3. a 7.10.2003

Míra a integrál: cvičení 1

1. Vyšetřete konvergenci následujících Lebesgueových integrálů:

(a) ∫_{0}^{1} x^{log x} dx  (b) ∫_{0}^{∞} x sinx^{3} dx  (c) ∫_{0}^{∞} \frac{sin x^{2}}{\sqrt{1+x^{3}}} dx

2. Vyšetřete, pro které hodnoty příslušných parametrů konvergují následující integrály:

(a) ∫_{0}^{1} x^{p}(1 − x)^{q} dx (b) ∫_{0}^{∞} x^{p}e^{−\sqrt{x}} dx  (c) ∫_{0}^{∞} x^{s−1}(logx)^{k}e^{−x} dx
(d) ∫_{0}^{∞} \frac{| log x|^{α}}{1+x^{k}} dx  (e) ∫_{0}^{π/2}(tgx)^{a} dx  (f) ∫_{0}^{∞} \frac{x^{p}}{1+x^{q}} dx
(g) ∫_{0}^{π} \frac{1−cos ax}{x^{p}} dx  (h) ∫_{0}^{π} logsinax dx  (i) ∫_{0}^{1} x^{ax} dx
(j) ∫_{0}^{∞} \frac{x^{a}}{\sqrt{1+x}} dx  (k) ∫_{0}^{1} \frac{| log x|^{p}}{\sqrt{1−x}} dx  (l) ∫_{0}^{∞} \frac{sin x^{p}}{x} dx
(m) ∫_{0}^{1} \frac{arccos x}{log^{q}(1/x)} dx  (n) ∫_{0}^{∞}(π − 2 arctgx)^{α} dx

10. a 17.10.2003

Míra a integrál: cvičení 2

1. Pomocí Leviho věty spočtěte následující limity:

(a) lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} \frac{x^{n}}{n} dx  (b) lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x^{2n}} dx
(c) lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞} \frac{x^{n}}{1+x^{2n}} dx  (d) lim_{n→∞} ∫_{0}^{A} \frac{e^{x^{3}}}{1+nx} dx
(e) lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} nx^{−nx^{2}} dx  (f) lim_{n→∞} ∫_{1}^{∞} nxe^{−nx^{2}} dx

(g) lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞} e^{−x^{n}} dx

2. (a) Buďte f_{n} : [0, ∞) → ℝ, f_{n}(x) = 0 pro x ∈ [0, n), f_{n}(x) = −1 jinak. Spočtěte lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞} f_{n}(x) dx a ∫_{0}^{∞} lim_{n→∞} f_{n}(x) dx.

(b) Buďte g_{n} : [0, 1] → ℝ, g_{n}(x) = n pro x ∈ [0, 1/n), g_{n}(x) = 0 jinak. Spočtěte lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞} g_{n}(x) dx a ∫_{0}^{1} lim_{n→∞} g_{n}(x) dx.

3. Vypočtěte:

(a) lim_{a→0^{+}} ∫_{0}^{1} \frac{a^{x^{2}} +1}{x^{2} +1} dx  (b) lim_{a→1^{−}} ∫_{0}^{π/4} \frac{1}{log(a−sin x)} dx

4. Ukažte, že:

(a) ∫_{0}^{1} \frac{log(1−x)}{x} dx = −π^{2}/6  (b) ∫_{0}^{∞} \frac{x}{e^{x}−1} dx = π^{2}/6

(c) ∫_{0}^{1} log \frac{1}{1−x} dx = 1  (d) ∫_{0}^{1} \frac{log(1/x)}{1−x^{2}} dx = π^{2}/8
(e) ∫_{0}^{1} \frac{x^{2} log(1/x)}{1−x^{2}} dx = π^{2}/8 − 1  (f) ∫_{0}^{1} logx log(1 − x) dx = 2 − π^{2}/6

17. a 21.10.2003

Míra a integrál: cvičení 3

1. Řešte úlohy z minulé série pomocí Lebesguovy věty.

2. Pomocí Lebesgueovy věty vypočtěte následující limity:

(a) lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} ^{\frac{\sqrt{n^{3}} x}{1+n^{2} x^{2}}} dx  (b) lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} \frac{nx}{1+n^{2} x^{2}} dx
(c) lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} nxe^{−nx^{2}} dx  (d) lim_{n→∞} ∫_{0}^{+∞} nxe^{−nx^{2}} dx
(e) lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} ^{\frac{\sqrt{n^{3}} x}{1+n^{2} x^{2}}} dx  (f) lim_{n→∞} ∫_{0}^{1} nx^{−nx^{2} dx}
(g) lim_{n→∞} ∫_{0}^{+∞} \frac{1}{(1+x/n)^{n} \sqrt[n]{x}} dx  (h) lim_{n→∞} ∫_{0}^{+∞} \frac{log(n+x)}{n} e^{−x} dx

3. Pomocí Lebesgueovy věty vypočtěte následující limity:

(a) lim_{x→+∞} ∫_{0}^{1} \frac{e^{−x^{2} (t^{2} +1)}}{t^{2} +1} dt  (b) lim_{y→+∞} ∫_{0}^{+∞} e^{−xy} cosx dx

4. Ukažte, že

(a) ∫_{0}^{1} \frac{1+x}{1−x^{3}} log(1/x) dx = \frac{4π^{2}}{27}  (b) ∫_{0}^{+∞} e^{−x} cos \sqrt{x} dx = ∑_{0}^{∞}(−1)^{n} \frac{n!}{(2n)!}
(c) ∫_{0}^{1} \frac{1−x}{1+x^{3}} log(1/x) dx = \frac{2π^{2}}{27}  (d) ∫_{0}^{+∞} e^{−x}(1 − x) log(1/x) dx = \frac{π^{2}}{4}
(e) ∫_{0}^{1} \frac{log x}{x^{2} −1} dx = \frac{π^{2}}{4}  (d) ∫_{0}^{+∞} \frac{1}{e^{ax}+1} dx = \frac{log 2}{a}, a > 0

31.10. a 4.11.2003

Míra a integrál: cvičení 4

1. Ukažte, že následující funkce jsou spojité na daných intervalech:

(a) F (a) = ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−ax}}{1+x^{2}} dx, [0, ∞)  (b) F (a) = ∫_{0}^{∞} e^{−ax} dx, (0, ∞)
(c) F (a) = ∫_{−1}^{1} \sqrt{a^{2} + x^{2}} dx, ℝ  (d) F (a) = ∫_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{a^{2} +x^{2}}} dx, (0, ∞)
(e) F (a) = ∫_{0}^{∞} e^{−ax^{2}} dx, (0, ∞)  (f) F (a) = ∫_{0}^{2} x^{2} cosax dx, ℝ
(g) F (a) = ∫_{0}^{1} arctg(x/a) dx, (0, ∞) (h) F (a) = ∫_{7}^{∞} x^{a}, (−∞, −1)
(i) F (a) = ∫_{0}^{∞} \frac{x}{2+x^{a}} dx, (2, ∞)  (j) F (a) = ∫_{1/2}^{∞} \frac{cos x}{x^{a}} dx, (1, ∞)

2. Vyšetřete spojitost a diferencovatelnost následujících funkcí a vypočtěte derivaci:

(a) F (a) = ∫_{0}^{∞} x^{a−1}e^{−x} dx  (b) F (a) = ∫_{0}^{∞} \frac{x^{a}}{1+x^{2}} dx
(c) F (a) = ∫_{0}^{∞} \frac{sin ax}{1+x^{2}} dx  (d) F (a) = ∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{1+ax^{2}} dx
(e) F (a) = ∫_{0}^{∞} \frac{x}{e^{−ax}−1} dx  (f) F (a) = ∫_{0}^{π} \frac{log(1+a sin x)}{x} dx
(g) F (a) = ∫_{0}^{1} \frac{1−x^{a}}{log x} dx  (h) F (a) = ∫_{0}^{1} \frac{arcsin ax}{x} dx

(i) F (a) = ∫_{0}^{π} tgax dx

3. Zjistěte, pro které hodnoty parametrů platí:

(a) ∫_{0}^{π/2} \frac{arctg (a tg x)}{tg x} dx = \frac{π}{2} sgna log(1 + |a|)

(b) ∫_{0}^{1} \frac{(1−x^{p})(1−x^{q})}{log x} dx = log(\frac{p+q+1}{(p+1)(q+1)} )

(c) ∫_{0}^{∞} e^{−kx} \frac{sin ax}{x} dx = arctg \frac{a}{k}

(d) ∫_{0}^{∞} \frac{log(a^{2} +x^{2} )}{b^{2} +x^{2}} dx = \frac{π}{|b|} log(|a| + |b|)

(e) ∫_{0}^{∞} \frac{x}{e^{−ax}−1} dx = \frac{π^{2}}{6a^{2}}

(f) ∫_{0}^{π} \frac{log(1+a cos x)}{cos x} dx = π arcsina

(g) ∫_{0}^{1} \frac{1−x^{a}}{log x} dx = log \frac{1}{a+1}

(h) ∫_{0}^{∞} \frac{1−e^{−ax^{2}}}{xe^{x^{2}}} dx = \frac{1}{2} log(a + 1)

(i) ∫_{0}^{∞} \frac{e^{−ax}−e^{−bx}}{x} sinkx dx = arctg \frac{b}{k} − arctg \frac{a}{k}

14. a 18.11.2003

Míra a integrál: cvičení 5

1. Vypočtěte dvourozměrnou Lebesgueovu míru následujících množin:

(a) M := {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ 6}; λ_{2}(M) = 6π

(b) M := {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 0 ≤ x < y}; λ_{2}(M) = +∞

(c) M := {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 ≤ x ≤ 5, y ≤ 3; xy ≥ 1}; λ_{2}(M) = 12 − log5

(d) M := {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 ≤ x^{2} + y^{2} ≤ 4}; λ_{2}(M) = 3π

(e) M := \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} < y < x + 2\}; λ_{2}(M) = \frac{9}{2}

2. Najděte dvourozměrnou Lebesgueovu míru množiny M omezené danými křivkami:

(a) y = \frac{8}{4+x^{2}} , y = \frac{x^{2}}{4} ; λ_{2}(M) = 2(π − \frac{2}{3})

(b) x = 2, y = x, xy = 1, x = 0; λ_{2}(M) = \frac{3}{2} − log2 (c) 2x − y = 0, 2x − y − 7 = 0, x − 4y + 7 = 0, x − 4y + 14 = 0; λ_{2}(M) = 7 (d) x = \frac{x^{2} +b^{2}}{2b} , x = \frac{x^{2} +a^{2}}{2a} (0 < b < a); λ_{2}(M) = \frac{2}{3}(a − b)\sqrt{ab}

3. Vypočtěte následující Lebesgueovy integrály:

(a) ∫∫_{M}(x^{2} + y^{2}) dx dy = \frac{2}{3}, M = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : |x| + |y| ≤ 1\}

(b) ∫∫_{M} e^{−(x+y)} dx dy = \frac{1}{2}, M = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : 0 ≤ x ≤ y\}

(c) ∫∫_{M} xy dx dy = \frac{1}{280} , M omezená osami a křivkou \sqrt{x} + \sqrt{y} = 1

(d) ∫∫_{M} \frac{1}{\sqrt{1−x^{2} −y^{2}}} dx dy = 2π, M = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ 1\}

(e) ∫∫_{M} \frac{1}{\sqrt{x^{2} +y^{2}}} dx dy = 2, M = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ x\}

(f) ∫∫_{M} \frac{x^{2}}{1+y^{2}} dx dy = \frac{π}{12} , M = [0, 1] × [0, 1]

4. Vypočtěte trojrozměrnou Lebesgueovu míru množiny M:

(a) M = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1 − x − y\}; λ_{3}(M) = \frac{1}{6}

(b) M omezená plochami z = 1, z^{2} = x^{2} + y^{2}; λ_{3}(M) = \frac{π}{3}

(c) M omezená z = a^{2} − x^{2}, x + y = a, y = 0, z = 0, y = 2x; λ_{3}(M) = \frac{41}{162} a^{4}

21. a 25.11.2003

Míra a integrál: cvičení 6

1. Vypočtěte objem koule pomocí

(a) sférických souřadnic  (b) válcových souřadnic.

2. Vypočtěte dvojrozměrné Lebesgueovy míry následujících množin:

(a) M{(x, y) ∈ ℝ^{2} : (x^{2} + y^{2})^{2} ≤ 2a^{2}(x^{2} − y^{2})}, λ_{2}(M) = 2a^{2}

(b) M\{(x, y) ∈ ℝ^{2} : (x^{2} + y^{2})^{3} < 2a^{2}(x^{4} + y^{4})\}, λ_{2}(M) = \frac{3}{4}πa^{2}

(c) M\{(x, y) ∈ ℝ^{2} : (x + y)^{4} < ax^{2}y, x > 0\}, λ_{2}(M) = \frac{a^{2}}{210}

(d) M{(x, y) ∈ ℝ^{2} : (x + y)^{4} < ax^{2}y, x < 0}, λ_{2}(M) = +∞

(e) M{(x, y) ∈ ℝ^{2} : y ≤ x^{2} ≤ 4y, 2x ≤ y^{2} ≤ 3x}, λ_{2}(M) = 1

(f) M\{(x, y) ∈ ℝ^{2} : 2 < x + y < 3, x < y < 3x\}, λ_{2}(M) = \frac{5}{8}

(g) M\{(x, y) ∈ ℝ^{2} : a < xy < b, py < x < qy\}, λ_{2}(M) = \frac{1}{2}(b − a) log \frac{q}{p}.

3. Vypočtěte dvojrozměrné Lebesgueovy míry množin omezených následujícími křivkami:

(a) (\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} ) ^{2} = \frac{xy}{c^{2}}, a, b, c > 0; λ_{2}(M) = \frac{a^{2} b^{2}}{2c^{2}}

(b) (\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} ) ^{2} = x^{2} + y^{2}; λ_{2}(M) = \frac{π}{2}ab(a^{2} + b^{2})

(c) x^{2} + y^{2} − 2ax = 0, x^{2} + y^{2} − ax = 0; λ_{2}(M) = \frac{3}{4}πa^{2}

(d) x^{2} + y^{2} = R^{2}, x^{2} + y^{2} − 2Ry = 0, x = 0; λ_{2}(M) = \frac{R^{2}}{2} (\frac{π}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2})

4. Vypočtěte objemy následujících těles:

(a) M = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 2az, x^{2} + y^{2} ≤ z^{2}}; λ_{3}(M) = πa^{3}

(b) M omezená x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}, x^{2} + y^{2} = r^{2}; λ_{3}(M) = \frac{4}{3}π(R^{3} − (R^{2} − r^{2})^{3/2})

(c) M = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ a^{3}z, x ≤ 0, y ≤ 0, z ≤ 0\}; λ_{3}(M) = \frac{1}{6}πa^{3}

(d) {M omezená x^{2} + y^{2} + z^{2} = 16, x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, x^{2} + y^{2} = z^{2}, z = 0, y = 0, \atop y = x; λ_{3}(M) = \frac{21\sqrt{2}π}{4}}

(e) M omezená c(x^{2} + y^{2}) + a^{z} = a^{2}c, z = 0; λ_{3}(M) = \frac{1}{2}πa^{2}c

(f) M omezená x^{2} + y^{2} = 4z, x^{2} + y^{2} + z^{2} = 12; λ_{3}(M) = \frac{8}{3}π(6\sqrt{3} − 5)

(g) M omezená x^{2} + y^{2} = a^{2}, y^{2} = pz, z = 0; λ_{3}(M) = \frac{πa^{4}}{4p}

28.11. a 2.12.2003

Míra a integrál: cvičení 7

1. Dokažte následující tvrzení:

(a) Pro M\{(x, y) ∈ ℝ^{2} : (\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} )^{2} ≤ \frac{x^{2} y}{c^{3}}, x ≥ 0, y ≥ 0\} je ; ∫∫_{M} xy dx dy = \frac{1}{840} \frac{a^{1} 0b^{6}}{c^{1} 2}

(b) Pro M\{(x, y) ∈ ℝ^{2} : (\sqrt{x} + \sqrt{y} ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0\} je ; ∫∫_{M} \sqrt{\sqrt{x} + \sqrt{y}} dx dy = \frac{4}{27}

(c) Pro M omezenou křivkou (x^{2} + y^{2}/3)^{2} = x^{2}y je ∫∫_{M} \frac{1}{\sqrt{x^{2} +y^{2} /3}} dx dy = 2

2. Dokažte následující tvrzení:

(a) Pro M = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} ≤ 1\} je ∫∫∫_{M} (\frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} ) dx dy dz = \frac{4}{5}πabc

(b) Pro M = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 3a^{2}, x^{2} + y^{2} ≤ 2az\} je ∫∫∫_{M}(x^{2} + y^{2} + z^{2}) dx dy dz = \frac{πa^{5}}{5} (18\sqrt{3} − \frac{97}{6} )

(c) Pro M = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 3a^{2}, x^{2} + y^{2} ≤ 2az\} je ∫∫∫_{M}(x + y + z)^{2} dx dy dz = \frac{πa^{5}}{5} (18\sqrt{3} − \frac{97}{6} )

(d) Pro M = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ R^{2}, z^{2} + y^{2} ≤ x^{2}, x ≥ 0\} je ∫∫∫_{M}(x^{2} + y^{2} + z^{2}) dx dy dz = \frac{πR^{5}}{5} (2 − \sqrt{2})

5. 12. 2003

Písemka

1. (10 bodů) Vypočtěte následující integrál, víte-li, že ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{4}} = \frac{π^{4}}{90} :

∫_{0}^{∞} \frac{x^{3}}{e^{x} + 1} dx.

2. (10 bodů) Vypočtěte derivaci funkce

F (k) := ∫_{0}^{∞} \frac{x^{k}(x − 1)}{logx}e^{−x} dx

v bodě k = 1.

3. (10 bodů) Vypočtěte objem průniku tří válců s poloměrem podstav rovným jedné, jejichž osy jsou po řadě souřadnicové osy x, y, z.

9. 12. 2003

Písemka

1. (10 bodů) Vypočtěte následující limitu:

lim_{n→∞} ∫_{0}^{∞} (1 + \frac{1}{n}) ^{−nx^{n}}dx.

2. (10 bodů) Vypočtěte následující integrál s parametrem a > 0:

∫_{0}^{∞} \frac{e^{−ax} − 1}{x^{2}} sinx dx.

3. (10 bodů) Vypočtěte objem anuloidu

A := \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − R)^{2} + z^{2} ≤ ρ^{2}\}, R > ρ > 0.

19.12.2003 a 6.1.2004

Míra a integrál: cvičení 8

1. Najděte integrovatelnou majorantu k posloupnosti funkcí:

(a) n^{2}x(1 − x)^{n}, x ∈ (0, 1)  (b) ∑_{k=1}^{n} \frac{sin kx}{k^{p}x}, x ∈ (0, 1).

2. Najděte integrovatelnou majorantu g(x) ≥ |f(a, x)| na daných intervalech:

(a) f(a, x) := \frac{a^{x^{2} +1}}{x^{2} +1} , x ∈ (0, 1)  (b) f(a, x) := \frac{sin(1/x)}{x(x+a)^{2}} , x ∈ (1, +∞)
(c) f(a, x) := \frac{sin x}{x^{a}(π−x)} , x ∈ (0, π)  (d) f(a, x) := \frac{x^{a}}{\sqrt{1−x^{2}}} , x ∈ (0, 1)
(e) f(a, x) := \frac{1}{| log x|^{a}}, x ∈ (1, 2)  (f) f(a, x) := log(x^{2} + a^{2}), x ∈ (0, 1)

3. Najděte integrovatelnou majorantu k \frac{∂f}{∂a} na daných intervalech:

(a) f(a, x) := x^{a}, x ∈ (0, 1)  (b) f(a, x) := \frac{1}{a+x^{2}} , x ∈ (−∞, +∞)
(c) f(a, x) := e^{−ax^{2}}, x ∈ (−∞, +∞) (d) f(a, x) := cosax, x ∈ I
(e) f(a, x) := x^{s−1}e^{−x}, x ∈ (0, +∞) (f) f(a, x) := log(1 + p sin^{2} x), x ∈ (0, π/2)

(g) f(a, x) := log(a^{2} sin^{2} x + b^{2} cos^{2} x), x ∈ (0, π/2)

4. Vypočtěte objemy následujících těles:

(a) Kulová vrstva x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 1, 1/4 < z < 3/4.

(b) Anuloid (2 − \sqrt{x^{2} + y^{2}} )^{2} + z^{2} < 1.

(c) Sjednocení předchozího anuloidu a válce x^{2} + y^{2} < 4.

(d) Průniku tří válců x^{2} + y^{2} < 1, x^{2} + z^{2} < 1, y^{2} + z^{2} < 1.

(e) Sjednocení válce x^{2} + y^{2} < 1/4, |z| < 1 a koule x^{2} + y^{2} + z^{2} < 1.

(f) Průniku tří koulí o poloměru 2 a středech [1, 0, 0], [−1, 0, 0], [0, 1, 0].

6. a 9.1.2004

Míra a integrál: cvičení 9

1. Vypočtěte délky následujících křivek:

(a) půlka kružnice (x, \sqrt{1 − x^{2}}), x ∈ (−1, 1),

(b) elipsa x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2} = 1,

(c) x = 3t, y = 3t^{2}, z = 2t^{2} mezi body [0, 0, 0] a [3, 3, 2],

(d) r = a sin^{2}(ϕ/3), ϕ ∈ [0, 3π]; a > 0,

(e) \sqrt{x^{2} + y^{2}} = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} +y^{2}}} , 2. Vypočtěte následující křivkové integrály:

(a) ∫_{C} \sqrt{x^{2} + y^{2}} ds, kde C je kružnice (x − 1/2)^{2} + y^{2} = 1/4,

(b) ∫_{C}(x^{2} + y^{2} + z^{2}) ds, kde C = {[a cost, a sint, bt], t ∈ [0, 4π]},

(c) ∫_{C} |y| ds, kde C je dána rovnicí (x^{2} + y^{2})^{2} = a^{2}(x^{2} − y^{2}),

3. Vypočtěte obsahy následujících ploch:

(a) sféra x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1,

(b) povrch elipsoidu x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2} + z^{2}/c^{2} = 1,

(c) z = ax + by, x^{2} + y^{2} ≤ 1,

(d) z = \frac{1}{2}(x^{2} + y^{2}), x^{2} + y^{2} ≤ 1,

(e) povrch anuloidu (R − \sqrt{x^{2} + y^{2}} )^{2} + z^{2} = ρ^{2}, R > ρ,

4. Vypočtěte následující plošné integrály:

(a) ∫_{M} z dS, M = {[t coss, t sins, s], t ∈ [0, a], s ∈ [0, 2π]},

(b) ∫_{M} x dS, M = {[x, y, z], x^{2} + y^{2} = z, z ∈ [0, 1]},