6. a 7. 10. 2002

Cvičení 1 – Matematická analýza 1

Výroky

1. Řekněte jinými slovy za použití pouze spojek ţa� a ţnebo�.

Kdo získá z každé písemky aspoň polovinu bodů, dostane zápočet. Kdo se bude snažit, dostane zápočet. Kdo bude v hodinách aktivní, dostane zápočet. Kdo nebude nic umět a nebude se snažit, ten zápočet nedostane. Kdo bude při písemce opisovat, ten mě naštve. Příklad je správně, právě když je správně výsledek a jeho zdůvodnění. Když je výsledek správně, neznamená to, že dostanete plný počet bodů.

2. Znegujte následující výroky.

Kdo bude opisovat, tomu nedám zápočet. Kdo se bojí, nesmí do lesa. Komu se nelení, tomu se zelení. Kdo nepracuje, ať nejí.

3. Znegujte výroky s kvantifikátory.

Každý má někoho rád. Nikdo nemá rád všechny. Někdo má rád všechny kromě Pepy. Všechna přirozená čísla jsou sudá. Každé prvočíslo je liché. Některé přirozené číslo je dělitelné všemi prvočísly.

4. Který z náledujícíh výroků je silnější?

\begin{matrix}∀ x ∈ ℝ ∃ K > 0; & |f(x + 1) − f(x)| ≤ K \\ ∃ K > 0 ∀ x ∈ ℝ; & |f(x + 1) − f(x)| ≤ K \end{matrix}

Nalezněte příklady funkcí splňjící resp. nesplňjící tyto výroky. Znegujte.

Matematická indukce

4. Dokažte matematickou indukcí

(a) 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = \frac{1}{2}n(n + 1)

(b) 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ⋯ + n^{2} = \frac{1}{6}n(n + 1)(2n + 1)

(c) 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ⋯ + n^{3} = \frac{1}{4}n^{2}(n + 1)^{2}

(d) 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ⋯ + \frac{1}{2^{n}} = 1 − (1/2)^{n}

(e) 1 + q + q^{2} + q^{3} + ⋯ + q^{n} = \frac{1−q^{n+1}}{1−q}

13. a 14.10.2003

Cvičení 2 – 1. ročník

1. Definice limity Vypočtěte limity následujících posloupností přímo z definice.

(a) \frac{1}{1+n^{2}}  (b) \frac{n+1}{n+2}  (c) 1 − (−\frac{1}{n})^{n}  (d) \frac{(−1)^{n}}{n}

2. Na rozmyšlenou. Rozhodněte, zda existují limity následujících posloupností.

(a) (−1)^{n} (b) cos(−1)^{n} (c) (−1)^{n!} (d) p^{n}

3. Polynomy a odmocniny. Vypočtěte limity následujících posloupností.

(a) \frac{n^{5} −1}{2n^{5} +1}  (b) \frac{n^{2} +5}{n^{3} +1}  (c) \frac{2n^{2} +n+11}{3n+1}
(d) \frac{n+1}{n−1}  (e) \frac{(n+1)^{2} −(n−1)^{2}}{n}  (f) \frac{n+\sqrt{n}}{n\sqrt{n}+1}
(g) n(\sqrt{n^{2} + 1} − n)  (h) n(\sqrt{n + 1} − \sqrt{n − 1}) (i) \sqrt[3]{n}^{2}(\sqrt[3]{n + 1} − \sqrt[3]{n})
(j) \frac{\sqrt{n^{2} +2} −\sqrt{n^{2} −1}}{\sqrt{n^{2} +1} −\sqrt{n^{2} −2}}  (k) \sqrt[n]{2^{n} + n^{2}}  (l) \frac{2^{n}+3^{n}}{8(−2)^{n}+3^{n−1}}

4. Na zapamatování. Vypočtěte limity následujících posloupností.

(a) nq^{n} (b) \sqrt[n]{n!} (c) \frac{n!}{n^{3}} (d) \frac{n!}{n^{n}}

5. Posloupnosti s parametrem. Vypočtěte limity následujících posloupností.

(a) n^{q}(\sqrt[k]{n} + 1 − \sqrt[k]{n}), k ∈ ℕ, q ∈ ℚ (b) \sqrt[n]{a^{n} + b^{n} + c^{n}} , a, b, c > 0
(c) \frac{n^{p}+1}{n^{q}+1} , p, q ∈ ℚ  (d) \frac{n!}{n^{k}}, k ∈ ℕ

6. Součty. Vypočtěte limity následujících posloupností.

(a) \frac{1+2+···+n}{n^{2}}  (b) \frac{1^{2} +2^{2} +···+n^{2}}{n^{3}}
(c) \frac{1+2+···+n}{n} − \frac{n}{2}  (b) \frac{1^{2} +2^{2} +···+n^{2}}{n^{2}} − \frac{n}{6}

7. Teorie Rozhodněte o platnosti následujících tvrzení.

(a) Pokud lim_{n→∞} a_{n} = +∞, potom lim_{n→∞} \frac{1}{a_{n}} = 0.

(b) Pokud lim_{n→∞} a_{n} = 0, potom lim_{n→∞} \frac{1}{a_{n}} = +∞.

(c) lim_{n→∞} a_{n} = 0, právě když lim_{n→∞} \frac{1}{|a_{n}|} = +∞.

(d) Pokud lim_{n→∞} a_{n} = A, potom lim_{n→∞} a_{2n} = A.

(e) Pokud lim_{n→∞} a_{2n} = A, potom lim_{n→∞} a_{n} = A.

(f) lim_{n→∞} a_{n} = A, právě když lim_{n→∞} a_{b_{n}} = A pro každou rostoucí posloupnost přirozených čísel b_{n}.

(g) lim_{n→∞} a_{n} = A, právě když lim_{n→∞} a_{b_{n}} = A pro každou neklesající posloupnost přirozených čísel b_{n}.

26. a 27.10.2004

Matematická analýza 1 – Cvičení 3

1. Další limity. Vypočtěte následující limity

(a) lim_{n→∞} \frac{2n^{2} +2n+n sin 2n}{n cos 3n+(2n+sin 4n)^{2}} ,  (b) lim_{n→∞} \frac{\sqrt[4]{n^{5} +2} − \sqrt[3]{n^{2} +1}}{\sqrt[5]{n^{4} +2} −\sqrt{n^{3} +1}} ,

(c) lim_{n→∞} \frac{3^{n}+n^{5} +(n+1)!}{n(n^{6} +n!)} ,  (d) lim_{n→∞} \frac{n^{3} +\sqrt{n}+(−1)^{n}}{n^{2} +n\sqrt{n}} ,
(e) lim_{n→∞} sin(nπ/4)\sqrt{n},  (f) lim_{n→∞}(\sqrt{3} − sinn − cosn) \frac{n^{5}}{\sqrt[n]{2}−1},
(g) lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n})^{n^{2}},  (h) lim_{n→∞}(1 + \frac{1}{n^{2}} )^{n}

2. Rekurentně zadané posloupnosti. Vypočtěte lim_{n→∞} a_{n} pro

(a) a_{1} = \sqrt{2}, a_{n+1} = \sqrt{2 + a_{n}} ,

(b) a_{1} = 0, a_{n+1} = a_{n} + \frac{1}{2}(x − a_{n}^{2}), 0 ≤ x ≤ 1,

(c) a_{1} = 1, a_{n+1} = \frac{1}{1+a_{n}}

3. Vypočtěte lim_{n→∞} \frac{1}{n^{2}} ∑_{k=1}^{n}[kx], x ∈ ℝ, kde [y] značí celou část y.

4. Komplexní čísla. Vypočtěte následující limity:

(a) lim_{n→∞} \frac{4n−i}{2+in},  (b) lim_{n→∞} \frac{i}{n}(\frac{1+i}{\sqrt{2}} )^{n},
(c) lim_{n→∞} ^{\frac{(−1+i\sqrt{3})^{3n+1}}{8^{n}−1}} ,  (d) lim_{n→∞}( \sqrt[n]{2} + \frac{i}{\sqrt{n+2} −\sqrt{n}})

5. Teorie. Dokažte následující implikace:

Pokud lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 0, a_{n} > 0, potom lim_{n→∞} \sqrt[n]{a_{n}} = a.

Pokud 0 ≤ a_{m+n} ≤ a_{m} + a_{n} pro všechna m, n ∈ ℕ, potom lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{n} existuje.

3.11.2004

Matematematická analýza 1 – Písemka 1 (Y59)

1. (10 bodů) Vypočtěte

lim_{n→∞} \sqrt[n]{\frac{1^{n} + 2^{n} + 3^{n} + ⋯ + n^{n}}{n}} .

2. (10 bodů) Vypočtěte

lim_{n→∞} \frac{2^{n+1} \frac{n^{2} +\sqrt{n}}{(n+1)^{3} −n^{3}} + n^{5} \sqrt{n}}{3^{n} − 2^{n}} .

3. (10 bodů) Vypočtěte v závislosti na parametru p ∈ ℝ

lim_{n→∞} n^{p}(\sqrt[3]{n^{3} + 1} − \sqrt{n^{2} + 1} ).

4.^{∗} (10 bodů) Rozhodněte o platnosti obou implikací následujícího tvrzení:

lim_{n→∞} a_{n} = a ⇔ lim_{n→∞} \frac{a_{1} + a_{2} + ⋯ + a_{n}}{n} = a.

Své tvrzení zdůvodněte.

11. 11. 2004

Matematická analýza — Písemka 1 (Y58)

1. (10 bodů) Vypočtěte

lim_{n→∞} (\frac{n^{2} + 1}{n^{2} − 1} − 1) · ((n + 1)^{3} − (n − 1)^{3} + sinn)

2. (10 bodů) Vypočtěte

lim_{n→∞} 2^{n} · n · ( \sqrt[n]{2^{n} + 1} − \sqrt[n]{2^{n} − 1}).

3. (10 bodů) Vypočtěte v závislosti na parametrech p, q ∈ ℝ.

lim_{n→∞} n^{q} (\frac{n^{p} + 1}{n^{p} − 1}\sqrt{n − 1} − \sqrt{n + 1} )

4.^{∗} (10 bodů) Rozhodněte o platnosti obou implikací následujícího tvrzení:

Platí lim_{n→∞} a_{n} = a, právě když z každé podposloupnosti (a_{n})_{n=1}^{∞} můžeme vybrat podposloupnost konvergující k a

Své tvrzení zdůvodněte.

10. a 11.11.2004

Matematická analýza 1 – Cvičení 4

1. Podíly polynomů. Rozhodněte, které z následjujících řad konvergují:

(a) ∑_{n=1}^{∞} (−1)^{n},  (b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n},  (c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} ,
(d) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{n}},  (e) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n\sqrt{n}},  (f) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n+1} ,
(g) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n}{n^{2} +1} ,  (h) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n\sqrt{n}+2n}{n^{2} +2n^{3}} ,  (i) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{p}+1}{n^{q}+n^{2} −3}

2. Další řady. Rozhodněte, zda následující řady konvergují:

(a) ∑_{n=2}^{∞} (−1)^{n} \frac{n^{2} +1}{n^{2} −1}, (b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{2^{n}}{3^{n}},  (c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{3^{n}−2^{n}}{3^{n}+2^{n}} ,
(d) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{2} +1}{2^{n}−1} ,  (e) ∑_{n=1}^{∞} _{\frac{1}{(1+ \frac{1}{n}) ^{n}}},  (f) ∑_{n=1}^{∞} _{\frac{1}{(2+ \frac{1}{n}) ^{n}}}

3. Sečtěte.

(a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n(n+1)} ,  (b) ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n^{2} −1},  (c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{q^{n}}

4. Teorie. Dokažte, nebo najděte protipříklad:

(a) Pokud ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje, potom konverguje i ∑_{n=1}^{∞} (a_{2n−1} + a_{2n}).

(b) Pokud ∑_{n=1}^{∞} (a_{2n−1} + a_{2n}) konverguje, potom konverguje i ∑_{n=1}^{∞} a_{n}.

(c) Pokud lim_{n→∞} a_{n} = 0, potom ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje.

(d) Pokud lim_{n→∞} n · a_{n} = 0, potom ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje.

(e) Pokud ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje, potom lim_{n→∞} n · a_{n} = 0.

(f) Pokud ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje, potom a_{n+1} ≤ a_{n} pro všechna n ≥ 1.

(g) Pokud ∑_{n=1}^{∞} a_{n} konverguje, potom existuje n_{0} ∈ ℕ takové, že a_{n+1} ≤ a_{n} pro všechna n ≥ n_{0}.

17. a 18.11.2004

Matematická analýza 1 – Cvičení 5

1. Další limity. Vypočtěte následující limity funkcí

(a) lim_{x→0} \frac{(1+mx)^{n}−(1+nx)^{m}}{x^{2}} ,  (b) lim_{x→1} \frac{\sqrt{x^{2} +3} −\sqrt{2x^{2} +2}}{x^{p}} ,
(c) lim_{x→∞} \frac{x^{2} +2x}{x^{3} −1} ,  (d) lim_{x→∞} \frac{x\sqrt{x}+x cos x}{x+5 sin x} ,
(e) lim_{x→1} \frac{x−1}{\sqrt{x}−1},  (f) lim_{x→1} \frac{x+x^{2} +·+x^{n}−n}{x−1} ,
(g) lim_{x→5} ^{\frac{\sqrt{x+11} − \sqrt[3]{2x^{2} +3x−1}}{(x−5)^{p}}} ,  (h) lim_{x→11} \frac{x−11}{x\sqrt{x−10}−11}
(i) lim_{x→3} \frac{x−1−\sqrt{x+1}}{(x−3)^{p}} ,  (j) lim_{x→2} \frac{x^{2} −4}{x−2}
(k) lim_{x→3} \frac{x^{3} −8x−\sqrt{3x}}{\sqrt{x+1} −\sqrt{3+ \frac{3}{x}}} ,  (l) lim_{x→0} \frac{\sqrt{1+x} −\sqrt{1−x}}{\sqrt{x}}
(m) lim_{x→0} \frac{\sqrt{1+x} −\sqrt{1−x}}{\sqrt{|x|}},  (n) lim_{x→6} ^{\frac{\sqrt{1+x} −\sqrt{2x−5} \frac{x+3}{2x−3}}{(x−6)^{p}}}

(o) lim_{x→∞} x(\sqrt{x^{2} + 2x} − 2\sqrt{x^{2} + x} + x)

2. Nechť [x] značí celou část čísla x. Vypočtěte limity následujících funkcí:

(a) lim_{x→∞} \frac{x}{[x]},  (b) lim_{x→0} \frac{[x]}{x}
(c) lim_{x→∞}[x] − x,  (d) lim_{x→0} x − [x]

25.11. a 1.12.2004

Matematická analýza 1 – Cvičení 6

1. Základní limity. Dokažte a zapamatujte si:

(a) lim_{x→0} \frac{1−cos x}{x^{2}} \frac{1}{2},  (b) lim_{x→0} \frac{x^{p} log^{q} x}{=}0, p, q > 0
(c) lim_{x→∞} \frac{log^{q} x}{x^{p}} = 0, p, q > 0  (d) lim_{x→∞} \frac{e^{ax}}{x^{p}} = +∞, p ∈ ℝ, a > 0
(e) lim_{x→−∞} x^{p}e^{ax} = 0, p ∈ ℝ, a > 0 (f) lim_{x→∞} x^{p} \frac{e^{ax}}{=}0, p ∈ ℝ, a < 0

2. Jednoduché limity. Vypočtěte následující limity:

(a) lim_{x→0} \frac{sin ax}{sin bx}  (b) lim_{x→a} \frac{sin x−sin a}{x−a}
(c) lim_{x→0} \frac{e^{x}−e^{−x}}{x^{2}},  (d) lim_{x→0} \frac{e^{3x} −1}{x}

3. Složitější limity. Vypočtěte následující limity:

(a) lim_{x→0} \frac{sin(sin x)}{x}  (b) lim_{x→0} \frac{tg x−sin x}{x^{3}}
(c) lim_{x→+∞} (π/2 − x) tgx,  (d) lim_{x→+∞} (π/2 − arctgx)x
(e) lim_{x→+∞} \frac{e^{−sin^{2} x}−cos x}{x^{2}},  (f) lim_{x→+∞} \frac{sin(x sin x)−1}{cos(sin x)−1}

4. Ze Zajíčka. Vypočtěte následující limity:

(a) lim_{x→0} \frac{sin(sin(sin x))}{cos(π/2 cos x)} ,  (b) lim_{x→π/4} \frac{sin x−cos x}{(π/4−x)^{3}},

(c) lim_{x→∞}(cos \sqrt{x − 1} − cos \sqrt{x + 1} ),

(d) lim_{x→π/4} tg2x tg(π/4 − x),
(e)lim_{x→π/4} \frac{\sqrt{cos x}− \sqrt[3]{cos}x}{sin^{2} x},  (f) lim_{x→0} \frac{ln(cos αx)}{ln(cos βx)}
(g) lim_{x→+∞} \frac{ln(1+\sqrt{x}+ \sqrt[3]{x})}{ln(1+ \sqrt[3]{x}+ \sqrt[4]{x})} ,  (h) lim_{x→+∞} ln(1 + 2^{x}) ln(1 + \frac{3}{x})
(i) lim_{x→+∞} \frac{ln(2^{x}+x+1)}{ln(x^{10} −x+1)} ,  (j) lim_{x→+0} (\frac{1+x2^{x}}{1+x3^{x}} )^{x^{2}}

8. 12. 2004

Matematickáanalýa — Píemka 2 (Y59)

1. (10 bodů Vypočěe náledujíílimitu v záislosti na parametru k ∈ ℤ:

lim_{x→0} \frac{2 sinx − sin2x}{x^{k}}.

2. (10 bodů Vypočěe:

lim_{x→+∞} \frac{ln(sin(1/x)) ln(sinx + 2)}{ln(1/x)} .

3. (10 bodů Vypočěe:

lim_{x→0+} (\frac{2 lnsinx}{ln(2 − 2 cosx)})^{1/x} .

9. 12. 2004

Matematická analýza — Písemka 2 (Y58)

1. (10 bodů) Vypočtěte následující limitu v závislosti na parametru k ∈ ℤ:

lim_{x→0} \frac{e^{cos x} − e^{cos 2x}}{x^{k}} .

2. (10 bodů) Vypočtěte:

lim_{x→0+} ln(cosx) ln(sinx).

3. (10 bodů) Vypočtěte:

lim_{x→1+} (\frac{\sqrt{x^{2} + 1} − \sqrt{2}}{2(\sqrt{x + 1} − \sqrt{2})})^{\frac{1}{x−1}} .

8. a 9.12.2004

Matematická analýza 1 – Cvičení 7

1. Derivace. Vyšetřete spojitost a derivaci následujících funkcí:

(a) \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} ,  (b) sin(\frac{x+1}{x^{2} +1} ),  (c) cos(lnx),
(d) (\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}},  (e) (sinx)^{cos x},  (f) x^{x},
(g) arctg(tg^{2} x),  (h) ln(arccosx),  (i) arcsin(sinx)

2. Ze Zajíčka. Vyšetřete spojitost a derivaci následujících funkcí:

(a) x arcsin(\frac{x^{2} −1}{x^{2} +1}),  (b) arcsin \frac{2x}{x^{2} +1}

3. Průběh funkce Vyšetřete průběh následujících funkcí (tj. určete definiční obor, nulové body, positivitu, lokální extrémy, monotonii, inflexní body, konvexnost, asymptoty v ± nekonečnu a načrtněte graf):

(a) x^{3} − 5x^{2} + 5x − 1 (b) x^{3} + x^{2} + x + 1,  (c) x^{3} − 2x + 1,
(d) f(x) = \frac{2x}{1−x^{2}} (e) f(x) = \frac{x^{2} +2}{x−1} , (f) f(x) = \frac{1}{x^{2} +x−2} ,
(g) f(x) = \sqrt[3]{x^{2}} − \frac{2}{\sqrt{x}} (h) f(x) = x\sqrt{1 − x^{2}}, (i) f(x) = \sqrt[3]{x^{2}} − \sqrt[3]{x^{2} + 1} ,
(j) f(x) = arctg(1 − x^{2}) (k) f(x) = arctg(\frac{x+1}{x−1}), (l) f(x) = arccos \frac{2x}{1+x^{2}} ,
(m) f(x) = e^{x} − x (n) f(x) = e^{x^{2} +3x−7} , (o) f(x) = x^{x}

4. Ze Zajíčka. Vyšetřete průběh následujících funkcí:

(a) f(x) = arccos \frac{1−x^{2}}{1+x^{2}} , (b) f(x) = \frac{x^{3}}{2(x+1)^{2}} ,  (c) f(x) = \frac{sin x}{sin(π/4+x)} ,
(d) f(x) = |x + 2|e^{−1/x}, (e) f(x) = \sqrt[3]{|x|^{3} + b^{3}} , (f) e^{−x^{2}}

5. Ze Zajíčka. Dokažte následující nerovnosti pro 0 < x < π/2:

(a) 2x < sinx + tgx,  (b) x − \frac{x^{3}}{6} < sinx < x,
(a) 2x/pi < sinx < x,  (b) x^{e} < e^{x}

6. Další úlohy.

Dokažte, že funkce f(x) = x + x^{2} sin(2/x), f(0) = 0 je rostoucí v bodě 0, je diferencovatelná na ℝ, ale není rostoucí na žádném okolí bodu 0.

Pro která a ∈ ℝ se parabola y = ax^{2} dotýká grafu funkce y = lnx (tj. existuje bod ležící na obou grafech, ve kterých mají tyto grafy společnou tečnu)?

Pro která a ∈ ℝ lze funkci f(x) = x^{a} sin(lnx) arctgx rozšířit na ℝ tak, aby výsledná funkce byla spojitá, resp. měla konečnou derivaci, na ℝ?

5. 1. 2005

Matematická analýza — Písemka 3 (Y59)

1. (10 bodů Vyšetřete průběh funkce

f(x) = \{ \begin{matrix}arcsin(\frac{4x−1}{2x^{2} +1} ) & pro x ∈ ℝ \ [−2, 0], \\ −\frac{π}{2} − \sqrt{1 − (x + 1)^{2}} & pro x ∈ [−2, 0]. \end{matrix}

Určete:

1. D(f), limity v krajních bodech D(f), spojitost, periodu, sudost, lichost 2. Nulové body, positivitu, negativitu

3. f′, monotonii, jednostranné derivace a derivace v problematických bodech, lokální extréy a hodnotu v nich

4. f′′, konvexitu a konkavitu, inflexní body. Nakreslete graf.

6. 1. 2005

Matematická analýza — Písemka 3 (Y58)

1. (10 bodů Vyšetřete průběh funkce

f(x) = \{ \begin{matrix}arctg(\frac{x^{2} −|1−x^{2} |}{2x^{2}}) & pro x ≠ 0, \\ −\frac{π}{2} & pro x = 0. \end{matrix}

Určete 1. D(f), limity v krajních bodech D(f), spojitost, periodu, sudost, lichost 2. Nulové body, positivitu, negativitu

3. f′, monotonii, jednostranné derivace a derivace v problematických bodech, lokální extrémy a hodnotu v nich

4. f′′, konvexitu a konkavitu, inflexní body. Nakreslete graf.

14. 1. 2004

Matematická analýza — Opravná písemka (Y58+Y59)

1. (10 bodů) Vypočtěte

lim_{n→∞} \sqrt[6]{n} \frac{\sqrt[3]{n^{2} + 1} − n}{\sqrt{n^{2} + 1} − n}.

2. (10 bodů) Vypočtěte

lim_{n→∞} \frac{n^{2} + \sqrt{n} + sinn}{(2n + 1)^{2}} .

3. (10 bodů) Vypočtěte

lim_{x→4+} \frac{\sqrt{x + 5} − x + 1}{\sqrt{x − 4}} .

4. (10 bodů) Vypočtěte

lim_{x→0} \frac{sin(cosx − 1)}{ln \frac{1+x}{1−x}}.

5. (10 bodů) Vyšetřete průběh funkce

f(x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} − 1}.

6. (10 bodů) Vyšetřete průběh funkce

g(x) = \{ \begin{matrix}e^{−1/x^{2}} & x ≠ 0, \\ 0 & x = 0. \end{matrix}