20. 2. 2008

Matematická analýza 2b – 1. série

1. Lineární rovnice vyšších řádů (Kalendovy). Najděte všechna řešení následujících rovnic:

(a) y′′ + 4y′ + 4y = 0,  (b) y′′ − 3y′ + 2y = 0, y(0) = 4
(c) y′′ − 6y′ + 13 = 0, y(0) = y(1) = 1  (d) y′′ − 2y′ − 3y = e^{4x},
(e) y′′ − 2y′ + 2y = cosx, y(0) = y′(0) = 1  (f) y′′′ − y′′ − 2y′ = e^{2x} + x^{3} + 3x^{2} + 1,
(g) y′′ + 3y′ + 2y = sinx + sin2x,  (h) 4y′′′ + y′ = 3e^{x} + 2 sin \frac{x}{2},
(i) y′′ − 3y′ + 2y = \frac{e^{2x}}{\sqrt{1−e^{2x}}} ,  (j) y′′ − y = \frac{e^{x}−e^{−x}}{e^{x}+e^{−x}},
(k) y′′ − 2y′ + y = \frac{e^{x}}{x^{2} +x+1} , y(0) = y(1) = 0 (l) y′′ + y = tgx,

(m) y′′ − 2y′ + y = \frac{e^{x}}{\sqrt{4−x^{2}}} ,

2. Soustavy lineárních rovnic (Kalendovy). Najděte všechna řešení následujících soustav rovnic:

(a) z′ + y = 0, z′ − y′ = 3z + y,  (b) z′ + z − y = e^{x}, y′ − z + y = e^{x},

(c) 5z′ − 2y′ + 4z − y = e^{−x}, z′ + 8z − 3y = 5e^{−x},

(d) z′ + 3z + y = 0, y′ − z + y = 0,  (e) z′ = y − 7z, y′ + 2z + 5y = 0,
(f) z′ = 2y − 5z + e^{x}, y′ = z − 6y + e^{−2x},  (g) z′′ + y′ + z = e^{x}, z′ + y′′ = 1,

(h) u′ = w + v − u, v′ = w + u − v, w′ = u + v + w, u(0) = 1, v(0) = w(0) = 0,

(i) u′ = w + v, v′ = w + u, w′ = u + v, u(0) = −1, v(0) = 1, w(0) = 0.

3. Lineární nezávislost. Rozhodněte, zda jsou následující trojice funkcí lineárně nezávislé:

(a) sinx, cosx, sin2x,  (b) x^{2} + x + 1, x^{2} − 2x + 2, x + 1,

4. Exponenciála matice. Vypočtěte expA pro

(a) A = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) , (b) A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}) , (c) A = ( \begin{matrix}2 & 2 & −2 \\ 2 & 5 & −7 \\ 2 & 1 & −3 \end{matrix} )

5. Domácí úkol. (do 5.3.2008, 1/2 bodu) Nechť x, y, z jsou řešení systému

\begin{aligned}x′ & = −x + y + z − 2 cost \\ y′ & = z \\ z′ & = −y \end{aligned}

s počáteční podmínkou x(0) = a, y(0) = b, z(0) = c. Najděte všechny trojice (a, b, c) ∈ ℝ, pro které existuje limita lim_{t→+∞} x(t).

12. a 19.3.2007

Matematická analýza 2b – 2. série

1. Najděte Fourierovy řady následujících funkcí:

http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜ barta/vyuka.html

(a) x na (−π, π),  (b) x^{2} na (−π, π), (c) x^{2} na (0, 2π),  (d) sinax na (−π, π),
(e) cos^{3} x na (−π, π), (f) \frac{sin mx}{sin x} na (−π, π), (g) \frac{1}{sin x} na (−π, π), (h) sgn(x − 1) na (−π, π),
(i) sin^{4} x na (0, π), (j) \frac{π−x}{2} na (0, 2π), (k) x sinx na (−π, π), (l) ln| sin \frac{x}{2}| na (0, \frac{π}{2}),
(m) | cosx| na (0, π), (n) x na (a, a + l),  (o) x − [x] na (0, 1), (p) sgn(x − 1) na (−π, π),
(q) max{0, x} na (−π, π),  (r) max{0, sinx} na (−π, π),
(s) x(π − |x|) na (−π, π),  (t) arcsin(sinx) na (−π, π),

(u) f(x) = x, x ∈ [0, 1], f(x) = 1, x ∈ (1, 2) a f(x) = 3 − x, x ∈ [2, 3] na intervalu (0, 3)

2. Které koeficienty Fourierovy řady funkce na (−π, π) se anulují, jestliže platí

(a) f(x) = −f(x + π)  (b) f(x) = f(−x) a f(x + π) = −f(x)

(c) f(x) = −f(−x) a f(x + π) = −f(x)

3. Rozveďte následující funkce v sinové a cosinové řady na intervalu (0, π):

(a) sinx, (b) x^{2}, (c) x^{3}, (d) e^{ax}

4. Sečtěte následující řady na uvedených intervalech:

(a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos nx}{n}, (0, 2π),  (b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos nx}{n^{2}} [0, 2π],  (c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos nx}{n^{3}} [0, 2π],
(d) ∑_{n=0}^{∞} \frac{cos(2n+1)x}{(2n+1)^{2}} , [−π, π], (e) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n} sin nx}{n^{3}} , [−π, π], (f) ∑_{n=0}^{∞} \frac{cos nx}{n!}, [−π, π],
(g) ∑_{m,n=1}^{∞} (−1)^{m+n} \frac{sin mx·sin ny}{mn}, (−π, π) × (−π, π),  (h) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n} sin nx}{n(n+1)} , (−π, π),
(i) ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin^{2} nx}{n^{2}},  (j) ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos^{2} nx}{n^{2}}

Návod k (i), (j): rozviňte charakteristickou funkci intervalu (0, y) v sinovou a cosinovou řadu na intervalu (0, π).

5. Sečtěte následující řady:

(a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} ,  (b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(2n−1)^{2}} ,  (c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{4}} ,  (d) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{36n^{2} −1} .

6. Dokažte, že pro |x| < 1 platí sinπx = πx · Π_{n=1}^{∞} (1 − \frac{x^{2}}{n^{2}} ). (Rozviňte ve Fourierovu řadu funkci cosαx na (−π, π), aplikujte pro x = π, vyjádřete cotgαx − \frac{1}{αx} a výslednou rovnost integrujte.)

26. 3.2007

Matematická analýza 2b – 3. série

1. Spočtěte

(a) min{∫_{−1}^{1} |x^{3} − a − bx − cx^{2}|^{2} dx : a, b, c ∈ ℝ},

(b) min{∫_{−π}^{π} |x^{2} − a cosx − b cos2x|^{2} dx : a, b ∈ ℝ},

2. Nechť f je spojitá 1-periodická funkce a α iracionální číslo. Dokažte

lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n}f(αk) = ∫_{0}^{1} f(t) dt.

3. Uvažujme strunu jednotkové délky s upevněnými konci. Výchylka y kmitající struny v čase t v bodě x je dána obecným přepisem:

y(t, x) = ∑_{n=1}^{∞} \sqrt{2}sinnπx(C_{n} cosnπct + D_{n} sinnπct),

kde c je konstanta.

(a) Najděte předpis pro výchylku y, jestliže v čase t = 0 byl střed struny vychýlen do vzdálenosti h a struna měla tvar sestávající ze dvou úseček (její rychlost v čase t = 0 byla nulová).

(b) Najděte předpis pro výchylku y, jestliže v čase t = 0 zaujímala struna tvar y(0, x) = kx(1 − x) a její rychlost byla nulová (k je konstanta).

4. Potenciální energie struny při výchylce y je rovna ∫_{0}^{1} (\frac{∂y}{∂x})^{2} dx. Přepokládejme, že konstanty h a k z předchozí úlohy jsou takové, že struny měly v čase t = 0 stejnou energii. V kterém případě bude znít základní tón silněji? Určete amplitudu základního tónu.

5. Domácí úkol. (do 26.3., 1 bod) Metrový měděný drát má v čase t = 0 ve vzdálenosti x metrů od levého konce teplotu 100 sin^{3}(πx) stupňů Celsia. Konce drátu jsou v ledu a mají tak stálou teplotu 0^{∘}C. Výměnu tepla povrchem drátu zanedbejte. Jakou teplotu bude mít nejteplejší část drátu po deseti sekundách? (Návod: http://en.wikipedia.org/wiki/Heat equation)

9. 4. 2007

Matematická analýza 2b – 4. série

1. Vypočtěte délky následujících křivek:

(a) (x, \sqrt{1 − x^{2}}), x ∈ (−1, 1),  (b) \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,
(c) x = 3t, y = 3t^{2}, z = 2t^{2}, t ∈ [0, 1],  (d) \sqrt{x^{2} + y^{2}} = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} +y^{2}}} ,

(e) v polárních souřadnicích r = a sin^{2}(ϕ/3), ϕ ∈ [0, 3π]; a > 0,

2. Vypočtěte následující křivkové integrály:

(a) ∫_{C} \sqrt{x^{2} + y^{2}} ds, kde C je kružnice (x − 1/2)^{2} + y^{2} = 1/4,

(b) ∫_{C}(x^{2} + y^{2} + z^{2}) ds, kde C = {[a cost, a sint, bt], t ∈ [0, 4π]},

(c) ∫_{C} |y| ds, kde C je dána rovnicí (x^{2} + y^{2})^{2} = a^{2}(x^{2} − y^{2}),

(d) ∫_{C} (x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}} ) ds, kde C = \{[x, y] ∈ ℝ^{2} : x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{4}{3}} \}

(e) ∫_{C} x + y ds po obvodu trojúhelníka s vrcholy [0, 0], [1, 0], [0, 1],

(f) ∫_{C} xy ds pro C = {(a cosht, a sinht), t ∈ [0, t_{0}]}, a > 0.

3. Vypočtěte těžiště následujících křivek:

(a) oblouku homogenní cykloidy x = a(t − sint), y = a(1 − cost), t ∈ [0, π]; a > 0,

(b) sférického trojúhelníku o vrcholech [1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1] na jednotkové kouli,

(c) (e^{t} sint, e^{t} cost, e^{t}), t ∈ (−∞, 0),

(d) y = cosh \frac{x}{a}, x ∈ [1, b].

4. Vypočtěte křivkové integrály druhého druhu:

(a) ∫_{C}(x + y) dx + (x − y) dy, C = \{\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\}, kladně orientovaná,

(b) ∫_{C}(2a − y) dx + x dy, C = {[x, y]; x = a(t − sint), y = a(1 − cost), t ∈ [0, 2π]}; a > 0,

(c) ∫_{C}(x^{2} − 2xy) dx + (y^{2} − 2xy) dy, C je část paraboly y = x^{2} mezi body [−1, 1] a [1, 1],

(d) ∫_{C} \frac{(x+y) dx−(x−y) dy}{x^{2} +y^{2}} , C je kladně orientovaná kružnice o poloměru a se středem v počátku.

(e) ∫_{C} yz dx + xz dy + xy dz, C = \{(a cost, a sint, \frac{b}{2π}t), t ∈ [0, 2π]\}; a > 0,

5. Vypočtěte:

(a) práci silového pole F (x, y, z) = (x, y, xz − y) po křivce ϕ(t) = (t^{2}, 2t, 4t^{3}), t ∈ [0, 1].

(b) množství kapaliny, které proteče za jednotku času elipsou \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1, proudí-li kapalina rychlostí V (x, y) = (x, 2y).

23. 4. 2007

Matematická analýza 2b – 5. série

1. Parametrizujte následující plochy:

(a) povrch kvádru {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) : |x_{i}| ≤ a_{i}},

(b) zobecněnou sféru x^{a} + y^{a} + z^{a} = 1,

(c) hyperboloid x^{2} + y^{2} − z^{2} = 1,

(d) plochu, která vznikne rotací funkce sinx, x ∈ [0, π] okolo osy x

(e) plochu, která vznikne pohybem jednotkové kružnice tak, že střed se pohybuje po hyperbole xy = a, z = 0 a kružnice je kolmá na tuto hyperbolu

(f) povrch válce {(x, y, z) : 0 ≤ z ≤ v & x^{2} + y^{2} ≤ r^{2}}

2. Vypočtěte obsahy následujících ploch:

(a) z^{2} = 2xy uříznuté rovinami x = 0, y = 0, x + y = 1,

(b) z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} omezené vnitřkem válce x^{2} + y^{2} = 2x,

(c) x = ρ cosϕ, y = ρ sinϕ, z = hϕ, ρ ∈ (0, a), ϕ ∈ [0, 2π]

(d) sféry {x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}

(e) M = {(x, y, z) : z = xy, x^{2} + y^{2} ≤ 1},

(f) M = \{(x, y, z) : z = \frac{1}{2}(x^{2} + y^{2}), x^{2} + y^{2} ≤ 1\}.

3. Vypočtěte následující plošné integrály 1. druhu:

(a) ∫_{S} x^{2} + y^{2} dS, kde S je část plochy x^{2} + z^{2} = 2az ležící v kuželi z ≥ \sqrt{x^{2} + y^{2}} ,

(b) ∫_{S} \frac{1}{h} dS, kde S je povrch elipsoidu \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 a h(x, y, z) je vzdálenost středu elipsoidu od roviny tečné k S v bodě (x, y, z),

(c) ∫_{S} z dS, kde S je plocha z úlohy 2c.

4. Vypočtěte:

(a) těžiště plochy M = {x^{2} + y^{2} = 2z, 0 ≤ z ≤ 2},

(b) těžiště plochy M = \{z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} , x^{2} + y^{2} ≤ ax\}, a > 0

5. Vypočtěte plošné integrály druhého druhu:

(a) ∫_{S}(z − y) dy dz + (z − x) dz dx + (x − y) dx dy, S je ”vnější strana” plochy z^{2} = x^{2} + y^{2}, 0 < z < h, h > 0, (b) ∫_{S} x^{2} dy dz + y^{2} dz dx + z^{2} dx dy, S je ”vnější strana” sféry (x − a)^{2} + (y − b)^{2} + (z − c)^{2} = R^{2},

(c) ∫_{S} z dx dy, S je kladně orientovaná sféra x + 2 + y^{2} + z^{2} = 1,

(d) ∫_{S} x dy dz + y dz dx + z dx dy, S je kladně orientovaná sféra x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2},

(e) ∫_{S} \frac{1}{x} dy dz + \frac{1}{y} dz dx + \frac{1}{z} dx dy, S je vnější povrch elipsoidu \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1.

6. (Domácí úkol, 1/2 bodu) Jakou práci musíme vykonat, chceme-li přemístit kartáček na zuby jednotkové hmotnosti z povrchu raketoplánu o hmotnosti m >> 1 na povrch vesmírné stanice o hmotnosti M >> 1? Raketoplán a vesmírnou stanici považujte za koule o poloměrech ρ_{1}, ρ_{2}, jejichž hmota je soustředěna ve středu koule, kartáček považujte za hmotný bod. Vzdálenost středů raketoplánu a vesmírné stanice je d. Dva hmotné body o hmotnostech M_{1}, M_{2} vzdálené r se přitahují gravitační silou o velikosti κ\frac{M_{1} M_{2}}{r^{2}} . Po jaké dráze bude energeticky nejvýhodnější kartáček přestěhovat?

21. 5. 2008

Matematická analýza 2b – 6. série

1. Potenciál. Vypočtěte následující křivkové integrály:

(a) ∫_{ϕ} xdy + ydx, ϕ(t) = (t^{2} + 2, t − 1), t ∈ [−1, 3],

(b) ∫_{c} e^{x}(cosydx + sinydy), c je kladně orientovaná kružnice,

(c) ∫_{c} e^{−x}e^{−y}dx + e^{−y}e^{−x}dy, c je část hyperboly x^{2} − y^{2} = 1, x, y > 0 orientovaná tak, že x roste.

2. Greenova věta. Vypočtěte následující křivkové integrály:

(a) ∫_{c}(x + y)dx − (x − y)dy, c je kladně orientovaná elipsa x^{2}/a^{2} + y^{2}/b^{2} = 1,

(b) ∫_{c}(e^{x} siny − my)dx + (e^{x} cosy − m)dy, c je horní půlkružnice x^{2} + y^{2} = ax probíhaná od (a, 0) do (0,0),

(c) ∫_{c} x sinydx + y sinxdy, c je obvod čtverce [0, π] × [0, π] orientovaný po směru hodinových ručiček.

3. Stokesova věta. Vypočtěte následující křivkové integrály:

(a) ∫_{c} ydx + zdy + xdz, kde c je průnik sféry x^{2} + y^{2} + z^{2} = a s rovinou x + y + z = 0 kladně orientovaný vzhledem k vektoru (1, 1, 1),

(b) ∫_{c}(y^{2} − z^{2})dx + (z^{2} − x^{2})dy + (x^{2} − y^{2})dz, kde c je průnik čtverce [0, a]^{3} s rovinou x + y + z = 3a/2 kladně orientovaný vzhledem k vektoru (1, 1, 1)

4. Gaussova – Ostrogradského věta. Vypočtěte:

(a) ∫_{S} x^{3}dydz + y^{3}dzdx + z^{3}dxdy, S vnější strana sféry x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2},

(b) objem tělesa ohraničeného plochou x = u cosv, y = u sinv, z = −u + a cosv, u ≥ 0 a rovinami x = 0, z = 0,

(c) objem anuloidu.

(d) ∫_{S} xyzdydz, ∫_{S} xydxdz, S je povrch krychle [0, a]^{3} orientovaný vnější normálou.

2. 4. 2008

1. písemka

1. (1/2 bodu) Najděte sinovou řadu, která konverguje stejnoměrně na intervalu [0, 3] k funkci f(x) = min{x, x^{2}, 2}.

2. (1/2 bodu) Nechť x, y : [0, +∞) → ℝ jsou omezená řešení soustavy

\begin{aligned}x′(t) & = x(t) + 4y(t) \\ y′(t) & = x(t) − 2y(t) + 3 \end{aligned}

s počáteční podmínkou x(1) = 1, y(1) = a, a ∈ ℝ. Určete a a vypočtěte lim_{t→+∞} (x(t), y(t)), pokud tato limita existuje.

7. 5. 2008

2. písemka

1. (1/2 bodu) Vypočtěte plošný integrál prvního druhu ∫_{S} x^{2} dS,

kde S je povrch tělesa, které vznikne průnikem válce x^{2} + y^{2} ≤ 1 a koule x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ 2.

2. (1/2 bodu) Jakou práci vykoná vektorové pole

F (x, y) = (\frac{y}{x^{2} + y^{2}} , \frac{x}{x^{2} + y^{2}} )

na bod pohybující se po hyperbole x^{2} − y^{2} = 3 z bodu [2, 1] do bodu [2, −1]?

Výsledky 1. série

1. (a) y = ce^{−2x} +dxe^{−2x}, (b) y = ce^{x} +(4−c)e^{2x}, (c) y = 1, (d) y = \frac{1}{5}e^{4x} +c_{1}e^{−x} +c_{2}e^{3x},

(e) y = −\frac{1}{5} sinx cos^{2} x^{2} + \frac{2}{5} cosx − \frac{2}{5} cos^{3} x − \frac{2}{5} sinx + \frac{1}{10} cosx sin(2x) + \frac{1}{5} cosx cos(2x) + \frac{3}{5}e^{x} sinx + \frac{4}{5}e^{x} cosx, (f) y = −\frac{1}{144} (20e^{2x} − 24xe^{2x} + 18x^{4} + 36x^{3} + 54x^{2} + 126x − 9) + C_{1} + C_{2}e^{2x} + C_{3}e^{−x}, (g) y = −\frac{1}{20} sin2x − \frac{3}{20} cos2x − \frac{3}{10} cosx + \frac{1}{10} sinx + c_{1}e^{−2x} + c_{2}e^{−x},

(h) y = \frac{3}{5}e^{x} − 4 cos \frac{x}{2} − sin \frac{x}{2} + sin \frac{x}{2} sinx + cos \frac{x}{2} cosx + C_{1} + C_{2} sin \frac{x}{2} + C_{3} cos \frac{x}{2}, (i) y = − arcsin(e^{x})e^{x} − arctgh(\sqrt{1 − e^{2x}})e^{2x} + C_{1}e^{x} + C_{2}e^{2x}, x ∈ (−∞, 0), (j) y = − ln(1 + e^{2x}))+x+2 arctg(e^{x})e^{x} +1+C_{1} +C_{2}e^{x}, (k) y = −\frac{1}{2}e^{x} ln(x^{2} +x+1)+ \frac{\sqrt{3}}{3}e^{x} arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}(2x+ 1)) + \frac{2\sqrt{3}}{3} arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}(2x + 1))xe^{x} − \frac{\sqrt{3}π}{18}e^{x} + (\frac{1}{2} ln3 − \frac{5\sqrt{3}π}{18})xe^{x}, (l) y = − cosx · ln \frac{1+sin x}{cos x} + C_{1} cosx+C_{2} sinx, x ∈ (\frac{π}{2} +kπ, \frac{π}{2} +(k +1)π), (m) y = \sqrt{4 − x^{2}}e^{x} +arcsin(\frac{1}{2}x)xe^{x} +C_{1}e^{x} + C_{2}xe^{x}, x ∈ (−2, 2).

2. (a) z = \frac{3B−A}{4}e^{x} + \frac{A+B}{4} e^{−3x}, y = \frac{A−3B}{4} e^{x} + \frac{3A+3B}{4} e^{−3x}, (b) z = e^{x} + de^{−4x} + c, y = e^{x} − de^{−4x} + c, (c) z = −2e^{−x} + ce^{x} + de^{−2x}, y = 3e^{−x} + 3ce^{x} + 2de^{−2x}, (c) z = −(c + d)xe^{−x} + de^{−2x}, y = (c + d)e^{−x} + ce^{−2x}, (d) z = (c − d)e^{−6x} sinx + de^{−6x} cosx, y = ce^{−6x} cosx + (c − 2d)e^{−6x} sinx, (e) z = \frac{7}{40} e^{x} + \frac{1}{5}e^{−2x} + \frac{2}{3}(c + d)e^{−4x} − \frac{1}{3}(2c − d)e^{−7x}, y = \frac{1}{40} e^{x} + \frac{3}{10} e^{−2x} + \frac{1}{3}(c + d)e^{−4x} + \frac{1}{3}(2c − d)e^{−7x}, (f) z = e^{x} − \frac{1}{6}x^{3} + \frac{b+c}{2} x^{2} + c + dx, z = −e^{x}+ \frac{1}{24} x^{4}+a+bx+ \frac{b+c}{6} x^{3}+ \frac{d}{2}x^{2}, (g) u = \frac{1}{3}e^{−x}+ \frac{1}{6}e^{2x}+ \frac{1}{2}e^{−2x}, v = \frac{1}{3}e^{−x}+ \frac{1}{6}e^{2x}− \frac{1}{2}e^{−2x}, w = −\frac{1}{3}e^{−x} + \frac{1}{3}e^{2x}, (h) u = −e^{−x}, v = e^{−x}, w = 0.

3. (a) ano, (b) ano.

4. (a) ( \begin{matrix}e & e \\ e & 0 \end{matrix}), (b) ( \begin{matrix}cos1 & sin1 \\ − sin1 & cos1 \end{matrix}),

(c) ( \begin{matrix}\frac{1}{3}e^{4} − \frac{1}{3}e^{−2} & e^{4} − e^{2} & −e^{4} + e^{2} \\ −\frac{1}{2}e^{−2} + \frac{1}{2}e^{2} & \frac{11}{6} e^{4} − \frac{1}{3}e^{−2} − \frac{3}{2}e^{2} & −\frac{3}{2}e^{4} + e^{−2} + \frac{1}{2}e^{2} \\ −\frac{1}{2}e^{−2} + \frac{1}{2}e^{2} & \frac{1}{2}e^{4} − \frac{1}{2}e^{2} & −\frac{1}{6}e^{4} + \frac{2}{3}e^{−2} − \frac{1}{2}e^{2} \end{matrix} ),

Výsledky 2. série

1. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) \frac{3}{8} − \frac{1}{2} cos2x + \frac{1}{8} cos4x, (j) ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin nx}{n}, (k) 1 − \frac{1}{2} cosx +

2 ∑_{n=2}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n^{2} −1} cosnx, (l) ln \frac{1}{2}− ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos nx}{n}, (m) \frac{2}{π} −\frac{4}{π} ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{2}}{4n^{2} −1} cos2nx, (n) a+\frac{l}{2}+\frac{l}{π} ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n}(sin \frac{2πna}{l} cos \frac{2πnx}{l} −

cos \frac{2πna}{l} sin \frac{2πnx}{l}), (o) \frac{1}{2} − \frac{1}{π} ∑_{n=0}^{∞} \frac{sin 2πnx}{n}, (p) −\frac{1}{π} + ∑_{n=1}^{∞} \frac{2(cos n−(−1)^{n})}{nπ} cosnx − \frac{2 sin n}{nπ} sinnx,

(q) −\frac{π}{4} + ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n} sinnx − \frac{2}{π(2n−1)^{2}} cos(2n − 1)x, (r) \frac{1}{π} + \frac{1}{2} sinx − \frac{2}{π} ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos 2nx}{4n^{2} −1}, (s)

\frac{8}{π} ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(2n−1)x}{(2n−1)^{3}} , (t) \frac{4}{π} ∑_{n=0}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{(2n+1)^{2}} sin(2n+1)x, (u) \frac{2}{3}−\frac{9}{2π^{2}} ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} cos \frac{2πnx}{3}+\frac{1}{2π^{2}} ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} cos2πnx.

2. (a) a_{2k}, b_{2k}, (b) a_{2k}, b_{k}, (c) a_{k}, b_{2k}.

3. (a) sinx, \frac{2}{π} −\frac{4}{π} ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos 2nx}{4n^{2} −1}, (b) 2π ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n} sinnx−\frac{8}{π} ∑_{n=1}^{∞} \frac{sin(2n+1)x}{(2n+1)^{3}} , \frac{π^{2}}{3} +4 ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} cosnx

(c) viz. Kopáček IV, (d) Kopáček IV.

4. Kopáček IV

5. Kopáček IV

Výsledky 3. série

Výsledky 4. série

Kopáček III a Pickova sbírka na http://www.karlin.mff.cuni.cz/ pick/sbirka.pdf

Výsledky 5. série

Kopáček III a Pickova sbírka na http://www.karlin.mff.cuni.cz/ pick/sbirka.pdf

Výsledky 6. série

Kopáček III