Nabídka tématu závěrečné práce: Tlakově robustní metody v nestlačitelném proudění

English is possible

The thesis language can be English too. Ask me for the description of the project if interested.

Tlakově robustní metody mění pravidla hry v numerických metodách nestlačitelného proudění.

Diskretizace podmínky nestlačitelnosti $\mathrm{div}\mathbf{u}=0$ je ústředním tématem numerického řešení nestlačitelného proudění. Klasické metody diskretizace jako Hood–Taylor vynucují podmínku ve smyslu ortogonality na konečně dimenzionální prostor $Q_h$:

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{div}{\mathbf{u}}_h{q}_h\text{d}x=0\mathsf{\text{pro všechny }}{q}_h\in Q_h.$$

V poslední dekádě došlo k prudkému rozvoji tlakově robustních metod, jež zajišťují splnění podmínky bodově:

$$\mathrm{div}{\mathbf{u}}_h=0\mathsf{\text{v }}\mathrm{\Omega }.$$

Ukazuje se, že tento aspekt má zásadní vliv na stabilitu a přesnost metod. Modelový příklad s Coriolisovou silou v animaci ukazuje nerobustnost klasické metody Hood–Taylor. Nežádoucí efekt se zjemněním sítě mizí, nicméně může být libovolně velký.

Hood–Taylor

Scott–Vogelius

Následující příklad proudění je Taylor–Green vortex. Klasická metoda Hood–Taylor ${\mathbf{P}}_2$–$P_1$ vykazuje kvůli své tlakové nerobustnosti značnou nestabilitu a řešení je velice brzo nepoužitelné.

Oproti tomu tlakově robustní metoda (zde Scott–Vogelius ${\mathbf{P}}_2$–$P_1^{\mathrm{disc}}$ na Clough–Tocher makroelementu) je mnohem robustnější.

Cílem bakalářské práce je seznámit se s numerickým řešením nestlačitelného proudění s důrazem na tlakově robustní metody. Studující nastuduje přehledovou literaturu k tématu, zejména doi:10.1137/15M1047696. Součástí práce je implementace a numerické experimenty za pomocí softwarové knihovny Firedrake nebo podobné. Jazykem práce bude angličtina, čeština nebo slovenština dle volby studujícího.

Práci lze jako diplomovou rozšířit o následující téma: Hledání metody nízkého polynomiálního stupně, zejména ve 3D. Jako výchozí bod by bylo možne hledat alternativní iterativní schémata k Scott–Vogelius metodám se singulárními vrcholy, např. aplikace předpodmíněných metod Krylovovských proprostorů na Scott–Vogelius pár na Powell–Sabin makroelementu.