18. a 20.2.2003

Cvičení 1 – 1. ročník

1. Určete počet nulových bodů funkce f v závislosti na parametrech a, b ∈ ℝ:

(a) f(x) = 3x^{2} + 2x + 3 − ax,  (b) f(x) = 2x^{3} − 5x^{2} + x − 2 − ax,
(c) f(x) = x + \frac{1}{x} − a,  (d) f(x) = x^{2} − ax − b,

(e) f(x) = sinx + cosx − a, D(f) = [0, 2π].

2. Určete počet stacionárních bodů a počet extrémů funkce f v závislosti na parametrech a, b ∈ ℝ:

(a) f(x) = x^{3} − ax,  (b) f(x) = sinx + ax, D(f) = [0, 2π],
(c) f(x) = \sqrt[3]{x} − ax,  (d) f(x) = x^{3} + x^{2} − ax − b,
(e) f(x) = arctg \frac{x}{1+x} − ax,  (f) f(x) = arctg \frac{x+1}{3x−1} − ax.

3. Nalezněte inflexní body funkce f v závislosti na parametru a ∈ ℝ:

(a) f(x) = arctg(\frac{x−a}{x}),  (b) f(x) = arctg(\frac{ax−1}{x} ).

4. Určete počet inflexních bodů funkce f v závislosti na parametru:

(a) f(x) = \sqrt{x(a − x)} + x^{2}, a ∈ ℝ,

(b) f(x) = sin(ax^{2}), D(f) = [−\sqrt{π}, \sqrt{π}], a ∈ ℕ

5. (a) Napište číslo a > 0 jako součet dvou nezáporných čísel takovým způsobem, aby součet p-tých mocnin těchto čísel byl co nejmenší (p > 1).

(b) Veďte bodem [a, b] a, b > 0 přímku o záporné směrnici tak, aby trojúhelník ohraničený touto přímkou a osami x a y měl co nejmenší obsah.

6. Nalezněte lokální extrémy následujících funkcí v závislosti na parametru a ∈ ℝ:

(a) f(x) = 3|ax − 1| + 2|x|,  (b) f(x) = |x − a| − 2|ax − 1|,
(c) f(x) = 3a|x − 1| − 2|ax − 1| − |x − a|, (d) f(x) = x^{3} − a|x|

25. a 27.2.2003

Cvičení 2 – 1. ročník

1. Vypočtěte Taylorův polynom n-tého stupně následujících funkcí v bodě x_{0} = 0 a zapamatujte si:

(a) e^{x}, (b) sinx, (c) cosx, (d) log(1 + x)

2. Vypočtěte Taylorův polynom třetího stupně následujících funkcí v bodě x_{0} = 0:

(a) tgx,  (b) arcsinx,  (c) arccosx,  (d) \sqrt{1 + x}
(e) 5x^{3} − 2x + 1 (f) sinx + cosx (g) e^{x} sinx  (h) sin(x^{2} − 2x)
(i) e^{sin x} (j) sinsinx (k) cos(cosx − 1) (l) logcosx

3. Vypočtěte Taylorův polynom třetího stupně následujících funkcí v daných bodech:

(a) sinx v bodě π/2  (b) cosx v bodě π
(c) x^{3} − 2x + 1 v bodě 1  (d) e^{sin x} v bodě 1

4. Pomocí Taylorova polynomu spočtěte následující limity:

(a) lim_{x→0} \frac{sin x−x}{x^{3}},  (b) lim_{x→0} \frac{e^{x}−1−x}{x^{2}}
(c) lim_{x→0} \frac{sin x−arcsin x}{x^{p}},  (d) lim_{x→π/2} \frac{sin x−1+(x−π/2)^{2}}{(x−π/2)^{4}}
(e) lim_{x→0} \frac{tg x−x}{x^{p}},  (f) lim_{x→1} \frac{log x−(x−1)}{(x−1)^{2}}
(g) lim_{x→0} (\frac{1}{x} − \frac{1}{sin x}),  (h) lim_{x→0} \frac{1}{x} (\frac{1}{x} − \frac{cos x}{sin x})
(i) lim_{x→+∞} (\sqrt[6]{x^{6} + x^{5}} − \sqrt[6]{x^{6} − x^{5}}), (j) lim_{x→+∞} x^{\frac{3}{2}} (\sqrt{x + 1} + \sqrt{x − 1} − 2\sqrt{x})
(k) lim_{x→0} \frac{e^{x} sin x−x(1+x)}{x^{3}} ,  (l) lim_{x→0} ^{\frac{cos x−e^{− \frac{x^{2}}{2}}}{x^{4}}}

5. Pomocí l’Hospitalova pravidla (či jinak) spočtěte následující limity

(a) lim_{x→0} \frac{tg x−x}{x−sin x},  (b) lim_{x→0} \frac{3 tg 4x−12 tg x}{3 sin 4x−12 sin x}
(c) lim_{x→0} \frac{x cotg x−1}{x^{2}},  (d) lim_{x→1} \frac{x^{x}−x}{ln x−x+1}
(e) lim_{x→+∞} (\sqrt[3]{x^{3} + x^{2} + x + 1} − \sqrt{x^{2} + x + 1} \frac{ln(e^{x}+x)}{x} ), (f) lim_{x→a} (\frac{tg x}{tg a})^{cotg (x−a)}

4. a 6.3.2003

Cvičení 3 – 1. ročník

1. Vyjádřete uvedené primitivní funkce na maximálních intervalech pomocí elementárních funkcí:

(a) ∫ x^{3} sinx dx (b) ∫ x^{n}e^{x} dx  (c) ∫ lnx dx  (d) ∫ x lnx dx
(e) ∫ ln^{2} x dx  (f) ∫ x^{n} ln^{m} x  (g) ∫ sin^{2} x dx (h) ∫ sin^{4} x dx
(i) ∫ \sqrt[5]{3x + 2} dx (j) ∫ \frac{x^{2}}{cos^{2} (x^{3} )} dx (k) ∫ \frac{1}{x ln x} dx  (l) ∫ \frac{1}{x ln x ln ln x} dx
(m) ∫ tgx dx (n) ∫ sin^{3} x dx (o) ∫ tg^{2} x dx (p) ∫ \frac{1}{sin x} dx
(q) ∫ \frac{x^{3}}{(x−3)^{50}} dx (r) ∫ e^{\sqrt{x}} dx  (s) ∫ \frac{2}{2+3x^{2}} dx (t) ∫ \frac{1}{1+cos x} dx
(u) ∫ | cosx| dx (v) ∫ \sqrt{x^{6}} dx  (w) ∫ |x| dx  (x) ∫ sin|2x − 1| dx

11. a 13.3.2003

Cvičení 4 – 1. ročník

1. Vypočtěte primitivní funkce na maximálních intervalech:

(a) ∫ \frac{dx}{(2x+3)^{5}}  (b) ∫ \frac{dx}{(2x^{2} +5x+8)}  (c) ∫ \frac{2x−1}{(x^{2} −x+1)^{3}} dx
(d) ∫ \frac{dx}{(x^{2} +1)^{2}}  (e) ∫ \frac{dx}{(x^{2} +1)^{3}}  (f) ∫ \frac{dx}{(2x^{2} +x+1)^{3}}

2. Dokažte pro k ∈ ℕ: ∫ \frac{1}{(x^{2} +1)^{k+1}} dx = \frac{1}{2k} \frac{x}{(x^{2} +1)^{k}} + \frac{2k−1}{2k} ∫ \frac{1}{(x^{2} +1)^{k}} dx.

3. Vypočtěte primitivní funkce rozložením na parciální zlomky:

(a) ∫ \frac{dx}{(2x+3)(3x+2)(x+1)}  (b) ∫ \frac{dx}{(x^{4} +16)}  (c) ∫ \frac{5x^{3} +3x^{2} −x−1}{(x^{2} +2x+1)} dx
(d) ∫ \frac{(5x^{2} +1)^{2} +1}{(3x+2)^{2}} dx  (e) ∫ \frac{x^{2} +1}{x^{2} −1} dx  (f) ∫ \frac{x^{5} +x^{4} +x^{3} +x^{2} +x+1}{x^{3} −3x^{2} +3x−1} dx

4. Převeďte na integrály z racionálních funkcí:

(a) ∫ \frac{x+\sqrt{3x−1}}{2x^{2} +1} dx  (b) ∫ \frac{x^{2} − \sqrt[3]{2x+1}}{x−\sqrt{2x+1}} dx  (c) ∫ ^{\frac{\sqrt{\frac{2x+2}{x−1}} +2x}{x^{2} −1}} dx
(d) ∫ \frac{\sqrt{5x^{2} +3x+1} +2x}{3x+2} dx (e) ∫ \frac{1}{\sqrt{x^{2} +x+1}} dx  (f) ∫ \frac{x}{\sqrt{x^{2} +2}} dx
(g) ∫ \frac{e^{3x} +e^{2x} −5e^{x}+1}{e^{4x} +1} dx (h) ∫ \frac{ln x}{x(ln^{2} x+1)} dx  (i) ∫ \frac{e^{2x+1}}{e^{x}+e^{−x}} dx
(j) ∫ \frac{1}{sin x+cos x} dx  (k) ∫ \frac{sin x}{sin x+cos^{2} x} dx  (l) ∫ \frac{sin^{2} x+1}{sin x cos^{2} x+cos x+2} dx

18. 3. 2003

Písemka 1 — x52

Najděte primitivní funkce na celém ℝ:

1. (4 body)

∫ e^{ax} sinx dx, a > 0

2. (5 bodů)

∫ \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + x + 1}} dx

3. (6 bodů)

∫ \frac{sinx}{1 + | cosx| + cos^{2} x} dx

20. 3. 2003

Písemka 1 — y60

Najděte primitivní funkce na celém ℝ:

1. (4 body)

∫ \frac{sinx}{sin^{2} x − 3} dx

2. (5 bodů)

∫ x cosxe^{x} dx

3. (6 bodů)

∫ \frac{sinx + cosx}{3 − cosx} dx

25. a 27. 3. 2003

Cvičení 5 – 1. ročník

1. Spočtěte následující integrály:

(a) ∫_{0}^{3} 2 − |x − 2| dx,  (b) ∫_{−π}^{π} | sinx| dx,
(c) ∫_{−\sqrt{103}}^{√\overline{103}} arctgx dx,  (d) ∫_{1}^{e} \frac{1}{x ln x} dx,
(e) ∫_{−1}^{1} \sqrt{x^{2} + x + 1} dx,  (f) ∫_{0}^{π/2} \frac{1}{sin x+cos x} dx,
(g) ∫_{0}^{3π} \frac{1}{3−cos x} dx,  (h) ∫_{−1}^{1} \frac{1}{x^{2} −2x cos α+1} dx, α ∈ (0, 1),
(i) ∫_{0}^{√\overline{3}} x arctgx dx,  (j) ∫_{0}^{1} arcsinx dx,
(k) ∫_{0}^{∞} \frac{arctg x}{x\sqrt{x}} dx,  (l) ∫_{−π/4}^{π/4} arcsin(arctgx) dx,
(m) ∫_{1}^{2} \sqrt{−x^{2} + 3x − 2} dx,  (n) ∫_{0}^{1}(x + 1) log \frac{x+\sqrt{x+1}}{x+2} dx,
(o) ∫_{1}^{e} \frac{1}{x} tg^{2} \sqrt{logx^{2} + 1} dx,  (p) ∫_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2} − x^{2}} dx, a > 0,

(q) ∫_{0}^{π/2} logsinx dx (subst. x = 2t)

2. Spočtěte plochy ohraničené následujícími křivkami případně grafy funkcí:

(a) f(x) = sinx a g(x) = − sinx, x ∈ [0, π],

(b) f(x) = x^{2} a g(x) = \sqrt{x}, x ∈ [0, 1]

(c) Ax^{2} + 2Bxy + Cy^{2} = 1, AC − B^{2} > 0

3. Spočtěte délky následujících křivek:

(a) y = 5x, x ∈ [−1, 2],  (b) y = x^{3/2}, x ∈ [0, 3],

(c) y = e^{x}, x ∈ [−1, 1],  (d) y = \frac{1}{4}x^{2} − \frac{1}{2} logx, x ∈ [1, e]

(e) x(t) = a(cost + t sint), y(t) = a(sint − t cost), t ∈ [0, 2π],

(f) ϕ = \frac{1}{2}(r + \frac{1}{r}), r ∈ [1, 3].

1. a 3. 4. 2003

Cvičení 6 — 1. ročník

1. Vypočtěte následující integrály:

(a) ∫_{0}^{π/2} ln(sinx) dx (subst. x = 2t) (b) ∫_{0}^{π/2} \frac{x}{tg x} dx
(c) ∫_{0}^{1} \frac{arcsin x}{x} dx  (d) ∫_{0}^{1} \frac{ln x}{\sqrt{1−x^{2}}} dx

2. Vypočtěte derivaci funkce g(x) = ∫_{0}^{√\overline{x}} e^{t^{2}} dt.

Ukažte, že ∫_{0}^{x} e^{t^{2}} dt ∼ \frac{1}{2x}e^{x^{2}} pro x → ∞ (tj. podíl funkcí jde k jedné).

3. Vyšetřete konvergenci (absolutní konvergenci) následujících integrálů:

(a) ∫_{0}^{1} x^{p} dx, p ∈ ℝ,  (b) ∫_{1}^{∞} x^{p} dx, p ∈ ℝ
(c) ∫_{0}^{1} \frac{ln x}{1−x^{2}} dx,  (d) ∫_{0}^{∞} \frac{ln x}{1+x^{2}} dx,
(e) ∫_{0}^{∞} \frac{x−sin x}{x^{p}} dx,  (f) ∫_{7}^{∞} \frac{ln(1+x)}{x\sqrt{x}} dx
(g) ∫_{0}^{π/2} sin^{p} x cos^{q} x dx, p, q ∈ ℝ, (h) ∫_{0}^{∞} \frac{1}{x^{p}+x^{q}} dx, p, q ∈ ℝ,
(i) ∫_{0}^{π/2} ln(cosx) tg^{p} x dx,  (j) ∫_{0}^{∞} \frac{sin^{2} x}{\sqrt{x}} dx
(k) ∫_{0}^{∞} \frac{1}{1+x^{a} sin^{2} x} dx, a ∈ ℝ,  (l) ∫_{2}^{∞} \frac{1}{x^{p} ln^{q} x} dx, p, q ∈ ℝ,

4. Vyšetřete konvergenci (absolutní konvergenci) následujících integrálů:

(a) ∫_{0}^{∞} \frac{sin x}{x} dx  (b) ∫_{0}^{∞} sinx^{2} dx
(c) ∫_{0}^{∞} \frac{sin \sqrt{x}}{x^{a}} dx, a ∈ ℝ  (d) ∫_{0}^{∞} x^{a} sinx^{b} dx, a, b ∈ ℝ
(e) ∫_{0}^{∞} x^{a} sin(cosx) dx  (f) ∫_{0}^{∞} x^{a} sin(lnx) dx
(g) ∫_{0}^{∞} \frac{sin x sin 2x}{x^{a}} dx  (h) ∫_{0}^{∞} x^{a} ln(1 + x) cosx dx
(i) ∫_{0}^{∞} sin(arccotgx) sinx dx  (j) ∫_{2}^{∞} \frac{sin x}{x+2 sin x} dx
(k) ∫_{0}^{∞} \frac{sin(x+ \frac{1}{x})}{x} ^{a} dx, a ∈ ℝ  (l) ∫_{1}^{∞} sin(x + lnx)x^{p} dx, p ∈ ℝ,
(m) ∫_{0}^{∞} \frac{sin \frac{1}{x} arctg x}{x} dx  (n) ∫_{0}^{∞}(cosx − e^{− \frac{x^{2}}{2}} )x^{−a} dx, a ∈ ℝ,

8. a 10. 4. 2003

Cvičení 7 — 1. ročník

1. Vyšetřete konvergenci (absolutní konvergenci) následujících integrálů:

(a) ∫_{0}^{1} x^{log x} dx  (b) ∫_{0}^{1} x^{− log x} dx
(c) ∫_{0}^{1} \begin{matrix}√ & \overline{x} \\ √ & \overline{1−x^{4}} \end{matrix} dx  (d) ∫_{0}^{1} \frac{1}{e^{\sqrt{x}}−1} dx
(e) ∫_{0}^{π/2} \frac{1−cos x}{x^{p}} dx, p ∈ ℝ  (f) ∫_{0}^{π/2} \frac{1}{sin^{p} x(1−sin^{q} x)} dx, p, q > 0
(g) ∫_{1}^{∞} x^{p} \frac{x+sin x}{x−sin x} dx, p ∈ ℝ  (h) ∫_{0}^{∞} x^{α} arctg^{β}(x) dx
(i) ∫_{0}^{π/2} x^{α}(\frac{π}{2} − x)^{β} tg^{γ} x dx  (j) ∫_{0}^{∞}(arctgx − π/2)^{α}x^{β} dx

2. Vyšetřete konvergenci (absolutní konvergenci) následujících integrálů:

(a) ∫_{0}^{∞} 2x cos(x^{4}) dx  (b) ∫_{α}^{β} \frac{arcsin ^{2} (sin x)}{sin x} dx
(c) ∫_{1}^{∞} x^{p} sin(x^{3} + x) dx  (d) ∫_{1}^{∞} x^{p} cos(e^{x}) dx
(e) ∫_{1}^{∞} \frac{sin x}{x+sin x} dx  (f) ∫_{1}^{∞} \frac{sin x}{x^{p}+2 sin x} dx, p > 0

17. 4. 2003

Písemka 2 — y60

1. (4 body) Rozhodněte, pro která p ∈ ℝ je následující integrál konvergentní resp. absolutně konvergentní:

∫_{0}^{π/2} sin(tgx)tg^{p}(x) dx.

2. (5 bodů) Vypočtěte hodnotu integrálu

∫_{log 10}^{∞} \frac{1}{\sqrt{e^{2x} − 3e^{x} + 1}} dx.

3. (6 bodů) Buď f(x) = x^{p} sinx^{−p} pro 0 < x ≤ 1 a f(0) = 0. Rozhodněte, pro která p > 0 je délka grafu funkce f konečná.

22. a 24. 4. 2003

Cvičení 8 — 1. ročník

1. Najděte a nakreslete všechna maximální řešení autonomních rovnic a poté řešení pro počáteční podmínku y(0) = a, a ∈ ℝ:

(a) y′ = y lny  (b) y′ = tgy  (c) y′ = tg^{2} y
(d) y′ = \sqrt[3]{y^{2}}  (e) yy′ = 1 − y^{2}  (f) y′ = 1 − y^{2}

2. Najděte a nakreslete všechna maximální řešení následujících rovnic a poté řešení pro počáteční podmínku y(0) = a, a ∈ ℝ:

(a) y′ sinx = y lny  (b) e^{2x+y} y′ = 1  (c) yy′ + xy^{2} = x
(d) y′ = \frac{x(1+y^{2} )}{1+x^{2}}  (e) yy′ = \frac{(1−2x)}{y}  (f) e^{−y}(1 + y′) = 1

3. Najděte všechna maximální řešení následujících lineárních rovnic a poté řešení pro počáteční podmínku y(0) = a, a ∈ ℝ:

(a) 2y′ + y = 0  (b) y′ = y cosx  (c) y′ = y + sinx
(d) y′ = x^{2}y + e^{x}  (e) y′ = e^{x}y + e^{2x}  (f) y′ = tgx · y + sinx

29. 4. 2003

Cvičení 9 — 1. ročník

1. Vyšetřete konvergenci následujících řad:

(a) ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k\sqrt{k}}  (b) ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k ln^{2} k}  (c) ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{p}}
(d) ∑_{k=1}^{∞} \frac{x^{k}}{1+x^{2k}}  (e) ∑_{k=1}^{∞} k^{− ln k}  (f) ∑_{k=1}^{∞} (1 + \frac{1}{k} ) ^{k^{2}} x^{k}
(g) ∑_{k=1}^{∞} sin^{2} \frac{x}{\sqrt{k} ln k}  (h) ∑_{k=1}^{∞} \frac{\sqrt{k+1} −\sqrt{k−1}}{k^{α}} (i) ∑_{k=1}^{∞} \frac{x^{k^{2}}}{2^{k}}
(j) ∑_{k=1}^{∞} \frac{k!}{k^{k}}  (k) ∑_{k=1}^{∞} \frac{(k!)^{2}}{(2k)!}  (l) ∑_{k=1}^{∞} sink

2. Vyšetřete konvergenci (absolutní, neabsolutní) následujících řad:

(a) ∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k}k^{p}  (b) ∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k} \frac{\sqrt[k]{k}}{ln k}  (c) ∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k} \frac{k sin k}{1+k^{2}}
(d) ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{\sqrt{k}+(−1)^{k}}  (e) ∑_{k=1}^{∞} \frac{z^{k}}{k+\sqrt{k}}  (f) ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin kx}{k}
(g) ∑_{k=1}^{∞} sin(π\sqrt{k^{2} + k} ) (h) ∑_{k=1}^{∞} \frac{k!k^{−p}}{q(q+1)...(q+k)} (i) ∑_{k=1}^{∞} \frac{(3+4i)^{k}}{a^{k}k^{2}}

(j) ∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k} (\frac{2k+100}{3k+1} )^{k}

6. 5. 2003

Písemka 3 — x52

1. (3 body) Rozhodněte, zda je následující řada absolutně konvergentní:

∑_{k=1}^{∞} \frac{k^{k}}{(k + 1)(k + 2) … (k + k)} .

2. (6 bodů) Rozhodněte, pro která z ∈ ℂ je následující řada absolutně konvergentní, neabsolutně konvergentní, divergentní:

∑_{k=2}^{∞} \frac{(z − 1)^{2k}(2i)^{k}}{lnk} .

Nalezené množiny nakreslete.

3. (6 bodů) Najděte všechny funkce y : ℝ \ {0} → ℝ splňující následující lineární rovnici a podmínku pro chování v okolí nuly:

xy′ + 3y = 2x sinx  a  lim_{x→0} x^{3}y(x) = 1.

15. 5. 2003

Písemka 3 — y60

1. (3 body) Rozhodněte, zda je následující řada absolutně konvergentní:

∑_{k=1}^{∞} \frac{(1 + \frac{1}{k} ) ^{k}}{k^{2} + 2k + 3} .

2. (6 bodů) Rozhodněte (a podrobně zdůvodněte), pro která p ∈ ℝ je následující řada absolutně konvergentní, neabsolutně konvergentní a divergentní:

∑_{k=1}^{∞}arctg(\frac{(−1)^{k}}{k^{p}} ) .

3. (6 bodů) Najděte všechna maximální řešení rovnice

y′ + yx = x^{3}

splňující počáteční podmínku y(0) = 0. Určete definiční obor řešení.

13. a 15.5. 2003

Cvičení 10 — 1. ročník

1. Určete poloměr konvergence a vyšetřete konvergenci na konvergenční kružnici:

(a) ∑_{k=1}^{∞} kz^{k}  (b) ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k} i^{k}z^{k}  (c) ∑_{k=1}^{∞} −\frac{1}{k} z^{k}
(d) ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} z^{k}  (e) ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{2^{k}} z^{k}  (f) ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{\sqrt{k}+k^{2}} (2i + 1)^{k}z^{k}
(g) ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}z^{k}  (h) ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{(2k)!} z^{2k}  (i) ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{(2k+1)!} z^{2k+1}

2. Sečtěte následující řady na kruhu konvergence:

(a) ∑_{k=0}^{∞} (3z)^{k}  (b) ∑_{k=1}^{∞} \frac{z^{k}}{k}  (c) ∑_{k=1}^{∞} \frac{z^{k}}{k(k+1)}
(d) ∑_{k=1}^{∞} \frac{z^{k}}{k(k+2)}  (e) ∑_{k=1}^{∞} \frac{z^{2k}}{(2k)!}  (f) ∑_{k=1}^{∞} kz^{k}