e cizinec
%nerozezn\'a, co \v{r}ekl. Cizinec se nato zept\'a B: ,,Co \v{r}\'ikal A? `` B odpov\'i ,,A \v{r}\'ikal, \v{z}e je padouch.`` V tomto okam\v{z}iku
%t\v{r}et\'i, C, \v{r}ekne: ,,Nev\v{e}\v{r}te B, ten l\v{z}e! `` Co jsou B a C?\\[3pt]
%\pr V t\'eto h\'adance vystupuj\'i jenom dva, A a B. A prohl\'as\'i: ,,Aspo\v{n} jeden
%z n\'as je padouch.`` Co jsou A a B?\\[3pt]
%\pr Dejme tomu, \v{z}e A \v{r}ekne: ,,Bu\v{d} j\'a jsem padouch, nebo
%B je poctivec.`` Co jsou A a B? \emph{(pozn: v na\v{s}ich \'uloha\'ach ,,bu\v{d} - nebo`` zahrnuje mo\v{z}nost \v{z}e plat\'i oboje)}\\[3pt]
%\pr Op\v{e}t m\'ame t\v{r}i, A, B a C. A \v{r}ekne: ,,B a C maj\'i stejnou
%povahu.`` Nato se n\v{e}kdo zept\'a C: ,,Maj\'i A a B stejnou
%povahu? `` Co C odpov\'i?\\[5pt] \resetpr
%\textbf{2. Detektivn\'i p\v{r}\'ipady}: \pr Bylo vyloupeno skladi\v{s}t\v{e} a pachatel (nebo pachatel\'e)
%odvezl lup autem. Do Scotland Yardu p\v{r}edvedli t\v{r}i podez\v{r}el\'e
%zlo\v{c}ince, A, B a C, a vysl\'ychali je. Zjistilo se toto:\\
%\mbox{ }\quad$\bullet$ Do loupe\v{z}e nebyl zapleten nikdo jin\'y ne\v{z} A, B a C.\\
%\mbox{ }\quad$\bullet$ C se nikdy nepou\v{s}t\'i do akce bez A.\\
%\mbox{ }\quad$\bullet$ B neum\'i \v{r}\'idit auto.\\
%Je A vinen?\\[3pt]
%\pr Tentokrát byli p\v{r}edvedeni k v\'yslechu \v{c}ty\v{r}i podez\v{r}el\'i, A,
%B, C a D; op\v{e}t \v{s}lo o loupe\v{z}. Bylo zn\'amo, \v{z}e alespo\v{n} jeden
%z nich je vinen a \v{z}e do loupe\v{z}e nen\'i zapleten nikdo dal\v{s}\'i.
%D\'ale vy\v{s}ly najevo tyhle skute\v{c}nosti:\\
%\mbox{ }\quad$\bullet$ A je nevinen.\\
%\mbox{ }\quad$\bullet$ Pokud je B vinen, pak m\v{e}l pr\'av\v{e} jednoho spole\v{c}n\'ika.\\
%\mbox{ }\quad$\bullet$ Pokud je C vinen, pak m\v{e}l pr\'av\v{e} dva spole\v{c}n\'iky.\\
%Je D vinen?\\[3pt]
%\pr P\v{r}ed soudem st\'ali ob\v{z}alovan\'i A, B,C a D.
%Vy\v{s}ly najevo \v{c}ty\v{r}i skute\v{c}nosti:\\
%\mbox{ }\quad$\bullet$ Pokud jsou A i B oba vinni, pak C byl jejich spole\v{c}n\'ikem.\\
%\mbox{ }\quad$\bullet$ Pokud je A vinen, pak alespo\v{n} jeden z B a C byl
%jeho spole\v{c}n\'ikem.\\
%\mbox{ }\quad$\bullet$ Pokud je C vinen, pak D byl jeho spole\v{c}n\'ikem.\\
%\mbox{ }\quad$\bullet$ Pokud je A nevinen, pak D je vinen.\\
%Kter\'ym z obvin\v{e}n\'ych lze dok\'azat vinu a kter\'ym nelze?\\[5pt] \resetpr
%\textbf{3. Alenka a Lev}: Alenka v \v{r}\'i\v{s}i div\r{u} ob\v{c}as potk\'av\'a Lva. Lev l\v{z}e v pond\v{e}l\'i, \'uter\'y a st\v{r}edu. Ostatn\'i dny mluv\'i pravdu.\\[3pt]
%\pr Alenka potkala Lva. Prohl\'asil:\\
%\mbox{ }\quad$\bullet$ V\v{c}era jsem lhal.\\
%\mbox{ }\quad$\bullet$ Popoz\'it\v{r}\'i budu lh\'at zase.\\
%Kter\'y byl den v t\'ydnu?\\[3pt]
%\pr Kter\'e dny v t\'ydnu m\r{u}\v{z}e Lev prohl\'asit:\\
%\mbox{ }\quad$\bullet$ V\v{c}era jsem lhal.\\
%\mbox{ }\quad$\bullet$ Z\'itra budu lh\'at zase.\\[3pt]
%\pr V kter\'e dny v t\'ydnu m\r{u}\v{z}e Lev prohl\'asit:
%,,V\v{c}era jsem lhal a z\'itra budu lh\'at zas.``? Pozor! Odpov\v{e}\v{d} v tomto p\v{r}\'ipad\v{e} nen\'i stejn\'a jako u p\v{r}edchoz\'i h\'adanky!\\[5pt] \resetpr
%\newpage
%\textbf{4. Logika a l\'aska}: \pr Dejme tomu, \v{z}e se m\v{e} kdosi zept\'a: ,,Je to v\'a\v{z}n\v{e} pravda,
%\v{z}e pokud miluje\v{s} Veroniku, pak taky miluje\v{s} Janu? `` Odpovím
%mu podle pravdy: ,,Jestliže je to pravda, tak miluji Veroniku.``
%Vypl\'yv\'a z toho, \v{z}e miluji Veroniku? Vypl\'yv\'a z toho, \v{z}e miluji
%Janu?\\[3pt]
%\pr Tentokr\'at m\'ame dv\v{e} d\'ivky, Veroniku a Mark\'etu. N\v{e}kdo se
%m\v{e} zept\'a: ,,Je to v\'a\v{z}n\v{e} pravda, \v{z}e pokud miluje\v{s} Veroniku, miluje\v{s}
%i Mark\'etu? `` Odpov\'im mu podle pravdy: ,,Jestli\v{z}e je to
%pravda, miluji Veroniku, a jestliže miluji Veroniku, je to pravda."
%Kterou z d\'ivek miluji?\\[3pt]
%\pr Jsem bu\v{d} poctivec, nebo padouch. Pronesu dva v\'yroky:\\
%\mbox{ }\quad$\bullet$ Miluji Veroniku\\
%\mbox{ }\quad$\bullet$ Pokud miluji Veroniku, pak miluji Mark\'etu.\\
%Jsem poctivec, nebo padouch?\\[5pt] \resetpr
%\textbf{5. Hled\'an\'i pokladu}: \pr Rozšířila se pověst, že na jistém ostrově poctivc\r{u} a padouch\r{u}
%je zakop\'an poklad. P\v{r}ijedete na ostrov a pt\'ate se
%domorodce A, je-li na ostrov\v{e} poklad. Odpov\'i v\'am: ,,Na
%tomhle ostrov\v{e} je poklad, pr\'av\v{e} kdy\v{z} jsem poctivec.``
%D\'a se ur\v{c}it, je-li A poctivec nebo padouch? D\'a se ur\v{c}it, je-li na ostrov\v{e} poklad?\\[3pt]
%\pr Dejme tomu, \v{z}e jste se A zeptal: ,,Je v\'yrok, \v{z}e jste
%poctivec, ekvivalentn\'i v\'yroku, \v{z}e na tomhle ostrov\v{e} je poklad? ``
%Kdyby v\'am odpov\v{e}d\v{e}l ,,Ano``, pak by se h\'adanka
%p\v{r}evedla na probl\'em p\v{r}edchoz\'i. Kdyby v\v{s}ak odpov\v{e}d\v{e}l
%,,Ne``, dozv\v{e}d\v{e}l byste se, je-li na ostrov\v{e} poklad?\\[5pt] \resetpr
%\textbf{6. V Transylv\'anii}: V Transylvánii jsou lid\'e a up\'i\v{r}i. Lid\'e se podle
%zevn\v{e}j\v{s}ku od up\'ir\r{u} nedaj\'i rozeznat, lid\'e v\v{s}ak v\v{z}dycky mluv\'i pravdu a up\'i\v{r}i v\v{z}dycky
%l\v{z}ou. Celou situaci zna\v{c}n\v{e} komplikuje to, \v{z}e polovina obyvatel
%Transylvánie se pom\'atla. Jsou popleteni v tom,
%\v{z}e o ka\v{z}d\'em pravdiv\'em tvrzen\'i si mysl\'i, \v{z}e je nepravdiv\'e,
%a ka\v{z}d\'e nepravdiv\'e pokl\'adaj\'i za pravdiv\'e. Druh\'a polovina
%dob\v{r}e v\'i, kter\'e tvrzen\'i je
%pravdiv\'e a kter\'e nepravdiv\'e. A tak obyvatel\'e Transylv\'anie
%jsou \v{c}ty\v{r} druh\r{u}: (1) rozumn\'i lid\'e, (2) pomaten\'i lid\'e, (3)
%rozumn\'i up\'i\v{r}i, (4) pomaten\'i up\'i\v{r}i.\\[3pt]
%\pr Jednou jsem potkal jednoho Transylv\'ance, a ten \v{r}ekl:
%,,Bu\v{d} jsem \v{c}lov\v{e}k, nebo jsem rozumn\'y.`` Ke kter\'emu druhu
%pat\v{r}il?\\[3pt]
%\pr Jin\'y m\'istn\'i obyvatel \v{r}ekl: ,,Nejsem rozumn\'y \v{c}lov\v{e}k.``
%Ke kter\'emu druhu pat\v{r}il?\\[3pt]
%\pr Transylv\'anec \v{r}ekne: ,,Jestli\v{z}e jsem bu\v{d} rozumn\'y \v{c}lov\v{e}k,
%nebo pomaten\'y up\'ir, tak je hrab\v{e} Dracula \v{z}iv.`` D\'a se
%z toho ur\v{c}it, je-li Dracula \v{z}iv?\\[3pt]
%\pr Transylvánec vyslovil dva výroky:\\
%\mbox{ }\quad$\bullet$ Jsem rozumný.\\
%\mbox{ }\quad$\bullet$ Myslím si, že hrabě Dracula je mrtev.\\
%Dá se z toho určit, je-li Dracula živ?
%\newpage
\centerline{\MakeUppercase{i. opakov\'an\'i st\v{r}edo\v{s}kolsk\'e l\'atky}}\ \\
\textbf{1. \v{R}e\v{s}te n\'asleduj\'ic\'i nerovnosti a rovnosti v $\er$:}\\[5pt]
  a) $\frac{x-2}{2x-8} \geq 1;\qquad$
  b) $\frac{x+2}{x+3} > \frac{2x+3}{x+6};\qquad$
  c) $\log {}_{\frac 18}(x^2 - 3x + 3)\geq 0;$\qquad
  d) $\log{(x^2+1)} =2 \log{(3-x)};$\\
  e) $\sin{2x} < \cos{x};$\qquad  
  f) $x\leq\left|\frac{x+2}{x-3}\right|;$\qquad
  g) $|x-|x+1||\leq 2x;$\\
  h) $|x - |x-1|| = 1 - |x|;$\qquad
  i) $\frac{x^2 + 2}{x+7} < 2(x-7);$\qquad
  j) $\log {}_{7}(49x^2) = 4\cdot(\log {}_{7}x)^2.$\\[5pt]
\textbf{2. Na\v{c}rtn\v{e}te graf funkce}\\[5pt]
 a) $f(x) = 1 - |\cos{\tfrac{x}{2}}|;$\qquad
 b) $g(x) = \tfrac{1}{2} + \cos(\tfrac{\pi}{2} + |x|);$\qquad
 c) $h(x) = ||||x|-1|-1|-1|$;\\
 d) $i(x) = \left|\frac{x + 4}{x + 3}\right|$;\qquad
 e) $j(x) = |\log|2-x||$.\\[5pt]
\textbf{3. V z\'avislosti na parametru $c\in\er$ ur\v{c}ete, pro kter\'a $x\in\er$ plat\'i:}\\[5pt]
a) $2x^2 + 4x + c > 0$\qquad b) $\log|x| + c\in (-\pi/2,\pi/2)$\\[20pt]
\centerline{\MakeUppercase{ii. v\'yroky, suprema, infima}}\ \\
\textbf{1. } Rozhodn\v{e}te o spr\'avnosti n\'asleduj\'{\i}c\'{\i}ch v\'yrok\r{u} a napi\v{s}te
jejich negace.\\
a) $\forall x \in \en \ \exists y \in \en \ \forall z \in\en \, (z > x \Rightarrow y < z)$;\quad
b) $\exists y\in\en\ \forall x\in\en\ \forall z\in\en\ (z>x\Rightarrow y<z)$;\\
c) $\exists x \in \en \ \forall y \in \en \ \forall z \in\en \, (z > x \Rightarrow y < z)$;\quad
d) $\exists x \in \en \ \forall y \in \en \ \forall z \in\en \, (z < x \Rightarrow y > z)$;\\
e) $\forall x\in\er \ \forall \varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall y\in\er\, (|y-x|<\delta \Rightarrow y<x+\frac \varepsilon3)$.\\[5pt]
\textbf{2. Najd\v{e}te suprema a infima n\'asleduj\'ic\'ich mno\v{z}in (pokud existuj\'i). Existuj\'i maxima a minima?}\\[5pt]
 a) $A = \{-\frac{1}{n};\ n \in \en\};$\qquad
 b) $B = \{\frac{n+ (-1)^n}{n};\ n \in \en\};$\\
 c) $C_1 = \{n^2 - m^2;\ n,m \in \en\},\quad C_2 = \{n^2 - m^2;\ \ n,m \in \en, n>m\},\quad C_3 = \{n^2 - m^2;\ \ n,m \in \en, n\leq m\};$\\
 d) $D_1 = \{2^{-n} + 3^{-n};\ n \in \en\},\quad D_2 = \{2^{-n} + 3^{-n};\ n \in \zet\};$\\
 e) $E = \{n^{(-1)^n};\ n \in \en\};$\qquad
 f) $F = \{5^{(-1)^j3^k};\ j \in \zet, \ k \in \zet\};$
\newpage
\centerline{\MakeUppercase{iii. limity posloupnost\'i}}\ \\
\textbf{1. Spočtěte následující limity posloupností:}\resetpr \pr $\lp\frac{2n^2+n-3}{n^3-1}$
\pr $\lp\frac{2n^3+6n}{n^3-7n+7}$\\
\pr $\lp\frac{2n^5+3n-2}{n^5-3n^3+1}$
\pr $\lp\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)$
\pr $\lp\left(\root 3\of{n+11}-\root 3\of n\right)$\\
\pr $\lp(-1)^n\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$
\pr $\lp\frac{(n+4)^{100} - (n+3)^{100}}{(n+2)^{100} - n^{100}}$
\pr $\lp\frac{n^2 + (n+1)^2}{(n+3)^2 + (n+4)^2}$\\
\pr $\lp\frac{(n+4)^{27} - (n+1)^{27}}{(2n^2 + 5)^{13} - (n^2-1)^{13}}$
\pr $\lp\frac{(n^2-1)(n+2)^3 - n^2}{3n(n^2+5)(n^2+1)}$
\pr $\lp(\sqrt{n+\sqrt{n}} - \sqrt{n})$\\
\pr $\lp(\sqrt[3]{n+2} - \sqrt[3]{n-1})$
\pr $\lp(\sqrt{n^2+n+1} - \sqrt[3]{n^3+1})$
\pr $\lp\frac{\sqrt[4]{n+2} - \sqrt[4]{n+1}}{\sqrt[3]{n+3} - \sqrt[3]{n}}$\\
\pr $\lp\frac{\sqrt{n^2+n+1} - n-1}{\sqrt{n}}$
\pr $\lp\sqrt{\frac{n+\sqrt{n+\sqrt{n+1}}}{n+1}}$\\[10pt]
\textbf{2. Spočtěte následující limity posloupností:}\resetpr
\pr $\lp\frac{n^5 + 2^n + 17^n}{n! + n + 3^n}$
\pr $\lp\frac{n+[\sqrt[3]{n}]^3}{n-[\sqrt{n+9}]}\\$
\pr $\lp\frac{3^n + n^5 + n!}{n(n^6+n!)}$
\pr $\lp\frac{4^n + n^8 - 4n!}{5n! - 3^n + n^9}$
\pr $\lp\sqrt[n]{5^n + 4^n + 3^n + 2^n}$
\pr $\lp \frac{(-2)^n + 3^n}{(-2)^{n+1} + 3^{n+1}}$\\[3pt]
\pr $\lp\sqrt{\frac{n + \sqrt{n^2 + \sqrt{n^4 + 1}}}{n+1}}$
\pr $\lp\sqrt[n]{\sqrt{3^n + 2\cdot 2^n} - \sqrt{3^n + 2^n}}$
\pr $\lp\frac{\sqrt[n]{2^n + 3^n}}{\sqrt[2n]{4^n + \sqrt{n}}}$\\[10pt]
\textbf{3. Spo\v{c}t\v{e}te n\'asleduj\'ic\'i limity posloupnost\'i (p\v{r}\'iklady ze zkou\v{s}kov\'ych p\'isemek na FSV):} \\[3pt] \resetpr
  \pr $\lp((n^{10}+n^3)^7 - (n^7+1)^{10})\cdot\left(\sqrt[3]{(1+\frac{1}{n^9})^7} - 1\right)^7$\\[3pt]
  \pr $\lp\frac{(n+\frac 2n)^{30} - (n+\frac 1n)^{30}}{\sqrt{(2+n^7)^8 - 2^8}}$\qquad\qquad\qquad\qquad
  \pr $\lp\frac{n\sqrt{n}\sqrt[n]{(n+1)^n+n^{n+1}}}{[\sqrt{n}]+[2\sqrt{n}]+\cdots+[n\sqrt{n}]}$\\[3pt]
  \pr $\lp\left(\left(25+\frac 1n\right)^6 - \left(5+\frac 1n\right)^{12}\right)\cdot\sqrt[6]{(n+2)^7 - (n-1)^7}$\\[3pt]
  \pr $\lp((n^5+2)^{25} - (n+5)^{125})\cdot\left(\left(1+\frac{1}{25n^4}\right)^{125} - 1\right)^{31}$
  \pr $\lp\frac{\sqrt{n^5 + 17\sqrt[6]{n}} - \sqrt{n^5 -5\sqrt[6]{n}+1}}{\sqrt[3]{n^5 + 18n-16} - \sqrt[3]{n^5-9n}}$\\[10pt]
  %\pr $\lp\frac{\sqrt{n^4+15n^2} - \sqrt{n^4+2n^2+1}}{\sqrt[3]{n^3+20n^2+5} - \sqrt[3]{n^3 - 6n^2 + 100}}$\\
  %\pr $\lp\frac{(n^2 + 3)^{50} - (n+\frac 1n)^{100}}{(n+2)^{99} - (n+3)^{99}}$		
	\newpage
	\centerline{\MakeUppercase{v. limita funkc\'i}}\ \\
\textbf{1. Spo\v{c}t\v{e}te limitu, nebo uka\v{z}te \v{z}e limita neexistuje (p\v{r}\'iklady na pod\'ily polynom\r{u}):}\\
a) $\lx[\infty] \frac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1}$\quad
b) $\lx \frac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1}$\quad
c) $\lx[1] \frac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1}$\quad
d) $\lx[1] \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}$\quad
e) $\lx[1] \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 - 2x + 1}$\\
f) $\lx[2] \frac{(x^2 - x - 2)^{20}}{(x^3 - 12x + 16)^{10}}$\quad
g) $\lx[2] \left(\frac{1}{x(x-2)^2} - \frac{1}{x^2 - 3x + 2}\right)$\quad
h) $\lx[1] \left(\frac{x+2}{x^2 - 5x + 4} + \frac{x-4}{3(x^2 - 3x + 2)}\right)$\\[5pt]
%i) $\lx[1] \frac{x^{100} - 2x + 1}{x^{50} - 2x + 1}$\\[5pt]
\textbf{2. Spo\v{c}t\v{e}te limitu, nebo uka\v{z}te \v{z}e limita neexistuje (p\v{r}\'iklady na v\'yrazy s odmocninami):}\\
a) $\lx \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x^n},\;n\in\zet$\quad
b) $\lx[1] \frac{\sqrt[3]{x^2 + 7} - \sqrt[3]{x^3 + 7}}{(x-1)^n},\;n\in\zet$\quad
c) $\lx[8] \frac{\sqrt{9+2x}-5}{\sqrt[3]{x} - 2}$\\
d) $\lx[3] \frac{\sqrt{x+13}-2\sqrt{1+x}}{x^2 - 9}$\\
%e) $\lx[a^+] \frac{\sqrt{x} - \sqrt{a} + \sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2 - a^2}}$\quad
%f) $\lx[1] \frac{(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})\cdots(1-\sqrt[n]{x})}{(1-x)^{n-1}},\;n\in\en$\\[5pt]
\textbf{3. Spo\v{c}t\v{e}te limitu, nebo uka\v{z}te \v{z}e limita neexistuje (p\v{r}\'iklady na pou\v{z}it\'i zn\'am\'ych limit $\tfrac{\sin x}{x}\to 1$, $\tfrac{\log x}{x-1}\to 1$, $\frac{e^x-1}{x}\to 1$, $\frac{1-\cos x}{x^2}\to \tfrac{1}{2}$ a VOLSF):}\\ \resetpr
\pr $\lx \frac{\sin 5x - \sin 3x}{\sin x}$
\pr $\lx \frac{\log(\cos x)}{x^2}$
\pr $\lx \frac{\log(1+x)}{x}$ (tuto limitu d\'ale lze pova\v{z}ovat za ,,zn\'amou``)\\
\pr $\lx \frac{e^{\sin^2 x} - \cos x}{x^2}$
\pr $\lx \frac{1-\cos x}{\sin^3 x}$
%\pr $\lx[\frac \pi3] \frac{\sin(x-\frac \pi3)}{1-2\cos x}$
%\pr $\lx[a] \frac{\sin x - \sin a}{x-a}$
%\pr $\lx \frac{1+\sin x - \cos x}{1-\sin x - \cos x}$
\pr $\lx \frac{\tg x - \sin x}{\sin^3 x}$
\pr $\lx \frac{\sqrt{\cos x} - \sqrt[3]{\cos x}}{\sin^2 x}$\\
\pr $\lx \frac{\sqrt{1+\tg x} - \sqrt{1+\sin x}}{x^3}$
\pr $\lx \frac{x^2}{\sqrt{1+x\sin x} - \sqrt{\cos x}}$\\[10pt]
\textbf{4. Spo\v{c}t\v{e}te limitu, nebo uka\v{z}te \v{z}e limita neexistuje:}\\ \resetpr
\pr $\lx[\infty] \left({x+2\over 2x+1}\right)^{x^2}$ %TENHLE UKAZAT - na definici toho co to je realna mocnina
\pr $\lx[\infty] \left({x^2+1\over x^2-2}\right)^{x^2}$
\pr $\lx[\infty] {\log\left(x^2-x+1\right)\over\log\left( x^{10}+x+1\right)}$ %TENHLE UKAZAT - na vytknuti mocniny
\pr $\lx[\frac\pi4] {\sin x -\cos x\over\left(x-\frac\pi4\right)^2}$\\ %DAT HINT: pomoci souctoveho vzorce  pro sinus odvodte, ze sin x - cos x = 2/sqrt(2) . sin (x-pi/4)
\pr $\lx \left(1+x^2\right)^{\cotg^2 x}$
\pr $\lx \left({1+\tg x\over 1+\sin x}\right)^{1\over\sin^2 x}$
\pr $\lx[\infty] {\log\left(1+\sqrt x +\root 3\of x\right)\over\log\left(1+\root 3\of x+\root 4\of x\right)}$
\pr $\lx[\frac\pi4] (\tg x)^{\tg 2x}$\\
\pr $\lx[\frac\pi4] {\sin x -\cos x\over\left(x-\frac\pi4\right)^3}$
\pr $\lx \left({1+x\cdot 2^x\over 1+x\cdot 3^x}\right)^{1\over x^2}$
\pr $\lx[\infty] \log(1+2^x)\cdot\log\left(1+\frac3x\right)$
%PRIPRAVIT SI JESTE NECO NA INVERZY??? - o)-q)
\pr $\lx {\arcsin x\over \sin(\sin x)}$\\
\pr $\lx[1^-] {\arccos x\over (1-x)^\alpha}$%TENHLE UKAZAT - na inverzni funkce
\pr $\lx[0^+] {\arccos{1-x^2\over 1+x^2}\over \sin x}$
\pr $\lx {(\cos x)^x-\sqrt{1+\sin^3 x}\over x^3}$\\[10pt]
\textbf{5. Spo\v{c}t\v{e}te limitu, nebo uka\v{z}te \v{z}e limita neexistuje (jedn\'a se o p\v{r}\'iklady ze zkou\v{s}kov\'ych p\'isemek)} \\ \\ \resetpr
  \pr $\lx {\left(\frac{(1+\cos x)^x + 1}{2}\right)^\frac 1x}$
  \pr $\lx[\infty] {\frac{\log(1 + x^3 + 3^x + x^x)}{\log(1 + x^3 + 3^x)\log(1 + x^3)}}$
  \pr $\lx[-\frac \pi2] {\frac{\tg x\cdot \log(\sin^2x)}{\sqrt{1 + \sin x}}}$\\
  \pr $\lp {\sqrt[n]{n^n + n^{n+1} + \ldots + n^{2n}}\left(1 - \cos \tfrac 3n\right)}$
  \pr $\lx {\frac{\sqrt{1 + \cos x\cdot \log(\cos x)} - \sqrt{1 + \log(\cos x)}}{\sqrt[3]{\tg x} - \sqrt[3]{\sin x}}\cdot\frac{\sqrt[3]{x}}{\sin^2 x}}$\\
  \pr $\lp {\frac{\sqrt{n^3 + \sin n} - \sqrt{n^3 + 3n}}{\sqrt[4]{n^2 + n} - \sqrt[4]{n^2 + \arctg n}}}$
  \pr $\lx[\frac \pi4] {\left(\frac{\tg x + \cotg x}{2}\right)^{\tg^2 2x}}$
	\newpage
	\centerline{\MakeUppercase{vi. spojitosti a derivace}}\ \\ 
\textbf{1. Vy\v{s}et\v{r}ete spojitost a najd\v{e}te derivaci funkce }$f(x) = $\\ \resetpr
  \pr $(x^2 + 51x + 119)^{87}$
  \pr $(x+15)^3(x-17)^{10}x^9$
  \pr ${\frac{e^{x^2+1}\cdot \cos x}{(x+1)^2\cdot \log(x^2+1)}}$
  \pr $\log(x^2+x+1)$\\
  \pr $\sin\left(\cos\left( (x^3+17x^2-56x+1)^{18} \right) \right)$
  \pr $\left(\frac1x\right)^{\frac1x}$
  \pr $\left(\sin x\right)^{\cos x}$
  \pr $\log\arccos x$\\
  \pr $x\arcsin\sqrt{\frac{x}{x+1}}+\arctg\sqrt x-\sqrt x$
  \pr $\arctg e^x-\log\sqrt{\frac{e^{2x}}{e^{2x}+1}}$\\[5pt]
	\textbf{Ze zkou\v{s}kov\'ych p\'isemek:}
	\pr $\max\{5x - 4, x^2\}$
	\pr $[x]\cdot \sqrt[3]{x^2 - 9}$
	\pr $|\cos 2x|\cdot (\tg x - 1)$\\[20pt]
	\centerline{\MakeUppercase{vii. pr\r{u}b\v{e}h funkce}}\ \\ 
\textbf{1. Vy\v{s}et\v{r}ete pr\r{u}b\v{e}h funkce }$f(x) = $\\[2pt] \resetpr
  \pr $\tfrac{x^3}{\sqrt{|x^4 - 1|}}$
  \pr $|(1-x^2)e^{-x}|$\\[5pt]
\textbf{Ze zkou\v{s}kov\'ych p\'isemek:}\\[2pt]
  \pr $\left(3^{x+2|x|} - 9\right)^2$
  \pr $\arctg{\frac{x^2}{x^2 - 6}}$
  \pr $(x + \log 2)\cdot 2^{-\frac 5x}$
\end{document}