5.10.2006

Matematická analýza 1a – 1. série

1. Nerovnice. Řešte následující rovnice a nerovnice v R:

(a) ||x − 2| + 1| ≤ 5, (b) |x + 1| + |x − 2| ≤ 4, (c) |x^{2} − 4x + 3| ≤ |x^{2} − 4|,
(d) \frac{x−1}{x+2} < \frac{x}{x+1} + 1,  (e) \sqrt{x^{2} + 2x − 3} ≥ \sqrt{x^{2} + 3x − 4} ,
(f) cosx ≤ sinx,  (g) 1 ≤ |ax + 1| < 2  (h) log_{\frac{1}{3}} (x^{2} − 3x + 3) ≥ 0,
(i) ax^{2} + bx + c ≥ 0,  (j) sin2x = sinx,  (k) log(x^{2} + 1) = 2 log(3 − x).

2. Matematická indukce. Dokažte následující tvrzení:

(a) 6|(10^{n} − 4),  (b) (1 + x)^{n} ≥ 1 + nx, ∀x ≥ −1,
(c) ∑_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1),  (d) ∑_{k=1}^{n} k^{3} = \frac{1}{4}n^{2}(n + 1)^{2},
(e) ∑_{k=2}^{n} \frac{1}{k^{2}} < \frac{n−1}{n+1}  (f) ∑_{k=2}^{n} \frac{1}{k} < 2\sqrt{n}.

3. Výroky. Nechť M značí množinu všech mužů a Ž množinu všech žen. Uvažujme následující výrokové formy: S(m, ž): ţMuž m je manželem ženy ž.�; L_{1}(m, ž): ţMuž m miluje ženu ž.�; L_{2}(m, ž): ţŽena ž miluje muže m.�. Pomocí kvantifikátorů, logických spojek a forem S, L_{1} a L_{2} zapište následující výroky:

(a) Každý ženatý muž miluje svou manželku.

(b) Každou ženu miluje nějaký muž.

(c) Každá žena má nejvýš jednoho manžela.

(d) Každý muž má nejvýš jednu manželku. (Říká tento výrok totéž, co c)?)

(e) Existuje vdaná žena.

(f) Existuje ženatý muž. (Říká tento výrok totéž, co e)?) Následující výroky přeložte do češtiny.

(g) ∃m ∈ M∀ž ∈ Ž(¬S(m, ž));

(h) ∃ž ∈ Ž∀m ∈ M(L_{1}(m, ž) ⇒ ¬L_{2}(m, ž));

(i) ∀ž ∈ Ž((∃m ∈ M : L_{2}(m, ž)) ⇒ (∃m ∈ M : L_{1}(m, ž) & ¬L_{2}(m, ž)).

4. Uveďte příklady funkcí, které splňují/nesplňují následující výroky:

(a) ∀x ∈ [0, 1]∃y ∈ [0, 1] : f(x) < f(y).

(b) ∀δ > 0∃K > 0 : |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < K.

(c) ∃K > 0∀δ > 0 : |x − y| < δ ⇒ |f(x) − f(y)| < K.

5. Zobrazení. (1 bod) Nechť f : X → Y, A, B ⊂ X, C, D ⊂ Y. Rozhodněte, pro jaká zobrazení f platí:

(a) f(f_{−1}(C)) ⊂ C,  (b) f(f_{−1}(C)) ⊃ C,
(c) f_{−1}(f(A)) ⊂ A,  (d) f_{−1}(f(A)) ⊃ A,
(e) f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B),  (f) f(A ∩ B) ⊃ f(A) ∩ f(B),
(g) f_{−1}(C ∩ D) ⊂ f_{−1}(C) ∩ f_{−1}(D),  (h) f_{−1}(C ∩ D) ⊃ f_{−1}(C) ∩ f_{−1}(D).

6. Suprema a infima. (1 bod) Najděte suprema, infima, maxima a minima následujících množin.

(a) {p/(p + q); p ∈ ℕ, q ∈ ℕ},  (b) {sinx; x ∈ ⟨0, 2π⟩},
(c) {sinx; x ∈ (0, 2π)},  (d) {sinx; x ∈ (0, π)},
(e) {n^{2} − m^{2}; n ∈ ℕ, m ∈ ℕ},  (f) {n^{2} − m^{2}; n ∈ ℕ, m ∈ ℕ, n > m},
(g) {n^{2} − m^{2}; n ∈ ℕ, m ∈ ℕ, n ≤ m},  (h) {2^{−n} + 3^{−n}; n ∈ ℕ},

http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜ barta/vyuka.html

1. Suprema a infima. (1 bod) Rozhodněte o platnosti následujících tvrzení pro A, B ⊂ ℝ:

(a) sup(A + B) = supA + supB  (b) sup(A · B) = supA · supB

(c) sup{f(x) + g(x) : x ∈ I} ≤ sup{f(x) : x ∈ I} + sup{g(x) : x ∈ I}

(d) sup{f(x) + g(x) : x ∈ I} = sup{f(x) : x ∈ I} + sup{g(x) : x ∈ I}

(e) supA = − inf(−A)  (f) sup(A ∪ B) = max{supA, supB}

Množiny A + B, A · B, −A jsou definovány následujícím způsobem: A + B = {a + b : a ∈ A & b ∈ B}, A · B = {a · b : a ∈ A & b ∈ B}, −A = {−a : a ∈ A}.

2. Definice limity posloupnosti. (1 bod) Spočtěte následující limity přímo z definice:

(a) lim_{n→∞} \frac{n^{2} +1}{n^{2}} ,  (b) lim_{n→∞} \frac{3n^{2} −1}{n},  (c) lim_{n→∞}(\sqrt{n + 1} − \sqrt{n})

3. Definice limity posloupnosti. (2 body) Spočtěte následující limity přímo z definice:

(a) lim_{n→∞} \frac{n^{2} +2n−1}{3n^{2} +1}  (b) lim_{n→∞} n(\sqrt{n^{2} + 1} − \sqrt{n^{2} − 1})

(c) lim_{n→∞} \frac{\sqrt{n+2} −\sqrt{n}}{\sqrt{n+1} −\sqrt{n}}

4. Rekurentne zadané posloupnosti. (2 body)

(a) Vyšetřete monotonii posloupnosti a_{1} = 7, a_{n+1} = \sqrt{1 + a_{n}} , n ∈ ℕ.

(b) Dokažte, že existuje limita posloupnosti a_{1} = x ≥ −2, a_{n+1} = \sqrt{2 + a_{n}} , n ∈ ℕ.

(c) Najděte limitu posloupnosti z (b).

(d) Natděte limitu posloupnosti a_{1} = x > 0, a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{a_{n}}, n ∈ ℕ.

5. K zamyšlení. (1 bod) Rozhodněte o platnosti následujících tvrzení.

(a) Pokud lim_{n→∞} a_{n} = +∞, potom lim_{n→∞} \frac{1}{a_{n}} = 0.

(b) Pokud lim_{n→∞} a_{n} = 0, potom lim_{n→∞} \frac{1}{a_{n}} = +∞.

6. K zamyšlení. (2 body) Rozhodněte o platnosti následujících tvrzení.

(a) Pokud lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 0, a_{n} > 0, potom lim_{n→∞} \sqrt[n]{a_{n}} = a.

(b) Pokud 0 ≤ a_{m+n} ≤ a_{m} + a_{n} pro všechna m, n ∈ ℕ, potom lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{n} existuje.

19.10.2006

Matematická analýza 1a – 3. série

1. (2 body) Spočtěte následující limity (v závislosti na parametrech):

(a) lim_{n→∞} \sqrt[k]{n}  (b) lim_{n→∞} \sqrt[n]{k}  (c) lim_{n→∞} \sqrt[n]{n}  (d) lim_{n→∞} \frac{n}{(1+c)^{n}}
(e) lim_{n→∞} \frac{n^{k}}{2^{n}}  (f) lim_{n→∞} \frac{n!}{2^{n}}  (g) lim_{n→∞} \frac{n!}{n^{n}}  (h) lim_{n→∞} \sqrt{1 + \frac{1}{n}}

2. (1 bod) Spočtěte následující limity (v závislosti na parametrech):

(a) lim_{n→∞} \frac{n^{3} +2n−1}{3n^{3} +n−1} ,  (b) lim_{n→∞} \frac{3n^{2} −1}{n},  (c) lim_{n→∞} \frac{n^{2} +2n\sqrt{n}+sin n}{1+2n^{2} +3n}
(d) lim_{n→∞} \frac{1+2+···+n}{n} − \frac{n}{2}  (e) lim_{n→∞} n(\sqrt{1 + 1/n} − \sqrt{1 + 1/n} ),

3. (2 body) Spočtěte následující limity (v závislosti na parametrech):

(e) lim_{n→∞} \frac{\sqrt[3]{n^{3} +1} −\sqrt{n^{2} +1}}{n^{p}} ,  (f) lim_{n→∞} ^{\frac{\sqrt{n\sqrt{n}+1} − \sqrt[4]{n^{3} +1}}{n^{p}}} , (j) lim_{n→∞} \frac{\sqrt[n]{1^{n}+2^{n}+···+n^{n}}}{n} ,

(g) lim_{n→∞} ^{\frac{(n−1)\sqrt{n+1} −(n+1)\sqrt{n−1}}{n^{p}}}

4. (1 bod) Spočtěte následující limity (v závislosti na parametrech):

(a) lim_{n→∞} \frac{n+(−1)^{n}}{n}  (b) lim_{n→∞} ^{\frac{\sqrt{1+(−1)^{n}} n^{2} +1}{n}}  (c) lim_{n→∞} \frac{(−1)^{n}n^{2} +1}{3+(−1)^{n}n}

V následujících úlohách využijte znalosti limity lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n}) ^{n} = e.

5. (1 bod) Spočtěte následující limity (v závislosti na parametrech):

(a) lim_{n→∞} (1 − \frac{1}{n})^{n}  (b) lim_{n→∞} (\frac{n^{2} +5}{n^{2} +n+1} )^{n} (c) lim_{n→∞} (\frac{n^{2} +5}{n^{2} +1} )^{3n^{2}}

6. (2 body) Spočtěte následující limity (v závislosti na parametrech):

(a) lim_{n→∞} (\frac{n^{p}+1}{n^{q}} )^{n}  (b) lim_{n→∞} (\frac{n+(−1)^{n}}{n} )^{n} (c) lim_{n→∞} [n(\sqrt{n^{2} + 1} − \sqrt{n^{2} − 1})]^{n^{p}}

2.11.2006

Matematická analýza 1a – 4. série

1. Konvergence řad. (1 bod) Rozhodněte, zda následující řady konvergují:

(a) ∑_{k=1}^{∞} \frac{2^{k}}{k!}  (b) ∑_{k=1}^{∞} \frac{(k!)^{2}}{(2k)!}  (c) ∑_{k=1}^{∞} k^{− ln k},
(d) ∑_{k=1}^{∞} \frac{k^{7}}{2^{k}+3^{k}} ,  (e) ∑_{n=1}^{∞} \frac{2^{n}}{3^{n}},  (f) ∑_{n=1}^{∞} \frac{3^{n}−2^{n}}{3^{n}+2^{n}} ,
(g) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{2} +1}{2^{n}−1} ,  (h) ∑_{n=1}^{∞} _{\frac{1}{(1+ \frac{1}{n}) ^{n}}},  (i) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{n^{2} +1}
(j) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{n}},  (k) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n\sqrt{n}},  (l) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n+1} ,

2. Konvergence řad. (2 body) Rozhodněte, zda následjující řady konvergují:

(a) ∑_{n=1}^{∞} _{\frac{1}{(2+ \frac{1}{n}) ^{n}}},  (b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n\sqrt{n}+2n}{n^{2} +2n^{3}} ,  (c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{p}+1}{n^{q}+n^{2} −3}
(d) ∑_{k=1}^{∞} (\frac{2+(−1)^{k}}{7} )^{k}  (e) ∑_{k=1}^{∞} \frac{\sqrt[3]{k^{2} +7} − \sqrt[3]{k^{2} +3}}{\sqrt[4]{k}}  (f) ∑_{k=2}^{∞} \frac{\sqrt{k+2} −\sqrt{k−2}}{k^{α}} , α ∈ ℝ

3. Sečtěte. (1 bod)

(a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n+1)} ,  (b) ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n^{2} −1},  (c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{q^{n}}

4. Teorie. (1 bod) Dokažte, nebo najděte protipříklad:

(a) Pokud ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje, potom konverguje i ∑_{n=1}^{∞} (a_{2n−1} + a_{2n}).

(b) Pokud ∑_{n=1}^{∞} (a_{2n−1} + a_{2n}) konverguje, potom konverguje i ∑_{n=1}^{∞} a_{n}.

(c) Pokud lim_{n→∞} a_{n} = 0, potom ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje.

(d) Pokud ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje, potom a_{n+1} ≤ a_{n} pro všechna n ≥ 1.

(e) Pokud ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje, potom existuje n_{0} ∈ ℕ takové, ľe a_{n+1} ≤ a_{n} pro všechna n ≥ n_{0}.

5. Teorie. (2 body) Dokažte, nebo najděte protipříklad:

(a) Pokud lim_{n→∞} n · a_{n} = 0, potom ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje.

(b) Pokud ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje, potom lim_{n→∞} n · a_{n} = 0.

6. Neabsolutní konvergence. (1 bod) Rozhodněte, zda řady konvergují neabsolutně:

(a) ∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k} \frac{1}{ln k},  (b) ∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k} (\frac{2k+100}{3k+1} )^{k} (c) ∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k} (\frac{3k+1}{2k+100} )^{k}

(d) ∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k} \frac{2k^{2} +3k+4}{2k^{2} +4}

7. Další řady. (2 body) Rozhodněte, zda následující řady konvergují absolutně nebo neabsolutně a pro které hodnoty parametrů.

(a) ∑_{k=1}^{∞} \frac{x^{k}}{1+x^{2k}} , x ∈ ℝ  (b) ∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k} \frac{2k^{2} +3k+4}{2k^{4} +3}  (c) ∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k} \frac{2k^{2} +3k+4}{2k^{3}}
(d) ∑_{k=0}^{∞} \frac{x^{k^{2}}}{2^{k}} , x ∈ ℝ  (e) ∑_{k=1}^{∞} k^{4}x^{n}, x ∈ ℝ  (f) ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k+1} x^{k}}{k} , x ∈ ℝ
(g) ∑_{k=1}^{∞} \frac{x^{k}}{k^{2}}, x ∈ ℝ  (h) ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1} , x ∈ ℝ (i) ∑_{k=1}^{∞} cos(k^{2}π) (\sqrt{k + 9} − \sqrt{k})
(j) ∑_{k=1}^{∞} sin(π\sqrt{k^{2} + 1} )  (k) ∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k} (\sqrt[k]{\frac{k^{2}}{k^{2} +1}} − 1)(l) ∑_{k=2}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{2k+(−1)^{k}}
(m)∑_{k=2}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{k+(−1)^{k}}  (n) ∑_{k=2}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{\sqrt{k}+(−1)^{k}}  (o) ∑_{k=1}^{∞} cos(kπ)\frac{2−cos(kπ)}{4k}

23.11.2006

Matematická analýza 1a – 5. série

1. (2 body) Spočtěte následující limity (v závislosti na parametrech):

(a) lim_{x→2} \frac{x^{3} −x−6}{x^{2} +2x−8}  (b) lim_{x→−1} \frac{\sqrt{x+2} −\sqrt{2x+3}}{x+1}  (c) lim_{x→1} \frac{\sqrt{x+2} −\sqrt{x^{2} +2}}{\sqrt{x^{3} +2} −\sqrt{x^{4} +2}}
(d) lim_{x→0+} \frac{\sqrt{x+1} −1}{x^{α}}, α ∈ ℝ  (e) lim_{x→3} \frac{\sqrt[3]{8x+3} −\sqrt{x+6}}{(x−3)^{n}} , n ∈ ℕ

2. (3 body) Spočtěte následující limity (v závislosti na parametrech):

(a) lim_{x→1} (\frac{\sqrt{x+3} −2}{\sqrt{x+8} −3} − \frac{3}{2}) \frac{1}{(x−1)^{n}} (b) lim_{x→∞} \frac{\sqrt{x+2} −2\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}{x^{α}}  (c) lim_{x→∞} \frac{\sqrt{x+3} −3\sqrt{x+2} +3\sqrt{x+1} −\sqrt{x}}{x^{α}}

3. (2 body) Spočtěte následující limity (v závislosti na parametrech):

(a) lim_{x→0} \frac{sin ax}{sin bx},  (b) lim_{x→0} \frac{e^{x}−cos x}{x},  (c) lim_{x→π/2} \frac{cos x}{sin(x/2)−cos(x/2)} ,
(d) lim_{x→1} \frac{ln(x^{2} )}{e^{x}−e}  (e) lim_{x→2} \frac{sin x−sin 2}{ln(x−1)},  (f) lim_{x→π/2} tgx ln(sinx),

4. (3 body) Spočtěte následující limity (v závislosti na parametrech):

(a) lim_{x→3} \frac{ln 3x−ln(2x+3)}{(x−3)^{n}}  (b) lim_{x→1} \frac{ln(x^{n}+x−1)}{(x−1)^{n}}  (c) lim_{x→∞} \frac{ln(e^{x}+x^{2} +1)−x}{x^{α}}
(d) lim_{x→∞}(π/2 − arctgx)x^{α} (e) lim_{x→∞} \frac{sin \frac{1}{e^{x}}}{(\sqrt{x+1} −\sqrt{x})^{n}}  (f) lim_{x→1} ^{\frac{ln(^{\frac{\sqrt{x+3} −2}{\sqrt{x}−1}} −c)}{sin x−sin 1}}
(g) lim_{x→∞} \frac{ln(x^{10} +2^{x}+1)}{ln(x^{2} +2·3^{x}+5x)}  (h) lim_{x→∞} ^{\frac{ln(sin(\sqrt{x+1} −\sqrt{(}x−1)))}{ln x}} (i) lim_{x→π/2} ln(sinx) ln(cosx)

5. (2 body) Spočtěte následující limity (v závislosti na parametrech):

(a) lim_{x→0} x^{x}  (b) lim_{x→1} x^{\frac{1}{x−1}}  (c) lim_{x→π/4}(tgx)^{tg^{2} 2x}

6. (3 body) Spočtěte následující limity posloupností (v závislosti na parametrech):

(a) lim_{n→∞} (\frac{n^{p}+1}{n^{q}} )^{n}  (b) lim_{n→∞} [n(\sqrt{n^{2} + 1} − \sqrt{n^{2} − 1})]^{n^{p}}

7. Trocha teorie. (2 body) Rozhodněte o platnosti následujících tvrzení:

(a) Buď a ∈ ℝ. Pak lim_{x→0} f(x) = a, právě když lim_{n→∞} f(1/n) = a.

(b) Platí tvrzení v (a), pokud f je spojitá na intervalu (0, 1)?

(c) Pokud lim_{x→0} f(x) = a, pak lim_{x→0}⌊f(x)⌋ = ⌊a⌋.

(d) Nechť lim_{x→a} f(g(x)) = A a f je prostá, pak lim_{x→a} g(x) = f^{−1}(A).

(e) Nechť lim_{x→a} f(x) = A ∈ [−∞, +∞], pak lim_{x→a} e^{f(x)} = e^{A}.

1. Ještě pár řad. (3 body) Vyšetřete absolutní a neabsolutní konvergenci:

(a) ∑_{n=1}^{∞} [sin(\sqrt{n + 1} − \sqrt{n})]^{α}(b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{ln(n^{2} +n+1)−ln(n^{2} +1)}{n^{α}} (c) ∑_{n=1}^{∞} (−1)^{n} lnn · ln(1 + \frac{1}{n})

2. Spojitost. (2 body) Je možné následující funkce spojitě dodefinovat na ℝ?

(a) e^{\frac{−1}{x}}  (b) e^{\frac{−1}{x^{2}}}  (c) arctg(\frac{x+1}{x−1})
(d) arctg(\frac{1}{1−cos x})  (e) sinx · lnx  (f) \frac{|x−1|}{x−1}.

3. Spojitost a derivace. (2 body) Vyšetřete spojitost a derivaci následujících funkcí:

(a) \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} ,  (b) sin(\frac{x+1}{x^{2} +1} ),  (c) cos(lnx),
(d) x sinx sin(sinx),  (e) sin(cos^{3} x)  (f) x sin(\frac{1}{tg x}),
(g) x^{x},  (h) (lnx)^{cos x},  (i) (\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}}

4. Spojitost a derivace. (3 body) Vyšetřete spojitost a derivaci následujících funkcí:

(a) \frac{|x−1|}{(x−1)^{2}} ,  (b) |x| sinx,  (c) |x^{3}|,
(d) ln(| sinx| + 1),  (e) arctg(tg^{2} x),  (f) ln(arccosx),
(g) arcsin(sinx),  (h) x arcsin(\frac{x^{2} −1}{x^{2} +1}),  (i) arcsin \frac{2x}{x^{2} +1}

5. Další úlohy na derivace. (3 body)

(a) Pro která a ∈ ℝ se parabola y = ax^{2} dotýká grafu funkce y = lnx (tj. existuje bod ležící na obou grafech, ve kterých mají tyto grafy společnou tečnu)?

(b) Pro která a ∈ ℝ lze funkci f(x) = x^{a} sin(lnx) arctgx rozšířit na ℝ tak, aby výsledná funkce byla spojitá, resp. měla konečnou derivaci, na ℝ?

6. Opravy starších úloh. (3 body)

(a) Buď a ∈ ℝ. Pak lim_{x→0+} f(x) = a, právě když lim_{n→∞} f(1/n) = a.

(b) Platí tvrzení v (a), pokud f je spojitá na intervalu (0, 1)? Dokažte nebo najděte protipříklad:

(c) Nechť a_{n} ≥ 0 ∀n ∈ ℕ. Pokud lim_{n→∞} n · a_{n} = 0, potom ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje.

(d) Nechť a_{n} ≥ 0 ∀n ∈ ℕ. Pokud ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje, potom lim_{n→∞} n · a_{n} = 0.

14.12.2006

Matematická analýza 1a – 7. série

1. Spojitost a derivace. (3 body) Vyšetřete spojitost a derivaci následujících funkcí:

(a) f(x) = e^{x}, x > 0 a f(x) = x + 1, x ≤ 0 (b) f(x) = \frac{x^{2} −2x+1}{x−1} , x ≠ 1 a f(x) = 0, x = 1
(c) f(x) = x lnx, x > 0 a f(x) = 0, x ≤ 0  (d) f(x) = \frac{ln x}{x−1}, x > 1 a f(x) = x + 1, x ≤ 1

(e) f(x) = x^{x}, x > 0 a f(x) = ln(e − x), x ≤ 0

(f) f(x) = \frac{\sqrt{x^{2} +1} −\sqrt{x^{2} −1}}{x}, x > 0 a f(x) = e^{−x}, x ≤ 0

2. Průběh funkce. (4 body) Vyšetřete průběh následujících funkcí (tj. určete definiční obor, lichost, sudost, periodicnost, spojitost, nulové body, positivitu, lokální extrémy, monotonii, inflexní body, konvexnost, asymptoty v ± nekonečnu, limity funkce a její derivace v problematických bodech a načrtněte graf):

(a) x^{3} − 5x^{2} + 5x − 1  (b) x^{3} + x^{2} + x + 1,  (c) x^{3} − 2x + 1,
(d) f(x) = \frac{2x}{1−x^{2}}  (e) f(x) = \frac{x^{2} +2}{x−1} ,  (f) f(x) = \frac{1}{x^{2} +x−2} ,
(g) f(x) = e^{x} − x  (h) f(x) = e^{x^{2} +3x−7} ,  (i) e^{−x^{2}}

3. Průběh funkce. (5 bodů) Vyšetřete průběh následujících funkcí:

(a) f(x) = \sqrt[3]{x^{2}} − \frac{2}{\sqrt{x}}  (b) f(x) = x\sqrt{1 − x^{2}},  (c) f(x) = \sqrt[3]{x^{2}} − \sqrt[3]{x^{2} + 1} ,
(d) f(x) = arctg(1 − x^{2})  (e) f(x) = arctg(\frac{x+1}{x−1}),  (f) f(x) = arccos \frac{2x}{1+x^{2}} ,
(g) f(x) = |x + 2|e^{−1/x},  (h) f(x) = \sqrt[3]{|x|^{3} + b^{3}} ,  (i) f(x) = x^{x}
(j) f(x) = arccos \frac{1−x^{2}}{1+x^{2}} ,  (k) f(x) = \frac{x^{3}}{2(x+1)^{2}} ,  (l) f(x) = \frac{sin x}{sin(π/4+x)} ,

4. Nerovnosti. (3 body) Dokažte následující nerovnosti pro 0 < x < π/2:

(a) 2x < sinx + tgx,  (b) x − \frac{x^{3}}{6} < sinx < x,
(c) 2x/pi < sinx < x,  (d) x^{e} < e^{x}

5. Další úlohy. (3 body)

(a) Dokažte, že funkce f(x) = x + x^{2} sin(2/x), f(0) = 0 je rostoucí v bodě 0, je diferencovatelná na ℝ, ale není rostoucí na žádném okolí bodu 0.

(b) Pro která a ∈ ℝ se parabola y = ax^{2} dotýká grafu funkce y = lnx (tj. existuje bod ležící na obou grafech, ve kterých mají tyto grafy společnou tečnu)?

(c) Pro která a ∈ ℝ lze funkci f(x) = x^{a} sin(lnx) arctgx rozžšřit na ℝ tak, aby výsledná funkce byla spojitá, resp. měla konečnou derivaci, na ℝ?