15.10.2002

Cvičení 1

1. Nakreslete grafy funkcí a) x, x^{2}, x^{3}, \sqrt{x}, \sqrt[3]{x}, |x|

b) x − 2, |x − 2|, ||x − 2| − 1|, \frac{1}{x}, 1 + \frac{1}{x}, \frac{x−2}{x+5}

c) sinx, cosx, sin(2x), cos^{2}(x), \frac{1}{2}(1 + cos(2x)), sin|x|

d) tgx, x^{2} sin \frac{1}{x}, \frac{x+1}{x^{2} −x}, arctgx, arctg(x + 1)

2. Řešte následující nerovnice (graficky) a) |x − 2| < 5, |1 − |x − 1|| ≥ |x − 2|

b) x < \frac{2}{x}, x^{2} − 1 > 3x, \frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} ≥ \frac{2}{x+1}

c) v komplexních číslech |x − 2| ≤ 5, Rex > 2| Imx|

3. Dokažte matematickou indukcí a) 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = \frac{n(n+1)}{2}

b) n! > 2^{n} pro n ≥ 4

c) 1 + p + p^{2} + p^{3} + ⋯ + p^{n} = \frac{1−p^{n+1}}{1−p}

4. Dokažte sporem, že \sqrt{2} je iracionální

5. Řešte v komplexních číslech a) x^{2} = i

b) (x − 1)^{3} = 8

22.10.2002

Cvičení 2

1. Výroky. Dokažte následující tvrzení: a) a ⇒ b je ekvivalentní s ¬b ⇒ ¬a je ekvivalentní s ¬(a ∧ ¬b).

b) a ⇒ (b ⇒ c) je ekvivalentní s ¬a ∨ ¬b ∨ c

c) (a ⇒ b) ⇒ c je ekvivalentní s (a ∧ ¬b) ∨ c

d) (a ∧ b) ⇒ (a ∨ c)

e) Pokud (a ⇒ b) ∧ (b ⇒ c), pak a ⇒ c.

2. Důkazy. Dokažte:

a) Pokud (a_{1} ⇒ a_{2}) ∧ (a_{2} ⇒ a_{3}) … (a_{n−1} ⇒ a_{n}), pak (a_{1} ⇒ a_{n}). b) ∀ x, y > 0, ∀ n ∈ ℕ

\begin{matrix}1 + \sqrt{xy} + \sqrt{x^{2}y^{2}} + ⋯ + \sqrt{x^{n}y^{n}} \\ ≤ \sqrt{1 + x + x^{2} + ⋯ + x^{n}} \sqrt{1 + y + y^{2} + ⋯ + y^{n}} . \end{matrix}

c) Je-li a_{1}a_{2}a_{3} > 8, potom pro některé i ∈ 1, 2, 3 je |a_{i}| > 2.

d) Pro x, y ∈ ℝ platí, že xy^{2}/(y + 1) ≤ 1/2. Dokažte implikaci

x > 2 ⇒ y ≤ 3.

e) Víte, že rovnice f(x + y) = f(x) + f(y), x, y ∈ ℝ; f(1) = 0 má nejvýše jedno řešení omezené na ⟨0, 1⟩. Dokažte, že potom také rovnice f(x + y) = f(x) + f(y) + x^{2} + y^{2} + 1, x, y ∈ ℝ; f(1) = 5 má nejvýše jedno řešení, které je omezené na ⟨0, 1⟩.

3. Kvantifikátory.

a) Který z následujících výroků je silnější?

\begin{matrix}∀ x ∈ ℝ ∃ K > 0; & |f(x + 1) − f(x)| ≤ K \\ ∃ K > 0 ∀ x ∈ ℝ; & |f(x + 1) − f(x)| ≤ K \end{matrix}

Nalezněte příklady funkcí splňující resp. nesplňující tyto výroky. Znegujte. b) Vyhovuje funkce f(x) = sinx následujícímu výroku nebo jeho negaci?

∀ ε > 0 ∃ K > 0; (x > K ⇒ |f(x)| < ε)

4. Monotonie.

a) Nechť f, g : ℝ → ℝ, f kladná, rostoucí, g záporná, klesající. Jaké vlastnosti mají funkce f + g, f − g, f · g, f/g, f ∘ g, g ∘ f? Dokažte nebo najděte protipříklady.

b) Vyšetřete z hlediska monotonie funkce x + \frac{1}{x}; \frac{x−2}{x+3}; 2 sin^{2} x + \sqrt{3}sin2x bez použití derivací.

29.10.2002

Cvičení 3 — 1. ročník

1. Polynomy a odmocniny. Spočtěte následující limity: a) z definice lim_{x→+∞} \frac{x+1}{x} , lim_{x→+∞} \frac{1}{x^{n}}

b) lim_{x→1} \frac{x^{2} −1}{x−1}, lim_{x→+∞} \frac{x+3}{x^{2} +x+2} , lim_{x→+∞} \frac{a_{n}x^{n}+a_{n−1} x^{n−1} +···+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m−1} x^{m−1} +···+b_{0}}

c) lim_{x→4} \frac{x−4}{\sqrt{x}−2}, lim_{x→+∞} (\sqrt{x + 1} − \sqrt{x}), lim_{x→+∞} x(\sqrt{x + 1} − \sqrt{x})

d)lim_{x→7} \frac{\sqrt{x−3}−2}{\sqrt[3]{x}+1 −2}, lim_{x→0} ^{\frac{\sqrt[3]{x}^{3} +1 −\sqrt{x^{2} +1}}{x}} , lim_{x→a} \frac{x^{n}−a^{n}}{x^{m}−a^{m}}

2. Síny a exponenciály.

a) lim_{x→0} \frac{sin ax}{sin bx}, lim_{x→0} \frac{x^{2}}{1−cos x}, lim_{x→a} \frac{sin x−sin a}{x−a}, lim_{x→0} \frac{tg x−sin x}{x^{3}}

b) lim_{x→0} sin \frac{1}{x}, lim_{x→0} x sin \frac{1}{x}, lim_{x→+∞} \frac{cos x}{x}, lim_{x→π/2}(x − π/2) tgx,

lim_{x→0} \frac{sin(sin x)}{x}

c) lim_{x→+∞} \frac{ln x}{x}, lim_{x→+∞} \frac{ln x}{\sqrt{x}}, lim_{x→0} x logx

d) lim_{x→0} \frac{e^{x}−e^{−x}}{x^{2}}, lim_{x→0} \frac{e^{sin ^{2} x}−cos x}{x^{2}}, lim_{x→0} x^{(x^{x})}

3. Teoretické úlohy a) Rozhodněte, platí-li: lim_{x→a} f(x) = b, právě když lim_{x→a} |f(x)| = |b|.

b) Existuje funkce, která nemá limitu v žádném bodě? (Uvažujte Dirichletovu funkci D(x) = 1 pro x racionální, D(x) = 0 pro x iracionální.)

c) Rozhodněte, v kterých bodech má limitu, resp. je spojitá Riemannova funkce R(x) = 1/q pro x = p/q, p, q celá nesoudělná, q > 0 a R(x) = 0 jinak, tj. pro x iracionální.

4. Úlohy s hvězdičkou a) Uveďte příklad funkce, která je spojitá jen v jediném bodě.

b) Ukažte, že množina bodů, ve kterých má funkce f : ℝ → ℝ skok je nejvýše spočetná. (Řekneme, že f má skok v bodě a ∈ ℝ, jestliže existují vlastní limity lim_{x→a^{−}} f(x) = A a lim_{x→a^{+}} f(x) = B a platí A ≠ B.)

c) Ukažte, že pro libovolnou spočetnou množinu M ⊂ ℝ existuje funkce f : ℝ → ℝ, která má skoky právě v bodech množiny M.

5.11.2002

Cvičení 4 – 1. ročník

1. Spočtěte následující limity:

lim_{x→0} \frac{sin(sin(sin x))}{cos(π/2 cos x)} ,  lim_{x→π/4} \frac{sin x−cos x}{(π/4−x)^{3}},
lim_{x→∞}(cos \sqrt{x − 1} − cos \sqrt{x + 1} ), lim_{x→π/4} tg2x tg(π/4 − x),
lim_{x→π/4} \frac{\sqrt{cos x}− \sqrt[3]{cos}x}{sin^{2} x},  lim_{x→0} \frac{ln(cos αx)}{ln(cos βx)}

lim_{x→+∞} \frac{ln(1+\sqrt{x}+ \sqrt[3]{x})}{ln(1+ \sqrt[3]{x}+ \sqrt[4]{x})} ,  lim_{x→+∞} ln(1 + 2^{x}) ln(1 + \frac{3}{x})
lim_{x→+∞} \frac{ln(2^{x}+x+1)}{ln(x^{10} −x+1)} ,  lim_{x→+0} (\frac{1+x2^{x}}{1+x3^{x}} )^{x^{2}}

12.11.2002

Cvičení 5 — 1. ročník

1. Limity posloupností. Spočtěte následující limity:

lim_{n→∞} n(\sqrt{n^{2} + 2} − \sqrt{n^{2} − 2}),  lim_{n→∞} \sqrt[n]{a}^{n} + b^{n} + c^{n} ,
lim_{n→∞} \sqrt[n]{n}!,  lim_{n→∞} \frac{n!}{n^{k}}, k ∈ ℕ,
lim_{n→∞} \frac{n!}{n^{n}},  lim_{n→∞} \frac{1^{k}+2^{k}+···+n^{k}}{n^{k+1}} .

2. Ukažte, že existuje limita lim_{n→∞}(1 + 1/n)^{n}

3. Ukažte, že limq^{n} existuje, právě když |q| < 1.

4. Dokažte ekvivalenci: 1/a_{n} → 0 ⇔ |a_{n}| → ∞

5. Definujme posloupnost rekurentně rovnostmi a_{1} = \sqrt{2}, a_{n+1} = \sqrt{2 + a_{n}} . Vypočtěte lim_{n→∞} a_{n}.

25.11.2002

Cvičení 6 – 1. ročník

1. Spočtěte derivace následujících funkcí:

a) \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} , sin(\frac{x+1}{x^{2} +1} ), cos(lnx)

b) x^{x}, (\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}}, (sinx)^{cos x}

c) arctg(tg^{2} x), ln(arccosx), arcsin(sinx)

d) arctg(e^{x}) − ln \sqrt{\frac{e^{2x}}{e^{2x} +1}} , arctg(\sqrt{x^{2} − 1}) − \frac{ln x}{\sqrt{x^{2} −1}}.

2. Vyšetřete spojitost a spočtěte derivaci funkce definované předpisem

f(x) = \{ \begin{matrix}e^{\frac{1}{ln |x|}} & x ≠ 0 \\ 1 & x = 0. \end{matrix}

3. Pro která a ∈ ℝ lze funkci f(x) = x^{a} sin(lnx) arctgx rozšířit na ℝ tak, aby výsledná funkce a) byla spojitá na ℝ

b) měla konečnou derivaci na ℝ.

4. Vyšetřete existenci asymptot v +∞ a −∞ funkce f(x) = x arctgx a v +∞ funkce g(x) = \frac{(ln x)^{x}}{x^{ln x}} .

3.12.2002

2. Písemka

Čas na vypracování: 30 minut

1. (3 body)

lim_{x→π/4} \frac{e^{sin^{2} x} − e^{cos^{2} x}}{x − \frac{π}{4}}

2. (3 body)

lim_{x→0} \frac{tgx − sinx}{x^{3}}

3. (4 body)

lim_{x→0} (log(\sqrt{|x| + sinx} ) − log(\sqrt{|2x|}))

10.12.2002

Cvičení 7 – 1. ročník

1. Průběh funkce. Vyšetřete průběh následujících funkcí (tj. nulovost, positivitu, lokální extrémy, monotonii, inflexní body, konvexnost, chování v ± nekonečnu a načrtněte graf):

a) x^{3} − 5x^{2} + 5x − 1, x^{3} + x^{2} + x + 1,

b) \frac{2x}{1−x^{2}} , \frac{x^{2} +2}{x−1} , \frac{1}{x^{2} +x−2} ,

c) \sqrt[3]{x^{2}} − \frac{2}{\sqrt{x}}, x\sqrt{1 − x^{2}}, \sqrt[3]{x^{2}} − \sqrt[3]{x^{2} + 1} ,

d) x + sinx, | sinx| + cos2x,

e) arctg(1 − x^{2}), arctg(\frac{x+1}{x−1}), arccos \frac{2x}{1+x^{2}} , \frac{arccos x}{\sqrt{1−x}},

f) e^{x} − x, e^{x^{2} +3x−7} , x^{x}.

7.1.2003

3. Písemka

Čas na vypracování: 45 minut

Vyšetřete průběh následujících funkcí (definiční obor, průsečíky s osou x, lokální extrémy, inflexní body, intervaly, kde je funkce kladná, záporná, rostoucí, klesající, konvexní, konkávní, chování v ±∞):

1. (5 bodů)

f(x) = arctg \frac{5x − 1}{2x + 3}

2. (5 bodů)

g(x) = x + sin2x

13.1.2003

Opravná písemka

Čas na vypracování: různý

1. Spočtěte limitu

lim_{x→π/3} \frac{sinx − \sqrt{3}cosx}{e^{tg x} − e^{\sqrt{3}}}

2. Spočtěte limitu

lim_{x→0} cos(\frac{e^{| sin x|} − 1}{x})

3. Spočtěte limitu

lim_{x→0} \frac{arcsin(\frac{π}{4} + x) − arcsin(\frac{π}{4} − x)}{x^{p}}

4. Vyšetřete průběh funkce

f(x) = \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{1−x^{2}}} & pro |x| < 1 \\ (|x| − 1)^{2} & pro |x| ≥ 1 \end{matrix}

5. Vyšetřete průběh funkce

g(x) = arcsin(\frac{x}{1 + x} ) + \frac{2}{\sqrt{1 + x}}

6. Spočtěte limitu

lim_{x→0} \frac{ln(\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3} )}{x}

7. Nalezněte všechny přímky, které neprotínají graf funkce x + e^{x}.