16.10.2002

Cvičení 1

Vyšetřete konvergenci (absolutní konvergenci) následujících integrálů

1. ∫_{0}^{1} \frac{ln x}{1−x^{2}} dx,  2. ∫_{0}^{∞} \frac{ln x}{1+x^{2}} dx,
3. ∫_{0}^{∞} \frac{x−sin x}{x^{p}} dx,  4. ∫_{7}^{∞} \frac{ln(1+x)}{x\sqrt{x}} dx
5. ∫_{0}^{π/2} sin^{p} x cos^{q} x dx, p, q ∈ ℝ, 6. ∫_{0}^{∞} \frac{sin \frac{1}{x} arctg x}{x} dx
7. ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{x^{p}+x^{q}} , p, q ∈ ℝ,  8. ∫_{0}^{π/2} ln(cosx) tg^{p} x dx
9. ∫_{0}^{∞}(cosx − e^{− \frac{x^{2}}{2}} )x^{−a} dx, a ∈ ℝ, 10. ∫_{0}^{∞} \frac{sin^{2} x}{\sqrt{x}} dx
11. ∫_{0}^{∞} x cos^{4} x dx,  12. ∫_{0}^{∞} \frac{sin(x+ \frac{1}{x})}{x} ^{a} dx, a ∈ ℝ
13.^{∗} ∫_{1}^{∞} sin(x + lnx)x^{p} dx, p ∈ ℝ, 14.^{∗∗} ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{1+x^{a} sin^{2} x} , a ∈ ℝ
15. ∫_{2}^{∞} \frac{dx}{x^{p} ln^{q} x}, p, q ∈ ℝ,  16. ∫_{2}^{∞} \frac{sin x}{x+2 sin x} dx

23.10.2002

Cvičení 2 — 2. ročník

Vyšetřete konvergenci (absolutní konvergenci) následujících integrálů:

1. ∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{x} dx  2. ∫_{0}^{∞} sinx^{2} dx
3. ∫_{0}^{∞} \frac{sin \sqrt{x}}{x^{a}} dx, a ∈ ℝ  4. ∫_{0}^{∞} x^{a} sinx^{b} dx, a, b ∈ ℝ
5. ∫_{0}^{∞} x^{a} sin(cosx) dx  6. ∫_{0}^{∞} x^{a} sin(lnx) dx
7. ∫_{0}^{∞} \frac{sin x sin 2x}{x^{a}} dx  8. ∫_{0}^{∞} x^{a} ln(1 + x) cosx dx
9. ∫_{0}^{∞} sin(arccotgx) sinx dx  10. ∫_{e+1}^{∞} \frac{dx}{x^{p}(ln x)^{q}(ln ln x)^{r}}

30.10.2002

Cvičení 3 — 2. ročník

1. Délka křivky. Vypočtěte délku a) grafu funkce f(x) = 2x, x ∈ [0, 5].

b) grafu funkce f(x) = x^{3/2}, x ∈ [0, 4]. c) grafu funkce f(x) = e^{x}, x ∈ [0, a].

d) obvodu jednotkového kruhu

e) části Archimedovy spirály dané v polárních souřadnicích r = a · φ, φ ∈ [0, 2π].

f) křivky x(t) = sin^{4} t, y(t) = cos^{4} t

2. Výpočet integrálů.

a) Dokažte, že ∫_{0}^{π/2} ln(sinx) dx = −π/2 ln2. (návod: substituce x = 2t a rozdělte na součet tří členů)

b) S pomocí předchozího vypočtěte ∫_{0}^{π/2} \frac{x}{tg x} dx.

c) S pomocí předchozího vypočtěte ∫_{0}^{1} \frac{arcsin x}{x} dx.

d) S pomocí předchozího vypočtěte ∫_{0}^{1} \frac{ln x}{\sqrt{1−x^{2}}} dx.

e) Vypočtěte I_{n} := ∫_{0}^{π/2} sin^{n} x dx

3. Vypočtěte derivaci funkce g(x) = ∫_{0}^{√\overline{x}} e^{t^{2}} dt.

4. Ukažte, že

∫_{0}^{x} e^{t^{2}} dt ∼ \frac{1}{x^{2}} e^{x^{2}}, x → ∞.

5. Úlohy s hvězdičkou a) Dokažte Wallisův vzorec

\frac{π}{2} = Π_{n=1}^{∞} \frac{4n^{2}}{(2n − 1)(2n + 1)} .

Návod: využijte výsledku 2.e a nerovností I_{2n+1} < I_{2n} < I_{2n−1}.

b) Buď f nerostoucí spojitá funkce na [1, +∞) a nechť ∫_{1}^{+∞} f(x) dx konverguje. Pak f(x) = o(1/x), x → +∞.

6.11.2002

Cvičení 4 – 2. ročník

1. Stejnoměrná konvergence posloupností. Vyšetřete stejnoměrnou a lokálně stejnoměrnou konvergenci:

f_{n}(x) = x^{n} − x^{n+1} na (0, 1),  f_{n}(x) = x^{2n} − x^{3n} na (0, 1)
f_{n}(x) = 1/(x + n) na (0, ∞),  f_{n}(x) = nx/(1 + n + x) na (0, 1)
f_{n}(x) = \sqrt{x^{2} + 1/n^{2}} na ℝ,  f_{n}(x) = n(\sqrt{x + 1/n} − \sqrt{x}) na (0, ∞)

f_{n}(x) = (sinnx)/n na ℝ,  f_{n}(x) = sin(x/n) na ℝ
f_{n}(x) = x arctg(nx) na ℝ,  f_{n}(x) = (1 + x/n)^{n} na ℝ

2. Stejnoměrná konvergence řad. Vyšetřete stejnoměrnou a lokálně stejnoměrnou konvergenci:

∑_{n=1}^{∞} \frac{nx}{1+n^{5} x^{2}} na ℝ,  ∑_{n=1}^{∞} ln(1 + \frac{x^{2}}{n ln^{2} n}) na ℝ
∑_{n=1}^{∞} arctg \frac{2x}{x^{2} +n^{3}} na ℝ,  ∑_{n=1}^{∞} 2^{n} sin \frac{1}{3^{n}x} na (0, ∞)
∑_{n=1}^{∞} \frac{sin nx}{n} na (0, 2π),  ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{x+n} na (−1, ∞)
∑_{n=1}^{∞} \frac{sin x sin nx}{\sqrt{n+x}} na (0, ∞),  ∑_{n=1}^{∞} \frac{cos nx}{n} arctgnx na (0, 2π)

3. Dokažte, že konverguje-li řada ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}}{n^{x}} pro x = x_{0}, pak konverguje na intervalu [x_{0}, ∞) stejnoměrně.

13.11.2002

Cvičení 5 — 2. ročník

viz. sbírka

4.12.2002

1. Písemka

Čas na vypracování: 90 minut

1. (10 bodů) Rozhodněte, pro která p ∈ ℝ jsou následující integrály konvergentní, resp. absolutně konvergentní:

a) ∫_{0}^{1} x^{p} sin(e^{x}) dx, b) ∫_{1}^{∞} x^{p} sin(e^{x}) dx.

2. (10 bodů) Pro která p ∈ ℝ má křivka daná funkcí f(x) = x^{p} sin \frac{1}{x}, x ∈ (0, 1] konečnou délku?

3. (10 bodů) Rozhodněte, zda je posloupnost funkcí

f_{n}(x) := n (ln(x + \frac{1}{n}) − lnx)

stejnoměrně, resp. lokálně stejnoměrně konvergentní na (0, +∞).

4. (10 bodů) Rozhodněte, zda je řada

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}\sqrt{x}}{1 + nx}

stejnoměrně, resp. lokálně stejnoměrně konvergentní na (0, +∞).

5. (10 bodů) Rozhodněte, zda platí \overline{A} = \overline{A^{∘}} (uzávěr množiny A je roven uzávěru vnitřku množiny A). Každou z inkluzí dokažte, nebo nalezněte protipříklad.

Započítávají se čtyři nejlepší příklady, tj. maximální počet bodů je čtyřicet.

4.12.2002

1. Písemka

Čas na vypracování: 90 minut

1. (10 bodů) Rozhodněte, pro která p ∈ ℝ jsou následující integrály konvergentní, resp. absolutně konvergentní:

a) ∫_{0}^{1} x^{p} sin(e^{x}) dx, b) ∫_{1}^{∞} x^{p} sin(e^{x}) dx.

2. (10 bodů) Pro která p ∈ ℝ má křivka daná funkcí f(x) = x^{p} sin \frac{1}{x}, x ∈ (0, 1] konečnou délku?

3. (10 bodů) Rozhodněte, zda je posloupnost funkcí

f_{n}(x) := n (ln(x + \frac{1}{n}) − lnx)

stejnoměrně, resp. lokálně stejnoměrně konvergentní na (0, +∞).

4. (10 bodů) Rozhodněte, zda je řada

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}\sqrt{x}}{1 + nx}

stejnoměrně, resp. lokálně stejnoměrně konvergentní na (0, +∞).

5. (10 bodů) Rozhodněte, zda platí \overline{A} = \overline{A^{∘}} (uzávěr množiny A je roven uzávěru vnitřku množiny A). Každou z inkluzí dokažte, nebo nalezněte protipříklad.

Započítávají se čtyři nejlepší příklady, tj. maximální počet bodů je čtyřicet.