20. a 23.2.2006

Matematická analýza 1b – 1. série

1. Vyšetřete konvergenci následujících řad:

(a) ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k\sqrt{k}}  (b) ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{p}}  (c) ∑_{k=1}^{∞} k^{− ln k}
(g) ∑_{k=1}^{∞} sin^{2} \frac{x}{k ln k}  (h) ∑_{k=1}^{∞} \frac{\sqrt{k+1} −\sqrt{k−1}}{k^{α}} (j) ∑_{k=1}^{∞} \frac{k!}{k^{k}}
(k) ∑_{k=1}^{∞} \frac{(k!)^{2}}{(2k)!}  (l) ∑_{k=1}^{∞} (\sqrt{n + 2} − 2\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})
(m) ∑_{k=1}^{∞} \frac{(k^{5}}{2^{k}+3^{k}}  (n) ∑_{k=1}^{∞} (\frac{n−1}{n+1})^{n(n−1)}

2. Vyšetřete konvergenci (absolutní, neabsolutní) následujících řad:

(a) ∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k}k^{p}  (b) ∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k} \frac{\sqrt[k]{k}}{ln k}  (c) ∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k} \frac{k sin k}{1+k^{2}}
(d) ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{\sqrt{k}+(−1)^{k}}  (e) ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{⌊k⌋}}{k}  (f) ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{\sqrt[k]{k}}
(g) ∑_{k=1}^{∞} sin(π\sqrt{k^{2} + k} ) (h) ∑_{k=1}^{∞} \frac{k!k^{−p}}{q(q+1)...(q+k)} (i) ∑_{k=1}^{∞} (−\frac{2k+100}{3k+1} )^{k}
(j) ∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k} \frac{sin^{2} k}{3k+1}  (k) ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{[k+(−1)^{k}]^{p}}  (l) ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{[\sqrt{k}+(−1)^{k}]^{p}}

3. Určete poloměr konvergence a vyšetřete konvergenci na konvergenční kružnici:

(a) ∑_{k=1}^{∞} kz^{k}  (b) ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k} i^{k}z^{k}  (c) ∑_{k=1}^{∞} −\frac{1}{k} z^{k}
(d) ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} z^{k}  (e) ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{2^{k}} z^{k}  (f) ∑_{k=1}^{∞} \frac{(2i+1)^{k}z^{k}}{\sqrt{k}+k^{2}}
(h) ∑_{k=1}^{∞} \frac{z^{k}}{k+\sqrt{k}}  (i) ∑_{k=1}^{∞} (1 + \frac{1}{k} ) ^{k^{2}} x^{k} (j) ∑_{k=1}^{∞} \frac{x^{k^{2}}}{2^{k}}

4. Vyšetřete konvergenci (absolutní, neabsolutní) následujících řad:

(a) ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin kx}{k} (b) ∑_{k=1}^{∞} \frac{(3+4i)^{k}}{x^{k}k^{2}} (c) ∑_{k=1}^{∞} \frac{x^{k}}{1+x^{2k}} \frac{1}{k}

13. a 16.3.2006

Matematická analýza 1b – 2. série

1. Vyjádřete uvedené primitivní funkce na maximálních intervalech pomocí elementárních funkcí:

(a) ∫ x^{3} sinx dx (b) ∫ x^{n}e^{x} dx (c) ∫ lnx dx (d) ∫ x lnx dx
(e) ∫ e^{x} sinx dx (f) ∫ xe^{x} sinx dx (g) ∫ x^{2}e^{x} sinx dx(h) ∫ xe^{x} cosx dx

2. Vyjádřete uvedené primitivní funkce na maximálních intervalech pomocí elementárních funkcí:

(a) ∫ ln^{2} x dx  (b) ∫ x^{n} ln^{m} x dx (c) ∫ sin^{2} x dx (d) ∫ sin^{4} x dx

http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜ barta/vyuka.html

(e) ∫ \sqrt[5]{3x + 2} dx (f) ∫ \frac{x^{2}}{cos^{2} (x^{3} )} dx (g) ∫ \frac{1}{x ln x} dx  (h) ∫ \frac{1}{x ln x ln ln x} dx
(i) ∫ tgx dx (j) ∫ sin^{3} x dx (k) ∫ tg^{2} x dx (l) ∫ \frac{1}{sin x} dx
(m) ∫ \frac{x^{3}}{(x−3)^{50}} dx (n) ∫ e^{\sqrt{x}} dx  (o) ∫ \frac{x}{\sqrt{x^{2} +5}} dx (p) ∫ \frac{x}{1+x^{4}} dx

3. Vyjádřete uvedené primitivní funkce na maximálních intervalech pomocí elementárních funkcí:

(u) ∫ | cosx| dx (v) ∫ \sqrt{x^{6}} dx  (w) ∫ |x| dx  (x) ∫ sin|2x − 1| dx

4. Dokažte pro k ∈ ℕ: ∫ \frac{1}{(x^{2} +1)^{k+1}} dx = \frac{1}{2k} \frac{x}{(x^{2} +1)^{k}} + \frac{2k−1}{2k} ∫ \frac{1}{(x^{2} +1)^{k}} dx.

5. Vypočtěte primitivní funkce na maximálních intervalech:

(a) ∫ \frac{dx}{(2x+3)^{5}}  (b) ∫ \frac{dx}{(2x^{2} +5x+8)}  (c) ∫ \frac{2x−1}{(x^{2} −x+1)^{3}} dx
(d) ∫ \frac{dx}{(x^{2} +1)^{2}}  (e) ∫ \frac{dx}{(x^{2} +1)^{3}}  (f) ∫ \frac{dx}{(2x^{2} +x+1)^{3}}

20. a 23.3.2006

Matematická analýza 1b – 3. série

1. Vypočtěte primitivní funkce rozložením na parciální zlomky:

(a) ∫ \frac{dx}{(2x+3)(3x+2)(x+1)}  (b) ∫ \frac{dx}{(x^{4} +16)}  (c) ∫ \frac{5x^{3} +3x^{2} −x−1}{(x^{2} +2x+1)} dx
(d) ∫ \frac{(5x^{2} +1)^{2} +1}{(3x+2)^{2}} dx  (e) ∫ \frac{x^{2} +1}{x^{2} −1} dx  (f) ∫ \frac{x^{5} +x^{4} +x^{3} +x^{2} +x+1}{x^{3} −3x^{2} +3x−1} dx

2. Převeďte na integrály z racionálních funkcí a urcete definicni obory primitivnich funkci:

(a) ∫ \frac{x+\sqrt{3x−1}}{2x^{2} +1} dx  (b) ∫ \frac{x^{2} − \sqrt[3]{2x+1}}{x−\sqrt{2x+1}} dx  (c) ∫ ^{\frac{\sqrt[3]{\frac{2x+2}{x−1}} +2x}{x^{2} −1}} dx
(d) ∫ ^{\frac{\sqrt{(3x+1)(2x+1)}}{3x^{2} +2}} dx (e) ∫ \frac{\sqrt{x+1} −\sqrt{2x−1}}{\sqrt{x+1} +\sqrt{2x−1}} dx (f) ∫ \frac{x}{\sqrt{x^{2} −3x+2} −x−2} dx

3. Převeďte na integrály z racionálních funkcí a urcete definicni obory primitivnich funkci:

(a) ∫ \frac{\sqrt{5x^{2} +3x+1} +2x}{3x+2} dx (b) ∫ \frac{1}{\sqrt{x^{2} +x+1}} dx  (c) ∫ \frac{x+3}{\sqrt{x^{2} +x+2} +x} dx
(d) ∫ \frac{1}{\sqrt{x^{2} +x+1} −x} dx  (e) ∫ ^{\frac{(3x+2)\sqrt{4x^{2} +1}}{x^{2} +x+1}} dx (f) ∫ \frac{x^{3} \sqrt{x^{4} +x^{2} +4} +x}{3x^{4} +1} dx

4. Převeďte na integrály z racionálních funkcí a urcete definicni obory primitivnich funkci:

(a) ∫ \frac{e^{3x} +e^{2x} −5e^{x}+1}{e^{4x} +1} dx (b) ∫ \frac{ln x}{x(ln^{2} x+1)} dx  (c) ∫ \frac{e^{2x+1}}{e^{x}+e^{−x}} dx

5. Převeďte na integrály z racionálních funkcí a urcete definicni obory primitivnich funkci:

(a) ∫ \frac{1}{sin x+sin^{3} x} dx (b) ∫ \frac{sin x}{sin^{4} x+cos^{2} x} dx (c) ∫ \frac{sin^{2} x+1}{sin^{2} x cos x+cos x} dx
(d) ∫ \frac{sin x cos x+2}{sin^{2} x+sin x cos x} dx (e) ∫ \frac{1}{5+cos x+sin x cos x} dx(f) ∫ \frac{1+2 cos x}{3+2 sin x} dx

6. Vyjadrete primitivni funkce na maximalnich intervalech:

(a) ∫ \frac{1}{sin x+tg x} dx  (b) ∫ \frac{sin x−cos x}{sin x+cos x} dx  (c) ∫ \frac{tg^{2} x+1}{sin^{2} x+sin x cos x} dx
(d) ∫ \frac{sin x cos x}{sin^{2} x+cos x+2} dx (e) ∫ \frac{1}{5+cos x} dx  (f) ∫ \frac{1+sin^{2} x}{3 cos x+2 cos^{3} x} dx

27. a 30.3.2006

Matematická analýza 1b – 4. série

1. Vypočtěte primitivní funkce:

(a) ∫ sin(πx)⌊x⌋ dx  (b) ∫ x sinx cosx dx (c) ∫ \frac{1}{1+| cos x|} dx
(d) ∫ (x^{2} + x) arctgx dx (e) ∫ \frac{ln(1+x+x^{2} )}{(1+x)^{2}} dx  (f) ∫ \frac{x^{2} +|x+1|}{x^{2} −1} dx
(g) ∫ \frac{1}{x^{5} +1} dx  (h) ∫ \frac{cotg (x−1)}{sin x−tg(2x)} dx  (i) ∫ \frac{sin(2x+1)}{2+cos(2x−1)} sinx dx
(j) ∫ x\frac{1+sin(x^{2} +1)}{2+sin(2x^{2} +1)} dx (k) ∫ ^{\frac{\sqrt{sin^{2} x+sin x+1}}{cos x}} dx (l) ∫ \frac{sin 2x+| cos(x+1)|}{2+sin x} dx
(m) ∫ \frac{1}{x^{2}} sin \frac{1}{x} dx  (n) ∫ \frac{1}{1−x^{2}} ln \frac{1+x}{1−x} dx (o) ∫ \frac{2^{x}3^{x}}{9^{x}−4^{x}} dx
(p) ∫ cos^{5} x\sqrt[3]{sinx} dx (q) ∫ \sqrt{a^{2} − x^{2}} dx  (r) ∫ x^{2} ln \frac{x^{2} +1}{x−1} dx
(s) ∫ \frac{x}{cos^{2} x} dx  (t) ∫ \frac{sin x}{cos x\sqrt{1+sin^{2} x}} dx (u) ∫ \frac{1}{x\sqrt{x^{2n} +x^{n}+1}} dx
(v) ∫ max(sinx, cosx) dx(w) ∫ x\sqrt{x^{2} + 1} ln \sqrt{x^{2} − 1} dx

(x) ∫ (x^{2} + 1) arctg(\frac{1+x}{1−x}) dx

3. a 6.4.2006

Matematická analýza 1b – 5. série

1. Vypočtěte určité integrály metodou per-partes:

(a) ∫_{0}^{5π} x^{3} sinx dx (b) ∫_{−∞}^{0} xe^{x} dx (c) ∫_{1}^{+∞} \frac{ln x}{x^{2}} dx

2. Vypočtěte určité integrály:

(a) ∫_{1}^{+∞} \frac{1}{x ln x} dx  (b) ∫_{0}^{π} sin^{3} x dx  (c) ∫_{1}^{5} \frac{x}{\sqrt{2x^{2} −1}} dx
(d) ∫_{2}^{+∞} \frac{1}{(x−1)^{2} (x^{2} −1)} dx (e) ∫_{−10}^{+∞} \frac{3x+5)}{x^{2} +x+1} dx  (f) ∫_{−∞}^{+∞} \frac{x}{x^{4} +1} dx
(g) ∫_{0}^{+∞} \frac{arctg x}{x^{p}} dx  (h) ∫_{−1}^{+∞} \frac{1+\sqrt{x+1}}{x^{2} +\sqrt{x+1}} dx (i) ∫_{−∞}^{+∞} \frac{1}{x\sqrt{4x^{2} +x+1}} dx
(j) ∫_{0}^{6π} x\frac{sin(x^{2} )}{2+sin(x^{2} )} dx (k) ∫_{−π}^{π} \frac{sin^{2} x+sin 2x+1}{1+cos x} dx(l) ∫_{−2}^{2} \frac{x}{\sqrt{x^{2} +x+1} −x} dx
(m) ∫_{1}^{2} \frac{\sqrt{x^{2} −3x+2} +x}{x^{2} +2} dx (n) ∫_{0}^{+∞} \frac{1}{x^{2} +3x+2} dx

3. Vypočtěte určité integrály:

(l) ∫_{−π/4}^{π/4} arcsin(arctgx) dx,  (n) ∫_{0}^{1}(x + 1) log \frac{x+\sqrt{x+1}}{x+2} dx,
(o) ∫_{1}^{e} \frac{1}{x} tg^{2} \sqrt{logx^{2} + 1} dx,  (p) ∫_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2} − x^{2}} dx, a > 0,

(q) ∫_{0}^{π/2} logsinx dx (subst. x = 2t)

4. Vypočtěte plochy ohraničené následujícími křivkami:

(a) f(x) = x^{2}, g(x) = \sqrt{x}, x ∈ [0, 1]

(b) f(x) = x^{n}, g(x) = \sqrt[n]{x}, x ∈ [0, 1]

(c) f(x) = sinx, g(x) = − sinx, x ∈ [0, π]

(d) f(x) = x^{2}, g(x) = 1/x, h(x) = 0, x ∈ [0, +∞)

(e) f(x) = \sqrt{1 − x^{2}}, g(x) = −\sqrt{1 − x^{2}}, x ∈ [−1, 1]

17. a 20.4.2006

Matematická analýza 1b – 6. série

1. Vyšetřete konvergenci (absolutní konvergenci) následujících integrálů:

(a) ∫_{0}^{1} x^{p} dx, p ∈ ℝ,  (b) ∫_{1}^{∞} x^{p} dx, p ∈ ℝ
(c) ∫_{0}^{1} \frac{ln x}{1−x^{2}} dx,  (d) ∫_{0}^{∞} \frac{ln x}{1+x^{2}} dx,
(e) ∫_{0}^{∞} \frac{x−sin x}{x^{p}} dx,  (f) ∫_{7}^{∞} \frac{ln(1+x)}{x\sqrt{x}} dx
(g) ∫_{0}^{π/2} sin^{p} x cos^{q} x dx, p, q ∈ ℝ, (h) ∫_{0}^{∞} \frac{1}{x^{p}+x^{q}} dx, p, q ∈ ℝ,
(i) ∫_{0}^{π/2} ln(cosx) tg^{p} x dx,  (j) ∫_{0}^{∞} \frac{sin^{2} x}{\sqrt{x}} dx
(k) ∫_{0}^{∞} \frac{1}{1+x^{a} sin^{2} x} dx, a ∈ ℝ,  (l) ∫_{2}^{∞} \frac{1}{x^{p} ln^{q} x} dx, p, q ∈ ℝ,

2. Vyšetřete konvergenci (absolutní konvergenci) následujících integrálů:

(a) ∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{x} dx  (b) ∫_{0}^{∞} sinx^{2} dx
(c) ∫_{0}^{∞} \frac{sin \sqrt{x}}{x^{a}} dx, a ∈ ℝ  (d) ∫_{0}^{∞} x^{a} sinx^{b} dx, a, b ∈ ℝ
(e) ∫_{0}^{∞} x^{a} sin(cosx) dx  (f) ∫_{0}^{∞} x^{a} sin(lnx) dx
(g) ∫_{0}^{∞} \frac{sin x sin 2x}{x^{a}} dx  (h) ∫_{0}^{∞} x^{a} ln(1 + x) cosx dx
(i) ∫_{0}^{∞} sin(arccotgx) sinx dx  (j) ∫_{2}^{∞} \frac{sin x}{x+2 sin x} dx
(k) ∫_{0}^{∞} \frac{sin(x+ \frac{1}{x})}{x} ^{a} dx, a ∈ ℝ  (l) ∫_{1}^{∞} sin(x + lnx)x^{p} dx, p ∈ ℝ,
(m) ∫_{0}^{∞} \frac{sin \frac{1}{x} arctg x}{x} dx  (n) ∫_{0}^{∞}(cosx − e^{− \frac{x^{2}}{2}} )x^{−a} dx, a ∈ ℝ,

3. Vyšetřete konvergenci následujících integrálů:

(a) ∫_{0}^{1} x^{log x} dx  (b) ∫_{0}^{∞} x sinx^{3} dx
(c) ∫_{0}^{∞} \frac{sin x^{2}}{\sqrt{1+x^{3}}} dx  (d) ∫_{0}^{1} \frac{| log x|^{p}}{\sqrt{1−x}} dx
(e) ∫_{0}^{∞} \frac{sin x^{p}}{x} dx  (f) ∫_{0}^{1} \frac{arccos x}{log^{q}(1/x)} dx
(g) ∫_{0}^{∞} 2x cos(x^{4}) dx  (h) ∫_{α}^{β} \frac{arcsin ^{2} (sin x)}{sin x} dx
(i) ∫_{1}^{∞} x^{p} sin(x^{3} + x) dx  (j) ∫_{1}^{∞} x^{p} cos(e^{x}) dx
(k) ∫_{1}^{∞} \frac{sin x}{x+sin x} dx  (l) ∫_{1}^{∞} \frac{sin x}{x^{p}+2 sin x} dx, p > 0

(m) ∫_{0}^{π/2} x^{α}(\frac{π}{2} − x)^{β} tg^{γ} x dx  (n) ∫_{0}^{∞}(arctgx − π/2)^{α}x^{β} dx

4.5. a 8.5.2006

Matematická analýza 1b – 7. série

1. Najděte řešení diferenciálních rovnic splňující dané podmínky:

(a) y′ = x^{2} + x + 1, y(0) = 2  (b) e^{x}y′ = x, y(1) = 2
(c) y′′ = \frac{1}{x}, y(1) = 0, y(3) = 2  (d) y′ = y, y(0) = a

2. Najděte všechna řešení diferenciálních rovnic:

(a) x^{2}y′ = y arctgx  (b) y′ = e^{x}y  (c) xyy′ = y^{2} + 1
(d) y′ = tgy  (e) y = tg(1/y′)  (f) \sqrt{y′} = xy^{2}
(g) y′ = 1 + y^{2}  (h) y′ = \sqrt[3]{(y − 1)^{2}}  (i) y′ = x(1 + y^{2})

3. Najděte všechna řešení diferenciálních rovnic:

(a) 2y′ + y = x^{3} (b) y′ + 2y = e^{x} (c) y′ + y = \frac{1}{1+e^{2x}}
(d) −3y′ + 2y = sin2x (e) y′ + 2xy = x + 3x^{3} (f) y′ + x^{3} sinx · y = x + 2
(g) y′ + lnx · y = 2x (h) y′ − 3x^{2}y = sinx (i) y′ + \frac{y}{x} = x^{2}

4. Najděte všechna řešení diferenciálních rovnic:

(a) (y′)^{3} − 2x(y′)^{2} + y′ = 2x  (b) (y′)^{2} − 1 = 0

(c) (y′)^{2} + yy′ + y^{2} − 1 = 0

5. Najděte všechna řešení diferenciálních rovnic:

(a) xy′ = \sqrt{x^{2} − y^{2}} + y (b) y′ = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}  (c) y′ = \frac{2xy}{3x^{2} −y^{2}}
(d) (x + y − 2) dy = (y − x − 4) dx  (f) y′ = \frac{1}{x+2y}

(e) (x + y + 1) dy = (2x + 2y − 1) dx

10.4.2006

Matematická analýza 1b – 1. písemka

1. úloha (10 bodů) Vyšetřete konvergenci a absolutní konvergenci řady

∑_{k=1}^{∞} \frac{z^{4k+1}}{2k + 3} .

2. úloha (10 bodů) Vypočtěte primitivní funkci na maximálních intervalech

∫ \frac{x lnx}{(x^{2} + 1)^{2}} dx.

3. úloha (10 bodů) Vypočtěte integrál

∫_{0}^{π} ln(2 + sinx) · sinx dx.

13.4.2006

Matematická analýza 1b – 1. písemka

1. úloha (10 bodů) Vyšetřete konvergenci a absolutní konvergenci řady

∑_{k=1}^{∞} \sqrt{\frac{k + 1}{k^{2} + 1}} 3^{k}z^{k}.

2. úloha (10 bodů) Vypočtěte primitivní funkci na maximálních intervalech ∫ arctg(x^{2} − 1) dx.

3. úloha (10 bodů) Vypočtěte integrál

∫_{−∞}^{0} \frac{\sqrt{e^{x} + 1}}{1 + \sqrt{e^{x} − 2 + e^{−x}}} dx.

22.5.2006

Matematická analýza 1b – 2. písemka

1. úloha (10 bodů) Vyšetřete konvergenci a absolutní konvergenci integrálu

∫_{0}^{+∞} \frac{lnx + x + sinx}{x^{p}\sqrt{x} + 1} dx

v závislosti na parametru p ∈ ℝ.

2. úloha (10 bodů) Vyšetřete konvergenci a absolutní konvergenci integrálu

∫_{π/2}^{+∞} \frac{sinx cosx}{x − \frac{π}{2}} dx.

3. úloha (10 bodů) Najděte všechna řešení diferenciální rovnice

x^{2}y′ = y^{2} + 3xy − 3x^{2}.

(2 body) Pro které počáteční podmínky y(a) = b je maximální řešení jednoznačně určeno?

18.5.2006

Matematická analýza 1b – 2. písemka

1. úloha (10 bodů) Vyšetřete konvergenci a absolutní konvergenci integrálu

∫_{0}^{1} \frac{sinx lnx}{x^{k} − 1} dx

v závislosti na parametru k ∈ ℕ.

2. úloha (10 bodů) Vyšetřete konvergenci a absolutní konvergenci integrálu

∫_{0}^{+∞} \frac{sin(lnx)}{x^{p}(x + 1)} dx

v závislosti na parametru p ∈ ℝ.

3. úloha (10 bodů) Najděte všechna řešení diferenciální rovnice

y′ + y tgx = sinx + 1.

(2 body) Najděte všechna řešení rovnice

y′ cosx + y sinx = cosx(sinx + 1).

26.5.2006

Matematická analýza 1b – Opravná písemka

1. úloha (10 bodů) Vypočtěte primitivní funkci na maximálních intervalech

∫ \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2x + 2} + x} dx.

2. úloha (10 bodů) Vypočtěte určitý integrál

∫_{−∞}^{ln π} \frac{e^{x}}{4 + sine^{x}} dx.

3. úloha (10 bodů) Vyšetřete konvergenci a absolutní konvergenci integrálu

∫_{0}^{1} \frac{1 − cosx}{x^{p}} dx.

4. úloha (10 bodů) Vyšetřete konvergenci a absolutní konvergenci integrálu

∫_{1}^{+∞} \frac{cosx}{\sqrt{x^{2} − 1}} dx.

5. úloha (10 bodů) Najděte všechna řešení diferenciální rovnice

\begin{aligned}y′ + 2xy & = cosxe^{−x^{2}}, \\ y(0) & = −1. \end{aligned}

6. úloha (10 bodů) Najděte všechna řešení diferenciální rovnice

y′ = \frac{y}{x} + \frac{3x}{y}.